微专题8 极化恒等式与等和线
一、基础知识
1.极化恒等式:a·b=1
4
[(a+b)2-(a-b)2].
(1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平
行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4
.
(2)模式:在平行四边形ABCD 中,O 是对角线交点,则:
①⃗AB·⃗AD=1
4
(|⃗AC|2-|⃗BD|2)(平行四边形模式);
②⃗AB·⃗AD=|⃗AO|2-1
4
|⃗BD|2(三角形模式).
2.平面向量共线定理
已知平面内一组基向量⃗OA,⃗OB 及任一向量⃗OP,且⃗OP
=λ⃗OA+μ⃗OB(λ,μ∈R),若λ+μ=1,则A,B,P 三点共线;反之亦然.
3.平面向量等和线定理
平面内一组基底⃗OA,⃗OB 及任一向量⃗OP,且⃗OP=λ⃗OA
+μ⃗OB(λ,μ∈R),若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上,
且k=|OP|
|OF |
=|O B1|
|OB|
=|O A1|
|OA |
,则λ+μ=k(定值),反之也成
立,我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为平面向量基
本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB 时,k=1;
(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时,k∈(0,1);
(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时,k∈(1,+∞);
(4)当等和线过O 点时,k=0.
二．典型例题
1.利用极化恒等式求向量的数量积
例1 (1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为AB
的中点,则⃗EC·⃗ED= .
(2)(2025·宁波调研)在平面直角坐标系中,A(-12,0),B(0,6),点P
在圆O:x2+y2=50 上.若⃗PA·⃗PB≤20,则点P 横坐标的取值范围
是 .
答案 (1)3 (2)[-5❑√2,1]
解析 (1)法一(公式法) 在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,
且AB=2,
所以|⃗EC|=|⃗ED|=❑√5,⃗
EC 与⃗ED的夹角为∠DEC,
且cos ∠DEC=5+5−4
2×5
=3
5
,
所以⃗EC·⃗ED=❑√5×❑√5×3
5
=3.
法二(基底法) 在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,且AB=2,
所以⃗EC·⃗ED=(⃗EB+⃗BC)·(⃗EA+⃗AD)
=(⃗EB+⃗BC)·(⃗BC-⃗EB)=|⃗BC|2-|⃗EB|2
=4-1=3.
法三(坐标法) 以A 为坐标原点,⃗AB,⃗AD的方向分别为x,y
轴的正方向,
建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,2),E(1,0),C(2,2),
所以⃗EC=(1,2),⃗ED=(-1,2),
所以⃗EC·⃗ED=1×(-1)+2×2=3.
法四(极化恒等式) 设CD 的中点为F,
则EF=BC=2,
由极化恒等式得⃗EC·⃗ED=|⃗EF|2-1
4
|⃗CD|2=22-1
4
×22=3.
(2)法一(坐标法) 设P(x,y),
则⃗PA=(-12-x,-y),⃗
PB=(-x,6-y),由⃗PA·⃗PB≤20,
得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,
即(x+6)2+(y-3)2≤65,
所以点P 为圆(x+6)2+(y-3)2≤65 上或其内部一点,
又点P 在圆x2+y2=50 上,
联立得{
x
2+ y
2=50,
( x +6)
2+( y −3)
2=65,
解得{
x =1,
y =7, 或{
x =−5,
y =−5,
即P 为圆x2+y2=50 的劣弧MN 上的一点(如图所示虚线部分).
易知-5❑√2≤x≤1.
法二(极化恒等式) 设AB 的中点为E,则E(-6,3),
由极化恒等式知⃗PA·⃗PB=⃗PE
2-1
4⃗AB
2=⃗PE
2-45≤20,即⃗
PE
2≤65,
所以点P 在以E 为圆心,以❑√65为半径的圆上或其内部,
即圆E:(x+6)2+(y-3)2=65.
联立圆O:x2+y2=50 与圆E:(x+6)2+(y-3)2=65 得x=1,y=7 或
x=-5,y=-5.
易求得圆O 与x 轴的交点为(-5❑√2,0),(5❑√2,0),所以点P 横坐
标的取值范围是[-5❑√2,1].
训练1 (1)(2025·武汉质检)已知△ABC 是边长为4 的等边三角形,
P 为△ABC 所在平面内一点,则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)的最小值为
.
(2)(2025·重庆诊断)如图,在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中
点,且OA=3,OC=5.若⃗AB·⃗AD=-7,则⃗BC·⃗DC= .
答案 (1)-6 (2)9
解析 (1)如图,取BC 中点D,
连接AD,PD.
可知AD=2❑√3,由平行四边形法则知⃗PB+⃗PC=2⃗PD,
则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)=2⃗PA·⃗PD.
在△PAD 中,取AD 的中点E,连接PE,
则AE=❑√3,由极化恒等式得,
2⃗PA·⃗PD=2(⃗PE
2-⃗AE
2)=2(⃗PE
2-3).
因为P 为△ABC 所在平面内一点,
所以当点P 与点E 重合时,即PE=0 时,有最小值,最小值为-6.
(2)法一 由极化恒等式可得⃗AB·⃗AD=⃗OA
2-⃗BD
2
4
=-7,解得|⃗
BD|=8,
故由极化恒等式可得⃗BC·⃗DC=⃗OC
2-⃗BD
2
4
=9.
法二 在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,且
OA=3,OC=5,
∴⃗OB+⃗OD=0.⃗
AB·⃗AD=-7,
则⃗AB·⃗AD=(⃗AO+⃗OB)·(⃗AO+⃗OD)
=⃗AO
2+⃗AO·⃗OD+⃗AO·⃗OB+⃗OB·⃗OD
=⃗AO
2-⃗OA·(⃗OD+⃗OB)-⃗OB
2
=32-⃗OB
2=-7,
∴⃗OB
2=16,
∴|⃗OB|=|⃗OD|=4,
∴⃗BC·⃗DC=(⃗BO+⃗OC)·(⃗DO+⃗OC)
=⃗BO·⃗DO+⃗BO·⃗OC+⃗DO·⃗OC+⃗OC
2
=-⃗BO
2+⃗OC·[-(⃗OB+⃗OD)]+⃗OC
2
=-42+0+52=9.
2.利用等和线求基底系数和的值
例2 (1)如图,在平行四边形ABCD 中,AC,BD 相交于点O,E 为
线段AO 的中点.若⃗BE=λ⃗BA+μ⃗BD(λ,μ∈R),则λ+μ=( )
A.1
B.3
4
C.2
3
D.1
2
(2)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=1
2
AB,BE=2
3
BC.若⃗DE=λ1⃗AB+λ2⃗AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为
.
答案 (1)B (2)1
2
解析 (1)法一 ∵E 为线段AO 的中点,
∴⃗BE=1
2
(⃗BA+⃗BO)=1
2(⃗BA + 1
2⃗BD)
=1
2⃗BA+1
4⃗BD=λ⃗BA+μ⃗BD,
∴λ=1
2
,μ=1
4
,则λ+μ=3
4
.
法二(等和线法)
如图,AD 为以⃗BA,⃗BD为基底值是1 的等和线,过E 作AD 的
平行线,
设λ+μ=k,
则k=|BE|
|BF |
.
由图易知|BE|
|BF |
=3
4
,故选B.
(2)法一 由题意作图如图.
∵在△ABC 中,⃗DE=⃗DB+⃗BE=1
2⃗AB+2
3⃗BC
=1
2⃗AB+2
3
(⃗AC-⃗AB)
=-1
6⃗AB+2
3⃗AC=λ1⃗AB+λ2⃗AC,
∴λ1=-1
6
,λ2=2
3
.故λ1+λ2=1
2
.
法二(利用等和线)
如图,过点A 作⃗AF=⃗DE,连接DF.
设AF 与BC 的延长线交于点H,
如图,BH 为以⃗AB,⃗AC为基底值是1 的等和线,
设λ1+λ2=k,则k=|⃗AF |
|⃗AH |
,
由图易知,| AF |
| AH |
=1
2
.因此λ1+λ2=1
2
.
规律方法 利用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1 的等和线;
(2)平移该线,作出满足条件的等和线;
(3)从长度比或点的位置两个角度,计算满足条件的等和线的值.
训练2 在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,⃗
AN=λ⃗AB+μ⃗AC,则λ+μ 的值为( )
A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
答案 A
解析 法一 设⃗BM=t⃗BC,
则⃗AN=1
2⃗AM =1
2
(⃗AB+⃗BM)=1
2⃗AB+ t
2⃗BC=1
2⃗AB+ t
2
(⃗
AC-⃗AB)
=(
1
2 −t
2)⃗AB+ t
2⃗AC,
∴λ=1
2
- t
2
,μ= t
2
,∴λ+μ=1
2
.
法二(等和线法) 如图,BC 为以⃗AB,⃗AC为基底值是1 的等和
线,过N 作BC 的平行线,设λ+μ=k,
则k=|⃗AN |
|⃗AM |
.
由图易知,|⃗AN |
|⃗AM |
=1
2
,故选A.
【精准强化练】
一、单选题
1.设向量a,b 满足|a+b|=❑√10,|a-b|=❑√6,则a·b=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 由极化恒等式得a·b=1
4
[(a+b)2-(a-b)2]=1
4
(|a+b|2-|a-b|2)=
1
4
×(10-6)=1.
2.如图,在四边形MNPQ 中,若⃗NO=⃗OQ,|⃗OM|=6,|⃗OP|=10,⃗
MN ·⃗MQ=-28,则⃗NP·⃗QP=( )
A.64
B.42
C.36
D.28
答案 C
解析 由⃗MN ·⃗MQ=⃗MO
2-⃗ON
2
=36-⃗ON
2=-28,
解得⃗ON
2=64,所以⃗OQ
2=64,
所以⃗NP·⃗QP=⃗PQ·⃗PN=⃗PO
2-⃗OQ
2=100-64=36.
3.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,点E 是线段
OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F,若⃗AC=a,⃗BD=b,且⃗
AF=λa+μb,则λ+μ=( )
A.1
B.3
4
C.2
3
D.1
2
答案 A
解析 (等和线法)如图,作⃗AG=⃗BD,延长CD 与AG 相交于
G,
因为C,F,G 三点共线,所以λ+μ=1.故选A.
4.(2025·泉州质检)已知半径为2 的圆O 上有三点A,B,C,满足⃗
OA+⃗AB+⃗AC=0,点P 是圆内一点,则⃗PA·⃗PO+⃗PB·⃗PC的
取值范围是( )
A.[-4,14)
B.(-4,14]
C.[-4,4)
D.(-4,4]
答案 A
解析 由⃗OA+⃗AB+⃗AC=0 得⃗AB+⃗AC=⃗AO,
在平行四边形ABOC 中,OB=OC,故易知平行四边形ABOC 是
菱形,且BC=2❑√3.
设菱形ABOC 对角线的交点为E,
由极化恒等式得⃗PA·⃗PO=⃗PE
2-1
4⃗AO
2=⃗PE
2-1,⃗
PB·⃗PC=⃗PE
2-1
4⃗BC
2=⃗PE
2-3,
所以⃗PA·⃗PO+⃗PB·⃗PC=2⃗PE
2-4.
因为P 是圆内一点,所以0≤|⃗PE|<3,
所以-4≤2⃗PE
2-4<14,
即-4≤⃗PA·⃗PO+⃗PB·⃗PC<14.故选A.
5.(2025·沧州模拟)如图,△BCD 与△ABC 的面积之比为2,点P
是区域ABDC 内(含边界)任意一点,且⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC
(λ,μ∈R),则λ+μ 的取值范围是( )
A.[0,1]
B.[0,2]
C.[0,3]
D.[0,4]
答案 C
解析 过点P 作GH∥BC,分别交AC,AB 的延长线于点G,H,
过点D 作C'B'∥GH,分别交AC,AB 的延长线于点C',B',则⃗AP
=x⃗AG+y⃗AH,且x+y=1.
当点P 位于点D 处时,G,H 分别位于C',B'处,
∵△BCD 与△ABC 的面积之比为2,
∴AC'=3AC,AB'=3AB,
此时⃗AG=⃗AC ',⃗AH =⃗AB',
∴⃗AP=x⃗AG+y⃗AH=x⃗AC '+y⃗AB'
=x·3⃗AC+y·3⃗AB=μ⃗AC+λ⃗AB,
∴μ=3x,λ=3y,即λ+μ=3x+3y=3.
当点P 位于点A 处时,显然有λ+μ=0,
∴λ+μ 的取值范围是[0,3].故选C.
6.AB 为☉C:(x-2)2+(y-4)2=25 的一条弦,|AB|=6,若点P 为☉C 上
一动点,则⃗PA·⃗PB的取值范围是( )
A.[0,100]
B.[-12,48]
C.[-9,64]
D.[-8,72]
答案 D
解析 如图,取AB 中点为Q,
连接PQ.
∴⃗PA+⃗PB=2⃗PQ,⃗
PA-⃗PB=⃗BA,
∴⃗PA·⃗PB=1
4
[(⃗PA+⃗PB)2-(⃗PA-⃗PB)2]=1
4
(4|⃗PQ|2-|⃗BA|2).
又∵|⃗BA|=6,|CQ|=❑√
25−(
6
2)
2
=4,
∴⃗PA·⃗PB=|⃗PQ|2-9,
∵点P 为☉C 上一动点,
∴|PQ|max=5+|CQ|=9,
|PQ|min=5-|CQ|=1,
∴⃗PA·⃗PB的取值范围为[-8,72].
7.(2025·广州调研)如图,在边长为2 的正六边形ABCDEF 中,动
圆Q 的半径为1,圆心Q 在线段CD(含端点)上运动,P 是圆Q 上
及内部的动点.若向量⃗AP=m⃗AB+n⃗AF(m,n∈R),则m+n 的取
值范围是( )
A.(1,2]
B.[5,6]
C.[2,5]
D.[3,5]
答案 C
解析 连接BF,过线段BC 的中点P1作BF 的平行线,交AB 的
延长线于点G,
分别以D,C 为圆心,1 为半径作圆,
过AB 延长线上点H 作平行于BF 的直线HP2,且与圆D 相切于
点P2,连接AP1,AP2,如图所示.
设⃗A P1=m⃗AB+n⃗AF,
由等和线定理可知m+n= AG
AB
=2 AB
AB
=2,
此时m+n 取最小值,点P 位于点P1处;
同理,设⃗A P2=m⃗AB+n⃗AF,
由等和线定理可知m+n= AH
AB
=5,
此时m+n 取最大值,点P 位于点P2处.
综上可知,m+n∈[2,5].
二、多选题
8.在△ABC 中,A=30°,BC=2,则⃗AB·⃗AC的值可能是( )
A.0
B.2
C.4
D.13
答案 BC
解析 因为A=30°,BC=2,所以
BC
sin A
=4,
则△ABC 外接圆的半径为2.
如图所示,圆O 的半径为2,BC 是圆O 的一条弦,点A 在圆O 的
优弧´BC上,D 是线段BC 的中点,连接DO 并延长交圆O 于点
E.
因为⃗AB=⃗AD+⃗DB,⃗AC=⃗AD+⃗DC=⃗AD-⃗DB,
所以⃗AB·⃗AC=⃗AD
2-⃗DB
2=⃗AD
2-1.
因为点A 在圆O 的优弧´BC上,
所以1<|⃗AD|≤|⃗DE|=2+❑√3,
所以⃗AB·⃗AC的取值范围是(0,6+4❑√3].结合选项可得选BC.
9.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-
b)2=a2-2a·b+b2.由①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b⇔a·b=
(a+b)
2−(a−b)
2
4
,我们把最后推出的式子称为“极化恒等
式”,它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化
为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD 中,BD=8,⃗AB·⃗AD
=48,E 为BD 中点,且⃗EC=2⃗AE,则( )
A.AE=8
B.AE=4
C.⃗CB·⃗CD=240
D.⃗CB·⃗CD=120
答案 AC
解析 因为⃗AB·⃗AD=48,BD=8,
由极化恒等式得⃗
AB·⃗AD=(⃗AB+⃗AD)
2−(⃗AB−⃗AD)
2
4
=(2⃗AE)
2−⃗BD
2
4
=AE2-B D
2
4
=AE2-16=48,
所以AE=8,
又2⃗AE=⃗EC,
所以EC=2AE=16,
由极化恒等式得⃗
CB·⃗CD=(⃗CB+⃗CD)
2−(⃗CB−⃗CD)
2
4
=(2⃗CE)
2−⃗DB
2
4
=CE2- D B
2
4
=256-16=240.
三、填空题
10.给定两个长度为1 的平面向量⃗OA和⃗OB,它们的夹角为
2π
3 ,如图所示,点C 在以O 为圆心的弧´AB上运动,若⃗OC=x⃗
OA+y⃗OB(x,y∈R),则x+y 的最大值是 .
答案 2
解析 (等和线法)如图所示,设x+y=k,则直线AB 为以⃗OB,⃗
OA为基底k=1 的等和线,所有与直线AB 平行的直线中,切线
离圆心O 最远,即此时k 取得最大值,易知OE⊥AB,
因为OA=1,∠AOB=2π
3
,
所以OE=1
2
,则k=| DO|
|OE|
=
1
1
2
=2,
即x+y 的最大值为2.
11.(2025·长沙模拟)已知点C 为扇形AOB 的弧´AB上任意一点,
且∠AOB=60°,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB(λ,μ∈R),则λ+μ 的取值范
围是 .
答案 [1, 2❑√3
3 ]
解析 法一 设λ+μ=k,
如图,当C 位于点A 或点B 时,A,B,C 三点共线,所以k=λ+μ=1;
由等和线定理可知,当点C 运动到´AB的中点时,λ+μ 最大,
k=λ+μ=
1
❑√3
2
=2❑√3
3
,
所以λ+μ∈[1, 2❑√3
3 ].
法二 设圆O 的半径为1,由已知可设O 为坐标原点,OB 所在
直线为x 轴,过O 作x 轴的垂线为y 轴,建立如图所示的平面直
角坐标系,
其中A(
1
2 ,
❑√3
2 ),B(1,0),C(cos θ,sin θ),
其中∠BOC=θ,θ∈[0, π
3].
由⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB(λ,μ∈R),可得(cos θ,sin θ)=λ(
1
2 ,
❑√3
2 )
+μ(1,0),
整理得1
2
λ+μ=cos θ,
❑√3
2
λ=sin θ,
解得λ=2sin θ
❑√3
,μ=cos θ-sin θ
❑√3
,
则λ+μ=2sin θ
❑√3
+cos θ-sin θ
❑√3
=
❑√3
3 sin θ+cos θ=2❑√3
3
sin (θ+ π
3).
又θ∈[0, π
3],所以θ+π
3
∈[
π
3 , 2π
3 ],
sin (θ+ π
3)∈[
❑√3
2 ,1],
当且仅当θ=π
6
时取到最大值1,
当θ=0 或θ=π
3
时,取到最小值
❑√3
2
,
所以λ+μ∈[1, 2❑√3
3 ].
12.(2025·安庆调研)四边形ABCD 中,点E,F 分别是AB,CD 的
中点,AB=2,CD=2❑√2,EF=1,点P 满足⃗PA·⃗PB=0,则⃗PC·⃗
PD的最大值为 .
答案 2
解析 因为⃗PC=⃗PF+⃗FC,⃗PD=⃗PF+⃗FD,
又点F 分别是CD 的中点,
所以⃗FD=-⃗FC,
所以⃗PD=⃗PF-⃗FC,⃗
PC·⃗PD=(⃗PF+⃗FC)·(⃗PF-⃗FC)=⃗PF
2-⃗FC
2=|⃗PF|2-
(
1
2⃗CD)
2
=|⃗PF|2-2,
又⃗PA·⃗PB=0,所以PA⊥PB,
又点E 是AB 的中点,
所以PE=1
2
AB=1,
因为⃗EF=⃗PF-⃗PE,
所以⃗EF
2=(⃗PF-⃗PE)2=⃗PF
2-2⃗PF·⃗PE+⃗PE
2,
即⃗PF
2=2⃗PF·⃗PE,
设<⃗PF,⃗PE>=θ,|⃗PF|=x,
则x2=2×1×x×cos θ,
所以x=2cos θ,
所以⃗PC·⃗PD=x2-2=4cos 2θ-2=2cos 2θ,
所以当2θ=0 即θ=0 时,cos 2θ 有最大值1,
即⃗PC·⃗PD有最大值为2
.
