第41 讲统计（知识清单+14 典例精讲+方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
抽样方法、统计图表分析
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
分层抽样、频率分布直方图
单选/解答题
5 分/12 分
样本数字特征、统计案例
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
众数、中位数、平均数与频率直方图
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
系统抽样、茎叶图
单选/多选/填
空/解答题
5 分/6 分/12
分
频率分布表、样本均值与方差
单选/多选/填
空/解答题
5 分/6 分/12
分
【知识点01】总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应
指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称
样本量.
【例1】为调查某高中2000 名高一学生的身高情况，随机抽取100 名学生测量身高，指出该调查中的总体、个体、
样本、样本容量。
【知识点02】简单随机抽样
抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
【例2】已知总体容量为80，采用简单随机抽样抽取容量为8 的样本，求每个个体被抽到的概率。
【知识点03】分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独
立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，
每一个子总体称为层.
【例3】某学校高一、高二、高三学生分别为400 人、300 人、300 人，现采用分层随机抽样抽取100 人的样本，求
各年级抽取的人数。
【知识点04】统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图.
【例4】已知一组数据分组区间为[2,4)，组距为2，该区间 频率
组距=0.08，求该组数据的频率。
【知识点05】百分位数
一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少
有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
【例5】已知数据：2,3,5,6,8,9，求该组数据的50 百分位数（中位数）。
【知识点06】平均数、中位数和众数
(1)平均数：x＝1
n(x1＋x2＋…＋xn).
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中
间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
【例6】求数据1,2,2,3,4的平均数、中位数、众数。
【知识点07】方差和标准差
(1)方差：s2＝1
n
n
Σ
i=1
(xi－x)2或1
n
n
Σ
i=1
xi
2－x
2.
(2)标准差：s＝❑
√
1
n
n
Σ
i=1
( xi- x)
2.
【例7】求样本数据1,3的方差与标准差。
【知识点08】总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y ，则总体方差S2＝1
N
N
Σ
i=1
(Yi－Y
)2.
(2)加权式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为
fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝1
N
k
Σ
i=1
fi(Yi－Y )2.
【例8】已知总体数据：2,4,6，求总体方差和总体标准差。
【题型一】简单随机抽样
【例1】已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1 天去一次，乙每隔2 天去一次，丙每隔3 天去一次.
若2 月14 日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（ ）
A．2 月25 日
B．2 月26 日
C．2 月27 日
D．2 月28 日
【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前n个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产
的零件以n个为一箱，成箱出售（n∈N
*）.每箱中的零件按照生产顺序，从1 到n连续编号.现从一箱中随机抽取6 个
零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4 个选项中，作为n的估计值，最合适的
一项是（ ）
A．61
B．70
C．98
D．120
【变式2】某校高一共有10 个班，编号分别为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3 个班进行调查，设高一
（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则a=___________；b=___________.
【变式3】假设要考查某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500 支疫苗中抽取50 支进行检验，利用随机数
表抽取样本时，先将500 支疫苗按000，001，…，499 进行编号，如果从随机数表第7 行第8 列的数开始向右读，请
写出第3 支疫苗的编号______．
（下面摘取了随机数表第7 行至第9 行）
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
【题型二】系统抽样
【例1】某印刷厂为了保证图书的印刷质量，将每批次印刷出来的图书排放整齐，每隔20 本检查一下其封面和内文
的质量情况，则这样的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．系统抽样
C．分层抽样
D．以上三种方法都有
【变式1】某学校为响应“平安出行号召”，拟从2019 名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方
法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率
A．不全相等
B．均不相等
C．都相等，且为1
40
D．都相等，且为50
2019
【变式2】（2026·山东·一模）计划从560 袋某品牌食品中抽取8 袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他
们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1 个号码段中抽出的编号应是______．
【变式3】（2024·山东·二模）某中职学校计划从300 名学生中抽取30 名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为
此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽
取的号码应是______.
【题型三】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有3000名学生，为统计三校学
生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为74的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A．20人，24人，30人
B．30人，24人，20人
C．24人，30人，20人
D．20人，30人，24人
【变式1】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方
法作抽样调查，拟从高一高二高三三个年级中共抽取
､
､
87 名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校
高一高二高三年级学生人数分别为
､
､
600,580, x，则（ ）
A．x =560
B．从高一年级中抽取的学生人数为30
C．从高二年级中抽取的学生人数为27
D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是1
3
【变式2】（2026·山西太原·二模）一支田径队有男运动员56 人，女运动员35 人，按性别分层，采用样本量比例分
配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________.
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）2023 年被称为交互式AI元年.人工智能是今年的一大焦点，因为它的发展方
式很快就变得无处不在，并像电子邮件流媒体或任何其他曾经是未来主义现在成为日常的技术一样融入到我们的生
､
､
活中.公众反复讨论生成式人工智能对社会协作方式的影响.中学生是祖国科技发展之光，为了激发中学生对科技创新
的兴趣，现调查了某重点中学生高一年级学生对AI的了解情况.调查问卷主要设置了AI在以下六个方面的应用：传媒､
机器人办公医药自动驾驶军事
､
､
､
､
.已知该学校高一年级共600 人，随机选取30 名学生（其中男生16 人，女生14
人）做了一次调查，结果显示：对AI有较多了解的男生有12 人，女生8 人，其他均表示了解较少.其中表示有较多了
解的学生最感兴趣的应用领域具体人数情况如下表：
性别
传媒
机器人
办公
医药
自动驾驶
军事
男
1
4
2
1
3
1
女
3
2
2
0
1
0
(1)估计该学校高一年级对AI有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数；
(2)现学校从对机器人最感兴趣的这6 名学生中抽取2 名到某机器人基地研学，求参加机器人基地研学的至少有一名女
生的概率.
【题型四】分层抽样的概率
【例4】（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为m(m≥3,m∈N )的总体中抽取一个容量为3 的样本，当选取简单随
机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是1
5，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个
体被抽中的可能性是（ ）
A．1
5
B．1
4
C．1
2
D．1
3
【变式1】已知某民营车企1 月份生产了A，B，C 三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，150.现用分层抽
样的方法从中随机抽取16 台车进行安全测试，则某一台B 型号的新能源汽车被抽取的概率为_______.
【变式2】某省数学学业水平考试成绩共分为A、B、C、D四个等级，在学业水平考试成绩分布后，从该省某地区
考生中随机抽取60名考生，统计他们的数学成绩，部分数据如下：
等级
A
B
C
D
频数
24
12
频率
0.1
（1）补充完成上述表格的数据；
（2）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这60名考生中抽取10名.在这10名考生中，从成绩为A等和B等的所有考
生中随机抽取2名，求至少有1名成绩为A等的概率.
【变式3】4 月23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，
采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12 名学
生参加问卷调查．各组人数统计如下：
小组
甲
乙
丙
丁
人数
1
2
9
6
9
（1）从参加问卷调查的12 名学生中随机抽取2 人，求这2 人来自同一个小组的概率；
（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2 人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和数
学期望．
【题型五】条形统计图、折线统计图、扇形统计图
【例5】（2024·四川乐山·三模）为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取
30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1 和图2 所示，则样本容量和抽取的二年
级学生中满意的人数分别为（ ）
A．800，360
B．600，108
C．800，108
D．600，360
【变式1】（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025 年1 月到11 月甲，乙两个车间的产量（单位：百万
件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（ ）
A．乙车间产量的中位数为6 月份的产量
B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差
C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值
D．甲车间产量的第80 百分位数大于乙车间产量的第80 百分位数
【变式2】（2025·河南·模拟预测）（多选）2024 年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无
论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图
所示，则（ ）
A．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长
B．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25 百分位数为24393 亿元
C．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为6.3 %
D．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数超过10 %
【变式3】“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展
了新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品A，B，C的开发.
（1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100 名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图.若
饮品A的百件利润为400 元，饮品B的百件利润为300 元，饮品C的百件利润为700 元，请估计三种饮品的平均百件利
润；
（2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为4
5 ，
开发新饮品成功的概率为1
3，且工艺改进与饮品研发相互独立；
（ⅰ）求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；
（ⅱ）若工艺改进成功则可为企业获利80 万元，不成功则亏损30 万元，若饮品研发成功则获利150 万元，不成功则
亏损70 万元，求该企业获利ξ的数学期望.
【题型六】频率分布表
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）在2024年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经6场比赛，勇夺巴黎奥运会
女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有2000名学生，一机构在该校随机抽取了800名学生对郑钦文
奥运会期间6场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下：
观看场次
0
1
2
3
4
5
6
观看人数占调查
人数的百分比
15 %
5 %
5 %
m %
10 %
15 %
4 m %
从表中数据可以得出的正确结论为（ ）．
A．表中m的数值为15
B．观看场次不超过3场的学生的比例为30％
C．估计该校观看场次不超过2场的学生约为400人
D．估计该校观看场次不低于4场的学生约为1300人
【变式1】（多选）在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000 名学生收看比赛的情况用随机
抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：
观看场数
0
1
2
3
4
5
6
7
观看人数占调查人数的百分
比
8%
10%
20%
26%
m%
12%
6%
2%
从表中可以得出正确的结论为（ ）
A．表中m 的数值为16
B．估计全年级观看比赛低于4 场的学生约为32 人
C．估计全年级观看比赛不低于4 场的学生约为360
D．估计全年级观看比赛场数的众数为2
【变式2】将一个样本容量为50的样本数据分组如下：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[ 40,50)，[50,60]，其中样本
数据在[10,20)和[ 40,50)内的频率之和为0.7，[20,30)，[30,40)对应的频数分别为4，5，则样本数据在[50,60]内
的频数为___________.
【变式3】某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩，
从这1200 人的数学成绩中随机抽取200 人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100)
62
0.31
88
(1)求 a，b，c 的值；
(2)如果从这1200 名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60 分以上为及
格）.
【题型七】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【例7】（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100 名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100 名学生每月阅
读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100 名学生中随机抽取1 名学生，该学生每月阅读课
外书数量不少于4 本的概率为（ ）
A．0.15
B．0.25
C．0.4
D．0.6
【变式1】（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100 个，测量其直径（单位：mm），将
所得数据分为5 组：[4.98,5.08),[5.08,5.18),[5.18,5.28),[5.28,5.38),[5.38,5.48]，并整理得到频率分布直方图如
图，记这100 个零件的直径的中位数为a，平均数为b，极差为c，众数为m，则（ ）
A．a≥5.18
B．b<5.28
C．c≤0.5
D．m>5.28
【变式2】（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100 辆该商场到
访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：
则样本中停车时长在区间(400,500]上的车辆数为______辆.
【变式3】（2024·四川成都·三模）某手机生产厂商要生产一款5G 手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺
寸进行社会调查，共调查了400 人，将这400 人按对手机屏幕的需求尺寸分为6 组，分别是：[5.0,5.5)，[5.5,6.0)，
[6.0,6.5)，[6.5,7.0)，[7.0,7.5)，[7.5,8.0)（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在
[5.5,6.0)的一组人数为50 人.
(1)求a和b的值；
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为[5.0,5.5)和[7.0,7.5)两组人中抽取6 人参加座谈，并在6 人中选择2 人做代表
发言，则这2 人来自同一分组的概率是多少？
【题型八】频率分布直方图的实际应用
【例8】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行
居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t），用水量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的
部分按议价收费，如果当地政府希望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a 的数值，
政府采用抽样调查的方式，绘制出100 位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本数据
来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a 大约为（ ）
A．2.4
B．2.6
C．2.8
D．3.2
【变式1】（多选）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举
措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000 名学生中随机抽取100 名学生，将其前后两次联考成绩(满分150 分)分
别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．m=0.02
B．估计该年级第二次联考成绩在130 分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10 人
C．第二次联考学生的成绩波动更小
D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加
【变式2】我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市
试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超
过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100 位居民某年的月用水量（单位：
吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),⋯[4,4.5]分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的
居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值为__________．
【变式3】（2026·江西新余·二模）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化
知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：¿，绘制了如下的频率分布
直方图．
(1)求a的值；
(2)若参赛学生共有2000 名，估计其中成绩小于70 分的人数；
【题型九】计算几个数的众数、中位数、平均数
【例9】（2026·福建漳州·三模）样本数据5,8,8,9,9,9的众数为（ ）
A．4
B．8
C．8.5
D．9
【变式1】（2026·湖南长沙·三模）一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【变式2】（2026·陕西·二模）中山大学X 同学参加了今年3 月组织的考研复试测试，共有5 名考官打分，如果去掉
一个最高分和最低分，则X 同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X 同学的平均成绩为96.6；如果仅去
掉一个最高分，则X 同学的平均成绩为94 分．如果5 位考官的成绩都保留，则X 同学的平均分为_____．
【变式3】某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用
电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15 天的数据作为样本，得到如图所示的统计表.若日用电量不
低于200 度，则称这一天的用电量超标.
分组
[170,180)
[180,190)
[190,200)
[200,210]
频数
3
6
3
3
(1)估计该企业日用电量的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
(2)用分层抽样的方法从日用电量在[180,190)和[200,210]内的数据中抽取6 天的日用电量数据，再从这6 个数据中随
机抽取2 天的日用电量数据，求这2 天中至少有1 天的日用电量超标的概率.
【题型十】由频率分布直方图估计中位数、平均数
【例10】如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ）
A．众数=平均数=中位数
B．众数>中位数>平均数
C．众数>平均数>中位数
D．中位数>平均数>众数
【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80 名学生，其数学成绩
（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1）
【变式2】某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100 辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对
测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
估计这100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米．
【变式3】藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频
率分布直方图.
(1)求参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)按分层抽样的方法从[70,80)，[80,90)，[90,100]中抽取6 名学生，再从这6 人中，抽取2 人，则求这两人都是在
[70,80)的概率.
【题型十一】计算几个数据的极差、方差、标准差
【例11】（2026·湖南株洲·模拟预测）一组数据0，1，3，4，5，6 的极差为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．5
【变式1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个
数据3 和9，则剩下的8 个样本数据的方差为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．11
4
【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据x1，x2，…，x15的平均数为6，方差为9．前五个数据x1，x2，
x3，x4，x5的平均数7，方差为6，则后十个数据x6，x7，…，x15的方差是__________．
【变式3】（2024·宁夏银川·三模）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8 次测试成绩
记录如下：
甲：95 82 88 81 93 79 84 78
乙：83 92 80 95 90 80 85 75
(1)哪个工人的成绩较好？
(2)甲、乙成绩位于[ x - s, x + s]内的有多少？
【题型十二】各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响
【例12】（2026·福建龙岩·三模）已知数据：1,2,2,3,3,3,5,5，将这组数据中的每个数值都加上3 后，与原始数据相
比，调整后的数据中不会发生改变的是（ ）
A．方差
B．众数
C．中位数
D．平均数
【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，令yi=2 xi-1，i=1，
2，…，n，则样本数据y1，y2，…，yn的方差为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式2】（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16 的80%分位数是14
B．若数据x1, x2,⋅⋅⋅, xn的平均数为4，则数据3 x1+ 4,3 x2+ 4 ,⋅⋅⋅,3 xn+ 4的平均数为16
C．若数据x1, x2,⋅⋅⋅, x7的平均数为6，方差为9，现又加入3 个数据5，6，7，则这10 个数据的方差为6.5
D．若数据x1, x2,⋅⋅⋅, x9的平均数为7 , x1
2+ x2
2+⋅⋅⋅+ x9
2=501，则x1, x2,⋅⋅⋅, x9的方差为20
3
【变式3】（2025·四川泸州·模拟预测）已知数据x1, x2, x3, x4, x5的平均数是4，数据x1
2, x2
2, x3
2, x4
2 , x5
2的平均数是
20，则2 x1-1,2 x2-1，2 x3-1,2 x4-1,2 x5-1的方差为__________.
【题型十三】用方差、标准差说明数据的波动程度
【例13】（2026·山东青岛·三模）为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5 块地作为试验田，这5 块地的亩产量（单
位：kg）分别为x1，x2，…，x5，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是（ ）
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
【变式1】（2026·江苏·三模）在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个
数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ）
A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大
B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大
C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大
D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大
【变式2】在2022 年世界技能大赛特别赛上，中国代表团共获得21 枚金牌，名列金牌榜第一.甲､乙两人在准备参选
制造与工程技术项目中进行了6 次比赛，每次的得分如下：
甲
7
7
9
8
6
8
乙
6
8
8
9
10
7
则平均成绩较高的是__________，成绩比较稳定的是__________
【变式3】（2024·陕西渭南·模拟预测）某高中为配合爱国主义教育，开展国防科技知识竞赛，预赛后，将成绩最好
的甲、乙两个班学生（每班都是40 人）的得分情况做成如下的条形图（20 道单项选择题，每题5 分，满分100 分）.
记甲、乙两班学生得分的平均数分别为x1, x2，方差分别为S1
2,S2
2，已求得x1=90,S2
2=33.5 .
(1)分别求出甲、乙两班的学生得分为95 分及以上的频率；
(2)试计算S1
2，并判断哪个班的学生的成绩波动更小.
【题型十四】总体百分位数的估计
【例14】（2026·河南周口·模拟预测）已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40 百分位数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．12
【变式1】（2026·陕西咸阳·三模）已知样本数据8，12，13，a，17 的第80 百分位数为16，则a=（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17
【变式2】（2026·甘肃张掖·二模）米兰冬季奥运会于2026 年2 月7 日至2 月23 日举行，奖牌榜前10 名金牌数如下：
18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80 百分位数为__________．
【变式3】（2024·陕西榆林·一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将100 个样本数据按[30,40),[ 40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分
成6 组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请通过频率分布直方图估计这100 份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30 %的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰
【解题大招01】分层抽样比例速算技巧
技巧原理
分层抽样核心为全程比例相等，总体、各层、样本抽样比完全统一，无需分步求总人数，可直接列比例式速算，规避
分步计算出错。
核心公式
n
N = ni
N i
⇒ni= N i
N ⋅n
式中：N总体容量，n样本容量，N i单层总体数，ni单层抽取样本数
【例1】某单位老、中、青员工人数分别为120、180、240，采用分层抽样抽取容量为18 的样本，求中年员工抽取人
数。
【解题大招02】频率分布直方图三秒读数技巧
技巧原理
直方图核心：纵坐标不是频率，是频率/组距，频率=矩形面积，所有矩形面积和为1，中位数为左右面积各0.5 的分
界点。
核心公式
频率=组距×频率
组距,频数=总体容量×频率
【例2】一组数据分组区间[10,15),[15,20)，组距均为5，对应纵坐标分别为0.02、0.06，求两组数据的总频率。
【解题大招03】百分位数快速定位计算技巧
技巧原理
固定两步秒杀：排序→算指数，整数取平均、非整数向上取整，适配所有百分位数题型，无需死记特例。
核心公式
i=n× p %
判定规则：
1. i∈Z，百分位数= xi+ xi+1
2
2. i∉Z，向上取整对应位置数据
【例3】数据：12,15,18,20,22,25,28，求70%百分位数。
【解题大招04】平均数平移速算技巧
技巧原理
一组数据全部加减同一个常数a，平均数同步加减a，方差、标准差不变，适合大数数据快速化简，规避大数运算出错。
核心公式
若新数据yi= xi+a，则：y = x +a
【例4】求数据102,104,106,108的平均数。
【解题大招05】方差缩放平移万能技巧
技巧原理
数据线性变换yi=a xi+b，均值、方差、标准差有固定变换规律，无需逐一代入计算，直接秒杀。
核心公式
已知原数据均值x，方差s
2，若yi=a xi+b：
y =a x +b,s y
2 =a
2sx
2,s y =|a|sx
【例5】已知数据xi均值为3，方差为2，求数据2 xi+1的均值与方差。
【解题大招06】众数、中位数快速判定技巧
技巧原理
1. 众数：统计图中最高矩形中点横坐标（直方图）、出现次数最多的数据；
2. 中位数：直方图中累计面积达0.5 的区间，无需精确计算可快速定位区间。
【例6】某直方图三组区间：[0,2)（面积0.2）、[2,4)（面积0.5）、[ 4,6]（面积0.3），快速判定中位数所在区间。
【解题大招07】样本与总体方差区分答题技巧
技巧原理
高考答题核心规则：
1. 描述整体全部数据，用总体方差，分母n；
2. 抽取部分样本估计总体，无特殊说明高考统一用分母n计算。
核心公式
总体方差：σ
2= 1
n∑
i=1
n
( xi- μ)
2
样本方差（高考通用）：s
2= 1
n∑
i=1
n
( xi- x)
2
【例7】求全部数据3,5,7的总体方差。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·江苏扬州·三模）已知一组数据1，2，x，6，7 的平均数为4，则该组数据的第70 百分位数为（ ）．
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
2．（2026·广西桂林·模拟预测）高三（2）班有女生20 人，男生30 人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一
个容量为10 的样本，则男生应抽取（ ）
A．3 人
B．4 人
C．5 人
D．6 人
3．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和分
层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1, p2, p3，三者关系可能是（ ）
A．p1= p2< p3
B．p1= p2= p3
C．p1= p3< p2
D．p2= p3< p1
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市2026年1月11日至18日每日最高气温（单位：℃）的数据
（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则1月11日至18日最高气温的中位数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8.5
二、多选题
5．（2026·山东东营·模拟预测）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（ ）
A．该组数据的极差为7
B．该组数据的中位数为3
C．该组数据的平均数为4
D．将每一个数据增加1，方差会变大
三、填空题
6．（2026·湖北黄冈·二模）一组数据x1，x2，x3，⋯，xn频率分布直方图如图所示．若yi= xi-1（i=1，2，⋯，n
），则估计数据y1，y2，y3，⋯，yn的中位数为__________．
四、解答题
7．（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了
一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75 至100 之间．将数据分成以下5 组：第1
组[75,80)，第2 组[80,85)，第3 组[85,90)，第4 组[90,95)，第5 组[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4 组中随机抽取17 名学生座谈，求每组抽取的学生人数；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值．
8．作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的
历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017 年12 月25 日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016
年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9 亿元，比上年增长17.4 %，下面给出的是通州区2011~2016 年全社会固
定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018 年1 月25 日发布：2017 年通州区全区完成全社会固定资产
投资1054.5 亿元，比上年增长12.2%．
(1)在图二中画出2017 年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017 这7 年的平均增长率约为17.2%，现从2011~2017 这7 年中随机选取2 个年份，记X 为“选取
的2 个年份中，增长率高于17.2%的年份的个数”，求X 的分布列及数学期望；
(3)设2011~2017 这7 年全社会固定资产投资总额的中位数为x0，平均数为x，比较和x0与x的大小（只需写出结论）．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2025·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900 人，其中男生500 人，为获取该校高三学生的身高信息，现
采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90 的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为
19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（ ）
A．抽取男生的样本量为40
B．估计该校高三学生身高的均值为165
C．抽样时女生甲被抽到的概率为1
10
D．估计该校高三学生身高的方差为19
2．（2024·四川·模拟预测）某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，
随机抽取了1000 名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在A ,B ,C , D , E五个层次内，分男女生统计得
､
到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（ ）
A．样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小
C．D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中B层次的学生数和C层次的学生数一样多
二、多选题
3．（2026·重庆渝中·三模）某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与
3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为
212ms，方差为 80ms
2 ；数学证明样本均值为 180ms ，方差为 50ms
2 ，下列说法中正确的有（ ）
A．每个数学证明任务被抽中的概率为 3
8 B．代码生成任务应抽取 100 个
C．总样本的均值为 200ms
D．总样本的方差为 65ms
2
三、填空题
4．（2024·云南楚雄·模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于
2023 年8 月31 日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25 人，女性参会人员有
15 人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16 位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为______.
四、解答题
5．（2026·甘肃金昌·三模）某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100 人进行问卷调查，每人给出一个
评分，分数都不低于60，满分100 分．统计出这100 人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100 人中，
男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80 分的男、女市民人数相等．
(1)求满意度评分低于80 分的市民中，男、女人数的比例；
(2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分；
(3)在满意度评分低于80 分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5 人进行座谈，再在这5
人中选出3 人作为座谈会主讲人，求3 位主讲人中至少有1 位男性市民的概率．
6．（2024·新疆·三模）某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天
睡眠时间应达到10 小时，初中生应达到9 小时，高中生应达到8 小时”.现调查了1 万个当地学生的时间利用信息，
得出下图.
(1)根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数）
(2)从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率；
(3)与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·广东广州·三模）小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5 次，约定若6 点不出现，则该同学在毕业典
礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以
确定（ ）同学不用上台表演.
A．小吴：平均数为3，中位数为2
B．小温：中位数为3，众数为2
C．小蔡：平均数为2，方差为2.4
D．小龙：中位数为3，方差为2.8
2．（2026·山东烟台·一模）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近100天通过直
播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则x的第80百分位数为（ ）
A．4.8
B．5
C．5.2
D．5.4
二、多选题
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(Artificial Intelligence，简称AI)已然成
为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI 工具的360 名
用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
项目
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
人数
30
150
90
60
30
为了分析数据，小组甲、小组乙分别使用不同的办法解决一些统计问题．
【小组甲】用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记抽到第
一组的人数为m，第二组的人数为n．
【小组乙】通过查阅资料，该AI 工具对某20 个问题能准确答对其中的t(3≤t ≤12，t ∈N)个，其余20-t个问题均无
法答对．若从这20 个问题中随机抽取10 个对该工具提问，不妨记事件At为“抽取的10 个问题中，AI 恰好答对3 个
问题”．
则下列说法正确的有（ ）
A．该AI 工具用户的平均年龄为32.5 岁
B．P(m<n)=7
9
C．使At概率最大的t值为6
D．使At概率最大的t值为7
三、填空题
4．（2026·江西九江·一模）已知成对样本数据(x1, y1),(x2, y2),⋯,(x10, y10)中x1, x2,⋯, x10互不相等，且所有样本
点(xi, yi)(i=1,2,⋯,10)都在曲线y = x
2-2 x上.若x1, x2,⋯, x10的平均值与方差均为5，则y1, y2,⋯, y10的平均值为
__________.（其中s
2= 1
n∑
i=1
n
(xi- x)
2= 1
n(∑
i=1
n
xi
2-n x
2)）
四、解答题
5．（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然
成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI 工具的360
名用户，统计他们的年龄都位于[10,60]，得到如下直方图：
(1)利用直方图中的数据，求m的值，并估计该AI 工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记抽到第一组
的人数为s，第二组的人数为n．设X =|s-n|，求X的分布列及其期望；
(3)已知该AI工具对某20 个问题能准确答对其中的t（3≤t ≤12，且t ∈N）个．若从这20 个问题中随机抽取10 个对
该工具提问，当t 变化时，要使得恰好答对3 个问题的概率取到最大值，求此时t的取值．
