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专题6 数列中的最值问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现
的概率变大,与数列有关的最值问题是数列中的经典问题,常与函数性质、不等式、新定义等知识交汇,是
新高考考查的热点,本专题总结数列中常见最值的类型及解法,供大家参考.
（一）作差法判断数列单调性,求数列项的最值
若数列
满足
,则
单调递增,若满足
,则
单调递减,若
时
,
时
,
时
,则
或
时
最大.若
时
,
时
,则
时
最
大.
【例1】（2023 届吉林省长春吉大附中实验学校高三下学期第五次模拟）数列
,
满足
,
,
．
(1)求证：
是常数列；
(2)设
,
,求
的最大项．
【解析】（1）
,
,
,
,
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,
,因此,数列
是常数列；
（2）由（1）
,即
,且
,整理得
.
,
,
,
当
时,
,
,
,
,
,
数列
单调递减,
的最大项为．
【例2】已知数列
的前项和
,且
,
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列
的最小项的值.
【解析】（1）
,
,则
,
即
,
当
时,
；
当
时,
；
经检验
适合
,
（2）由（1）知：
,
,
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,
当
时,
,
当
时,
；当
时,
；
又
,
,
当
时,
有最小值
.
（二）作商法判断数列单调性,求数列项的最值
若
,且
,则数列
单调递增,若
,且
,则数列
单调递减.
【例3】已知数列
na
的前n 项和为
2
3
2
n
n
n
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)令
1
9
10
n
n
n
b
a
,试问：数列
nb
是否有最大项？若有,指出第几项最大；若没有,请说明理由.
【解析】（1）解： 当
2
n
时,
2
2
1
3
(
1)
3(
1)
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
n
,
所以
1(
2)
na
n
n
,
又当
1
n 时,
1
1
2
a
S
也满足上式,
所以
*
1
N
na
n
n
；
（2）解：由（1）知
1
1
9
10
n
nb
n
,
当
2
n
时,
2
1
9
10
n
nb
n
,所以
1
9(
1)
10
n
n
b
n
b
n
,
令
9(
1)
1
10
n
n
,得
9
n
,
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当
9
n
时,
9(
1)
1
10
n
n
,即
1
n
n
b
b
；
当
9
n
时,
9(
1)
1
10
n
n
,即
1
n
n
b
b
；
当
9
n
时,
9(
1)
1
10
n
n
,即
1
n
n
b
b
；
所以数列
nb
先增后减,有最大项且最大项为第8,9 项.
（三）利用函数单调性求数列项的最值
此类问题通常是把数列的通项转化为关于n 的函数,然后利用函数的单调性求最值.
【例4】已知数列
的前项和为
,且满足
,
.
(1)求
,
,
,
,并猜想
的表达式（不必写出证明过程）；
(2)设
,
,求
的最大值.
【解析】（1）解：
,
由
,得
,同理可得
,
,
所以猜想
；
（2）解：由（1）知,
时,
,
当
时,
满足上式,
所以
,
所以
,
,
设
,则有
在
上为减函数,在
上为增函数,
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因为
,且
,所以当
或
时,
有最大值
.
【例5】已知数列
na
中,
1
1
2
1
na
a
n
（n
N
,a
R
且
0
a
）.
（1）若
7
a ,求数列
na
中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的n
N
,都有
6
na
a
成立,求a 的取值范围.
【解析】（1）当
7
a 时,
1
1
1
1
2
1
7
2
9
na
n
n
.
由
的单调性可得当
4
n
且n
N
时,数列
na
单调递减,且有
1
2
3
4
1
a
a
a
a
；
当
5
n
且n
N
时,数列
na
单调递减,此时
1
na ,且有
5
6
n
a
a
a
.
综上,数列
na
中的最大项的值为
5
1
1
2
2 5
9
a
,最小项的值为
4
1
1
0
2 4
9
a
；
（2）
1
1
1
1
2
1
2
2
na
a
n
n
a
,已知对任意的n
N
,都有
6
na
a
成立,
结合数列
na
的单调性可得
2
5
6
2
a
,解得10
8
a
.
因此,实数a 的取值范围是
10, 8
.
（四）求等差数列前n 项和的最值
在等差数列{an}中,若
n
S
d
a
,0
,0
1
有最大值,可由不等式组
0
0
1
n
n
a
a
来确定n ；⑵若
n
S
d
a
,0
,0
1
有最小值,可由不等式组
0
0
1
n
n
a
a
来确定n .求等差数列前n 项和的最值也可以把前n 项和化为关于n 的二
次函数,通过配方求最值.
【例6】（2024 届山东省春季高考二模）已知数列
．求：
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(1)数列
的通项公式；
(2)数列
的前项和
的最大值．
【解析】（1）由
,可知
,
所以数列
是以13 为首项,以
为公差的等差数列,
所以
；
（2）由（1）可知
,
令
,解得
,
令
,解得
,
即数列从第5 项开始小于0,所以数列
的前4 项和最大,
最大值为
．
【例7】已知数列
的前项和为
,
,
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的最大值并指明相应的值．
【解析】（1）因为
,即
,
即
,即
,
所以数列
是公差为
的等差数列,
由
,可得
,解得
,
所以
；
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（2）由（1）可得
,
当
或时,
取得最大值
．
（五）求等比数列前n 项乘积的最值
各项均为正数的等比数列
中,若
,则当
时等比数列
的前n 项积最大；若
,则当
时等比数列
的前n 项积最小.
【例8】已知等比数列{
}
na
的前n 项积为
nT ,若
1
24
a
,
4
8
9
a
,求
nT 取最大值时,n 的值.
【解析】设等比数列{
}
na
的公比为q ,则
3
4
1
8
1
1
(
)
(
)
9
24
27
a
q
a
,解得
1
3
q
,所以
1
1
( 24) ( )
3
n
na
,
所以
1 (
1)
1 2 3
(
1)
2
1
2
1
1
( 24)
( )
( 24)
( )
3
3
n n
n
n
n
n
n
T
a a
a
,所以当
nT 取得最大值时,可得n 为偶数,
而
1
( )
3
x
y
在R 上单调递减,
2
1
2
1
( 24)
( )
192
3
T
；
4
4
6
4
1
8
( 24)
( )
3
9
T
；
6
6
15
6
9
1
8
( 24)
( )
3
3
T
,则
2
4
6
T
T
T
,且
6
1
T
,
当
6
n
且n 为偶数时,
2
1
1
1
(
1)
(
1)
(
7 )
2
2
2
3
1
1
1
24
3
3
3
3
n n
n n
n
n
n
n
nT
,
2
7
0
n
n
1
nT
,所以
6
nT
T
,所以
4
n
时,
nT
取得最大值．
（六）利用二次函数配方求最值
若要最值的式子可以转化为关于某一变量的二次函数,可以考虑利用二次函数配方求最值.
【例9】已知数列
na
的前n 项和
n
S ,且满足2
1
n
n
S
a
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)记数列
na
的前n 项乘积为
nT ,求
8
n
n
a
T 的最小值.
【解析】（1）因为
2
1
n
n
S
a
.
所以当
1
n 时,
1
1
1
1
1
1
2
1,2
1,
,
3
S
a
a
a
a
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当
2
n
时,
1
1
2
1,2
1
n
n
n
n
S
a
S
a
,
两式相减得
1
1
1
1
,
2
0
2
0,
3
1
0,
,
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
a
a
a
a
所以数列
na
是首项为
1
3 ,公比为
1
3
q
的等比数列,
则数列通项公式为
1
1
1
1 1
1
( )
( ) ,
3 3
3
n
n
n
na
q
a
（2）记数列
na
的前n 项乘积为
nT ,
所以
1
2
3
n
n
T
a a a
a
,由（1）可知
1
( ) .
3
n
na
(
1)
1
2
3
1 2 3
2
1
2
3
1
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
3
3
n n
n
n
n
n
T
a a a
a
则
2
2
2
8
(
1)
16
15
15
8
2
2
2
2
(
1)
2
8
1
( )
1
1
1
3
( )
( )
( )
3
3
3
3
1
( )
3
n
n n
n n
n
n n
n n
n
n n
n
n
a
T
令
2
2
15
15
2
2
2
n n
n
n
y
,开口向上且对称轴为
*
15 ,
N
2
n
n
,
所以
7
n
或8 时, y 取最小值且最小值为28
.
所以
8
n
n
a
T 的最小值为
28
28
1
( )
3
3
.
（七）新概念数列中的前n 项和最值
求新概念数列中的前n 项和的最值,关键是理解新概念的涵义,求解此类问题大多要利用新概念中的条件进行
推理.
【例10】（2024 届徽省鼎尖名校联盟高三下学期5 月第三次联考）已知数列
的前n 项和为
,若数列
满足：
①数列
为有穷数列；
②数列
为递增数列；
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③
,
,
,使得
；
则称数列
具有“和性质”.
(1)已知
,求数列
的通项公式,并判断数列
是否具有“和性质”；（判断是否具
有“和性质”时不必说明理由,直接给出结论）
(2)若首项为1 的数列
具有“和性质”.
（ⅰ）比较
与
的大小关系,并说明理由；
（ⅱ）若数列
的末项为36,求
的最小值.
【解析】（1）因为
,
所以当
时,
；
当
时,
,
而当
时,满足
,
因此数列
的通项公式为
该数列具有“和性质”.
（2）（ⅰ）因为首项为1 的数列
具有“和性质”,
所以
,
,
,
使得
,且
,
,
因此
,
,
所以
；
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因此
,
所以将上述不等式相加得：
,
即
.
因为
,所以
,
因此
.
（ⅱ）因为数列
具有“和性质”,
所以由③得：
,因此数列
中的项均为整数.
构造数列
：1,2,3,6,9,18,36 或数列
：1,2,4,5,9,18,36,
因此这两个数列具有“和性质”,此时
.
下面证明
的最小值为75,
即证明不可能存在比75 更小的
.
假设
（存在性显然,因为满足
的数列
只有有限个）.
第一步：首先说明有穷数列
中至少有7 个元素.
设有穷数列
中元素组合的集合为A,
由（ⅰ）知：
,而
,
因此
,
,
,
,
,所以
.
第二步：证明
,
.
若
,设
.
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因为
,所以为了使得
最小,
则在数列
中一定不含有
,使得
,
因此
.假设
,根据“和性质”,
对
,有
,
,使得
.
显然
,因此
,
所以由有穷数列
中至少有7 个元素得：
集合A 中至少还有4 个不同于
,
,
的元素,
因此
,与
矛盾,
所以
,且
.同理可证：
.
根据“和性质”得：存在
、
,使得
.
我们需要考虑如下几种情形：
①当
,
时,至少还需要一个大于等于4 的
,才能得到8,因此
；
②当
,
时,至少还需要一个大于4 的
,才能得到7,则
；
③当
,
时,此时
为：1,2,3,6,9,18,36,因此
；
④当
,
时,此时
为：1,2,4,5,9,18,36,因此
；
综上所述,
的最小值为75.
（九）求数列中项数的最值
求数列中项数的最值通常把问题转化为关于n 的不等式,通过解不等式或利用函数单调性求n 的最值.
【例11】（2024 届江苏省连云港市厉庄高级中学高三考前模拟）已知数列
的前n 项和为
,且
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．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)数列
的每一项均为正数,
,数列
的前n 项和为
,当
时,求n 的最小值．
【解析】（1）当
时,
,
当
时,
,
所以
,所以
（常数）,
故数列
是以
为首项,2 为公差的等差数列．
（2）由（1）知,
,得
所以
,
当
时,即
,所以n 的最小值为2024．
【例12】从
中选取
个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列
,称数列
为
的子数列,当
时,把
的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列
,称数列
为
的子二代数列．
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(1)若
的子数列
是首项为2,公比为2 的等比数列,求
的子二代数列
的前8 项和；
(2)若
的子数列
是递增数列,且子二代数列
共有
项,求证：
是等差数列；
(3)若
,求
的子二代数列
的项数的最大值．
【解析】（1）由题意,得
,
所以数列
的前8 项依次为：2,4,6,8,12,14,16,24,
因为
,
所以数列
的前8 项和为86．
（2）因为
是递增数列,且
共有
项,
所以
,
所以
,
,
,…,
这
个数互不相等,且都是
中的项,
同理,
,
所以
,
,
,…,
,
这
个数互不相等,
且都是
中的项,
又
中共有
项,所以
,
,…,
,
所以
,
所以
是等差数列．
（3）因为
,当
时,
的结果共有
个,
设
,则
,
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若存在, ,
,
使得
,则
,
所以
,
若
,设
,则
,
是偶数,
是奇数,矛盾,
所以
,
,
所以
的4950 个结果可以互不相等,
所以
的项数的最大值为4950．
【例1】已知数列
na
满足
1
2
1
a
a
,数列
nb
为公差为
R
m m
的等差数列,且满足
1
n
n
n
b
a
a
.记
2
1
2
,
n
n
f m n
a m
a m
a m
,称
,
f m n
为由数列
na
生成的“m 函数”.
(1)求
2,4
f
的值；
(2)若“1-函数”
1,
8
f
n
,求n 的最小值；
(3)记函数
2
2
n
S x
x
x
nx
,其导函数为
S
x
,证明：“m 函数”
2
1
3
,
1
2
2
n
i
i
m
m
f m n
S
m
S m
m
m
.
附：
2
1
1
2
1
6
n
i
n n
n
i
【解析】（1）
2
3
4
1
2
3
4
2,4
2
2
2
2
f
a
a
a
a
,
1
2
1
1 1
0
b
a
a
,公差为2,所以
2
1
nb
n
,
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3
2
2
4
3
3
1
2
3,
3
4
7
a
a
b
a
a
b
,
所以
2
3
4
2,4
2 1
2 1
2
3
2
7
2
4
24 112
142
f
；
（2）
1
2
1,
n
f
n
a
a
a
,
1
2
1
1 1
0
b
a
a
,公差为1,
所以
1
1
n
n
n
b
n
a
a
,
1
1
a ,当
*
2,
N
n
n
时,
2
1
2
1
1
1
2
3
2
0 1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
,
而
1
1
3
2
1
2
2
a
,
所以
2
*
3
2
N
2
2
n
n
n
a
n
,
3
2
*
1
2
1
2
1
1
3
3
8
1,
2
N
12
2
2
6
n
n n
n
n n
n
n
n
f
n
a
a
a
n
n
,
设
3
2
3
8 ,
1
6
x
x
x
g x
x
,则
2
2
1
4
1
5
1
0
2
3
2
6
g
x
x
x
x
,
所以
g x
关于x 单调递增,
所以
3
2
*
3
8
1,
N
6
n
n
n
f
n
n
关于n 单调递增,
注意到
8 12 16
27
27
24
64
48
32
1,1
1,
1,2
2,
1,3
4,
1,4
8
6
6
6
f
f
f
f
,
所以当
*
4,
N
n
n
时,均满足
1,
8
f
n
,
所以满足题意的n 的最小值为4 ；
（3）由题意得
2
1
2
( , )
n
n
f m n
a m
a m
a m
2
(
1)(
2)
(
1)(
2)
1
1
2
2
i
n
i
i
n
n
m
m
m m
m m
2
2
2
3
3
(
1)
(
1)
2
2
i
n
i
i
n
n
m
m
m
m
m
m
m
m
2
1
1
1
3
(
1)
2
2
n
n
n
i
i
i
i
i
i
m
m
i m
im
m
m
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由
2
( )
2
n
S x
x
x
nx
,得
2
1
( )
1
4
n
S x
x
n x
,
所以
2
2
2
1
( )
4
n
n
i
i
xS x
x
x
n x
i x
,所以
2
1
1
( ),
( )
n
n
i
i
i
i
i m
mS m
im
S m
,
所以
2
1
3
( , )
( )
( )
(
1)
2
2
n
i
i
m
m
f m n
S m
S m
m
m
.
【例2】设
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
P x y
P x
y
,···,
*
,
3,
N
n
n
n
P
x
y
n
n
都在椭圆C：
2
2
1
100
25
x
y
上,且
2
2
2
1
1
2
2
| ,
| ,
,
|
|
n
n
a
OP
a
OP
a
OP
构成一个公差为
0
d d
的等差数列（其中O 是坐标原点）,记
1
2
n
n
S
a
a
a
及
1 10,0 .
P
(1)若
3
255
S
,求点
3P
的坐标（写出一个即可）：
(2)当公差d 变化时,求
100
S
的最小值.
【解析】（1）由
3
1
3
2
3 (
)
3
255
2
S
a
a
a
,解得：
2
85
a
,
因为
1 10,0 ,
P
所以
2
1
1
100
a
OP
,因为
na
为公差为
0
d d
的等差数列,
所以
2
1
15
d
a
a
,所以
3
3
1
2
255 100
85
70
a
S
a
a
,
可得
2
3
3
|
|
70
a
OP
,
由
2
2
3
3
2
2
3
3
1
100
25
70
x
y
x
y
,可得
2
3
2
3
60
10
x
y
,故点
3P 的坐标可以为
2 15, 10 .
（2）原点O 到二次曲线
:
C
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上各点的最小距离为b ,最大距离为a ；
因为
2
2
1
1
a
OP
a
,故
0
d
,且
2
2
2
1
n
n
a
OP
a
n
d
b
,
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故
2
2
0
1
b
a
d
n
,因为
1
3,
0
2
n n
n
,故
2
1
2
n
n n
S
na
d
在
2
2
,0
1
b
a
n
上递增,
故
n
S 的最小值为
2
2
2
2
2
1
2
1
2
n a
b
n n
b
a
na
n
.
当椭圆C：
2
2
1
100
25
x
y
,则
2
2
100,
25
a
b
,
所以
100
S
的最小值为
100 100
25
6250
2
.
【例3】（2023 届湖北省荆门市龙泉中学高三5 月模拟）已知数列
的前n 项和
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)议
,当
取得最小值时,求n 的取值．
【解析】（1）因为
,
当
时,
,
所以
,
又
时,
不满足上式,
故数列
的通项公式为
.
（2）当n 为奇数时,
,
当
,
时,
因为
单调递增,∴
,
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综上,当n 为奇数时,
；
当n 为偶数时,
,
因为
单调递增,∴
．
综上所述,当
取得最小值时,n 的取值为1,2,3．
【例4】（2024 届山东省菏泽第一中学高三下学期5 月月考）已知数列
的前项和为
,且满足
,
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若不等式
对任意的正整数恒成立,求整数
的最大值．
【解析】（1）因为
,
所以
,
当
时,
,
两式相减得：
,
即,
,
所以
,
所以,
,
所以,
是以
为首项,以为公差得等差数列,
故
．
（2）因为
,
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所以
,
依题意,不等式为
,
即
,
由
得
对任意的正整数恒成立,
又
,
所以
对任意的正整数恒成立．
设
,
则
,
所以
,
所以当
时,
最大,最大值为,
所以
,
解得
,
则整数
的最大值为．
【例5】（2024 届北京市中国人民大学附中高三下学期5 月三模）给定正整数
,设数列
是
的一个排列,对
,
表示以
为首项的递增子列的最大长度,
表示以
为首项的递减子
列的最大长度.
(1)若
,
,
,
,
,求
和
；
(2)求证：
,
；
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(3)求
的最小值.
【解析】（1）以
为首项的最长递增子列是
,以
为首项的最长递减子列是
和
.
所以
,
.
（2）对
,由于
是
的一个排列,故
.
若
,则每个以
为首项的递增子列都可以在前面加一个
,
得到一个以
为首项的更长的递增子列,所以
；
而每个以
为首项的递减子列都不包含
,且
,
故可将
替换为
,得到一个长度相同的递减子列,所以
.
这意味着
；
若
,同理有
,
,故
.
总之有
,从而
和
不能同时为零,
故
.
（3）根据小问2 的证明过程知
和
不能同时为零,故
.
情况一：当为偶数时,设
,则一方面有
；
另一方面,考虑这样一个数列
：
,
.
则对
,有
,
.
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故此时
.
结合以上两方面,知
的最小值是
.
情况二：当为奇数时,设
,则一方面有
；
另一方面,考虑这样一个数列
：
,
.
则对
,有
,
.
故此时
.
结合以上两方面,知
的最小值是
.
综上,当为偶数时,
的最小值是
；当为奇数时,
的最小值是
.
【例6】（2024 届江西省九江市高三第三次高考模拟）已知数列
共有
项,且
,若满足
,则称
为“约束数列”.记“约束数列”
的所有项的和为
.
(1)当
时,写出所有满足
的“约束数列”；
(2)当
时,设
“约束数列”
为等差数列.请判断
是的什么条件,并说
明理由；
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(3)当
时,求
的最大值.
【解析】（1）当
时,所有满足
的“约束数列”有：
①
；②
；③
（2）
是的充分不必要条件.理由：
①当
时,
.
则
,
当且仅当
时,
成立,
“约束数列”
是公差为1 的等差数列
②当“约束数列”
是等差数列时,由
,
得
,或
,或
,
若
,则
的公差为
；
若
,则
的公差为
；
若
,则
的公差为
,
即当“约束数列”
是等差数列时,
或
或2024.
由①②,得
是的充分不必要条件.
（3）
要使得
取最大值,则
,
当且仅当同时满足以下三个条件时,
取最大值.
①当
时,
；②当
时,
；
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③当
时,
.
.
1．（2024 届重庆市九龙坡区高三下学期第三次学业质量抽测）已知
n
S 是等差数列
na
的前n 项和,
5
11
20
S
a
,数列
nb
是公比大于1 的等比数列,且
2
3
6
b
b
,
4
2
12
b
b
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
S
c
b
,求使
nc 取得最大值时n 的值.
2．数列
na
的前n 项和记为
n
S ,已知
2
2
1
n
n
S
na
n n
,n
N ．
(1)求证：
na
是等差数列；
(2)若
3
3
a
,
6
3
a
,
8
3
a
成等比数列,求
n
S
的最大值．
3．已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ,且
2
2
1
n
n
a
a
,
5
2
4
S
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
的前n 项和为
nT ,且
1
2
b
,令
2
1
n
n
n
n
a
b
a
b
,求
nT 的最小值．
4．已知数列
na
满足
1
1
1,
3
2
1
n
n
a
a
a
n
．
(1)计算
2
3
,
a a ,猜想
na
的通项公式并加以证明；
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(2)设
3
3 n
n
n
a
a
b
,求使数列
nb
取得最大值时n 的值．
5．（2025 届湖南省名校联考联合体高三上学期入学考试）给定整数
2
n n
,数列
2
1
1
2
3
2
1
:
,
,
,
,
n
n
A
x x
x
x
,
且
(
1,2,3,
kx k
,2
1)
n
为整数.在
2
1
n
A
中去掉一项
1,2,3,
,2
1
kx
k
n
,并将剩下的数分成项数相同的两
组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为
1,2,
,2
1
k
m
k
n
.将
1
2
2
1
,
,
,
n
m m
m
中的最小值称
为数列
2
1
n
A
的特征值.
(1)已知数列
5 :1,2,3,3,3
A
,写出
1
2
3
,
,
m m m
的值及
5
A
的特征值；
(2)若
1
2
2
1
n
x
x
x
,当
1
1
0
i
n
j
n
,其中
,
1,2,
,2
1
i j
n
,且i
j
时,证明：
i
j
i
j
m
m
x
x
；
(3)已知数列
2
1
n
A
的特征值为
1
n ,求
2
1
1
i
j
n
i
j
j i
x
x
的最小值.
6．已知数列
na
满足
1
2
3
a
,且
*
1
2
1
n
n
n
a
a
n
a
N
.
(1)求证：数列
1
1
na
是等比数列,并求出
na
的通项公式；
(2)若
1
2
1
1
1
2025
n
a
a
a
,求满足条件的最大整数n .
7．设数列
na
的前n 项和为
n
S ,
1
1
a ,且对于任意
*
N
n
都有
1
1
n
n
S
a
成立．
(1)写出
2a ,
3
a 的值,并求数列
na
的通项公式；
(2)若等差数列
nb
的首项
1
4
b
S
,公差
2
1
a
d
a
,求数列
nb
的前n 项和
nT 的最小值．
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8．数列
na
的首项
1
5
2
a
,
1
3
4
1
n
n
n
a
a
a
.
(1)证明
1
2
na
是等差数列,并求
na
的通项公式；
(2)设
9
2
10
n
n
n
n
b
a
,
①当数列
nb
的项取得最大值时,求n 的值；
②求数列
nb
的前n 项和
n
S .
9．设数列
na
的前n 项和是
n
S ,且满足
1
1
n
n
S
Aa
Aa
,其中A 为实数,
1
1
0
a A A
.
(1)求证：
na
是等比数列.
(2)当
10
A
,
1
1
a 时,另一数列
nb
的通项公式是
3
4
n
k
b
n
（其中常数k 是整数）,对于任意
N
n
,
1
n 都
有
n
n
b
a
成立,求整数k 的最小值.
(3)当
1
A ,
1
2
a
时,记集合
*
,
N
n
X
x x
a n
,
*
2
1,
N
Y
x x
n
n
,将X
Y
中所有元素按从小到大
的顺序排列为一个新数列
nc
,求使
1
1000
n
i
i
c
成立的最小的n 的值.
10．（2024 届四川省自贡市普高高三第三次诊断）已知数列
na
的前项和为
n
S ,且
1 (
1)
2
n
n
S
na
n n
．
(1)证明：数列
na
为等差数列；
(2)若
5a
,
9a
,
11
a
成等比数列,求
n
S
的最大值．
11．对于数列
na
,如果存在正整数T ,使得对任意
*
n nN
,都有
n T
n
a
a
,那么数列
na
就叫做周期数列,T
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叫做这个数列的周期.若周期数列
nb
,
nc
满足：存在正整数k ,对每一个
*
,
i i
k i
N
,都有
i
i
b
c
,我们称
数列
nb
和
nc
为“同根数列”.
(1)判断下列数列是否为周期数列.如果是,写出该数列的周期,如果不是,说明理由；
①
sin π
na
n
；②
1
2
1,
1,
3,
2,
,
3.
n
n
n
n
b
n
b
b
n
(2)若
na
和
nb
是“同根数列”,且周期的最小值分别是3和5,求证：
6
k
；
(3)若
na
和
nb
是“同根数列”,且周期的最小值分别是
2
m
和
*
4
m
m
N
,求k 的最大值.
12．（2024 届黑龙江省百师联盟高三冲刺卷）已知n 行n 列
2
n
的数表
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
中,满足：
0,1
ija
,
,
1,2,
,
i j
n
.若数表A 满足当
0
st
a
时,总有
1
1
n
n
it
sj
i
j
a
a
n
,则称此数表A 为典型数表,此时记
1
1
n
n
n
ij
i
j
S
a
.
(1)若数表
1
0
1
0
0
1
0
1
1
M
,
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
N
,请直接写出M,N 是否是典型数表；
(2)当
8
n 时,是否存在典型数表A 使得
8
31
S
,若存在,请写出一个数表A；若不存在,请说明理由；
(3)若数表A 为典型数表,求
n
S
的最小值（直接写出结果,不需要证明）.
13．（2024 届黑龙江省部分学校高三第三次模拟）如果n 项有穷数列
na
满足
1
n
a
a
,
2
1
n
a
a
,…,
1
na
a
,
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即
1
1,2,
,
i
n i
a
a
i
n
,则称有穷数列
na
为“对称数列”.
(1)设数列
nb
是项数为7 的“对称数列”,其中
1
2
3
4
,
,
,
b b b b
成等差数列,且
2
5
3,
5
b
b
,依次写出数列
nb
的每
一项；
(2)设数列
nc
是项数为2
1
k (k
N 且
2
k
)的“对称数列”,且满足
1
2
n
n
c
c
,记
n
S 为数列
nc
的前n 项
和.
①若
1c
,
2c
,…,
kc
构成单调递增数列,且
2023
kc
.当k 为何值时,
2
1
k
S
取得最大值?
②若
1
2024
c
,且
2
1
2024
k
S
,求k 的最小值.
14．（2024 届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列
na
,
nb
,函数
2
sin
f x
ax
bx
c
x
,其中
*
nN ,
a
b
c
，，均为实数．
(1)若
1
a
b
,
0
c = ,
1
n
n
n
n
f a
a
a
f
a
,
1
2
b
,
ln
1
n
n
n
a
b
a
,
（ⅰ）求数列
nb
的通项公式；
（ⅱ）设数列
1
1
1
n
n
n
b
b
b
的前n 项和为
nT ,求证：
2
2
3
nT
n
n
．
(2)若
f x 为奇函数,
π
π
1
2
2
f
,
Q
b
c
，
,
1
1
2
1
1
π
π
2
2
n
n
n
n
n
n
n
f
a
a
a
a
f a
a
a
，
，
且
2
1
6
6
a
a
,问：当
2
n
时,
是否存在整数m ,使得
n
m
a
成立．若存在,求出m 的最大值；若不存在,请说明理由．（附：sin6
0.28
,
cos5.72
0.85
）
15．（2024 届河南师范大学附中高三下学期最后一卷）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ,若存在常数(
0)
,
使得
1
n
n
a
S
对任意
*
nN 都成立,则称数列
na
具有性质
( )
P ．
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(1)若数列
na
为等差数列,且
3
5
9,
25
S
S
,求证：数列
na
具有性质
(3)
P
；
(2)设数列
na
的各项均为正数,且
na
具有性质
( )
P ．
①若数列
na
是公比为q 的等比数列,且
4
,求q 的值；
②求的最小值．
16．从
*
N 中选取(
3)
k k ≥
个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列
na
,称数列
na
为
*
N 的子数列,当
1 i j
k
≤≤≤时,把
j
i
a
a
的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列
nb
,称数列
nb
为
*
N 的子二代数列．
(1)若
*
N 的子数列(1
,
5)
na
n
k k
是首项为2,公比为2 的等比数列,求
*
N 的子二代数列
nb
的前8 项和；
(2)若
*
N 的子数列
na
是递增数列,且子二代数列
nb
共有
1
k 项,求证：
na
是等差数列；
(3)若
100
k
,求
*
N 的子二代数列
nb
的项数的最大值．
