专题1.5二次函数与一元二次方程、不等式八大题型（原卷版）_11.4-2_2026-11-04

      
      
专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】

 1   !"#$%&'() ............................................................................................................2
 2   !"#$%&'() ................................................................................................................3
 3  *!"#$%&'(+, 
 ........................................................................................................3
 4  -.%&'() ................................................................................................................................4
 5  !"#$%&/'012 ............................................................................................................5
 6  #$3
'4567892 ............................................................................................................6
 7  !"#$%&:;<2 ................................................................................................................6
 8  !"#$%&=(2 ....................................................................................................................7
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ABC
DEF
G0H
(1)IJKLGMNOP
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(2)RSTU“#$”'
XYI(!"#$%&
(3)Z(0&7$7[\
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2020 ] I ^
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2023 ] I ^
_ 1 Y
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 x :;<Yõ`%&'(½s RY\©!"#$%& ax2öbxöc>0Y÷'(½s R
'vws{
a > 0，
Δ＝b2－4ac < 0； 
!"#$%& ax2öbxöcù0Y÷'(½s R 'vws{
a > 0，
Δ＝b2－4ac ú 0； 
!"#$%& ax2öbxöc>0 '(½s∅'vws{
a < 0，
Δ ú 0. 
?)ûü>ý‹
1tu© x '!"#$%&
0
2



c
bx
ax
'(½s RY¿!,þÿ






0
0
a
|
2tu© x '!"#$%&
0
2



c
bx
ax
'(½sY¿!,þÿ






0
0
a
|
3tu© x '!"#$%&
0
2



c
bx
ax
'(½s RY¿!,þÿ






0
0
a
|
4tu© x '!"#$%&
0
2



c
bx
ax
'(½sY¿!,þÿ






0
0
a
  
 1   !"#$%&'()
Ā 1ā2023·Ă㥹·ĆćĈĉĊ%&𝑥2 +𝑥−6 < 0'(½`ā    Ċ
      
      
A(−6,1)
B(−1,6)
C(−2,3)
D(−3,2)
¤& 1-1ā2024·ċČ·!ĆĊč𝑥∈𝑅Y¿“𝑥< 0”`“𝑥2−𝑥> 0”'ā    Ċ
AĎ0iBvw
BiBĎ0vw
CĎ0iBvw
DďĎ0€iBvw
¤& 1-2ā2023·ĐđĒē·ĆćĈĉĊ%&𝑥2−1 < 3(𝑥+ 1)'(½`ā    Ċ
A{𝑥∣𝑥< 4}
B{𝑥∣−4 < 𝑥< 1}
C{𝑥∣−1 < 𝑥< 4}
D{𝑥∣𝑥< −1 ²𝑥> 4}
¤& 1-3ā2024·ĐđĔē·ĆćĈĉĊtu™ p
½Œ𝐴= 𝑥|𝑥2 + 𝑥−2 > 0 Y™ q
½Œ𝐵=
𝑥|𝑥2 + 2𝑥−3 > 0 Y¿ p ` q 'ā    Ċvw
AĎ0iB
BiBĎ0
CĎ0iB
DďĎ0€iB
 2   !"#$%&'()
Ā 2ā23-24 !Ý·ąđąĕ·ĖNĊ¾0 < 𝑚< 1Y¿%&(𝑥−𝑚) 𝑥−1
𝑚< 0'(½sā    Ċ
A 𝑥| 1
𝑚< 𝑥< 𝑚B 𝑥|𝑥> 1
𝑚或𝑥< 𝑚C 𝑥|𝑥< 1
𝑚或𝑥> 𝑚D 𝑥|𝑚< 𝑥< 1
𝑚
¤& 2-1ā23-24 !Ý·ėă·ĘęĚěĊ%&𝑎𝑥2−(𝑎+ 1)𝑥+ 1 ≥0(𝑎< 0)'(½sā    Ċ.
A 𝑥|
1
𝑎≤𝑥≤1
 
B 𝑥|1 ≤𝑥≤1
𝑎
 
C{𝑥| 𝑥≤
1
𝑎²𝑥≥1}
D{𝑥| 𝑥≤1²𝑥≥1
𝑎
¤& 2-2ā23-24 !Ý·ĜđĝĞ·ĖNĊ© x '%&𝑎𝑥2−(𝑎+ 1)𝑥+ 1 < 0'(½Ê`ā    Ċ
A∅
B{𝑥|𝑥 > 1}
C 𝑥|1 < 𝑥< 1
𝑎
D{𝑥|𝑥< 1 ²𝑥> 1
𝑎
¤& 2-3ā23-24 !Ý·ğĠġĢ·ĖNĊ%&𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 0'(½s{𝑥|−3 < 𝑥< 2 }Y¿éģ§
â+'sā    Ċ
A𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
B9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐> 0
C%&𝑐𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏> 0'(½s 𝑥|−1
3 < 𝑥< 1
2
 
D%&𝑐𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑎> 0'(½s 𝑥|𝑥> 1
2
  
²𝑥< −1
3
 3  *!"#$%&'(+, 

Ā 3ā23-24 !é·Ĥđ·ĘęĚěĊ¾©𝑥'%&𝑥2−(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚< 0'(½Nĥ=TUĦ
Y
¿K
𝑚'ħ9Ĩĩsā    Ċ
      
      
A[−3,−2) ∪(4,5]
B[−2,−1) ∪(4,5]
C(−3,1) ∪(4,5) D[−3,5]
 ¤ & 3-1  ā 2024· Ă ă · ! Ć Ċ t u 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅Ī 𝑎≠0Y ¿ “𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 0' ( ½ s {𝑥|𝑥≠1 }” `
“𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0”'ā    Ċ
AĎ0iBvw
BiBĎ0vw
CĎ0iBvw
DďĎ0€iBvw
¤& 3-2ā23-24 TÝ·ĤđīĬ·ĖĭĊtu©𝑥'%&𝑥2−𝑎𝑥+ 𝑏≤0'(½s{𝑥|2 ≤𝑥≤3}Y¿
©𝑥'%&𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑎< 0'(½sā    Ċ
A{𝑥|2 < 𝑥< 3}
B{𝑥|1 < 𝑥< 3}
C{𝑥|2 < 𝑥< 5}
D{𝑥|1 < 𝑥< 5}
¤& 3-3ā23-24 !Ý·ĮįĠ¨İ·ĖĭĊ©𝑥'%&𝑥2−𝑎𝑥−6𝑎< 0'(½`{𝑥|𝑚< 𝑥< 𝑛}YĪ
𝑛−𝑚≤5Y¿K
𝑎'ħ9Ĩĩ ā    Ċ
A[−25,−24)
B 0，1
C(−25,−24) ∪0，1
D[−25,−24) ∪0，1
 4  -.%&'()
Ā 4ā23-24 !Ý·ĐđıIJ·ĖĭĊ(éģ%&
(1)
2𝑥
𝑥−1 ≥4|
(2)|2𝑥−3| + |𝑥−2| ≤3.
¤& 4-1ā23-24 !Ý·ĠijĴĢ·ĖNĊCéģ%&'(½
(1)(3𝑥−1)(𝑥+ 1) > 4|
(2)
2𝑥−3
𝑥+1 < 1
(3)|𝑥+ 2| < 1
      
      
¤& 4-2ā22-23 !Ý·ÝąĵĶ·ĘęĚěĊ(éģ%&
(1)
5−𝑥
𝑥2−2𝑥−3 < −1|
(2)(𝑥−1)(𝑥+ 2)2 ≥0.
¤& 4-3ā2023 !·Ýą·ĚěĊ(éģ©𝑥'%&
(1)(𝑥+ 4)(𝑥+ 5)2(2−𝑥)3 < 0|
(2) 𝑥2−4𝑥+1
3𝑥2−7𝑥+2 < 1
 5  !"#$%&/'012
Ā 5ā2024 T·ķĸ·ĚěĊ©𝑥'?@𝑎𝑥2 + (𝑎+ 2)𝑥+ 9𝑎= 0=ÆU±%'K
/𝑥1,𝑥2YĪ
𝑥1 < 1 < 𝑥2YĹĺ𝑎'ħ9Ĩĩ`ā    Ċ
A−
2
7 < 𝑎<
2
5
B𝑎>
2
5
C𝑎< −
2
7
D−
2
11 < 𝑎< 0
¤& 5-1ā23-24 TÝ·Ļļ·ĘęĚěĊ¾©𝑥'?@𝑥2−2𝑎𝑥+ 𝑎+ 2 = 0zĽľ(−2,1)Ý=ÆU±
%'K
(Y¿𝑎'ħ9Ĩĩ`ā    Ċ
A −6
5 ,−1
B −6
5 ,1
C −∞,−6
5 ∪(−1, + ∞)
D −∞,−6
5 ∪(1, + ∞)
¤& 5-2ā23-24 !Ý·ÝąĿă·ĖNĊtuK
𝑎< 𝑏Y©𝑥'%&𝑥2−(𝑎+ 𝑏)𝑥+ 𝑎𝑏+ 1 < 0'
(½s(𝑥1,𝑥2)Y¿K
 a7b7𝑥17𝑥2JÁŀ¨'Łģ`(    )
A𝑎< 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑏
B𝑥1 < 𝑎< 𝑏< 𝑥2
      
      
C𝑎< 𝑥1 < 𝑏< 𝑥2
D𝑥1 < 𝑎< 𝑥2 < 𝑏
¤& 5-3ā23-24 T·ķĸ·ĘęĚěĊ?@𝑥2 +(𝑚−2)𝑥+ 5−𝑚= 0'!/zĽľ(2,3)bYł!/zĽ
ľ(3,4)bY¿𝑚'ħ9Ĩĩ`ā    Ċ
A(−5,−4)
B −13
3 ,−2
C −13
3 ,−4
D(−5,−2)
 6  #$3
'4567892
Ā 6ā23-24 !Ý·ĠijđŃ·ĖĭĊ¾3
𝑓(𝑥) = 𝑥2−𝑚𝑥+ 3zĽľ(−∞,2)Ý45ńŅY¿K
𝑚'
ħ9Ĩĩ`ā    Ċ
A(−∞,2]
B[2, + ∞)
C(−∞,4]
D[4, + ∞)
¤& 6-1ā23-24 !Ý·ĐņŇň·ĖNĊtu3
𝑓(𝑥) = 2𝑥2−𝑘𝑥−8z[-2Y1]Ýʼn=456Y¿K
 k
'ħ9Ĩĩ`āĊ
Ak≤-8
Bk≥4
Ck≤-8 ² k≥4
D-8≤k≤4
¤& 6-2ā23-24 !Ý·ĠijŊĠ·ĘęĚěĊ¾3
𝑦= 𝑥2−2𝑥−3',ŋŌs[−1,𝑡]Y9Ōs[−4,0]¿
K
𝑡'ħ9Ĩĩsā    Ċ
A1 ≤𝑡≤3
B1 < 𝑡< 3
C−1 < 𝑡< 3
D−1 < 𝑡≤3
¤& 6-3ā2024 T·ķĸ·ĚěĊtu3
𝑓(𝑥) = 𝑥2 +𝑎𝑥+ 𝑏(𝑎,𝑏∈R)'8Á9s 0Y¾©𝑥'
%&𝑓(𝑥) < 𝑐'(½s(𝑚,𝑚+ 4)Y¿K
𝑐'9sā    Ċ
A9
B8
C6
D4
 7  !"#$%&:;<2
Ā 7ā2023·ōŎŏŐ·#ĆĊ%&𝑎𝑥2−2𝑥+ 1 > 0ā𝑎∈RĊ:;<'!UĎ0iBvw`ā    
Ċ
A𝑎> 2
B𝑎≥1
C𝑎> 1
D0 < 𝑎<
1
2
¤& 7-1ā2023·ĠőŒĠ·ĆćĈĉĊœÅ𝑥ħ‡9ŔY%&𝑥2−2𝑘𝑥+ 4 > 0:;<Y¿𝑘'ħ9Ĩĩ
`ā    Ċ
A(−∞,−2)
B(−∞,−4)
C(−4,4)
D(−2,2)
¤& 7-2ā2023·ŕŖŗė·#ĆĊ¾\ôÐ'𝑥∈(0, + ∞),𝑥2−𝑚𝑥+ 1 > 0:;<Y¿ m 'ħ9Ĩĩ`
ā    Ċ
A(−2,2)
B(2, + ∞)
C(−∞,2)
D(−∞,2]
¤& 7-3ā23-24 !Ý·ŘĢřŚ·ĖĭĊś𝑥∈(−1,1)ŔY%&2𝑘𝑥2−𝑘𝑥−
3
8 < 0:;<Y¿𝑘'ħ9Ĩ
      
      
ĩ`ā    Ċ
A(−3,0)
B[−3,0)
C −3, 1
8
D −3, 1
8
 8  !"#$%&=(2
Ā 8ā2023·ōŎŖī·ĆćĈĉĊ™“∃𝑥∈[1,2],𝑥2 ≤𝑎”sD™'!UĎ0iBvw`ā    Ċ
A𝑎≥1
B𝑎≥4
C𝑎≥−2
D𝑎≤4
¤& 8-1ā2023 T·ķĸ·ĚěĊ¾© x '%&𝑥2 +𝑚𝑥−4 > 0zĽľ[2,4]Ý=(Y¿K
 m
'ħ9Ĩĩsā    Ċ
A(−3, + ∞)
B(0, + ∞)
C(−∞,0)
D(−∞,−3)
¤& 8-2ā2023·Ĝđ·ĆćĈĉĊtu™“∃𝑥0 ∈[−1,1]Y−𝑥2
0 +3𝑥0 +𝑎> 0”sD™Y¿K
𝑎'ħ9
Ĩĩ`ā    Ċ
A(−∞,−2)
B(−∞,4)
C(−2, + ∞)
D(4, + ∞)
¤& 8-3ā23-24 !Ý·ōŎ·ĖNĊ¾Ŝŝóz!U𝑥< 0Y¦î©𝑥'%&3−|3𝑥−𝑎| > 𝑥2 +2𝑥;
<Y¿K
𝑎'ħ9Ĩĩ`ā    Ċ
A −37
4 ,3
B −3, 13
4
C −37
4 , 13
4
D(−3,3)
!74
1ā2023·ė㪺·ĆćĈĉĊ“𝑐∈(−2 3,2 3)”`“∀𝑥∈R,𝑥2−𝑐𝑥+ 3 ≥0;<”'ā    Ċ
AĎ0iBvw
BiBĎ0vw
CĎBvw
DďĎ0€iBvw
2ā2023·ĐđĒē·ĆćĈĉĊ%&(𝑥−1)(𝑥−2023) ≥0'(½sā    Ċ
A{𝑥∣𝑥≥2023²𝑥≥1}
B{𝑥∣𝑥≤1²𝑥≥2023}
C{𝑥∣1 ≤𝑥≤2023}
D{𝑥∣𝑥< 1²𝑥> 2023}
3ā2024·ğĠ·ĆćĈĉĊ¾%&𝑘𝑥2 + (𝑘−6)𝑥+ 2 > 0'(sķŠK
Y¿K
𝑘'ħ9Ĩĩ`ā    Ċ
A2 ≤𝑘≤18
B−18 < 𝑘< −2
C2 < 𝑘< 18
D0 < 𝑘< 2
4ā2024·šŢţŤ·ĆćĈĉĊ%&|𝑥2−3𝑥| < 2−2𝑥'(½`ā    Ċ
A −1, 1
2
B −1
2 , 1
2
C −1, 5−17
2
D 5−17
2
, 1
2
      
      
5ā2023·ėă·ĆćĈĉĊ¾%&2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐< 0'(½`(0,4)Y3
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐'\ť¹`
ā    Ċ
A𝑥= 2
B𝑥= 4
C𝑥=
5
2
D𝑥=
3
2
6ā23-24 !Ý·Ļļ;Ŧ·ĖNĊ!"#$%&𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 0'(s{𝑥|−2 < 𝑥< 3 }YĹĺ𝑎𝑥2
−𝑏𝑥+ 𝑐> 0'(½sā    Ċ
A 𝑥|𝑥> 3或𝑥< −2 
B 𝑥|𝑥> 2或𝑥< −3 
C{𝑥|−2 < 𝑥< 3 }
D{𝑥|−3 < 𝑥< 2 }
7ā2023·ŕŖŗė·#ĆĊtuś𝑥> 0ŔY%&
𝑥2−𝑚𝑥+ 16 > 0:;<Y¿K
𝑚'ħ9Ĩĩ`
ā    Ċ
A(−8,8)
B(−∞,8]
C(−∞,8)
D(8, + ∞)
8ā2023·Ĝđ·ĆćĈĉĊŧŨ(©𝑥'%&𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐< 0(𝑎≠0)ŔYìũŪZ
𝑐'ū	Y(
î-(½s(−∞,−3) ∪ (−2, + ∞)Y¿%&𝑏𝑥2 +𝑐𝑥+ 𝑎> 0'(½sā     Ċ
A −1,−1
5
B(−∞,−1) ∪−1
5 , + ∞
C 1
5 ,1
D −∞, 1
5 ∪(1, + ∞)
#7‘
9ā2024·ĂăŬŭ·ĆćĈĉĊéģ´)â+'`ā    Ċ
A%&4𝑥2−5𝑥+ 1 > 0'(½` 𝑥|𝑥> 1
4 或𝑥< 1
 
B%&2𝑥2−𝑥−6 ≤0'(½` 𝑥|𝑥≤−3
2 或𝑥≥2
 
C¾%&𝑎𝑥2 +8𝑎𝑥+ 21 < 0:;<Y¿ a 'ħ9Ĩĩ`∅
D¾© x '%&2𝑥2 +𝑝𝑥−3 < 0'(½`(𝑞,1)Y¿𝑝+ 𝑞'9s−
1
2
10ā2023·ĠijŮĤů·ĆćĈĉĊ¾\©ôÐK
 xY%&(𝑎−1)𝑥2−2(𝑎−1)𝑥−4 < 0:;<Y¿K
 a
Ê`ā     Ċ
A−2
B0
C−4
D1
11ā23-24 #Ý·ėăŰą·ĖĭĊtu© x '%&𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐> 0'(½s(−∞,−2) ∪(3, + ∞)Y¿
éģ§Nâ+'`ā    Ċ
A𝑎< 0
B%&𝑏𝑥+ 𝑐> 0'(½`{𝑥|𝑥< −6}
      
      
C𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0
D%&𝑐𝑥2−𝑏𝑥+ 𝑎< 0'(½s(−∞,−
1
3) ∪(
1
2, + ∞)
T7űŲ
12ā2023·ĠőųŴ·ĆćĈĉĊ¾™𝑝
“∃𝑥∈𝑅Y(𝑘2−1)𝑥2 +4(1−𝑘)𝑥+ 3 ≤0”`ŵ™Y¿𝑘'ħ9Ĩ
ĩ`      
.
13ā2023·Ĝđ·ĆćĈĉĊtu3
𝑦= 𝑘𝑥−𝑘>Ŷè𝑦= 𝑥2−
1
𝑥=TUŷAY¿ k 'ħ9Ĩĩ`      
.
14ā23-24 !Ý·ĠijĵĢ·ĘęĚěĊ¾©𝑥'%&0 ≤𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐≤2(𝑎> 0)'(½s
{𝑥|−1 ≤𝑥≤3 }Y¿3𝑎+ 𝑏+ 2𝑐'ħ9Ĩĩ`      

Ļ7(Ÿ
15ā23-24 !é·Ļļ;Ŧ·ĝŹĊtu3
𝑓(𝑥) = 𝑥2−2𝑎𝑥+ 3
(1)¾© x '%&𝑓(𝑥) ≥0'(½s RYCK
 a 'ħ9Ĩĩ|
(2)(© x '%&𝑓(𝑥) < 0
16ā2024·ėă·#ĆĊtu𝑓(𝑥)`#$3
YĪ𝑓(1) = 4,𝑓(0) = 1,𝑓(3) = 4
(1)C𝑓(𝑥)'(H&|
(2)¾𝑥∈[−1,5]YC3
𝑓(𝑥)'8Á9ź8¨9
17ā23-24 #Ý·Ġijđ¢·ĖNĊč m∈RY© x '%&𝑥2 +2𝑚𝑥+ 𝑚+ 2 < 0'(½s∅.
ā1ĊC m 'ħ9Ĩĩ|
ā2ĊC© x '%&𝑚𝑥2 +(𝑚−2)𝑥−2 ≥0'(½.
      
      
18ā2024·ķĸ·ĆćĈĉĊč3
𝑓(𝑥) = |2𝑥+ 1|−|2𝑥−4| 
(1)C𝑓(𝑥) > 0'(½|
(2)¾𝑓(𝑥) +4|𝑥−2| > 2𝑚2−3𝑚:;<YCK
𝑚'ħ9Ĩĩ
19ā23-24 !Ý·Ġij·ĘęĚěĊč3
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 +(1−𝑎)𝑥+ 𝑎−2.
ā1Ċ¾©𝑥'%&𝑓(𝑥) ≥−2=K
(YCK
𝑎'ħ9Ĩĩ|
ā2Ċ¾%&𝑓(𝑥) ≥−2\©K
𝑎∈[−1,1]Ŕ:;<YCK
𝑥'ħ9Ĩĩ|
ā3Ċ(©𝑥'%&
𝑓(𝑥) < 𝑎−1,(𝑎∈𝑅).