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第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
角度2：根据函数的单调性求参数
角度3：复合函数的单调性
角度4：根据函数单调性解不等式
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
角度2：根据函数最值求参数
角度3：不等式恒成立问题
角度4：不等式有解问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ；
①当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数
②当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，
区间 叫做函数 的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数 和 ，如果当 时， ，且 在区间 上和
在区间 上同时具有单调性，则复合函数 在区间 上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最大值
（2）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最小值3、常用高频结论
（1）设 ， .
①若有 或 ，则 在闭区间 上是增函数；
②若有 或 ，则 在闭区间 上是减函数.此为函数
单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设 ，两个函数 ， 在区间 上的单调性如下表，则 在 上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
（3）对钩函数单调性： （ ， ）的单调性：在 和 上单调
递增，在 和 上单调递减．
（4）常见对钩函数： （ ），的单调性：在 和 上单调递增，在
和 上单调递减．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一专题练习）下列四个函数在 是增函数的为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
对A， 二次函数开口向上，对称轴为 轴，在 是减函数，故A不对．
对B， 为一次函数， ，在 是减函数，故B不对．
对C， ，二次函数，开口向下，对称轴为 ，在 是增函数，故C不对．
对D， 为反比例类型， ，在 是增函数，故D对．
故选：D
2．（2022·贵州·高二学业考试）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由 知，函数为开口向上，对称轴为 的二次函数，则单调递增区间是 .
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分
别是( )
A． ，0 B．0，2
C． ，2 D． ，2
【答案】C
由图可得，函数 在 处取得最小值 ，在 处取得最大值 ，
故选：C
4．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）设 ，则函数 的最大值为______.
【答案】 ##0.5二次函数 是开口向下的，对称轴为 ，
∴当 时， ；
故答案为： .
5．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
【答案】36
f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0， ]上单调递减，
在( ，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ 时取得最小值，
由题意知 ＝3，∴a＝36.
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习） 的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题得二次函数的图象的对称轴为 ，因为抛物线开口向上，
所以函数的单调增区间为 .
故选：A
例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数 的单调增区间是________.
【答案】 ，
；的图像是由 的图像沿 轴向右平移 个单位，
然后沿 轴向下平移一个单位得到；
而 的单调增区间为 ， ；
的单调增区间是 ， ．
故答案为： ，
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函数 的单调递增区间是 ，依题意， ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D
例题2．（2022·湖北武汉·高一期末）已知二次函数 在区间 内是单调函数，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题知，当 或 ，即 或 时，满足题意.
故选：A
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数 的单调减区间为__________.
【答案】 ##
函数 是由函数 和 组成的复合函数，
，解得 或 ，
函数 的定义域是 或 ，因为函数 在 单调递减，在 单调递增，
而 在 上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数 的单调减区间 ．
故答案为： .
例题2．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一开学考试）函数 的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
要满足 ，解得： 或 ，又 是增函数，所以只需求出
的单调递增区间， 的对称轴为 ，且开口向上，结合函数的定义域可
得： 的单调递增区间为
故选：D
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数 在 上单调递增，且 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
在 上单调递增， ， ，解得： ，
实数 的取值范围为 .
故选：C.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 ，若 ，则实数 的取值
范围是___.
【答案】
解： 和 在 上都是单调递减，
在 上单调递减，
由 ，可得 ，解得 ，即 ．
故答案为：题型归类练
1．（2022·全国·高一）已知 在 为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
在 上单调递减，在 上单调递增，故要想在 为单调函数，需满足
，
故选：D
2．（2022·辽宁鞍山·高一期末）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
在函数 中，由 得 或 ，则 的定义域为 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又 在 上单调递增，
于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 .
故选：B
3．（2022·全国·高一）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
【答案】D
因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，
所以 ，得 ，
所以实数m的取值范围是(－∞，1)，
故选：D
4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（文））函数 的减区间是____________．
【答案】 （或 ，两个任写一个都对）
因为函数 的开口向上，对称轴为 ，
由二次函数的性质可知，函数 的减区间是 （或 ）.
故答案为： （或 ）.5．（2022·广东揭阳·高一期末）已知函数 在区间 是单调递增函数，则实数 的取
值范围是______．
【答案】
函数 的对称轴是 ，开口向上，
若函数 在区间 是单调递增函数，
则 ，
故答案为： ．
6．（2022·全国·高一）已知函数 ，则 的单调递增区间为______.
【答案】
，
解得 .
函数 的对称轴为 ，开口向下，
根据复合函数单调性同增异减可知， 的单调递增区间为 .
故答案为：
7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 ，若 则实数 的取值
范围是____．
【答案】
由题意可知，函数 在 上单调递增，
则 ，
即 且 ，即 且 ，
解得 且 或 ，即
故答案为： .
8．（2022·湖南·高一课时练习）求函数 的单调递增区间．
【答案】当 时，是增函数，当 时，减函数.
首先考虑定义域： ，所以 ，
由于 是减函数；
是开口向上的二次函数，对称轴为x=-2，当 时是减函数， 时是增函数，
根据复合函数同增异减的性质，当 时， 是增函数，
当 时， 是减函数；
故答案为：当 时，是增函数，当 时，减函数.
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）设函数 ，则 ( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
【答案】D
由题意可知函数单调递增，但定义域为 ，取不到最大值，也没有最小值；
故选：D
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 在区间 上的最小值为__________．
【答案】
∵函数
∴函数 在区间 上为单调增函数
∴当 时，函数 取得最小值，为 .
故答案为： .
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 在区间 上的最大值是 ,最小值
是 ,则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
由题意可知抛物线得对称轴为 ,开口向上,
在对称轴的左侧, 对称轴的左侧图象为单调递减, 在对称轴左侧 时有最大值 ,
上有最大值 ,最小值 ,当 时, ,
的取值范围必须大于或等于 , 抛物线得图象关于 对称, ,所以 .故选：A.
例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）若函数 在区间 上的最大值为 ，
则实数 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
函数 ，即 ， ，
当 时， 不成立；
当 ，即 时， 在 递减，可得 为最大值，
即 ，解得 成立；
当 ，即 时， 在 递增，可得 为最大值，
即 ，解得 不成立；
综上可得 ．
故选：
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）设函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，则实数
的取值范围为______．
【答案】
由 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 ，
故答案为：
例题2．（2022·四川凉山·高一期末（理））已知函数 ．(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) 或 (2)
(1)解：当 时， ， 即 ， ，
所以： 或
(2)①当 时， 恒成立，
②当 时， 恒成立， ，即 ，
综上所述：a的取值范围为： ．
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））写出一个使命题“ ， ”成立的充分
不必要条件______（用 的值或范围作答）．
【答案】 （答案不唯一）
当 时，易知 ，又 ，
，
显然 ，故 是命题“ ， ”成立的充分不必要条件.
故答案为： （答案不唯一）.
例题2．（2022·福建泉州·高一期末）已知函数 在 上的最大值为3，最小值为
．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1) 的开口向上，对称轴为 ，
所以在区间 上有： ，
即 ，
所以 .(2)依题意 ，使得 ，
即 ，
由于 ， ，
当且仅当 时等号成立.
所以 .
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习） 在 上的最小值为______．
【答案】0
解: 根据题意 在 上为增函数，
则 在 上的最小值为 ．
故答案为：0.
2．（2022·安徽蚌埠·高一期末）若函数 在定义域 上的值域为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 的对称轴为 ，且
所以若函数 在定义域 上的值域为 ，则
故选：A
3．（2022·四川南充·高一期末）函数 在 上的最大值为1，则 的值为___________.
【答案】
解：因为 是由 向右平移 个单位得到，即 在 上单调
递减，所以 在 上单调递减，所以 ，解得 ；
故答案为：
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则实
数 的取值范围是___________.
【答案】
对任意 ， 恒成立，等价于 在 上恒成立，
令 ，
则其在 上的最小值为 ，所以 ，得 .
故答案为：
5．（2022·广东·信宜市第二中学高一开学考试）已知 .
(1)用定义证明 在区间 上是增函数；
(2)求该函数在区间 上的最大值.
【答案】(1)见解析(2)
(1)证明：任取 ， ， ，且 ，
则 ．
， ，而 ， ，
，即 ，
在区间 ， 上是增函数；
(2)解：由(1)知， 在区间 ， 上是单调增函数，
．
6．（2022·全国·高一专题练习）求函数 ， 的最大值与最小值.
【答案】最大值 ，最小值
函数 ，根据对勾函数的性质可得： 在 上单调递减， 上单调递增.
当 时取到最小值 .
又当 时， ，当 时，
所以当 时取到最大值 ，
所以函数 的最大值 ，最小值
7．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）已知函数 ．
（1）试判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明；（2）对任意 时， 都成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）在 上单调递减，证明见解析；（2） .
（1）函数 在区间 上单调递减，以下证明：设 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 在区间 上单调递减；
（2）由（2）可知 在 上单调减函数，
∴当 时， 取得最小值，即 ，
对任意 时， 都成立，只需 成立，
∴ ，解得： ．
8．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ， ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)解：设 ，则 ，可得 ，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
且当 时，可得 ，适合上式，
所以函数 的解析式为 .
(2)解：由 时， ，又由 ，即 ，可得 ，
因为 ， ，即 在区间 有解，
又因为 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，即 的最大值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围 .
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函
数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
