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第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................4
第三部分：高频考点一遍过............................................5
高频考点一：函数的单调性.........................................5
角度1：求函数的单调区间.......................................5
角度2：根据函数的单调性求参数.................................5
角度3：复合函数的单调性.......................................7
角度4：根据函数单调性解不等式.................................7
高频考点二：函数的最大（小）值...................................9
角度1：利用函数单调性求最值...................................9
角度2：根据函数最值求参数....................................10
角度3：不等式恒成立问题......................................11
角度4：不等式有解问题........................................12
第四部分：高考新题型............................................13
①开放性试题.................................................13
第五部分：数学思想方法..........................................13
①函数与方程的思想...........................................13
②数形结合的思想.............................................14
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ；
①当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数
②当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调
性，区间 叫做函数 的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数 和 ，如果当 时， ，且 在区间 上和
在区间 上同时具有单调性，则复合函数 在区间 上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最大值
（2）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最小值3、常用高频结论
（1）设 ， .
①若有 或 ，则 在闭区间 上是增函数；
②若有 或 ，则 在闭区间 上是减函数.此为函数
单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设 ，两个函数 ， 在区间 上的单调性如下表，则 在 上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
（3）对钩函数单调性： （ ， ）的单调性：在 和 上单调
递增，在 和 上单调递减．
（4）常见对钩函数： （ ），的单调性：在 和 上单调递增，在
和 上单调递减．第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函
数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2023春·高一校考开学考试）函数 的单增区间为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数 ，则 的单调递增区
间为__________.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是_________ ；单调递减
区间是_________．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数 的增区间为______.
3．（2023·高一课时练习）函数 的单调减区间是______．
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，则实
数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知 ，若函数
在区间 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（多选）（2023秋·福建龙岩·高一统考期末）若二次函数 在区间 上
是增函数，则 可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例题4．（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）已知函数 是定义在
上的增函数，则实数 的取值范围是______．
练透核心考点
1．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若函数 在 上单调递增,则a的
取值范围是( )
A． B． C． D．
2．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）已知 为增函
数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·高一课时练习）若 是 上的严格减函数，则实数 的取值范围为______．
4．（2023·高一课时练习）已知函数 ， 是严格减函数，则实数 的取值范围
是______．角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·高三课时练习）已知 在 上是严格减函数，则实数 的取值范围是
______.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调减区间为__________．
练透核心考点
1．（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数 的单调递减区间是
____________.
2．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）函数 的单调递增区间是____________．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，若函数 在 上是减函数，则 的
取值范围是__________
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数
，则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上为增函数，且 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）已知函数 ，则不等式的解集为（ ）．
A． B． 或
C． D．
例题4．（2023秋·山西大同·高一大同一中校考期末）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）若函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）定义在 的函数 满足：对 ，
，且 ， 成立，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数 在定义域 上是减函
数，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是__________.
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题例题1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数 ，则 在 上的最大值为
（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
例题2．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）函数 （ ）的值域是
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 在区间 上的最大值为
________．
例题4．（2023·高一单元测试）函数 的最大值为____________
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝ 在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2．（2023·高一课时练习）函数 在区间 上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高一课时练习）已知函数 ， ，则此函数的值域是____.
4．（2023·高一课时练习）若函数 （ ）的最大值为 ，最小值为 .则
______.
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数
的取值范围为（ ）A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设 ，函数 ，若 的最小值为
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·高三课时练习）已知函数 有最小值，则实数 的取值范围是
______.
例题4．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数
_______.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在定义域 上的值域为 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2023·高一课时练习）已知 在区间 上的最小值为 ，则 可能的取
值为（ ）
A． B．3 C． D．1
3．（2023秋·浙江杭州·高二统考期末）写出使不等式 恒成立的一个实数 的值
__________．
4．（2023秋·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数 在 上的最小值为 ，最大值
是3，则 的最大值为__________.
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）设函函 ，若 对任意的实数 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知函数 的定义域为 ，则实数
的取值范围是____________．
例题4．（2023·高一课时练习）设函数 ，已知不等式 的解集为 或 .
(1)求 和 的值；
(2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）对 ，不等式 恒成立，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 对任意 有 恒成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·高一课时练习）设k为实数，已知关于x的函数
(1)若对于 x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范围；
(2)若对于 m≥1， x∈[1，4]，满足y≤m成立，求k的取值范围．
∀
∀ ∃角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）已知函数 ，
，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·高一课时练习）命题 ： ， 成立的充要条件是__________．
例题3．（2023·江苏·高一专题练习）（1）关于 的不等式的 有解，求 的取值范围.
（2）若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的范围.
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知 ， （ 且 ），若对任意
的 ，都存在 ，使得 成立，则实数a的取值范围是_____________．
2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）设 ，若存在唯一的m使得关于x的
不等式组 有解，则a的取值范围是______.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 .
（1）不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式 有解，求实数a的取值范围.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）若函数 满足：（1）对于任意实数 ，当 时，
都有 ；（2） ，则 __________.（写出满足这些条件的一个函
数即可）2．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）请写出同时满足下列两个条件的函数 ___________.
（1） 在定义域内单调递增，（2）
3．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）的函数 ：
________.
（1） ；（2） 在 上是增函数.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知两个条件：① ；② 在 上单
调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023秋·江苏连云港·高一统考期末）若命题“ ， ”是真命题，则实数 的取
值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知命题 是假命题，则实数 的取值范围
是___________.
3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则
实数 的取值范围是___________.
②数形结合的思想
1．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）对于实数 ， ，定义符号 ：当 时，
；当 时， ．函数 的最小值为___．
2．（2023·山东聊城·高一校考阶段练习） 表示 ， 两者中较大的一个．记
， ， ，则 的最小值为____________．
3．（2023秋·天津·高一统考期末）已知函数(1)求 ， 的值；
(2)若 ，求实数 的值；
(3)直接写出 的单调区间．
4．（2023·高三课时练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间，并指出其增减性；
(2)设集合 { 使方程 有四个不相等的实根}，求 .
5．（2023·高一课时练习）已知函数 .
(1)求函数的零点．
(2)画出函数 的图象；(3)写出函数 的单调递增区间；
(4)若 ，求实数 的值．
