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第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................5
高频考点一：函数的单调性.........................................5
角度1：求函数的单调区间.......................................5
角度2：根据函数的单调性求参数.................................7
角度3：复合函数的单调性......................................11
角度4：根据函数单调性解不等式................................13
高频考点二：函数的最大（小）值..................................16
角度1：利用函数单调性求最值..................................16
角度2：根据函数最值求参数....................................18
角度3：不等式恒成立问题......................................21
角度4：不等式有解问题........................................25
第四部分：高考新题型............................................28
①开放性试题.................................................28
第五部分：数学思想方法..........................................29
①函数与方程的思想...........................................29
②数形结合的思想.............................................30
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ；
①当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数
②当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调
性，区间 叫做函数 的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数 和 ，如果当 时， ，且 在区间 上和
在区间 上同时具有单调性，则复合函数 在区间 上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最大值
（2）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最小值3、常用高频结论
（1）设 ， .
①若有 或 ，则 在闭区间 上是增函数；
②若有 或 ，则 在闭区间 上是减函数.此为函数
单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设 ，两个函数 ， 在区间 上的单调性如下表，则 在 上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
（3）对钩函数单调性： （ ， ）的单调性：在 和 上单调
递增，在 和 上单调递减．
（4）常见对钩函数： （ ），的单调性：在 和 上单调递增，在
和 上单调递减．
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）函数 的图像为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
2．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函
数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2023春·高一校考开学考试）函数 的单增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 .
因为 ， ，所以 的增区间是 ．
故选：D
例题2．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数 ，则 的单调递增区
间为__________.
【答案】
【详解】当 时， 单调递减；
当 时， ，在 上单调递增，在 单调递减；
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是_________ ；单调递减
区间是_________．
【答案】 ， ，
【详解】作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，
观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在 和 上单调递增，在 和 上单调递
减，
所以原函数的单调增区间是 ， ，单调递减区间是 ， .
故答案为： ， ； ，
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，开口向下，对称轴为 ，故其递增区间是 ；
当 时， ，开口向上，对称轴为 ，在 时， 单调递减，综上：
的单调递增区间是 .
故选：A.2．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数 的增区间为______.
【答案】
【详解】任取 ，
，
因为 ， ，
当 时， ， ，
此时 ， ， 为增函数，
所以函数 的增区间为 .
故答案为：
3．（2023·高一课时练习）函数 的单调减区间是______．
【答案】
【详解】因为函数 可化为 ，
当 时，函数 单调递减；
当 时，函数 单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为： .
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】根据题意，函数 在 时为单调递增，即 ，解得 ；
易知，二次函数 是开口向上且关于 对称的抛物线，所以 为单调递增；
若满足函数 在 上单调递增，
则分段端点处的函数值需满足 ，如下图所示：
所以 ，解得 ；
综上可得 .
故选：A
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知 ，若函数
在区间 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ，
所以 ，
所以 在 上递减，
因为函数 在区间 上为减函数，
所以 ，得 ，
故选：A
例题3．（多选）（2023秋·福建龙岩·高一统考期末）若二次函数 在区间 上
是增函数，则 可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2【答案】AB
【详解】二次函数 对称轴为 ，
因为二次函数 在区间 上是增函数，
所以 ，解得 .
故选：AB.
例题4．（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）已知函数 是定义在
上的增函数，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为函数 是定义在 上的增函数，
所以 ，解得 .
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若函数 在 上单调递增,则a的
取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时，则 ，在 上单调递增，满足题意；
当 时， 的对称轴为 ，
要使函数 在 上单调递增，只需 ，解得
综上，a的取值范围是
故选：D
2．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）已知 为增函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 为增函数，
故 ，解得 .
故选： .
3．（2023·高一课时练习）若 是 上的严格减函数，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【详解】因为函数 是 上的严格减函数，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
4．（2023·高一课时练习）已知函数 ， 是严格减函数，则实数 的取值范围
是______．
【答案】
【详解】当 时，函数为 在区间 上为增函数，不合题意；
当 时，要使函数 ， 是严格减函数，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，函数有意义，则有 ，得 或 ，
设 ，则当 时，u关于x单调递减，当 时，u关于x单调递增，
又因为函数 在定义域内单调递增，由复合函数单调性知可知 的单调递减区间为 ．
故选：A
例题2．（2023·高三课时练习）已知 在 上是严格减函数，则实数 的取值范围是
______.
【答案】
【详解】已知 在 上是严格减函数，
由 ，函数 在 上是严格减函数，所以函数 在定义域内是严格增函数，则有
，
又函数 在 上最小值 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调减区间为__________．
【答案】 ##
【详解】解：函数 的定义域为 ，令 ， ， ，
因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递
增，
所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数 的单调递减区间是
____________.
【答案】
【详解】令 ，解得 ，
则 的定义域为 ，
记 ，由于 的对称轴为 ，
故其在 上单调递减，而 在定义域内单调递增，
由复合函数单调性的原则可知： 在 单调递减，
故答案为： .
2．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）函数 的单调递增区间是____________．
【答案】 ##
【详解】 ， 或 ，
是增函数， 在 上递减，在 上递增，
所以 的增区间是 ．
故答案为： ．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，若函数 在 上是减函数，则 的
取值范围是__________
【答案】【详解】令 ，
当 时，因为函数 在 上是减函数，
所以函数 在 上是减函数，且 成立，
则 ，无解，
当 时，因为函数 在 上是减函数，
所以函数 在 上是增函数，且 成立，
则 ，解得 ，
综上：实数 的取值范围是
故答案为：
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数
，则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】画出 的图象，如下：显然要满足 ，则要 ，且 ，
解得： .
故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上为增函数，且 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 在 上为增函数，且 ，
∴ ，解得 ，
故选：A．
例题3．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）．
A． B． 或
C． D．
【答案】D
【详解】函数 中，
在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，
则函数 在定义域 上单调递减，
，
，解得： ，
即不等式 的解集为 .
故选：D.
例题4．（2023秋·山西大同·高一大同一中校考期末）已知函数 ，若，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对 ，且定义域为 ，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增，
故 ，等价于 ，
由 ，即 ， ，解得 ；
由 ，即 ，解得 ；
故实数 的取值范围为 .
故选：C.
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）若函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 在 上单调递增， ， ，解得： ，
实数 的取值范围为 .
故选：C.
2．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）定义在 的函数 满足：对 ，
，且 ， 成立，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 且 ， ，
则两边同时除以 可得 ，
令 ，则 在 单调递增，由 得 且 ，
即 解得 ，
故选：D.
3．（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数 在定义域 上是减函
数，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 在定义域 上是减函数，且 ，
则有
解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：A．
4．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是__________.
【答案】
【详解】函数 的定义域为 .
因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，
又 ，所以不等式 的解集为 .
故答案为：
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数 ，则 在 上的最大值为
（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
【答案】A【详解】函数 的对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减，
.
故选：A.
例题2．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）函数 （ ）的值域是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数 的对称轴为 ，
故函数 在 上单调递增，
又 ， ，
所以函数 （ ）的值域是
故选：A.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 在区间 上的最大值为
________．
【答案】3
【详解】 与y=－log (x＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f(x)＝ －log (x＋2) 在区间[-1，
2 2
1]上的减函数，∴最大值为：f（-1）=3
故答案为3．
例题4．（2023·高一单元测试）函数 的最大值为____________
【答案】5
【详解】化简函数 在 上递减，所以当 时，最大值为5.
故答案为：5
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝ 在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．C． D．－
【答案】B
【详解】y＝ 在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为 ，
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）函数 在区间 上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，则问题转化为求函数 在区间 上的最大值．根据对勾函数的性质，
得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以
．
故选：B
3．（2023·高一课时练习）已知函数 ， ，则此函数的值域是____.
【答案】
【详解】因为函数 在区间 上为减函数，当 时， ，即 .
因此，函数 ， 的值域为 .
故答案为： .
4．（2023·高一课时练习）若函数 （ ）的最大值为 ，最小值为 .则
______.
【答案】1
【详解】因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，所以 ，
故答案为：1
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 的值域为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设 ，函数 ，若 的最小值为
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，
当且仅当 时，等号成立；
即当 时，函数 的最小值为 ，
当 时， ，
要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
例题3．（2023·高三课时练习）已知函数 有最小值，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【详解】解：由题意，
在 中，
∵函数有最小值，
∴函数应在 上单调递减，在 上单调递增或常函数，
∴ ，解得： ，
∴ 有最小值时，实数a的取值范围是 .
故答案为： .
例题4．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数
_______.
【答案】3
【详解】∵函数 ，
由复合函数的单调性知，
当 时， 在 上单调递减，最大值为 ；
当 时， 在 上单调递增，最大值为 ，
即 ，显然 不合题意，
故实数 .
故答案为：3
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在定义域 上的值域为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 的对称轴为 ，且
所以若函数 在定义域 上的值域为 ，则
故选：A
2．（多选）（2023·高一课时练习）已知 在区间 上的最小值为 ，则 可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】BC
【详解】解：因为函数 ，函数的对称轴为 ，开口向上，
又 在区间 上的最小值为 ，
所以当 时， ，解得 （舍去）或 ；
当 ，即 时， ，解得 （舍去）或 ；
当 ，即 时， ．
综上， 的取值集合为 ．
故选：BC．
3．（2023秋·浙江杭州·高二统考期末）写出使不等式 恒成立的一个实数 的值
__________．
【答案】不少于 的任意一个实数
【详解】解:因为 恒成立,
所以 ,即只需 ,
因为 ,所以 ,
故只需 即可.
故答案为: 不少于 的任意一个实数
4．（2023秋·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数 在 上的最小值为 ，最大值
是3，则 的最大值为__________.
【答案】
【详解】解：函数 的图象如下，当 时，令 ，得 舍 ， ，
当 时，令 ，得 ， 舍 ，
结合图象可得
故答案为：
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）设函函 ，若 对任意的实数 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 tx对任意的实数x 1恒成立，所以x2﹣2x+2 tx对任意的实数x 1恒成立，
等价于 在 上恒成立，
由对勾函数的性质可知 在 处取最小值为 ，所以 ，
所以实数t的取值范围是 ．
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】当 时，由 恒成立可得，
恒成立，
令 ，
，
当 ，即当 时，
取得最小值为 ，
因为 恒成立，所以 ，即 .
故选:B．
例题3．（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知函数 的定义域为 ，则实数
的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由题意得： 恒成立，
当 时， ，解得： ，定义域为不是R，舍去；
当 时，要满足 ，解得： ，
综上：实数a的取值范围是 .
故答案为： .
例题4．（2023·高一课时练习）设函数 ，已知不等式 的解集为 或 .
(1)求 和 的值；
(2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .【详解】（1）有题意 得是关于 的方程 的两个根，
所以 解出 ，故 ；
（2）方法一：二次函数实根分布法：
由（1）可知 对任意的 恒成立.
可化简为 对任意的 恒成立.
① ，解得： ；
② ，解得 ；
综上： 的取值范围是 .
方法二：分离参数法
由（1）得 ，则 对任意 恒成立，
即 ，对任意 恒成立.
又 （当且仅当 时等号成立），
所以 ，
所以c的取值范围 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）对 ，不等式 恒成立，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】不等式 对一切 恒成立，
当 ，即 时， 恒成立，满足题意；
当 时，要使不等式恒成立，
需 ，即有 ，
解得 .
综上可得， 的取值范围为 .
故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 对任意 有 恒成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，函数 对任意 有
（1）当 时， 成立；
（2）当 时，函数为二次函数，若满足对任意 有 ，则
综上：
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得： 在 上恒成立.
即 时， 恒成立，符合题意，
时，只需 ，
解得： ，
综上： ，
故选：C.
4．（2023·高一课时练习）设k为实数，已知关于x的函数
(1)若对于 x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范围；
(2)若对于 m≥1， x∈[1，4]，满足y≤m成立，求k的取值范围．
∀
【答案】(∀1) ∃；
(2) .
【详解】（1）当 时， 恒成立，符合题意；当 时，要想 对于 x∈R恒成立，只需满足下列条件：
∀
，
综上所述：k的取值范围为 ；
（2）当 时， ，显然对于 m≥1， x∈[1，4]，满足y≤m成立，符合题意；
∀ ∃
当 时，二次函数 的对称轴为： ，且开口向上，
当x∈[1，4]时，函数单调递增，所以 ，
因此要想对于 m≥1， x∈[1，4]，满足y≤m成立，
只需 ，即 ；
∀ ∃
当 时，二次函数 的对称轴为： ，且开口向下，
当x∈[1，4]时，函数单调递减，所以 ，
因此要想对于 m≥1， x∈[1，4]，满足y≤m成立，
∀ ∃
只需 ，即 ，
综上所述：k的取值范围为 .
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）已知函数 ，
，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】若 ， ，使得 ，
故只需 ，
其中 在 上单调递减，故 ，
在 上单调递增，故 ，所以 ，解得： ，
实数 的取值范围是 .
故选：C
例题2．（2023·高一课时练习）命题 ： ， 成立的充要条件是__________．
【答案】
【详解】 在 有解，因为 ，
所以 ，
故命题p成立的充要条件是 ．
故答案为：
例题3．（2023·江苏·高一专题练习）（1）关于 的不等式的 有解，求 的取值范围.
（2）若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的范围.
【答案】(1) ；(2) .
【详解】(1)不等式的 化为： ，而 ，于是得 ，即 时，
取最大值2，
关于 的不等式的 有解，即存在实数x使不等式 成立，则 ，
所以 的取值范围是 ；
(2)不等式 等价于 ，令 ，
于是有 恒成立，而 是一次型函数，因此得： ，
即有 ，解 得 或 ，解 得
，
综合得 ，
所以 的范围是 .练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知 ， （ 且 ），若对任意
的 ，都存在 ，使得 成立，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】当 时， ，则 ，
因为对任意的 ，都存在 ，使得 成立，
因此函数 在 上的最大值小于函数 在 上的最大值，
而当 时， ， ，不符合题意，
于是 ，函数 在 上单调递增，则 ，即 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）设 ，若存在唯一的m使得关于x的
不等式组 有解，则a的取值范围是______.
【答案】
【详解】依题意， ，由不等式 有解知， ，而 ，因此 ，
因存在唯一的m使得关于x的不等式组 有解，
则当且仅当 时，不等式组 有解，且当 时不等式组 无解，
由 有解得 有解，于是得 ，解得 ，
由 无解得 无解，于是得 ，解得 ，因此 ，
所以a的取值范围是 .
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 .
（1）不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式 有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】令 ，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
（1）因 在 恒成立，于是得 ，
所以实数a的取值范围是 ；
（2）因不等式 在 有解，于是得 ，
所以实数a的取值范围是 .
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）若函数 满足：（1）对于任意实数 ，当 时，
都有 ；（2） ，则 __________.（写出满足这些条件的一个函
数即可）
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由条件（1）对于任意实数 ，当 时，都有 ，可得函数 在
上单调递增，
条件（2）符合指数幂的运算性质： ，（ 且 ），
故可选一个单调递增的指数函数： ．
故答案为： （答案不唯一）．
2．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）请写出同时满足下列两个条件的函数 ___________.
（1） 在定义域内单调递增，（2）
【答案】 (答案不唯一例： )
【详解】因为函数 的定义域为R，函数在R上单调递增，
又 ， ，
所以 ，
所以函数 满足题意.
故答案为； .
3．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）的函数 ：
________.（1） ；（2） 在 上是增函数.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】根据（1）（2）可得， 为偶函数，且在 单调递增，
故满足题意的 不唯一，可以是 ；
故答案为： .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知两个条件：① ；② 在 上单
调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.
【答案】
【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是： ，
故答案为： .
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023秋·江苏连云港·高一统考期末）若命题“ ， ”是真命题，则实数 的取
值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由“ ， ”是真命题可知，
不等式 恒成立，因此只需
易知函数 在 上的最小值为1，所以 .
即实数m的取值范围是 .
故选：B
2．（2023秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知命题 是假命题，则实数 的取值范围
是___________.
【答案】【详解】命题 是假命题，
即命题 ， 是真命题，
也即 在 上恒成立，
令 ，
因为 ，所以当 时函数取最小值，
即 ，所以 ，
故答案为： .
3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则
实数 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】对任意 ， 恒成立，
等价于 在 上恒成立，
令 ，
则其在 上的最小值为 ，所以 ，得 .
故答案为：
②数形结合的思想
1．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）对于实数 ， ，定义符号 ：当 时，
；当 时， ．函数 的最小值为___．
【答案】2
【详解】由题意可知 ，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得：当 时， ．
故答案为：2．2．（2023·山东聊城·高一校考阶段练习） 表示 ， 两者中较大的一个．记
， ， ，则 的最小值为____________．
【答案】
【详解】解：如图，作出函数 ， 图像，
所以，图像实线图像即为函数 的图像，
由图可知，当 时， 有最小值
所以， 的最小值为
故答案为：
3．（2023秋·天津·高一统考期末）已知函数
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，求实数 的值；
(3)直接写出 的单调区间．
【答案】(1) ；
(2)
(3)单调递增区间 ，单调递减区间 ，
【详解】（1）根据分段函数解析式可得 ，
易知 ；所以
即 .
（2）①当 时， ，
解得 ，或 （舍）.
②当 时， ，解得 （舍）.
综上可得 .
即实数a的值为（3）画出函数图象如下所示：
所以，单调递增区间 ，单调递减区间 ，
4．（2023·高三课时练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间，并指出其增减性；
(2)设集合 { 使方程 有四个不相等的实根}，求 .
【答案】(1) 的严格增区间为 和 ，严格减区间为 和
(2)
【详解】（1）由 得 ,由 得 ,
所以 作出 的图象如图所示.
由图象可知， 的严格增区间为 和 ，严格减区间为 和 .
（2）方程 有四个不相等的实根等价于函数 的图象与直线 有四个不同的交点，易知
f(2)=1,由图知 ，所以 .
5．（2023·高一课时练习）已知函数 .
(1)求函数的零点．
(2)画出函数 的图象；(3)写出函数 的单调递增区间；
(4)若 ，求实数 的值．
【答案】(1)2和8
(2)图象见解析
(3)函数 的单调递增区间为 和
(4) 或
【详解】（1）解：当 时， ，解得 或 （舍），此时函数的零点为2；
当 时， ，解得 ，此时函数零点为8；
综上，函数的零点为2和8.
（2）解：函数图象如下：
（3）解：由（2）中图象可得，函数 的单调递增区间为 和 .
（4）解：当 时， ，即 ，解得 或 （舍）；
当 时， ，解得 ；综上， 或 .
