38.平面向量一轮备考策略研究
一．基础款，送分题
例1．（2023 年新高考1 卷高考真题）已知向量
，若
1,1 ,
1, 1
a
b
a
b
a
b
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
1
1
1
1
解析：因为
，所以
，
，
1,1 ,
1, 1
a
b
1
,1
a
b
1
,1
a
b
由
可得，
，即
，整
a
b
a
b
0
a
b
a
b
1
1
1
1
0
理得：
．故选：D．
1
例2．（2023 年新高考2 卷高考真题）已知向量
，
满足
，
，
a
b
3
a
b
2
a
b
a
b
则
__________．
b
解析：设
，则
，由题意可得：
c
a
b
r
r
r
3,
2 ,2
2
c
a
b
c
b
a
b
c
b
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，则
，整理得：
，即
.
2
2
2
2
c
b
c
b
r
r
r
r
2
2
2
2
4
4
4
4
c
c b
b
c
c b
b
r
r r
r
r
r r
r
2
2
c
b
r
r
3
b
c
r
r
故答案为：
.
3
例3．（2023 年甲卷高考真题）已知向量
满足
，且
，则
, ,
a b c
1,
2
a
b
c
0
a
b
c
（ ）
cos
,
a
c b
c
A．
B．
C．
D．
4
5
2
5
2
5
4
5
解析：因为
,所以
,即
,即
,所以
0
a
b
c
a
b
c
+
= -
2
2
2
2
a
b
a b
c
1 1
2
2
a b
r
r
.设
,由题知,
是等腰直角三角
0
a b
,
,
OA
a OB
b OC
c
1,
2,
OA
OB
OC
OAB
A
形,AB 边上的高
,所以
,
2
2
,
2
2
OD
AD
2
3 2
2
2
2
CD
CO
OD
,
1
3
tan
,cos
3
10
AD
ACD
ACD
CD
.故选:D.
2
cos
,
cos
cos2
2cos
1
a
c b
c
ACB
ACD
ACD
2
3
4
2
1
5
10
例4．(2022 新高考全国2 卷)已知向量
，若
(3,4),
(1,0),
t
a
b
c
a
b
,
,
a c
b c
，
则
( )
t
A．
B．
C．5
D．6
6
5
解析：
,
,即
,解得
． 故选C．
3
,4
c
t
cos ,
cos ,
a c
b c
9
3
16
3
5
t
t
c
c
5
t
例5．(2022 新高考全国1 卷)在
中，点D 在边AB 上，
．记
ABC
A
2
BD
DA
，
CA
m CD
n
，
则
( )
CB
A．
B．
C．
D．
3
2
m
n
2
3
m
n
3
2
m
n
2
3
m
n
解
析
：
因
为点
D 在
边
AB 上
，
，
所
以
，
即
2
BD
DA
2
BD
DA
，
2
CD
CB
CA
CD
所以
，故选：B．
CB
3
2
3
2
CD
CA
n
m
2
3
m
n
例6．(2022 年高考全国乙卷数学(理))已知向量
满足
，则
,a b
|
| 1,|
|
3,|
2 | 3
a
b
a
b
( )
a b
A．
B．
C．1
D．2
2
1
解析：∵
，又∵
2
2
2
|
2 |
|
|
4
4
a
b
a
a b
b
|
| 1,|
|
3,|
2 | 3,
a
b
a
b
∴9
，∴
，故选：C．
1 4
4 3
13
4
a b
a b
1
a b
例7．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第13 题)设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
a
b
1
3
，
1
a
，则
_________．
3
b
r
2a
b
b
解析：设
与
的夹角为
，因为
与
的夹角的余弦值为
，即
，又
，
a
b
a
b
1
3
1
cos
3
1
a
，
所
以
，
所
以
3
b
r
1
cos
1 3
1
3
a b
a
b
．
2
2
2
2
2
2
2 1
3
11
a
b
b
a b
b
a b
b
故答案为：
．
11
二．压轴题
例8.（2023 年全国乙卷）已知
的半径为1,直线
与
相切于点
,直线
与
O
A
PA
O
A
A
PB
交于
两点,
为
的中点,若
,则
的最大值为（ ）
O
A
,
B C
D
BC
|
|
2
PO
PA PD
A.
B.
C.
D.
1
2
2
1
2 2
2
1
2
2
2
解析：（方法1）如图所示，
，则由题意可知:
，由勾股定理
1,
2
OA
OP
π
4
APO
可得
，当点
位于直线
异侧时，设
，则：
2
2
1
PA
OP
OA
,
A D
PO
=
,0
4
OPC
PA PD
=|
| |
| cos
4
PA
PD
1
2 cos
cos
4
2
2
2 cos
cos
sin
2
2
，
，则
2
cos
sin
cos
1 cos2
1 sin 2
2
2
1
2 sin 2
2
2
4
0
4
，
当
时，
有最大值.
2
4
4
4
π
π
2
4
4
PA PD
1
当点
位于直线
同侧时，设
，则：
,
A D
PO
=
,0
4
OPC
PA PD
=|
| |
| cos
4
PA
PD
1
2 cos
cos
4
2
2
2 cos
cos
sin
2
2
2
cos
sin
cos
，
，则
1 cos2
1 sin 2
2
2
1
2 sin 2
2
2
4
0
4
3
2
4
4
4
当
时，
有最大值
.综上可得，
的最大值为
.故
2
4
2
PA PD
1
2
2
PA PD
1
2
2
选：A.
（方法2：坐标法）
建立平面直角坐标系,以
为坐标原点,圆
的方程为
,与
轴切于点
P
O
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y
x
.设过点
的直线方程为
交圆
于
,中点
(1,0)
A
P
y
kx
(
0)
k
O
1
1
2
2
,
,
,
B x y
C x
y
,由
，得
,
0
0
,
D x
y
2
2
,
(
1)
(
1)
1
y
kx
x
y
(1
2
2
2(1
)
1
0
k
x
k x
由韦达定理得
,由于
，
0x
1
2
2
1
2
1
x
x
k
k
0
PA PD
x
1
2
2
1
2
1
x
x
k
k
所以
，
PA PD
2
2
1
1
1
2
1
(
1)
2(
1)
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
„
1
1
2
2
2 2
2
当且仅当
时,取等号,故选A.
2
1
k
例9．（2017 年2 卷）已知
是长为2 的等边三角形，
为平面
内一点，则
ABC
A
P
ABC
的最小值是( )
(
)
PA
PB
PC
A．
B．
C．
D．
2
3
2
4
3
1
解析：（方法1.几何法）设点
为
中点，可得
，再设
中点为
M
BC
PM
PC
PB
2
AM
，这样用极化恒等式可知：
，在等边三角形
中，
N
2
2
2
1
2
AM
PN
PM
PA
ABC
，故
取最小值当且仅当
取最小，即
，
3
AM
PM
PA
2
3
2
2
PN
PM
PA
0
|
|
PN
故
.（公众号：凌晨讲数学）
2
3
)
(
min
PM
PA
（方法2.坐标法）以
中点为坐标原点，由于
，
，
．
BC
0
3
A
，
1
0
B ，
1
0
C
，
设
，
，
，
，
P x
y
，
3
PA
x
y
，
1
PB
x
y
，
1
PC
x
y
，
故
，
则其最小值为
2
2
2
2 2
2
PA
PB
PC
x
y
y
2
2
3
3
2
2
4
x
y
3
3
2
4
2
，此时
，
．
0
x
3
2
y
例10.（2017 年3 卷）在矩形
中，
，点
在以
为圆心且与
ABCD
2
,1
AD
AB
P
C
BD
相切的圆上，若
，求
的最大值.
AD
AB
AP
解析：（方法1：等和线） 如图，由等和线性质可知，
，显然，当
的平
|
|
|
|
AE
AP
BD
行线与圆在最上方相切时，
取最大，显然此时，直线
的方程为
l
BD
0
2
2
y
x
，故可取
为点
到直线
的距离
.由于
的平行线与圆
|
| AE
)
0,0
(
A
BD
5
2
|
|
AE
BD
l
相切，故可得的方程为
，那么取
为点
5
4
)1
(
)
2
(
2
2
y
x
l
0
6
2
y
x
|
| AP
)
0,0
(
A
到直线的距离
.这样就可得到
.
l
5
6
|
|
AE
3
|
|
|
|
)
(
max
AE
AP
（方法2：坐标法）设
,易得圆的半径
，即圆
0,1 ,
0,0 ,
2,0 ,
2,1 ,
,
A
B
C
D
P x y
2
5
r
C 的方程是
，
，若满足题意
2
2
4
2
5
x
y
,
1 ,
0, 1 ,
2,0
AP
x y
AB
AD
则
，
，所以
，设
，即
2
1
x
y
,
1
2
x
y
1
2
x
y
1
2
x
z
y
1
0
2
x
y
z
，点
在圆
上，所以圆心
到直线
的距离
，即
,
P x y
2
2
4
2
5
x
y
(2,0)
1
0
2
x
y
z
d
r
，解得
，则
的最大值是3.
2
2
1
5
1
4
z
1
3
z
感悟.在处理平面向量范围问题时，坐标法是通性通法，这一点需要注意，尽管我们在此
处给了相关问题的实质背景，但是，不可否认坐标法的使用范围更为广阔！
三.平面向量的四大进阶教程
3.1 等和线定理
1.（三点共线向量结论）若
三点共线，则
当且仅当
B
P
A
,
,
OB
OA
OP
1
.
2.等和线定理
进一步，如图所示，若
，
OP
k
OP
n
m
OB
n
m
n
OA
n
m
m
n
m
OB
n
OA
m
OQ
)
(
)
)(
(
由于点
在直线
上的任意性可知，点
所动成的直线
平行于直线
，且直线
P
AB
Q
CD
AB
上任意一点都满足
，故称直线
为等和线.
CD
k
OP
OQ
|
|
|
|
CD
此时
相似于
，因此，我们就可以取特殊情形，即过三点
的直线分别
OAB
OCD
OPQ
垂直于
，
时，计算
.
AB
CD
k
除此，上述推导还告诉我们：对于不共线向量
,若
，则
,
OA OB
OB
OA
OP
（1）点
在直线
外侧（不含点
一侧）的充要条件是
．
P
AB
O
1
（2）点
在直线
内侧（含点
一侧）的充要条件是
.
P
AB
O
1
3.2 极化恒等式
人教版必修二第22 页练习3 设置了这样的问题：求证：
.若我
2
2
)
(
)
(
4
b
a
b
a
b
a
们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.
下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.
证明：由于
，
两式相减可得：
b
a
b
a
b
a
2
)
(
2
2
2
b
a
b
a
b
a
2
)
(
2
2
2
.
2
2
)
(
)
(
4
b
a
b
a
b
a
特别，在
中，设
，点
为
中点，再由三角形中线向量公式可
ABC
AC
b
AB
a
,
M
BC
得：
(极化恒等式).
2
2
4
1
BC
AM
AC
AB
3.3 投影法计算数量积
结论：如图1，
，特别地，若点
在线段
|
|
|
|
|
|
cos
|
|
OB
OD
OB
AOB
OA
OB
OA
A
的中垂线上时，
.
OB
2|
|
2
1
OB
OB
OA
如图1
如图2
进一步，外心性质：如图2，
为
的外心，可以证明：
O
ABC
（1）.
；
，同理可得
等.
2|
|
2
1
AB
AB
AO
2|
|
2
1
AC
AC
AO
BC
BO
（2）.
，同理可得
等.
)
|
|
|
(|
4
1
2
2
AC
AB
AF
AO
BF
BO
（3）.
，同理可得
等.
)
|
|
|
(|
2
1
2
2
AB
AC
BC
AO
AC
BO
证明:
AO BC
AD BC
2
2
2
2
1
1
1
(
)(
)
.
2
2
2
AB
AC
AC
AB
AC
AB
n
m
例11.已知
是
的外心，
，
，则
（ ）
O
ABC
A
4
AB =
uuur
2
AC
AO
AB
AC
A．10
B．9
C．8
D．6
解析：如图，O 为
的外心，设
为
的中点，则
,
ABC
A
,
D E
,
AB AC
,
OD
AB OE
AC
故
AO
AB
AC
AO AB
AO AC
|
|
|
| cos
|
|
| co
|
s
AO
AB
AO
AC
OAD
OAE
,故选：A
|
|
|
|
|
|
|
|
AD
AB
AE
AC
2
2
2
2
1
1
1
|
|
4
1 |
|
2
2
2
2
2
10
AB
AC
例12．在边长为4 的菱形
中，
，
为
中点，
为平面
内
ABCD
60
A
M
CD
N
ABCD
一点，若
，
AB
NB
AM
AN
A．16
B．14
C．12
D．8
解析：由
可得：
，故
在
中垂线上，由投影
|
|
|
|
AN
AM
NB
AB
|
|
|
|
MN
AN
N
AM
的定义可得：
.
2
2
1
AM
AN
AM
再根据余弦定理可得：
，故可得选B.
7
2
120
cos
2
2
2
DM
AD
DM
AD
AM
4.向量隐圆
例13.已知向量
满足
，且
与
的夹角为
，则
的最大值为________.
b
a,
2
|
|
a
b
a
b
6
|
|
b
解析：如图，
，
，则
，依题可知：
，故三
2
|
|
|
|
a
OA
b
OB
a
b
AB
6
ABO
角形
均在圆上，
的最大值即
OAB
|
|
b
为该圆的直径，由正弦定理可知：
类型2.圆的内接四边形
基本结论：若四边形
有一组对角互补，则
四点共圆.
ABCD
D
C
B
A
,
,
,
例14.已知向量
满足
，且向量
的夹角为
，
c
b
a
,
,
1
,
2
|
|,1
|
|
b
a
b
a
c
b
c
a
,
4
则
的最大值为_________.
|
|
c
解析：依题
夹角为
，而向量
的夹角为
，故由四点共圆结论可知，向
b
a,
4
3
c
b
c
a
,
4
量
的终点
与
四点共圆，则
的最大值即为圆的直径，由于
c
C
B
A
O
,
,
|
|
c
5
|
|
|
|
b
a
AB
则由正弦定理：
例15．设向量
，
，满足
，
，
，
的夹角为60°，则
的
a
b
c
|
| |
| 1
a
b
1
2
a b
a
c
r
r
b
c
r
r
|
|
c
最大值等于（ ）
A．2
B．
C．
D．1
3
2
解析：
，
，故
|
| |
| 1
a
b
1
2
a b
1
2
|
||
| cos
,
1 1cos
,
,
2
3
a b
a b
a b
a b
设
，
的夹角为60°，故
，又
,
,
a
OA b
OB c
OC
a
c
r
r
b
c
r
r
3
ACB
，故
四点共圆，设圆的半径为R,故当
=2R 时，
取最
2
,
3
a b
AOB
, , ,
O A C B
|
|
c
|
|
c
大，故选：A
