文档文本内容
微专题拓展10 利用导数解决双变量经典模型
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：同构构造................................................................................................................................3
题型二：任意存在................................................................................................................................4
题型三：差值换元、比值换元............................................................................................................4
题型四：转化为两根和积形式............................................................................................................6
题型五：转化为单变量........................................................................................................................8
题型六：零点代换、主元法................................................................................................................9
题型七：放缩消元..............................................................................................................................10
03 课后拓展精练............................................................................................................................13
在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法：
1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问
题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构
造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。
2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性
或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。
3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系
对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。
题型一：同构构造
例1 ．（2026· 浙江· 模拟预测）已知函数
，对于任意的
、
，当
时，总有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2026·高三·广东江门·阶段检测）已知
若对于任意两个不等的正实数
、
，都有
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3 ．（2026· 高三· 河北沧州· 阶段检测）已知函数
的定义域为
，且对
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2026·高三·广西·月考）已知函数
，若对任意的
，都有
，
则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．已知函数
，对任意
，
，且
，都有
成
立，则实数a 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型二：任意存在
例4．已知函数
若
，使
成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例5 ．已知函数
．若对任意的
，都存在唯一的
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2026·高三·湖北·阶段检测）已知函数
的定义域为
，若对于任意的
，都存在
，使得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3 ．已知函数
，
．若对任意
，总存在
，使得
成立，则实数
的最大值为（ ）
A．7
B．5
C．
D．3
变式4．（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数
，
，若存在
，对任意
，使得
恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．（2026·广西南宁·一模）已知函数
，
，
，若
，
，使得
成立，则
的最小值为（ ）
A．-5
B．-4
C．
D．-3
题型三：差值换元、比值换元
例7．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
有两个极值点
，
，且
．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）当
时，求
的取值范围．
例8．已知函数
，
．
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
，求a，b 的值；
(2)已知
，记
为
的导函数，
，若
存在两个极值点
．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）已知
，求
的取值范围．
例9．（2026·高三·河北秦皇岛·期末）已知函数
，
，
.
(1)讨论
的单调性;
(2)若
与
有相同的最小值，求实数
的值;
(3)设
是
的两个不同的极值点，判断
与
的大小，并证明你的结论.
变式6．已知函数
．
(1)若函数
在
上是减函数，求实数m 的取值范围；
(2)若函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，证明：
．
变式7．（2026·山西·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在定义域上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
；求证：
；
(3)设
，
是函数
的两个极值点，求证：
.
变式8．（2026·天津·一模）已知
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)已知
是
的导函数，若存在
，使得
对任意
成立，求
的取值范
围；
(3)若
有两个极值点
，且
，求证：
.
题型四：转化为两根和积形式
例10．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)已知
存在两个极值点
，若
，且
，求
的最小值．
例11．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）已知
.
(1)若曲线
在
处的切线与
垂直，求实数
的值；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求
的取值范围.
例12．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)若
时，
，求a 的取值范围；
(3)若函数
有两个极大值点
，求
的范围.
变式9．（2026·北京·三模）已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求证：
．
题型五：转化为单变量
例13．（2026·河南商丘·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
(2)若
，满足
，且
，求
的取值范围．
例14．已知函数
，
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若函数
在其定义域内单调递增，求实数
的取值范围；
(3)若
，且
有两个极值点
，其中
，求
的取值范围．
例15．（2026·江西抚州·二模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)若
在区间
上单调递减，求
的取值范围.
(3)若
，且
存在两个极值点
，证明：
.
变式10．（2026·高三·山东泰安·期末）已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的曲线上点
处的切线方程；
(2)当
时，求
的单调区间；
(3)若
有两个极值点
其中
，求
的最小值.
题型六：变量大小关系、主元法
例16．（2026·高三·北京·开学考试）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
在区间
上的最小值；
(3)函数
，当
时，求证：对任意的
，且
，有
．
例17．已知函数
(1)求
的单调区间；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，其中
，证明：
．
例18．已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程
(2)若
恒成立，求
的范围
(3)若
在
内有两个不同零点
，
，求证：
．
题型七：放缩消元
例19．对于正数
，
，当
时，定义
为
，
的对数平均值，且
，我
们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek 给出了不等式右端的证明：
（ⅰ）不妨设
，则
等价于
，
即证：
，令
，即证：
对一切
恒成立．
记
，则
，
所以
在
上单调递增，从而有
证毕．
(1)请参照以上方法证明：
；
(2)已知函数
①若
有两个极值点
，
，求
的取值范围；
②在①的条件下利用“对数平均不等式”证明：
．
例20．已知函数
，
为
的导函数.若
的两个极值点分别为
和
，且
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
.
例21．（2026·河北雄安·三模）已知函数
，函数
，
为实数．
(1)证明：
．
(2)若
．
（ⅰ）证明：
有两个零点
，
，且若
，则
；
（ⅱ）证明：
．
变式11．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知函数
（
，e 为自然对数的底
数）.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的极值点的个数；
(3)若
有两个极值点
，
证明：
.
变式12．已知函数
(1)若
，求证：
；
(2)讨论函数
的零点个数；
(3)令
，若
，
，求证：
．
1 ．已知
，过点
可作曲线
的两条切线，切点为
，
．求
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，
，若对任意
，总存在
，使得
，
则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
（
）．
(1)若
在
处取得极值，求
的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)设
，若
，
，
恒成立，求实数
的取值范围．
4．已知函数
，函数
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求b 的值；
(2)若
，
，使
成立，求m 的取值范围；
(3)设函数
有两个不同的零点
，
，且满足
，求实数a 的取值范
围．
5．已知函数
.
(1)求
的最小值；
(2)若对
，
，使得
，求实数
的取值范围.
6．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
在定义域上单调递增，求实数
的取值范围；
(3)若
在
上存在两个极值点
，求
的取值范围.
7．（2026·高三·山东·期中）已知函数
(1)若
，讨论
的单调性;
(2)若
有两个极值点，求实数a 的取值范围；
(3)当
时，设函数
为
的导函数.证明：对任意的
，有
8．（2026·高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知函数
．
(1)求函数
在
上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的
，均有
，求
的取值范围．
9．已知函数
，
，设
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)求
在
上的最小值；
(3)若
有两个不同的零点
，求证：
.
