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第06讲 对数与对数函数
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫做对数的
a
底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. (e＝2.718 28…)
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：
①1的对数为零：log 1＝0.
a
②底的对数为1：log a＝1.
a
③零和负数没有对数．
④ ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M＋log N；
a a a
②log ＝log M－log N；
a a a
③ ＝log b．
a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
a
重要推论：①log N＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
a
②log b·log c·logd＝log d(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
a b c a
3．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 0<a<1
a图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
性 当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
质 当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
a
一．对数式的运算
例1．（1）已知2a=5b=m,且 =1,则m=____.
（2）求值： _________________．
（3）计算： ＝________．
（4）已知 ， ，用a、b表示 __________．．
（5）若log 4•log 8•log m＝log 16，则m＝___．
3 4 8 4（6）若 是方程 的两个实根，则 的值为______．
【复习指导】：解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
二．对数函数的图像及应用
例2．（1）函数 ， ， ， 的图象如图所示，则 的大小顺序是
（ ）
A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜b
C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b
（2）已知函数 的图象如图所示，则 满足的关系是（ ）A． B．
C． D．
（3）函数 ，且 与函数 在同一坐标系内的图象不可能的是（ ）
A． B． C． D．
（4）函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点 在直线 上（其中
），则 的最小值等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
（5）若对 恒成立，则实数 的取值范围是________________
（6）函数 的零点个数为_______________.
【复习指导】：对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．三．对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式的大小
例3．（1）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（多选）已知实数 ， ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
（3）设 ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
（4）设x、y、z为正数，且 ，则（ ）
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
（5）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【复习指导】：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结
合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构
造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
(3)比较对数值大小时常用的四种方法:
①同底数的利用对数函数的单调性．
②同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．③底数和真数都不同，找中间量．
④若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
命题点2 解对数方程或不等式
例4．（1）已知集合 , ，则 ( )
A． B． C． D．
（2）设函数f(x)＝ 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
（3）已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在 上是增函数，若 ，则不等式 的解集为
（ ）
A．{x|x>2} B． C．{ 或x>2}D．{ 或x>2}
（4）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若对于任意 ，
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（5）方程 的解是________.（6）已知 ，且
①当 时，解不等式 ；
② 在 恒成立，求实数 的取值范围.
【复习指导】：对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如log x>log b的不等式，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种
a a a
情况进行讨论．
(2)形如log x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log ab)，再借助y＝log x的单调性求
a a a
解．
(3)形如log a>log a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，
f(x) g(x)
或利用函数图象求解．
命题点3 对数函数性质的综合应用
例5．（1）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
（2）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【复习指导】：利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清
三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大小关系；三是复合函数
的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归
思想的应用．（3）已知函数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
（4）已知函数 ， ，若存在 ，对任意 ，使得 ，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（1，4）
【复习指导】：双变量存在与恒成立问题：
若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 ；若 ， 成立，则 的值域是 的子集．
（5）已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
（6）若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为______．
1．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．在同一直角坐标系中，函数 ， 的图象不可能的是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数 （ 且 ）在R上既是奇函数，又是减函数，则 的
大致图象是（ ）A． B．
C． D．
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ， ， 的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 的大致图象如图，其中 为常数，则函数 的大致图象是（
）A． B． C． D．
7．已知 ，若关于x的方程 有四个不相等的实根 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 ，若 ， ， 均不相等，且 = = ，则 的取值范围是
（ ）
A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)
10．已知 ， ， ，则以下不等式正确的是（ ）A． B． C． D．
11．已知 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
12．设 则
, ,
A． B． C． D．
13．若 ， ，则x，y，z的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
14．若a＝log 4，b＝log 3，c ，则（ ）
5 4
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
15．设 是定义域为R的偶函数，且在 上单调递增，若 ， ，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
16．已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．
17．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．已知 是偶函数，它在 上是增函数.若 ，则 的取值范围是（ ）
1
0， 10，
A． B． 10 C． D．
19．已知集合 ， ，若 ，则 的可能取值组成
的集合为（ ）
A． B． C． D．
20．命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
21．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．定义在 上的偶函数 在 上是减函数，且 ，则不等式 的解集为（
）A． B．
C． D．
23．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
24．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数
的所有零点之和为（ ）
A． B．
C． D．
25．已知函数 的周期为2，当 时， ，那么函数 的图像与 函数的图像的
交点共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
26．已知函数 ，若互不相等的实数 、 、 满足 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．27．（多选）已知函数f(x)＝ ，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的
取值是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
28．（多选）已知函数 ，下列四个命题正确的是（ ）.
A．函数 为偶函数
B．若 ，其中 ， ， ，则
C．函数 在 上为单调递增函数
D．若 ，则
29．
30． ________．
31．设实数x满足 ，且 ，则 ______.
32．已知 ，且 ，则A的值是___________.
33．方程 的解为___________.34．若 ，则 ．
35．函数 的零点是_______.
36．法国数学家费马于1640年提出了猜想： 是质数.这种具有美妙形式的数被称为费马数，
因为随着n的增大， 迅速增大，所以要判断费马的猜想是否正确非常不容易，一直到1732年才被数学
家欧拉算出 ，才证明费马的猜想是错误的.若数列 满足 ，则
满足 的最小正整数 _________.
37．已知 ，且 ，则 的最小值为___________.
38．已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为___________.
39．已知函数 经过定点A, 定点A也在函数 的图象上， _________．
40．函数 的所有零点之和为__________．
41．已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为________.42．关于函数 ，有以下四个命题：①函数 在区间 上是单调增函数；②函数
的图象关于直线 对称；③函数 的定义域为 ；④函数 的值域为 .其中所有正确
命题的序号是________.
43． , 的最大值为___________
44． 时， 恒成立，则 的取值范围是_________________________
45．已知函数 ，且 ，则 _________．
46．已知 ，若方程 有四个根 且 ，则
的取值范围是______.
47．设定义域为R的函数 ，若关于x的方程 有8个不同的实
根，到实数b的取值范围是___________.48．函数 ，求函数 的最大值和最小值，并求出相应x的值．
49．已知 且满足不等式 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 在区间 有最小值为-2，求实数a值.
50．已知函数
(1)讨论函数 的定义域；
(2)当 时，解关于x的不等式：
(3)当 时，不等式 对任意实数 恒成立，求实数m的取值范围.
