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10.1 椭圆的标准方程和离心率（讲义）
目录
1
知识点01 椭圆的定义................................................................................2
2
知识点02 椭圆的标准方程........................................................................2
3
知识点03 椭圆的离心率............................................................................3
4
题型一、求椭圆的标准方程.....................................................................3
5
题型二、椭圆的离心率.............................................................................6
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1 知识点01 椭圆的定义
1、定义：平面内与两个定点的
、
的距离之和等于常数（大于
）
的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的
焦距，焦距的一半叫做半焦距．
2、椭圆定义：||M F1|+|M F2|=2a，2a>|F1 F2|>0
2 知识点02 椭圆的标准方程
3、椭圆标准方程的求解
（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
①定位：确定焦点在那个坐标轴上；
②定量：依据条件及
确定
的值；
③写出标准方程．
（2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为
；
y
O
F1
F2
x
M
c
c
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3 知识点03 椭圆的离心率
离心率
e = c
a =√
1−b
2
a
2 (0<e<1)
离心率越接近1，则椭圆越圆
离心率越接近0，则椭圆越扁
4 题型一、求椭圆的标准方程
一、单选题
1．在平面直角坐标系
中，已知动点
到两定点
的距离之和是10，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．到点
和
的距离之和为
的点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．以
，
为焦点，且经过点
的椭圆的标准方程为
（ ）
A．
B．
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C．
D．
4．平面内点P 到
、
的距离之和是10，则动点P 的轨迹
方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．椭圆的两个焦点是
和
，椭圆上的点M 到两个焦点的距离
之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知平面内一动点P 到两定点
，
的距离之和为8，则
动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、解答题
7．设椭圆
：
的两个焦点为
，
，点
在椭圆
上，且
，
，
．
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(1)求椭圆
的方程；
(2)点
在椭圆
上，且
的面积为
，求点
的坐标．
8．已知椭圆C：
的左、右焦点分别是
，
，且该椭圆过点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上的点
满足
，求
的值．
9．已知平面内两定点
，动点P 满足
．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)若直线
与曲线C 交于不同的两点A、B，求
．
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10．已知椭圆的两焦点为
，
，点
为椭圆上一点，且
(1)求此椭圆的方程
(2)若点
满足
，求
的面积．
5
题型二、椭圆的离心率
一、单选题
1．椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若椭圆
的焦距是短轴长的2 倍，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆C：
（
）的左顶点到上焦点的距离为2，则
C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若椭圆
的离心率为
，则
（ ）
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A．
B．4
C．
D．2
5．椭圆
与椭圆
的（ ）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
6．已知椭圆
的焦距为4，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若椭圆
的焦距为
，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，P 是椭圆C 上
任意一点．若
，则椭圆C 的离心率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．已知
，
，对曲线
上的任意一点
恒有
，
则
的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．2
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二、解答题
10．已知椭圆
：
（
）的离心率
，且椭圆过点
.
(1)求
的方程：
(2)过点
直线与椭圆有两个交点
，
，已知
轴上点
，
求证：
.
11．已知椭圆
的离心率为
，且
过点
．
(1)求
的方程；
(2)若斜率为
的直线与
轴交于点
，与
交于
，
两点，证明：
为定值．
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12．已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线l 交C 于
两点，
为坐标原点.若
的面积
为
，求
．
13．已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭
圆C 上一点，
的周长为6，离心率
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，若
，求直线l 的
方程．
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14．已知椭圆
的离心率
，且椭圆的长轴
长为4.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线与椭圆
交于
两点，且
，求直线的
方程.
15．已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线
与C 交于
两点，O 为坐标原点，
的面积
为
，求t 的值.
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