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10.2 平面向量的数量积（精讲）
一．向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量
和
，O 是平面上的任意一点，作OA＝
，OB＝
，则∠AOB＝θ 叫做向量
与
的夹角．
2.范围：向量夹角θ 的范围是0°≤θ≤180°．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角
二．向量的数量积
已知两个非零向量
与
，它们的夹角为θ，把数量|
|·|
|·cos θ 叫做向量
与
的数量积(或内积)，记作
·
，即
·
＝|
||
|cos θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
三．投影向量
如图，在平面内任取一点O，作⃗OM＝
，⃗ON＝
，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M1，则⃗O M 1就
1
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是向量a 在向量b 上的投影向量，记为⃗
O M 1
＝
四．向量数量积的运算律
·
＝
·
.
(λ
)·
＝λ(
·
)＝
·(λ
)．
(
＋
)·
＝
·
＋
·
．
五．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量
＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ
结论
几何表示
坐标表示
模
|
|＝
|
|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b 的充要条件
·
＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|
·
|≤|
||
|
|x1x2＋y1y2|≤
一．求非零向量
，
的数量积的3 种方法
方法
适用范围
定义法
已知或可求两个向量的模和夹角
基底法
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求
数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
坐标法
①已知或可求两个向量的坐标；
②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积
2
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二．求平面向量模的2 种方法
公式法
利用|
|＝
及(
±
)2＝|
|2±2
·
＋|
|2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利
用余弦定理等方法求解
三．求平面向量夹角的2 种方法
定义法
当
，
是非坐标形式，求
与
的夹角θ 时，需求出
·
及|
|，|
|或得出它们之间
的关系，由cos θ＝
求得
坐标法
若已知
＝(x1，y1)与
＝(x2，y2)，〈
，
〉∈[0，π]则cos 〈
，
〉＝
考点一 平面向量的数量积运算
【例1-1】（2023·江西景德镇·统考三模）若向量
与向量
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】．（2022 秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知向量
，
的夹角为
，且
，
，
则
（ ）
A．10
B．
C．14
D．
【一隅三反】
1．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．40
D．46
3
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2．（2023 秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）平面向量
，
，
，则
与
的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知
，
，则
的值为（ ）．
A．
B．3
C．
D．2
4．（2023 秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）设向量
，则向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 平面向量数量积的应用
【例2-1】（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量
，
，且
在
方向上的投影数
量是
，则
.
【例2-2】（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知点
，则
在
上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】（2023 秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知向量
，
满足
，则向量
在向量
上
的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-4】（2023·上海嘉定·校考三模）已知
，
与
垂直，
，且
与
的夹角是钝
4
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角，则
在
方向上的投影为 .
【例2-5】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知向量
，
，则
与
的夹角为 .
【一隅三反】
1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量
，
，且
在
方向上的投影是
，则
.
2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知
，则
在
上的投影为 .
3．（2023 秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）若向量
，
，且
，则
与
的夹角为 .
4．（2023 春·江苏无锡）（多选）下列选项中正确的是（ ）
A．设向量
，
，若
，
共线，则
B．已知点
，向量
，点
是线段
的三等分点，则点
的坐标是
C．若
，
，则
在
方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量
，
满足
，则
的最大值是5
考点三 平面向量的综合运用
【例3-1】（2023 秋·江苏南通·高三校考开学考试）（多选）在
中，
，点
在线段
上，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
是中线，则
C．若
是角平分线，则
5
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D．若
，则
是线段
的三等分点
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知平面非零向量
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【例3-3】（2023·江西九江·统考一模）已知
、
为单位向量，则向量
与
夹角的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）正六边形
的边长是2，则
（ ）
A．
B．
C．
D．12
2．（2023 秋·山东临沂·高三校考阶段练习）在
中，已知向量
，
，则
的值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
3．（2024 秋·贵州·高三统考开学考试）设
为
的外心，
，
，则
．
【答案】
4．（2023·江西九江·统考一模）已知
、
为单位向量，则向量
与
夹角的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量
满足
，且
，则函数
的最小值为 .
6
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6．（2023·福建三明·统考三模）在平面直角坐标系中，
、
、
，当
时.写出
的一个值为 .
7
