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10.3 平面向量的应用（精练）
1．（2023 春·陕西西安）已知
中，
，
，则此三角形为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
2．（2023 春·福建厦门）
是边长为2 的正方形
边界或内部一点，且
，则
的
最大值是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
3．（2023 春·北京石景山 ）如图，
，
是半径为的圆
上的两点，且
若
是圆
上的任意一
点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 秋·云南大理 ）设
的内角
的对边分别为
，且
，若角
的内角
平分线
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．16
D．12
5．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在扇形
及扇形
中，
，
，动点
在
（含端点），则
的最小值是（ ）
1
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A．
B．6
C．
D．7
6．（2022 春·甘肃白银 ）如图，点
是半径为的扇形圆弧
上一点，
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·北京）已知平面向量
，
满足
，
，点D 满足
，E 为
的外心，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 春·四川成都）（多选）给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A．已知
，
，则
B．若非零向量
满足
，则
C．若G 是
的重心，则点G 满足条件
D．若
是等边三角形，则
9．（2022 春·黑龙江大庆）（多选）下列说法正确的是（ ）
2
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A．若点G 是
的重心，则
B．已知
，
，若
，则
C．已知A，B，C 三点不共线，B，C，M 三点共线，若
，则
D．已知平面向量
，
，满足
，且
，
，则向量
与
夹角的正弦值为
10．（2023·广西）已知向量
，
，若向量
，且
与
的夹角为钝角，写出一个满足
条件的
的坐标为 .
11．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量
不平行，且满足
，记
，则
当
与的夹角最大时，
的值为
12．（2023 春·湖南永州 ）一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了
到达B 地，由B 地向南东
方向
骑行了
到达C 地，从C 地向北偏东
骑行了
到达D 地，则A，D 两地的距离是
．
13．（2023 春·上海奉贤 ）已知
是边长为1 的等边三角形，点O 是
所在平面上的任意一点，
则向量
的模为 .
14．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸
或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2 的扇形
，其中
，
，
，点
在
上，则
的最小值是 ．
3
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1．（2023 春·江西萍乡 ）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重
要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相
等，如图，已知圆
的半径2，点
是圆
内的定点，且
，弦
均过点
，则下列说法错误
的是（ ）
A．
为定值
B．
的取值范围是
C．当
时，
为定值
D．
的最大值为12
3．（2023 春·福建泉州 ）（多选）如图，直线
，点A 是
之间的一个定点，点A 到
的距离分
别为1 和2.点
是直线
上一个动点，过点A 作
，交直线于点
，则（ ）
4
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A．
B．
面积的最小值是
C．
D．
存在最小值
4．（2023 春·山东聊城 ）（多选）在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．已知点
在
所在的平面内，满足
，则点
是
的外心
B．已知平面向量
，
，
满足
，
，则
为等腰直角
三角形
C．已知平面向量
，
，
满足
，且
，则
是等
边三角形
D．在矩形ABCD 中，
，
，动点
在以点
为圆心且与BD 相切的圆上．若
，则
的最大值为1．
5．（2022 春·重庆沙坪坝 ）（多选）下列论述中正确的是（ ）
A．已知平面向量
，
的夹角为
，且
，
，则与
的夹角等于
B．对于给定的
，其重心为
，过点
的直线交
，
与
，
，若
，
，则
C．在四边形
中，
，且
，则
D．在
中，若
则
是
外心
5
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6．（2023 秋·山东日照 ）四边形
中，点
，
分别是
，
的中点，
，
，
，点
满足
，则
的最大值为 ．
7．（2023 春·辽宁大连· ）在长方形
中，
，
，点P 为长方形
内部的动点，且
，当
最小时，
.
8．（2023 春·四川成都 ）已知非零向量
，
，满足
，
，
，则对任意实数
t，
的最小值为 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）定理：如图，已知P 为
内一点，则有
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量
解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点
在
内部，有以下四个推论：
①若
为
的重心，则
；
②若
为
的外心，则
；
③若
为
的内心，则
；备注：若
为
的内心，则
也对.
④若
为
的垂心，则
.
试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.
6
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(1)点
在
内部，满足
，求
的值；
(2)点
为
内一点，若
，设
，求实数
和
的值；
(3)用“奔驰定理”证明推论②.
7
