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第 03 讲 二项式定理
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：二项展开式的通项及其应用（求二项展开式的特定项（或系
数））...........................................................4
高频考点二：二项展开式的通项及其应用（两个二项式之积中特定项（或系
数）问题）.......................................................6
高频考点三：二项展开式的通项及其应用（三项展开式中特定项（或系数）
问题）...........................................................9
高频考点四：二项式系数与各项的系数和问题（二项式系数和与系数和） 13
高频考点五：二项式系数与各项的系数和问题（展开式的逆应用）......19
高频考点六：项式系数的性质（二项式系数最大问题）................21
高频考点七：项式系数的性质（系数最大问题）......................25
第四部分：新定义题.................................................31第一部分：基础知识
知识点一：二项式定理
（1）二项式定理
一般地，对于每个 （ ）， 的展开式中 共有 个，将它们合并同类
项，就可以得到二项展开式：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn （
n n n n n
）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn ， 等号右边的
n n n n n
多项式叫做 的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符
号等.
（4）二项展开式的通项
二项展开式中的 ( )叫做二项展开式的通项,用 表示,即通项为展开式的第
项: .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,
它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面
有着广泛的应用.
知识点二：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当 时，二项式系数递增，当 时，二项式系数递减；
③最大值：当 为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当 为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
知识点三：各二项式系数和
（1） 展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求指定项的系数
【分析】写出二项展开式，令 ，解出 然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】 的二项展开式为 ，
令 ，解得 ，
故所求即为 .
故选：A.
2．（2024·上海·高考真题） 展开式中 的系数为 .
【答案】15
【知识点】求指定项的系数
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.
【详解】 展开式中令 的项为 ，
所以 展开式中 的系数为15.
故答案为：15
3．（2024·全国·高考真题甲卷理） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【知识点】求系数最大（小）的项
【分析】先设展开式中第 项系数最大，则根据通项公式有 ，进而求出 即可求
解.
【详解】由题展开式通项公式为 ， 且 ，设展开式中第 项系数最大，则 ，
，即 ，又 ，故 ，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 .
故答案为：5.
4．（2024·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【知识点】求指定项的系数
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，
所以常数项为 .
故答案为：20.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：二项展开式的通项及其应用（求二项展开式的特定项（或系
数））
典型例题
例题1．（2024·陕西西安·模拟预测） 的展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】利用 的展开式的通项公式 ，得 的
展开式的项为 或 ，即可求出结果.
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，
所以 的展开式的项为 或
，
令 时， ，
令 时， ，
所以 的展开式的常数项为 ，
故选：A.
例题2．（23-24高二下·四川南充·期末）二项式 的展开式中常数项为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项、求指定项的系数
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中 的指数等于0，即可得出 ，再代入得出答案.
【详解】二项式 的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
则展开式中常数项为 ，
故选:C.
例题3．（24-25高三上·陕西安康·开学考试） 的展开式中 的系数为 ．（用数
字作答）
【答案】
【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题【分析】先写出后面括号的通项，再分别与前面括号内每一项相乘得到 的系数，最后求和即可；
【详解】第二个括号的通项为 ，
所以当前面括号出 时，后面为 ，
当前面括号出 时，后面出 ，
当前面括号出 时，后面没有可出项，
所以 的系数为 ，
故答案为： .
练透核心考点
1．（2024·湖北·模拟预测）若 的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其
展开式中 的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
【答案】D
【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数
【分析】先确定 值，再由二项展开式的通项求解 项的系数即可.
【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项，
即二项式系数 中第5个即 最大，
所以由二项式系数的性质可知，
展开式中共 项， ，又 ，
则 二项展开式的通项公式
， .
令 ，所以 的系数为 ．
故选：D．
2．（24-25高三上·全国·阶段练习）二项式 展开后的第三项是
【答案】
【知识点】求二项展开式的第k项【分析】根据通项公式计算即可.
【详解】因为
所以 .
故答案为：
3．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习） 的展开式中 的系数为 ．
【答案】9
【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】由 ，根据单项式和多项式的乘法法则结合二项式定理求展开式
中 的系数.
【详解】 ，
的展开式中含 的项为 ，其系数为 ，
的展开式中含 的项为 ，其系数为 ，
的展开式中， 的系数为 .
故答案为：9.
高频考点二：二项展开式的通项及其应用（两个二项式之积中特定项（或系
数）问题）
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业） 的展开式中 的项的系数为30，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】结合两个二项式乘积展开项的系数问题的方法求解.根据所给的条件可求 的值.
【详解】 中 的展开式的通项为 ，
当 时， ，得到 项的系数为 ，
当 时， ，得到 项的系数为 ，故展开式中 的项的系数为 ，即 ．
故选：C
例题2．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知 的展开式中 的系数为48，则实数 ＝
（ ）
A．2 B．1 C． D．−2
【答案】B
【知识点】由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】先求出二项式 的通项公式，将 分为两项，由 的系数求解参数即可.
【详解】二项式 的通项公式为 ．
的展开式中，
的系数为 ，解得 ．
故选：B．
例题3．（23-24高二下·新疆·期末）在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】35
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】合理对原式进行变形，再利用二项式定理求解即可.
【详解】由题意得 ，
而由二项式定理得 的通项为 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则含有 的项为 ，
即 的系数为35．
故答案为：35.
例题4．（2023·安徽马鞍山·模拟预测） 的展开式中 项的系数是 ．（用数字作答）
【答案】
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】 展开式中 项的系数为 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（24-25高三上·全国·课后作业） 的展开式中 的系数为（ ）A． B． C．7168 D．
【答案】A
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】利用二项式定理展开后求解系数即可.
【详解】由题意可得
，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
含 项为 ，即 ，
所以 的系数为 ，故A正确.
故选：A
2．（23-24高二下·山东菏泽·期中） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】根据第一个括号内取项情况分两类，利用通项求相应项系数再合并即可得.
【详解】 二项展开式的通项为 ，
要得到 项，有两类方法：
第一类：当 中取 项时，则需 展开式中的 项与之相乘，
由 得， ，即 ，则 系数为 ；
第二类：当 中取 项时，则需 展开式中的 项与之相乘，
由 得， ，即 ，则 项的系数为 ；
综上可知，展开式中 的系数为 .
故选：B.
3．（23-24高三下·广东惠州·阶段练习） 的展开式中 的系数为 ．
【答案】
【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】利用二项展开式的通项公式，结合两个二项式乘积的特征即可得解.
【详解】 展开式的通项为 ，
则 ， ，
故 展开式中 的系数为.
故答案为： .
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 的展开式中 的系数为 ，则m的值为
．
【答案】3
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、由项的系数确定参数
【分析】根据两项乘积分类得出两种情况得出系数求参.
【详解】 ，
因为 的展开式通项为 ，
则其中 的系数为 ， 的系数为 ，
所以 的展开式中 的系数为 ，
解得 ．
故答案为：3.
高频考点三：二项展开式的通项及其应用（三项展开式中特定项（或系数）问
题）
典型例题
例题1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试） 的的展开式中 的系数为（ ）
A．30 B． C．20 D．
【答案】D
【知识点】三项展开式的系数问题
【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.
【详解】从5个含有 的括号中，其中1个括号中取 ，一个括号中取 ，3个括号中取 ，乘在
一起构成 这一项，
这一项为 ，所以 的系数为 .
故选：D
例题2．（2023·江苏连云港·模拟预测） 的展开式中 项的系数为 ．
【答案】【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程，可得答案.
【详解】由题意知 的通项为 ，
化简得 ，令 ，得 ，
即 .则 的系数为 .
故答案为： .
例题3．（23-24高三上·河北秦皇岛·开学考试） 的展开式中， 的系数为10，则
.
【答案】
【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题
【分析】化 ,利用二项展开式的通项公式求得展开式中 的系数,列方程求
出 的值.
【详解】
其展开式的通项公式为 ，
令 得
因为 的系数为10，则 ，解得 ，
故答案为： .
例题4．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知常数 ， 的二项展开式中 项的系
数是780，则m的值为 ．
【答案】3
【知识点】三项展开式的系数问题、由项的系数确定参数
【分析】转化为 ，利用展开式的通项公式讨论计算即可.
【详解】 = ，设其通项为 ，
设 的通项为 ，
要求 项的系数，只有 为偶数，
当 ，此时 项的系数为 ，当 ，此时 项的系数为 ，
当 ，此时 项的系数为 ，
当 ，不合题意，
故 项的系数为 .
故答案为：3
练透核心考点
1．（23-24高二下·山东淄博·期中） 展开式中含 的项的系数是 ．
【答案】
【知识点】三项展开式的系数问题
【分析】将三项看成两项，利用二项式定理结合分类讨论得出答案.
【详解】 其展开式为 ，
根据题意可得： .
当 时，则 ， 展开式为 .
,，则含 的项的系数为 .
当 时，则 ，
展开式为 ， ，
则含 的项的系数为 .
当 时, 则 ,
展开式为 ，
，则含 的项的系数为 .
综上所述:：含 的项的系数为 .
故答案为：
2．（23-24高二下·浙江·期中）在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】
【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】将 视作为 ，再利用二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】 ,所以 展开式的通项公式为 ，
因为要求 的系数，所以 .
所以 ，
所以 展开式的通项公式为 ，
因为要求 的系数，
令 ，则 ，
所以 的系数为 .
故答案为： .
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知 的展开式中的常数项为 ，则 .
【答案】
【知识点】三项展开式的系数问题、由项的系数确定参数
【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可.
【详解】二项式 的展开式中的常数项为
，
则 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为：
4．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）若 的展开式中 的系数为 ，则实数
．
【答案】2
【知识点】由项的系数确定参数、三项展开式的系数问题
【分析】将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出
的通项公式 ，令 ，解此不定方程得出 ， 的值，得到关于 的方程，
即可得解.【详解】 ,所以 的展开式的通项为:
，
其中 ，
令 ，所以 或 ，
当 时， 的系数为 ，
当 时， 的系数为 ，
因为 的系数为 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 .
故答案为：2.
高频考点四：二项式系数与各项的系数和问题（二项式系数和与系数和）
典型例题
例题1．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知二项式 展开式中，前二项的二项式系数和是11．
(1)求n的值；
(2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
(3)设 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】二项式的系数和、由项的系数确定参数、奇次项与偶次项的系数和
【分析】（1）根据指定项的二项式系数求参；
（2）应用系数和及二项式系数和求差；
（3）赋值法做差即可求出偶数项的系数和.
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得：
（2）二项式系数之和为 ，
令 ，可得各项系数之和为 ，所以二项式系数之和与各项系数之和的差为
（3）设 ，则
所以
例题2．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知 ，若
.
(1)求实数m的值；
(2)求 ；
(3)求 的值.
【答案】(1)1
(2)56
(3)2
【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数
【分析】（1）利用赋值法即可求解，
（2）利用二项式展开式的通项特征即可求解，
（3）令 ，即可利用赋值法求解.
【详解】（1）因为 ，
令 ，可得 ，解得 ；
（2）由（1）可知： ， 为一次项系数，
由于 ，
故一次项为 ，所以，
（3）由（1）可知： ，且 ，
令 ，可得 ，
则 ，
所以 .例题3．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知 ，其中实数
，且 的系数为 .
(1)求实数 的值；
(2)计算：
（i） ；
（ii） .
（结果用幂的形式表示）
【答案】(1)3
(2)（i） ；（ii）
【知识点】二项式的系数和、由项的系数确定参数、奇次项与偶次项的系数和
【分析】（1）利用二项式定理的展开式的通项公式，可得答案；
（2）利用赋值法，结合方程思想，可得答案.
【详解】（1） 的二项展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
又 ， ， ；
（2）（i）由（1）得 ，
令 得 ①，
令 得 ②，
① ②得 ， ，
① ②得 ， ，
;
（ⅱ）令 ，则 ，
，
的二项展开式的通项为 ，
为正数， 为负数，
例题4．（23-24高二上·天津河东·阶段练习）已知 展开式中所有二项式系数的和为256，且满足.求：
(1) 和 的值
(2)
(3)
【答案】(1) ，
(2)1
(3)
【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】（1）根据二项式系数的和得出 值，令 ，求出 的值；
（2）令 ，即 求得结果；
（3）由 求出展开式的通项，再求出 得出结果.
【详解】（1）已知 展开式中所有二项式系数的和为256，则 ，解得 .
所以 ，
令 ，即 ，则 .
所以 ，
（2）令 ，即 ，则 .
（3） 的展开式的通项为 ，
， ， ， ， ，
所以
.
练透核心考点
1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知 展开式的二项式系数和为512，且
．
(1)求 的值；
(2)求 的值；(3)求 的值．
【答案】(1) ;
(2)2;
(3)18.
【知识点】简单复合函数的导数、二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】(1)根据二项式系数和为 先确定 值，再计算 的值；
(2)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得．
(3)先求导数后代值，即可得答案.
【详解】（1）由二项式系数和为512知， ，
故 ，
所以 .
（2）在 中，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以
.
（3）在 中，
两边求导可得 ，
令 ,可得 ，
所以 .
2．（23-24高二下·河南郑州·阶段练习）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，
并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于46；条件②：第4项与第7项的二项式系数相
等；问题：在二项式 的展开式中，已知__________.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)设 ，求 的值；
【答案】(1) 和 ；
(2) .
【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值、二项展开式各项的系数和
【分析】（1）由①得 、由②得 ，根据所选条件求参数n，再由组合数性质及二项式展开式通项写出二项式系数最大的项；
（2）赋值法求 、 ，进而求目标式的值.
【详解】（1）选择①，因为 ，解得 ，
选择②，因为 ，解得 ，
所以展开式中二项式系数最大的项为 和 .
（2）由（1）知：令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 .
3．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知 的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等．
(1)求 项的系数；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)1.
【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】（1）由题意可得 ，从而可求 ，根据二项展开式的通项求解即可；
（2）令 即可求解.
【详解】（1）因为展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，所以 ，解得 ．
所以 的展开式的通项公式为 ， ．
令 ，则 ，
所以 项的系数为 ．
（2）由（1）知， ，由 ，
令 ，得 ，
所以 ．
4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知 ， ，若 的
展开式中，____.
(1)求n的值；
(2)求 的值.
在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为 ，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别
解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)10
(2)
【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和
【分析】（1）根据题意，由二项式的性质即可得到 的值；
（2）根据题意，由（1）可得 ，从而得到其展开式的通项，然后再取 与 即可得到结果.
【详解】（1）在二项式 的展开式中，
若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即 ；
若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，
则 ，即 ；
若选填③，所有二项式系数的和为 ，
则 ，即 .
故 ；
（2）∵二项式 的展开式的通项 ，
可知x的奇数次方的系数为负，x的偶数次方的系数为正.
在 中，
取 ，得 ；
取 ，得 .
∴
高频考点五：二项式系数与各项的系数和问题（展开式的逆应用）
典型例题
例题1．（2024·辽宁大连·一模） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项展开式的应用
【分析】根据表达式特征可知利用二项式定理的逆运用可得结果.【详解】易知
.
故选：B
例题2．（23-24高二下·河北·阶段练习）若对 ，
恒成立，其中 ， ，则 （ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】C
【知识点】二项展开式的应用
【分析】根据二项式定理化简等式右侧得 ，从而求解即可.
【详解】由 ，
得 ，所以 ，所以 .
故选：C.
3．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项展开式的应用
【分析】将式子转化为二项式形式，再根据二项式定理即可得到结论.
【详解】
故选：C.
【点睛】本题考查二项式定理求值，对二项式定理的转化是关键，属于基础题.
练透核心考点
1．（23-24高二下·安徽·期中）已知 ，则 被10除所得的余数为
（ ）
A．9 B．3 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用【分析】根据二项式定理可得 ，再利用二项展开式求解即可.
【详解】 ，
，又
， 都是10的倍数，
被10除所得的余数为1.
故选：C
2．（23-24高二下·北京大兴·期末）化简 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项展开式的应用
【分析】由二项式定理写出 对应的二项式，即可得答案.
【详解】由 ，
所以 .
故选：B
3．（23-24高二下·陕西延安·阶段练习）若实数 ，则 等于( )
A．32 B．－32 C．1 024 D．512
【答案】A
【知识点】二项展开式的应用
【详解】由题意可得：
本题选择A选项.
高频考点六：项式系数的性质（二项式系数最大问题）
典型例题
例题1．（23-24高二下·北京延庆·期中）求 的展开式中，
(1)含 的项并说明它是展开式中的第几项；(2)常数项的值和对应的二项式系数；
(3)二项式系数最大的项；
(4)各项二项式系数的和及各项系数的和.
【答案】(1) ，它是展开式中的第3项.
(2)60，15
(3)
(4)64，729
【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和、求指定项的二项式系数、求二项展开式的第k项
【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式 先写出 ，然后令 ，得 ，
代入即可得出结果；
（2）根据（1）令 ，得 ，代入可得常数项；
（3）二项式系数最大的项为含有 的项，可得 ，代入即可得出结果；
（4）所有的二项式系数之和为 ，令 ，则可得所有的项的系数之和.
【详解】（1）因为 ，所以展开式中第 项为
，
要使此项含 ，必须有 ，从而有 ，因此含 的项为 ，它是展开式中
的第3项.
（2）由（1）知要得到常数项，必须有 ，从而有 ，因此常数项为 ，其
对应的二项式系数为 .
（3）因为二项式系数最大的项为含有 的项，所以 ，所以二项式系数最大的项
.
（4）所有的二项式系数之和为 ，令 ，则所有的项的系数之和为 .
例题2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知 的展开式中的所有二项式系数的和为32．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项．【答案】(1) ，
(2)
【知识点】求指定项的二项式系数、二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和
【分析】（1）首先根据二项式系数和的公式求 ，再代入二项式系数最大公式，即可求解；
（2）根据通项公式，求有理项.
【详解】（1）易知： 的展开式的所有二项式系数和为
由题意有 ，解得 . 展开式共6项，二项式系数最大的项为第3项和第4项，
即 ， ；
（2）二项式展开式的通项为 ，
当 时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为 ．
例题3．（23-24高二下·浙江·期中）已知 展开式的前三项的二项式系数之和为29.
(1)求 的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)
(2)最大的项为 ，
【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的二项式系数
【分析】（1）根据二项式系数列方程，解方程得到 ；
（2）根据二项式系数的性质得到第4项与第5项为二项式系数最大的项，然后根据通项计算即可.
【详解】（1）由题意知 ，得 ，
又 ，所以 .
（2） 展开式的通项公式为 ，
所以二项式系数最大的值是 ，对应项是第4项与第5项，
所以展开式中二项式系数最大的项为 ， .练透核心考点
1．（25-26高三上·上海·单元测试）已知 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大
．求：
(1) 的值；
(2)展开式中二项式系数最大的项．
【答案】(1)
(2) 和
【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值
【分析】（1）二项式系数和为 ，令 可得各项系数和为 ，即可得到方程，解得即可；
（2）写出展开式的通项，从而得到当 或 时二项式系数最大，利用通项计算可得.
【详解】（1）因为 的二项式系数和为 ，
令 ，可得各项系数和为 ，
依题意可得 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 ；
（2）二项式 展开式的通项为 ， ，
所以当 或 时二项式系数最大，
所以二项式系数最大的项为 和 ．
2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知 的展开式中所有项的系数之和为 .
(1)求展开式中 的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值、求二项展开式的第k项
【分析】（1）令 ，解得 ，再由通项公式求解；
（2）展开式中二项式系数最大的项是第5项，即可求解．
【详解】（1）解：令 ，得 ，解得 .，
令 ，解得 ，
所以展开式中 的系数为 ；
（2）展开式中二项式系数最大的项是第5项，
所以 ，即展开式中二项式系数最大的项是 .
3．（23-24高二下·福建南平·期中）已知 展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
【答案】(1)
(2)60
【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的二项式系数、求二项展开式的第k项
【分析】（1）利用二项式系数和列式求解 ，再利用二项式系数性质知第四项最大，利用二项式展开
式求解即可；
（2）求出二项式展开式通项公式，令 ，得 ，代入即可求解.
【详解】（1）由题意， 展开式前三项的二项式系数和为22.
则二项式定理展开前三项的二项式系数和为： ，
解得： 或 （舍去），即 的值为6，
因为 是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为 .
（2）二项式展开式的通项公式 ，
令 ，可得： .
所以展开式中的常数项为 .高频考点七：项式系数的性质（系数最大问题）
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知 的展开式中各项系数之和是二项式系数之和的64
倍．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数取得最大值的项．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和、二项式系数的增减性和
最值
【分析】（1）利用赋值法得到各项系数之和，列方程求解即得 的值，根据二项式通项易得二项式系数最
大的项；
（2）根据二项式通项，依题须使第 项的系数不小于第 项的系数，也不小于第 项的系数，求解
不等式组，取整得到 ，代入通项计算即得.
【详解】（1）令 ，得展开式中各项系数之和为 ，又二项式系数之和为 ，
依题意， ，得 ，
则 展开式的通项为 ，
故二项式系数最大的项为 ；
（2）设展开式中第 项的系数最大，则
由① ，可得 ，即 ，解得 ；
由② ，可得 ，即 ，解得 .
故有 ，因 ，则 ，
即系数取得最大值的项为
例题2．（23-24高二下·广东中山·期末）已知 的展开式中，第 项与第 项的二项
式系数之比为 ．
(1)求 的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大项．【答案】(1) ；
(2)
【知识点】求系数最大（小）的项、求有理项或其系数
【分析】（1）求得展开式的通项为 ，根据题意，列出方程求得 ，进而求得展开式
的常数项；
（2）设展开式第 项的系数最大，得出不等式组 ，结合 ，求得 的值，代入
即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得二项式 展开式的通项为 ，
因为第 项与第 项的二项式系数之比为 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，令 ，得 ，所以展开式的常数项为 .
（2）解：设展开式中第 项的系数最大，
则 ，可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以系数最大的项为
例题3．（23-24高二下·湖北·期末）已知在 的展开式中，所有项的二项式系数
之和为512.
(1)求 的值，并求展开式中所有项的系数和；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案】(1)9， ；
(2)第七项 .
【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和
【分析】（1）利用二项式系数的性质求出 的值，再利用赋值法求出所有项的系数和.
（2）利用二项式定理求出 ，再由已知列出不等式组，利用组合数公式求解不等式即得.
【详解】（1）依题意，展开式所有项的二项式系数和为 ，所以 ，
令 ，则所有项系数和为 .
（2）依题意， ，不妨令 ，则 ，即 ，化简得 ，
即 ，解得 ，而 ，则 ，
所以展开式中系数绝对值最大的项是第七项： .
例题4．（23-24高二下·四川眉山·期中）已知在 的展开式中，第2项与第3项的二项式
系数之比是 .
(1)求 的值；
(2)求展开式中的常数项，并指出是第几项；
(3)求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案】(1)
(2)常数项为60，为第5项
(3)
【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数、求系数最大（小）的项
【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可；
（2）求出展开式的通项，再令 的指数等于零，即可得解；
（3）假设 系数绝对值最大，则它的系数的绝对值不小于前一项的系数的绝对值，并且不小于后一项的
系数的绝对值，利用不等式组求解即可.
【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为 ，第3项的二项式系数为 ，
所以 ，即 ，则 ， 或 （舍去）；
（2） 展开式的通项为
，
令 ，解得 ，
所以 ，所以常数项为60，为第5项；
（3）设第 项系数绝对值最大，则 ，
，
解得 ，又 ， ，
，即展开式中系数绝对值最大的项为 .
练透核心考点
1．（23-24高二下·江苏镇江·期中）已知 展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且
展开式中第二项系数为20.
(1)求实数 的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中系数最大的项.
【答案】(1)2
(2)13440
(3)
【知识点】求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数、求指定项的系数
【分析】（1）由题意依次列方程求得 即可；
（2）写出展开式通项，令 ，解得 ，回代即可；
（3）利用不等式法求最大项即可.
【详解】（1）因为二项式系数最大的项为第6项，所以 ，解得 ，
所以 展开式为 ，
而展开式中第二项系数为20，从而 ，解得 ；
（2）由（1）可知， 展开式为 ，
令 ，解得 ，故所求为 ；
（3）设展开式中系数最大的项为第 项，则 ，即 ，即 ，
解得 ，所以 ，
所以展开式中系数最大的项为 ，经检验符合题意.
2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比
为1：3．
(1)求展开式中含有 的项：
(2)求展开式中系数最大项．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数
【分析】（1）根据题意结合二项式系数可求得 ，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解；
（2）根据展开式的通项公式列出不等式求解即可得.
【详解】（1）由题意可得 ，即 ，
又 ，可解得 ，
对 有， ，
则 ，
即展开式中含有 的项为 ；
（2）令 ，即 ，
即 ，解得 ，又 ，故 ，
则 ，即展开式中系数最大项为 .
3．（23-24高二下·吉林长春·期末）用二项式定理展开 ．
(1)求展开式中 的系数（用组合数表示即可，不用化简出最终答案）；(2)求展开式中系数最大的项的二项式系数．
【答案】(1)
(2)495
【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数
【分析】（1）根据展开式的通项公式，令 的次数为0，即可解得指定项.
（2）根据通项公式，列出系数最大项的不等关系，解出 的值，代入即可求出系数最大项.
【详解】（1）展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，则展开式中 的系数为 .
（2）设第 项的系数最大，则 ，
解得 ，
由于 为整数，所以 ，
所以展开式中系数最大的项二项式系数为 .
4．（23-24高二下·新疆巴音郭楞·期末）已知 的展开式中，所有项的系数之和是 .
(1)求展开式中的有理项有几项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项.
【答案】(1)4
(2)2
【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数、求有理项或其系数
【分析】（1）先借助赋值法求得 ，从而求出二项式的通项公式，然后利用 求解即可；
（2）设第 项的系数绝对值最大，列出相应不等式组，解出即可得.
【详解】（1）由于所有项的系数之和是 .
令 ，得 ， ，
展开式的通项 （ ），
令 ， ，
展开式中有理项共有4项.
（2）设第 项系数的绝对值最大.则 ，
得 ，解得 ，
， ，
展开式中系数绝对值最大的项为第2项.
第四部分：新定义题
1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设 的第 项系数为 .
(1)当 时，求 的最大值；
(2)[x)表示 的整数部分， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)0
【知识点】求系数最大（小）的项
【分析】（1）系数最大的项需满足 即可求解；
（2）分 为偶数和 为奇数求解．
【详解】（1）解：由题可知， 展开式中第 项为： ，
则系数最大的项需满足 ，解得 或 ，
所以系数最大为第3项或第4项，
所以最大项系数为 .
（2）注意到 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
若 为偶数，设 ，则 ，
，则其中 ，于是 ，
此时 为正整数，故 ，
若 为奇数，设 ，则 ，
，故
于是 ，此时 为正整数，故 ，
综上所述， .
