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第 05 讲 指数与指数函数 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：指数与指数幂的运算
高频考点二：指数函数的概念
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象； ②根据指数型函数图象求参数
③指数型函数图象过定点问题； ④指数函数图象应用
高频考点四：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间 上的值域； ②指数型复合函数值域
③根据指数函数值域（最值）求参数
高频考点五： 指数函数单调性
①求指数（型）函数单调区间； ②由指数（型）函数单调性求参数
③根据指数函数单调性解不等式
高频考点六：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
②根据指数函数最值求参数
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．（2）性质：
① ( 且 )；
②当 为奇数时， ；当 为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
②正数的负分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
① ；
② ；
③ .
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数 ( ，且 )叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）指数函数 的图象和性质
底数
图象
定义域为 ，值域为
图象过定点
当 时，恒有
性质 当 时，恒有 ；
；
当 时，恒有
当 时，恒有
在定义域 上为增函数 在定义域 上为减函数
指数函数 ( ，且 )的图象和性质与 的取值有关，应分
注意
与 来研究第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一专题练习）化简 ___________
【答案】
解：
.
故答案为：
2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
【答案】③
① 的系数不是 ，不是指数函数；
② 的指数不是自变量 ，不是指数函数；
③ 是指数函数；
④ 的底数是 不是常数，不是指数函数；
⑤ 的指数不是自变量 ，不是指数函数；
⑥ 是幂函数．
故答案为：③
3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数 的图象恒过定点_____________.
【答案】（1,3）
令 ，可得 ，
所以 ，即 图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
4．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，函数 的图像是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
，
时， 时， .
故选：B.
5．（2022·全国·高一专题练习）求值 .
【答案】
原式
.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D对于A， ，故A正确；
对于B， ，成立，故B正确；
对于C， ，成立，故C正确；
对于D， 当 且 时， 和 无意义，故D错误，
故选：D．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知 ,，则 的值为______.
【答案】47
由 ，得 ，即 ，
所以 ，则 .
故答案为： .
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）化简 并求值.
【答案】3.
.
2．（2022·全国·高一）（1）求值： ；
（2）已知 ，求值： .
【答案】（1）81；（2）6.
（1）原式 ；
（2）由 ，而 ，
则 ，故 .
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数 是指数函数，则（ ）A． 或 B． C． D． 且
【答案】C
由指数函数定义知 ，同时 ，且 ，所以解得 .
故选：C
例题2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设 ，且 ，则 =
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
由题意，函数 ，
因为 ，可得 ，解得 ，即 ，
所以 .
故选：B.
例题3．（2022·北京·高三专题练习）若函数 是指数函数，则 等于（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
由题意可得 ，解得 .
故选：C.
题型归类练
1．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：① ；② 在 上单
调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.
【答案】
由题意：是指数函数里的减函数，故可以是： ，
故答案为： .
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知指数函数 的图象经过点 ，求 的值．
【答案】
指数函数 的图象经过点 ，则 ，解得所以 ，则
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象；
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数 ( 是自然底数)的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解析 ，
函数 为偶函数，且过 ， ，
函数在 上递增，在 上递减，故C符合.
故选：C.
例题2．（2022·浙江·高三学业考试）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
解：由 ，得函数 是以 为底数的指数函数，
且函数为减函数，故D选项符合题意.
故选：D.
②根据指数型函数图象求参数范围
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，其中 ， 为常数，则下列结论正
确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
由 ，可得 ，
因为由图像可知函数是减函数，所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
故选：A
例题2．（2022·全国·高一专题练习）若函数 的部分图象如下图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A由题,函数图象恒过点 ,由图象可得 ,即 ,
显然,函数单调递减,所以 ,
故选:A
③指数型函数图象过定点问题；
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数 的图象恒过定点
_____________.
【答案】（1,3）
令 ，可得 ，
所以 ，即 图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
例题2．（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数 （ 且 ）恒过一定点
________ .
【答案】
令 可得 ，则 ，因此，函数 的图象恒过定点 .
故答案为： .
④指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2022·广东·信宜市第二中学高一开学考试）若直线y=2a与函数 的图象有且只有一个公
共点，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
画出两个函数在同一坐标系下的图象，
若两个函数图象有且只有一个公共点，则 或 ， 或 .
故选：D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
____________．
【答案】(－∞，0]
函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到
x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．
故答案为：(－∞，0].
题型归类练
1．（2022·全国·高一）已知函数 ，则函数的图像经过（ ）．
A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限
C．第二、四象限 D．第一、二象限
【答案】B
因为 ，
所以函数 的图象经过一、二象限，
又 的图象是由 的图象沿y轴向下平移2个单位得到，
所以函数 的图象经过二、三、四象限，如图，
故选：B2．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
根据函数 与 关于 对称，可知①④正确，
函数 为单调递增函数，故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象如图所示，则以下结论不正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由图像可得 ，所以可得 ， ， ， ， ， ．因此
只有D不正确．
故选：D．
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知 过定点 ，则点 的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：令 ，解得： ，
，
恒过定点 .
故选：C.
5．（2022·湖北武汉·高一期末）函数 与 ，其中 ，且 ，它们的大致图象在同一直角
坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
，则 单调递增，故排除AC；
对于BD， 单调递减，则 ， 与y轴交于0和1之间，故排除B.
故选：D.
6．（2022·上海交大附中高一期末）已知函数 ，的图象不经过第四象限，则a
的取值范围为__________．
【答案】 .
当 时，令 ，可得 ，此时不等式的解集为空集，（舍去）；
当 时，令 ，可得 ，即 ，即实数 的取值范围 ，
综上可得，实数 的取值范围 .
故答案为： .
7．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，求点 的坐
标．【答案】
对于 ，由于指数函数 恒过点 ，
故当 时，即 时不论 为何值， ，
曲线过定点 ，
故答案为： .
8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 但又不与
该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
【答案】（1） ，图象见解析；（2） 为偶函数， 在 上为减函数，在
上为增函数.
解：（1）由题意知， ， ，
，
∴ ，图象如图：
（2）∵ ，
∴ ，为偶函数，
又 ，
∴ 在 上为减函数，在 上为增函数．
高频考点四：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间 上的值域；
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数 的值域是
A． B． C． D．
【答案】B
由指数函数的性质可得 是递增函数，
所以当 时， ，即 ,
.
函数 的值域为 .
故选 B.
例题2．（2022·江西上饶·高一期末）函数 ， 的值域为___________.
【答案】 ##
由 ，可知指数函数 在区间 上单调递增，
又 ， ，
则函数 ， 的值域为
故答案为：
②指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数 的值域为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
令 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴函数 的值域为 ，
故选：D
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为_________．
【答案】 ．
设 ，因为 ，所以 .
又因为函数 为增函数，有 ，所以函数 的值域为 ．
故答案为：
③根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数 且 的值域是 ，则实数
____.
【答案】 或
当 时，函数 且 是增函数，
值域是 ， ；
当 时，函数 且 是减函数，
值域是 ， .
综上所述，可得实数 或 .故答案为： 或
题型归类练
1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数 的值域是__________.
【答案】
因为指数函数 在 上为单调递减函数，
所以当x=-3时，函数有最大值为 ，
当x=1时，函数有最小值为 .
所以值域为 .
故答案为：
2．（2022·重庆八中高二阶段练习）函数 的值域是_____________．
【答案】
，故
故答案为：
3．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数 的值域为______．
【答案】
由于 ， 在 上单调递减，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的值域；(2)若 有最大值16，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)当 时， .
因为 在R上单调递增，且 ，
可得 ，所以 ，
故 的值域为 .
(2)令 ，因为函数 在其定义域内单调递增，
所以要使函数 有最大值16，则 的最大值为4，
故 解得 .
故 的值为 .
5．（2022·全国·高一）已知函数 且 在区间 上的最大值比最小值大 ,求 的值.
【答案】 或
时， 是减函数， ， ；
时， 是增函数， ， ．
综上， 或 ．
6．（2022·湖南·高一期末）已知函数 .
(1)求 的值域；
(2)当 时， 的最大值为7，求 的值.
【答案】(1) (2) 或
(1)设 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 的值域为 .
(2)函数 图象的对称轴为直线 .
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
则 ，解得 或 （舍去）
所以 ；
当 时， ，所以 在 上单调递增，
则 ，解得 或 （舍去），
因为 ，所以 .
综上， 或 .
高频考点五： 指数函数单调性
①求指数（型）函数单调区间；
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
在定义域内为减函数，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故选：C
例题2．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D解：因为函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得 的单调递减区间为 .
故选：D
②由指数（型）函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）指数函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为指数函数 在R上单调递减，
所以 ，得 ，
所以实数a的取值范围是 ，
故选：D
例题2．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）已知函数 在 上是减函数,则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可得 ，解得
故选：B
③根据指数函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·上海闵行·二模）不等式 的解集为___________；
【答案】
即 ，解得：
故答案为：例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））不等式 的解集为___________．
【答案】
依题意
题型归类练
1．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数 在下列哪些区间内单调递减（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
由题意，函数 在 上单调递减，
又由函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
结合选项，可得选项 符合题意.
故选：ACD.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期末）函数 的单调递减区间为
____________ .
【答案】(－∞，1]
因为函数 的单调递增区间为(－∞，1]，且 ，
所以函数 的单调递减区间为(－∞，1].
故答案为：(－∞，1].
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是增函数，则实数a的取值范围是
______．
【答案】
解：∵ 是定义域R上的增函数，
∴ ，即 ，解得： ，
∴实数a的取值范围为 ．
故答案为： ．
4．（2022·广东·盐田高中高一阶段练习）已知函数 ，若函数 在 上为减
函数，则实数a的取值范围为___________.
【答案】 .
二次函数 的对称轴为 ，要想当 时，该二次函数单调递减，则有
，当函数 在 上为减函数时，
只需满足条件： ，
故答案为：
5．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 是区间 上的减函数，求实数 的取值范围．
【答案】
函数 是区间 上的减函数，
故 ，即 ，
所以 ，
故实数 的取值范围为 .
6．（2022·湖南邵阳·高一期末）已知函数 ，（a为常数， 且 ），若 ．
(1)求a的值；
(2)解不等式 ．
【答案】(1)3；(2) .
(1)∵函数 ， ，∴ ，
∴ .
(2)由（1）知 ，
由 ，得
∴ ，即 ，
∴ 的解集为 .
高频考点六：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（2021·全国·高一专题练习）函数 在区间 上最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
∵ 在 上单调递增，
∴ .
故选：B.
例题2．（2021·全国·高一课时练习）函数 的最大值是______．
【答案】9
由题可知： ，所以
又指数函数 为R上的增函数，所以 的最大值为
故答案为：9
②根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（2022·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知指数函数 （ 且 ）在区间 上
的最大值是最小值的2倍，则 ______．
【答案】 或2
①当 时， ，得 ；②当 时， ，得 ，故 或2．
故答案为： 或2.
例题2．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数 （ 且 ）在 的最大值与最小值之差等于
，则实数 的值为______．【答案】 或
若 ，则函数 在 上为增函数，则 ，解得 ；
若 ，则函数 在 上为减函数，则 ，解得 .
综上所述， 或 .
故答案为： 或 .
题型归类练
1．（2021·全国·高一专题练习）函数 在区间[–2，2]上的最小值是（ ）
A． B．
C．–4 D．4
【答案】B
函数 在定义域R上单调递减
∴f（x）在区间[–2，2]上的最小值为f（2） ．
故选：B．
2．（2021·全国·高一课前预习）函数 在区间[1，2]上的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
∵函数 在区间[1，2]上单调递增，
∴函数 在区间[1，2]上的最大值是f（2）＝2，
故选：C
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数 在区间 上的最大值和最小值的和为 ，
则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC当 时，函数 在区间 上为单调递增函数，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ；
当 时，函数 在区间 上为单调递减函数，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
综上可得，实数 的值为 或 .
故选：BC
4．（2021·全国·高一专题练习）已知 ，求函数 的最大值．
【答案】2
因为 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为对称轴 ，
所以当 ，即 时， ．
5．（2022·湖南·高一课时练习）指数函数 在 上的最大值与最小值的和为3，求 .
【答案】
若 则 在 单调递减， 的最大值与最小值分别为 ；
，解得 （舍去）
若 ，则 在 单调递增， 的最大值与最小值分别为 ， ，解得： ，
综上： .
所以 .
