文档文本内容
考点04 基本不等式4 类常见考点全归纳
1. 了解基本不等式的推导过程.
2. 会用基本不等式解决简单的最值问题.
考点一 基本不等式的理解及常见变形
考向1 对基本不等式的理解
考向2 利用基本不等式比较大小
考点二 利用基本不等式求最值
考向1 直接法
考向2 配凑法
考向3 常数代换法
考向4 消元法
考向5 不等式法
考向6 对勾函数求最值
考向7 多次运用基本不等式
考点三 基本不等式的恒成立问题
考点四 基本不等式的实际应用
1.基本不等式：❑√ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b 时，等号成立.
(3)其中a＋b
2
叫做正数a，b 的算术平均数，❑√ab叫做正数a，b 的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2❑√P.
(2)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值1
4 S 2 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
易错点：
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式
(1)a
b ＋b
a≥2(a，b 同号，当且仅当a＝b 时，等号成立)；
(2)
2
1
a ＋1
b
≤❑√ab≤a＋b
2
≤❑√
a
2＋b
2
2
(a>0，b>0，当且仅当a＝b 时，等号成立).
2.谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条
件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
考点一 基本不等式的理解及常见变形
考向1 对基本不等式的理解
【典例】(1)(多选)下列说法不正确的是( )
A.x＋4
x 的最小值是4
B.不等式ab≤(
a＋b
2
)
2
与❑√ab≤a＋b
2
成立的条件是相同的
C.
❑√x
2＋2＋1
❑√x
2＋2
的最小值为2
D.存在a，使得a＋1
a <2 成立
答案 ABC
解析 对于A，当x>0 时，x＋4
x ≥2❑√x·
4
x ＝4(当且仅当x＝2 时取等号)，
当x<0 时，x＋4
x ＝－[( −x) ＋4
−x]≤－2❑√( −x)
·4
−x ＝－4(当且仅当x＝－2 时取等号)，故A 错误；
对于B，ab≤(
a＋b
2
)
2
恒成立，而❑√ab≤a＋b
2
成立的条件为a>0，b>0，故B 错误；
对于C，y＝
❑√x
2＋2＋1
❑√x
2＋2
≥2，等号成立的条件是
❑√x
2＋2＝1
❑√x
2＋2
，即x2＋2＝1，显然不能取到，
故C 错误；
对于D，存在a＝－1，使得a＋1
a <2 成立，故D 正确.
(2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是( )
A.b>a＋b
2
>a>❑√ab
B.b>❑√ab>a＋b
2
>a
C.b>a＋b
2
>❑√ab>a
D.b>a>a＋b
2
>❑√ab
答案 C
解析 ∵0<a<b，∴2b>a＋b，
∴b>a＋b
2
>❑√ab.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴❑√ab>a.
故b>a＋b
2
>❑√ab>a.
解题策略：
基本不等式的常见变形
(1)ab≤(
a＋b
2
)
2
≤a
2＋b
2
2
.
(2)
2
1
a ＋1
b
≤❑√ab≤a＋b
2
≤❑√
a
2＋b
2
2
(a>0，b>0).
【巩固训练】
1．（24-25 高一下·云南保山·期末）“
”是“
，”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，得到
，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由
，可得
，即
或
，
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B.
2．（24-25 高一上·上海·期末）若
满足
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】AB 通过分析a，b 符号，可判断选项正误；
C 由基本不等式可判断选项正误；
D 由作差法结合AB 分析可判断选项正误.
【详解】对于AB，因
，则a，b 同号，当a，b 都为负数时，
显然
，
，故AB 错误；
对于C，由基本不等式，因
，则
，
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D，
，则当a，b 都为负数时，
，故D 错误.
故选：C
3．（24-25 高一上·贵州贵阳·期中）如图，
是圆的直径，点
是
上一点，
．过点
作垂直于
的弦
，连接
．可证
，因而
．由于
小于或等于圆的半
径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．对
，都有
，当且仅当
时等号成立
D．对
，都有
，当且仅当
时等号成立
【答案】C
【分析】根据题意，结合
小于或等于圆的半径求解即可.
【详解】由题意，由于
小于或等于圆的半径，
是圆的直径，
且
，
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
故选：C.
考向2 利用基本不等式比较大小
【典例】（2024·山东青岛·高一青岛二中校考期中）设正实数
、
满足
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A：由
，则
，仅当
时等号成立，故
，错误；
B：由
，仅当
时等号成立，故
，正确；
C：由
，仅当
时等号成立，故
，错误；
D：由
，仅当
时等号成立，故
，错误.
故选：B
解题策略：
利用基本不等式解决 “比较大小”类问题，核心是识别可放缩结构、严格验证等号条件。
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用作商法及基本不等式比较
大小，由对数的运算性质求，再由对数的性质比较
大小，
即可得.
【详解】因为
，所以
，
因为
，又
，故
.
故选：A
2．（24-25 高一下·广东广州·期末）已知函数
，若
， 且
，则下列选项正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合对数运算可得
，再逐项分析判断即得.
【详解】函数
，由
，得
，由
，得
，
因此
，则
，
，解得
，AB 错误；
，C 正确，D 错误.
故选：C
3．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b 满足
，则下列不等式中，不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确
定正确答案.
【详解】A 选项，幂函数
在
上单调递增，
由于
，所以
，A 选项不等式恒成立.
B 选项，当
时，
，但
，B 选项不等式不恒成立.
C 选项，
，根据基本不等式可知
，B 选项不等式恒成立.
D 选项，指数函数
在上单调递增，
由于
，所以
，D 选项不等式恒成立.
故选：B
考点二 利用基本不等式求最值
考向1 直接法
【典例1】若实数x，y 满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为( )
A.1
B.❑√2
C.2
D.2❑√2
答案 D
解析 方法一 由xy＝1 得x2＋2y2≥2❑√x
2· 2y
2＝2❑√2，
当且仅当x2＝2y2，即x2＝❑√2，y2＝
❑√2
2
时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2❑√2.
方法二 x2＋2y2＝x
2＋2y
2
xy
＝x
y ＋2y
x
≥2❑√2，当且仅当x2＝2y2，即x2＝❑√2，y2＝
❑√2
2
时，等号成立，x2
＋2y2的最小值为2❑√2.
【典例2】当0<x<1 时，3x(3－3x)的最大值为 .
答案 9
4
解析 由题意及基本不等式可知
3x(3－3x)≤[
3x＋(3−3x)
2
]
2
＝9
4 ，
当且仅当x＝1－x，即x＝1
2时取等号.
解题策略：
①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.
积
，和
和平方和
三者之间的不等式关系：
②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式≤，求最值时要求"一正、二定、三相等".
③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
【巩固训练】
1．（24-25 高一上·青海西宁·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式即可求得
的最大值.
【详解】因为
，
，
根据基本不等式可得
，所以
.
当
时，
取最大值
.
故选：A.
2．（24-25 高一上·陕西汉中·期末）若
，且
，则（ ）
A．
有最小值为
B．
有最大值为
C．
有最小值为
D．
有最大值为
【答案】D
【分析】根据基本不等式，可得答案.
【详解】由题意可得
，当且仅当
时取等号，解得
.
故选：D.
3．（24-25 高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．6
D．5
【答案】B
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
，
所以
的最小值是
.
故选：B.
考向2 配凑法
【典例1】函数f(x)＝4x＋9
x＋1 ，x (∈－1，＋∞)的最小值为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
答案 B
解析 因为x (
∈－1，＋∞)，则x＋1>0，
则f(x)＝4x＋9
x＋1 ＝4(x＋1)＋9
x＋1 －4≥2❑√4(x＋1 ) ·9
x＋1 －4＝12－4＝8，
当且仅当{
4(x＋1)＝9
x＋1 ,
x>−1,
即x＝1
2时，等号成立，
故函数f(x)＝4x＋9
x＋1 ，x (
∈－1，＋∞)的最小值为8.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知
，求
的最大值.
【答案】
【详解】因为
，所以
，
则有
，
当且仅当
，即
时，取等号，
故
的最大值是
.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）若
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【答案】A
【详解】因
，则
，
于是得
，当且仅当
，即
时取
“=”，
所以当
时，
有最大值
.
故选：A
解题策略：
将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.
①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，
“三相等”是指满足等号成立的条件.
②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方
面的问题：
1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
③形如
的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分
开再利用不等式求最值。即化为
，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用
基本不等式来求最值。
【巩固训练】
1．（24-25 高一上·河北唐山·期中）已知
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】
，利用基本不等式可求最大值.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故
的最大值为
.
故答案为：
.
2．（23-24 高一下·贵州遵义·期中）已知
，则
的最小值是 ．
【答案】2
【分析】变形式子，由均值等式求最值即可.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
．即
时，等号成立．
故答案为：2
3．（2020 高一·全国·专题练习）已知
，求
的最大值；
【答案】1
【分析】将
变形为
，然后利用基本不等式求解最大值即可.
【详解】∵
，
∴
，
∴
，
当且仅当
，即
时，上式等号成立，
故当
时，
．
考向3 常数代换法
【典例1】(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且1
a＋1 ＋2
b＋1 ＝1，则a＋b 的最小值为 .
答案 2❑√2＋1
解析 由a>0，b>0，1
a＋1 ＋2
b＋1 ＝1，
得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2
＝(
1
a＋1 ＋2
b＋1)[(a＋1)＋(b＋1)]－2
＝b＋1
a＋1 ＋2(a＋1)
b＋1
＋1≥2❑√
b＋1
a＋1 ·
2(a＋1)
b＋1
＋1
＝2❑√2＋1，
当且仅当b＋1
a＋1 ＝2(a＋1)
b＋1
，即a＝❑√2，b＝❑√2＋1 时取等号，所以a＋b 的最小值为2❑√2＋1.
【典例2】（2024 春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
，
所以
的最小值为
，
故选：D
【典例3】（2024·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知
，则
的最小值是______．
【答案】
【分析】变形条件等式得
，然后展开，利用基本不等式求最
小值.
【详解】
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值是
.
故答案为：
.
解题策略：
①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相
乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数
满足
，求
的最小值。
模型2 已知正数
满足
求
的最小值。
②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
2)把确定的定值(常数)变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
4)利用基本不等式求解最值．
③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问
题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
【巩固训练】
1．（25-26 高一上·全国·单元测试）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用“1”的代换及均值不等式计算可求解．
【详解】因为
，
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号．
故选：D.
2．（24-25 高一上·天津·期中）已知x，y 均为正数，
，则
的最小值 .
【答案】
【分析】应用基本不等式计算求解.
【详解】已知x，y 均为正数，
，则
，
，
当且仅当
取最小值
.
故答案为：
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过
的妙用凑成积为定值，再利用基本不等式求解.
【详解】
，
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
的最小值为
.
故选：B
考向4 消元法
【典例】已知实数x，y 满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y 的最小值是( )
A.
❑√2
3
B.2❑√2
3
C.2❑√2
D.3❑√2
答案 B
解析 因为实数x，y 满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝1−y
2
3y
，
则2x＋y＝2−2y
2
3y
＋y＝2
3y ＋y
3 ≥2❑√
2
3y ·
y
3 ＝2❑√2
3
，
当且仅当2
3y ＝y
3 ，即y＝❑√2时，等号成立，
所以2x＋y 的最小值是2❑√2
3
.
解题策略：
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一
个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式
求解．注意所保留变量的取值范围
【巩固训练】
1．（2024 高三下·上海·竞赛）若正实数
满足
，则
的最小值是 .
【答案】9
【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可.
【详解】解析一:
，
则
，等号成立时
.
所以
的最小值是9.
解析二:
，
则
，
等号成立时
所以
的最小值是9.
故答案为：9.
2．（2022 高三·全国·专题练习）已知实数
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
/
【分析】根据题设条件，求出
，代入所求式
，将其整理，运用基本不等式即可求得.
【详解】由
可得：
，将其代入
，则有：
，
因
，故有：
，
当且仅当
时等号成立，即
时，
取得最小值
.
故答案为：
.
3．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得
，得出
的表达式再由基本不等式计算可得结果.
【详解】由
得
，
即
，
当且仅当
，
取到等号，
故选：C.
考向5 不等式法
【典例】(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是( )
A.a＋b≤8
B.ab≥16
C.a＋3b≥4＋6❑√3
D.1
a−1 ＋4
b−1 ≥4
3
答案 BCD
解析 对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤(
a＋b
2
)
2
，当且仅当a＝b 时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，
解得t≥8 或t≤－4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A 项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2❑√ab，
当且仅当a＝b 时等号成立，
不妨设❑√ab＝s，则s2－2s－8≥0，
解得s≥4 或s≤－2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B 项正确；
对于选项C，由ab＝a＋b＋8 可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝b＋8
b−1 ，
则a＋3b＝b＋8
b−1 ＋3b＝1＋9
b−1 ＋3b＝4＋9
b−1 ＋3(b－1)≥4＋2❑√27＝4＋6❑√3，
当且仅当9
b−1 ＝3(b－1)，即b＝❑√3＋1，a＝3❑√3＋1 时取等号，a＋3b 有最小值4＋6❑√3，故C 项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8 可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，
则1
a−1 ＋4
b−1 ≥2❑√
1
a−1 ·
4
b−1 ＝4
3 ，当且仅当1
a−1 ＝4
b−1 时等号成立，
由{
1
a−1 ＝4
b−1 ,
ab＝a＋b＋8
解得{
a＝5
2 ,
b＝7,
即当且仅当a＝5
2，b＝7 时，1
a−1 ＋4
b−1 有最小值4
3 ，故D 项正确.
解题策略：
①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关
于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运
用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
【巩固训练】
1．（24-25 高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y 均为正数，
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．7
D．
【答案】A
【分析】由已知等式化简后用基本不等式即可解得结果.
【详解】∵
，
，
，
∴
，
令
，则
，即
，
当且仅当
时等号成立，
故
的最小值为4．
故选:A．
2．（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）已知
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式得到
，解不等式，求出答案.
【详解】因为
，所以
．
因为
，所以
．
令
，则
，解得
或
．
因为
，所以
（
取等号）．
故
的取值范围是
．
故选：A
3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．
【详解】由题意可知
，当
时等号成立，
即
，
令
，则
解得
或
舍
即
，
当且仅当
时，等号成立．
故选：C.
考向6 对勾函数求最值
【典例】函数f(x)＝x2＋3
x
2＋2 的最小值是 .
答案 3
2
解析 由f(x)＝x2＋3
x
2＋2 ＝x2＋2＋3
x
2＋2 －2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋3
t －2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2 时，f(t)min＝3
2，
即当x＝0 时，f(x)min＝3
2.
解题策略：
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
如图，对于函数f(x)＝x＋k
x ，k>0，x [
∈a，b]，[a，b] (0
⊆
，＋∞).
(1)当❑√k∈[a，b]时，f(x)＝x＋k
x ≥2❑√k，f(x)min＝f(❑√k)＝
❑√k＋k
❑√k＝2❑√k；
(2)当❑√k<a 时，f(x)＝x＋k
x 在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋k
a ；
(3)当❑√k>b 时，f(x)＝x＋k
x 在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋k
b.
因此，只有当❑√k∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当❑√k∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性
求最值.
【巩固训练】
1．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据对勾函数的单调性以及正弦函数的值域即可求解.
【详解】因为
，令
，则
，
由于
在
单调递减，在
单调递增，
故
在
单调递减，所以
，
故
的最小值为5.
故选：D
2．（24-25 高一上·江苏泰州·阶段练习）下列函数的最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由基本不等式性质结合三角函数性质、二次根式性质和对勾函数性质即可逐项计算求解判断.
【详解】对于A，当
时，
，当且仅当
即
时等号成立，
当
时，
，
当且仅当
即
时等号成立.故A 不符合；
对于B，因为
，所以
，
所以
，当且仅当
即
时等号成立，
但
，所以
，故B 不符合；
对于C，因为
，函数
在
上单调递增，
所以
，故C 不符合；
对于D，因为
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，故D 符合.
故选：D.
3．（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值.
【详解】令
，则
，
而函数
在
上单调递增，
所以当
，即
时，
取得最小值
.
故选：D
考向7 多次运用基本不等式
【典例】（2024·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求出最值.
【详解】
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
解题策略：
利用两次基本不等式求最值
在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两
点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次
缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同
时成立时方可.
【巩固训练】
1．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】64
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】法一：因为
，
，所以
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
所以
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立．
所以
的最小值为64．
法二：因为
，
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
所以
的最小值为64．
故答案为：64.
2．（2022·天津·一模）设
，那么
的最小值是 .
【答案】16
【分析】利用均值不等式求
的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】因
，则
，当且仅当
，即
时取“=”，
因此，
，当且仅当
，即
时取“=”，
所以，当
时，
取最小值16.
故答案为：16
3．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数
，满足
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】变形得到
，利用两次基本不等式，求出最小值.
【详解】任意的正实数
，满足
，
由于
为正实数，故由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上，
的最小值为
.
故答案为：
【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比
如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
考点三 基本不等式的恒成立问题
【典例】(1)若不等式1
❑√a ＋2
❑√b≥m
❑√a＋2❑√b恒成立，则实数m 的最大值为( )
A.2
B.3
C.4
D.9
答案 D
解析 由题意
❑√a＋2❑√b
❑√a
＋2❑√a＋4 ❑√b
❑√b
≥m 恒成立，即5＋2❑√b
❑√a ＋2❑√a
❑√b ≥m 恒成立.
又5＋2❑√b
❑√a ＋2❑√a
❑√b ≥5＋2❑√
2❑√b
❑√a ·
2❑√a
❑√b
＝9，当且仅当a＝b 时取等号.
故实数m 的最大值为9.
(2)若两个正实数x，y 满足1
x ＋4
y ＝1，且不等式x＋y
4 <m2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )
A.{m|－1<m<4}
B.{m|m<－4 或m>1}
C.{m|－4<m<1}
D.{m|m<－1 或m>4}
答案 D
解析 不等式
∵
x＋y
4 <m2－3m 有解，
∴(x＋y
4)
min
<m2－3m，∵x>0，y>0，1
x ＋4
y ＝1，
∴x＋y
4 ＝(x＋y
4)(
1
x ＋4
y)＝4x
y
＋y
4x ＋2≥2❑√
4x
y
·
y
4x ＋2＝4，
当且仅当4x
y
＝y
4x ，即x＝2，y＝8 时等号成立，
∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，
∴m<－1 或m>4，
实数
∴
m 的取值范围是{m|m<－1 或m>4}.
解题策略：
∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
【巩固训练】
1．（24-25 高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，
，都有
，则实数a 的最小值
是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．前3 个答案都不对
【答案】B
【分析】由题意可得
，求得
即可.
【详解】因为x，
，所以
，所以
，
又
，
当且仅当
时，取等号，所以
，
所以实数a 的最小值是.
故选：B.
2．（24-25 高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式
恒成立，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】变换得到
，计算
得到答案.
【详解】不等式
恒成，即
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
.
故选：
.
3．（2025·吉林延边·一模）已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对题目等式变形得
，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正实数
,
满足
，所以
，
则：
，
当且仅当
时取等号，因为不等式
恒成立，所以
．
故选：B．
考点四 基本不等式的实际应用
【典例】随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车
行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系
满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型
号电动汽车从A 地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km 的B 地，
出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B 地后至少要保留5 kW·h 的保障电量(假设该电动汽车从静
止加速到速度为v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地，并说明理由；
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A 地与B 地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充
电量＝充电功率×时间)，求到达B 地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
解 (1)设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·500
v
＝v＋2 500
v
－20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min＝f(60)＝245
3
>75－5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B 地.
(2)设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B 地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥v
15 ＋500
3v －6.
所以t＝t1＋t2≥500
v
＋v
15 ＋500
3v －6＝v
15 ＋2 000
3v
－6≥2❑√
v
15 ·
2 000
3v
－6＝22
3 .
当且仅当v
15 ＝2 000
3v
，即v＝100 时取等号，
所以该汽车到达B 地的最少用时为22
3 h.
解题策略：
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数
的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
【巩固训练】
1．（24-25 高一上·安徽六安·期中）在经济学中，函数
的边际函数
.某公司每月
最多生产
台光刻机的某种设备，生产
台时(
)这种设备的收入函数为
（单
位：千万元），其成本函数为
（单位:千万元）．
(1)求成本函数
的边际函数
的最大值；
(2)求生产
台光刻机的这种设备的利润
的最小值．
【答案】(1)
(2)
（千万元）
【分析】（1）根据定义可得
的表达式，即可根据函数的单调性求解最值，
（2）根据对勾函数的性质即可求解.
【详解】（1）由
，
，
可得
，
，
在
时单调递增，
故当
时，
（2）由
,
故
．
记
，则该函数在
上递减，在
上递增，且
，
于是当
时，
得最小值.
由
，解得
或
，
（千万元）
2．（23-24 高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方
米造价为1200 元，房屋侧面每平方米的造价为800 元，屋顶的造价为5800 元．如果墙高为3 m，且不计
房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元．
【答案】
【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案.
【详解】设房屋底面一边长为
m，则另一边长为
m，
所以房屋的总造价为
，
因为
，所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
故答案为：
.
3．（22-23 高二下·吉林·阶段练习）长征五号B 运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的
一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•
卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱
和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为
，且圆锥的高与圆柱高的比为1：4，则该模型体
积的最大值为 ．
【答案】
【分析】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r，根据题意将该模型的体积表示为r 的函数，再由基本不等式求最
值得答案.
【详解】设圆锥与圆柱底面圆的半径为，又圆锥的母线长为
，
圆锥的高为
，则圆柱的高为
，
该模型的体积
，当且仅当
，即
时取得等号，
该模型的体积最大值为
.
故答案为：
.
一、单选题
1．设
且
，则下列四数中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质和作差法即可比较大小．
【详解】
，且
，
．
即
又
最大的一个数为
故选D
【点睛】本题考查比较大小问题，作差法是常用的方法，同时要注意不等式的性质和重要不等式的应用，
属于基础题．
2．设
则
的最大值是（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故选：D
3．函数
在x＝t 处取得最小值，则t 等于（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】将函数变形为
，利用基本不等式，即可进行求解，并检验取等条件，即可得答
案.
【详解】
，
当且仅当
，即x＝2 时，等号成立，
所以t=2.
故选：B
【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值，解题的关键是对函数进行变形，配凑出积为定值的形
式，再进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
4．若
，且
，则下列不等式中，恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：
，所以A 错；
，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，
所以当
时，B 错；同时C 错；
或
都是正数，根据基本不等式求最值，
，故D 正确．
考点：不等式的性质
二、填空题
5．设正数
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【详解】
故答案为4.
【思路点睛】本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方
形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正
数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取
得最值.
6．正数a，b 满足ab＝a＋b＋3，则ab 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题得ab＝a＋b＋3≥2
＋3，解不等式
即得解.
【详解】∵a，b 是正数，
∴ab＝a＋b＋3≥2
＋3(当且仅当a＝b＝3 时等号成立)，
所以
，
所以
，
所以
或
，
所以ab≥9.
故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．设a，b 为非零实数，给出不等式：
①
；②
；③
；④
.
其中恒成立的不等式是 ．
【答案】①②
【解析】由a2＋b2≥2ab 可判断①②正确；取特殊值可判断③
错误
④
.
【详解】对于①，由重要不等式a2＋b2≥2ab 可知①正确；
对于②，
，故②正确；
对于③，当a＝b＝－1 时，不等式的左边为
，右边为
，可知③不正确；
对于
，令
④
a＝1，b＝－1 可知
不正确．
④
故答案为：①②.
【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.
8．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a； ②
； ③(a＋b)
； ④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是 (填序号).
【答案】①②③
【分析】利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断
即可得出结论
④
.
【详解】由于a2＋1－a＝
，故①恒成立；
由于
＝
＋
＋
≥2
＋2
＝4，
当且仅当
即a＝b＝1 时等号成立，故②恒成立；
由于(a＋b)
＝2＋
＋
≥2＋2
＝4.当且仅当
＝
，
那么a＝b＝1 时等号成立，故③恒成立；
当a＝3 时，a2＋9＝6a，故
不恒成立
④
.
综上，恒成立的是①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属
于较易题.
9．若
，
，则
的最小值为 .
【答案】4
【详解】
，（前一个等号成立条件是
，后
一个等号成立的条件是
，两个等号可以同时取得，则当且仅当
时取等
号）.
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）
，当且仅当
时取等号；（2）
，
，当且仅当
时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次
还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1 的妙用”求最值.
三、解答题
10．已知
，求
的最大值.
【答案】
【解析】分
和
两种情况讨论，在
时，将代数式变形为
，利用
基本不等式的变形可求出
的最大值，综合可得出结论.
【详解】当
时，
.
当
时，
，
，
，
当且仅当
，即
时取等号.
的最大值为，此时
.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的
成立，考查计算能力，属于基础题.
11．（1）已知
，求
的最小值；
（2）求
的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先变形为
，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再
利用基本不等式求最大值.
【详解】（1）
，
，
，
当且仅当
时，即当
时等号成立，
的最小值为；
（2）由
知
.
当
或
时，
；
当
时，
，由基本不等式可得
.
当且仅当
，即当
时等号成立.
综上，
的最大值为.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的
方法需记住“一正，二定，三相等的原则”.
12．已知
，求
的最小值，并说明x 为何值时y 取得最小值．
【答案】当
时，y 取得最小值
【解析】根据基本不等式，求得
的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时
的值.
【详解】∵
，∴
．当且仅当
，即
时，等号成立．
即当
时，y 取得最小值
．
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
13．已知
，求
的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．
【答案】当
时，y 取得最大值
【解析】根据基本不等式，求得
的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时
的值.
【详解】∵
，∴
，∴
．
当且仅当
，即
时，取等号．即当
时，y 取得最大值
．
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
14．求函数
的最大值．
【答案】
【分析】由基本不等式可得最大值．
【详解】
，
，
所以
，当且仅当
，即
时选号成立．
所以最大值为
．
15．用一段长为
的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长
.当这个矩形的边长为多少时，菜园的
面积最大？最大面积是多少？
【答案】当矩形菜园平行于墙的一边的长为
，与之相邻的边的长为
时，菜园的面积最大，最大
面积是
.
【解析】设矩形菜园平行于墙的一边的长为
，与之相邻的边的长为
，由题意得出
，利用
基本不等式可求出菜园面积的最大值，利用等号成立的条件可求出矩形的边长，进而可得出结论.
【详解】设矩形菜园平行于墙的一边的长为
，与之相邻的边的长为
，菜园的面积为
，
则
，
.
由基本不等式得
.
当
，即
，
时，菜园的面积最大，最大面积是
.
因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为
，与之相邻的边的长为
时，菜园的面积最大，最大面
积是
.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要结合定值条件对所求代数式进行合理配凑，
同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
16．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费
（单位：
万元）与仓库到车站的距离
（单位：
）成反比，每月库存货物费
（单位：万元）与
成正比；若在
距离车站
处建仓库，则
和
分别为
万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，
才能使两项费用之和最小？
【答案】
【解析】设
，
，根据题中信息求出
和的值，进而可得出两项费用之和
关于
的表达式，
利用基本不等式可求出
的最小值，由等号成立求出对应的
值，进而可得出结论.
【详解】设
，
，当
时，
，
，
，
，
，
，
两项费用之和为
.
当且仅当
时，即当
时等号成立.
即应将这家仓库建在距离车站
处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为万元.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最
大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
17．（1）把49 写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把12 写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
【答案】（1）当
时，
取得最小值14；（2）当
时，
取得最大值36
【解析】（1）设
，
，
，然后利用基本不等式求得
的最小值，根据基本不等式等号
成立的条件，求得
的值.
（2）设
，
，
，然后利用基本不等式求得
的最大值，根据基本不等式等号成立的条
件，求得
的值.
【详解】（1）设
，
，
，由均值不等式，得
，
当且仅当
时，取等号．
由
得
，即当
时，
取得最小值14．
（2）设
，
，
，由均值不等式，得
．
当且仅当
时，取等号．由
得
．即当
时，
取得最大值36.
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
18．设
，求证：
.
【答案】证明见解析.
【分析】利用基本不等式即可求证.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
.
19．已知a，b 都是正数，求证：
.
【答案】证明见解析.
【分析】利用两次基本不等式，结合不等式的基本性质，即可容易证明.
【详解】∵
，由均值不等式得
∵
，
.
由不等式的性质，得
，
当且仅当
且
时，等号成立.即证.
【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，属基础题.
