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解三角形题型专练
一、三角形面积求解
1.
记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若
是
的中点，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）通过三角恒等变换与三角形内角和，约去非零项后求得角
；
（2）在
中，利用余弦定理求出
，即得
，进而可求出三角形面积.
【详解】（1）对等式
移项，
得
，
即
①.
由
，
且
，故
，则
，
代入①得
，
即
.
因
，且
是三角形的内角，故
，
，
约去后得
，即
.
又
，故
.
（2）因为
，则
.
在
中，
，
，
，
由余弦定理：
，
即
，化简得
，
整理为
，解得
（舍去负根）.
的面积为
.
2.
在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
，
，
．
(1)求角B 的值；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
(2)12
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合三角恒等变换可求得
，可求角B 的值；
（2）由题意可得
，进而可求得
，可求
的面积．
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得：
，
则
，
即
，
因为
，所以
，
因为
，所以
．
（2）因为
，
，
所以
，解得
，
又因为
，所以
，
由（1）知
．所以
，
所以
，则
，
所以
的面积
．
3.
在四边形
中，
，
，
，
平分
，
与
相交于点
．
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用四边形的几何性质结合余弦定理求出相关边长，利用三角形面积公式结
合边长比例关系求出
的面积；
（2）利用辅助角公式结合正弦定理求出相关边长，再利用三角形面积公式求面积．
【详解】（1）
在
中，
，
，
，
，故
，
；
在
中，
，
，
，
，
；
在
中，
，
，
由余弦定理得：
，
，解得
，
．
，
．
（2）在
中，
，
，
，
，
．
由正弦定理，得：
，
，解得
，
．
4.
在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应
用
【分析】（1）利用正弦定理和两角差的余弦公式即可得证；
（2）利用诱导公式得
，进而得
，又
，即得
，进
而得
，又由
结合正弦定理得
，最后利用三角形的面积公式即
可求解.
【详解】（1）证明：因为
，
由正弦定理有：
，即
，
所以
，所以
，又
，
所以
，
所以
.
（2）因为
，所以
，
所以
，即
，又
，
所以
，
由（1）知
，
所以
，所以
，即
，
又
，
所以
，
，
所以
，
由正弦定理得
，
所以
的面积为
.
5.
在
中，内角
的对边分别为
，已知
为锐角，
为
边的中点，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）根据
、诱导公式以及倍角公式化简即可求出
，再结合角
的范围即可求出；
（2）将
平方即可求出
，再利用三角形的面积公式即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，
则
，即
，得
或
，
因为
为锐角，所以
，则
；
（2）因为
为
边的中点，所以
，则
，
因为
，所以
，即
，
得
（负值舍去），
则
的面积为
.
二、面积最值范围问题
6.
在
中，角
所对边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基
本不等式求积的最大值
【分析】（1）运用正弦定理、和角的正弦公式以及诱导公式，即可得解；
（2）运用余弦定理，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）由正弦定理可知，
，
交叉相乘后可整理得
，
即
，
，
，
又因为在
中，
，因此可得
，即
.
（2）由余弦定理可得，
，即
，
又因为
，当且仅当
时，等号成立，
因此
，故
，
即
的面积的最大值为
.
7.
三角形
的内角
、
、
所对的边分别为
，
，，
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正
弦定理边角互化的应用
【分析】（1）
，利用正弦定理得到
求
解；-
（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到
，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：
，
，
，
，
为三角形内角，
．-
（2）
，
，
由余弦定理得
；
，即
；-
，
所以
面积的最大值为
．
8.
已知
的角
所对边分别
．
．
(1)求
；
(2)如图所示，
在
外，且
，若
，求四边形
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、求
含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）由正弦的二倍角公式、正弦定理得
，再利用三角形内角和为
可得答案；
（2）设
，则
，由余弦定理求出
，利用
，可得
四边形
的面积
，再由两角差的正弦公式结合
的范围可得
答案．
【详解】（1）由
，得
，
即
，
由正弦定理可得，
，
所以
，
故
，
故
，
因为
， 所以
，因为
，所以
；
（2）设
，
则等腰三角形
的面积可表示为
，
在
中，由余弦定理得
，
由（1）
结合
知
为等边三角形，
得
，
故四边形
的面积
，
因为
，所以当
即
时，
取最大值1，
S 取最大值为
．
9.
已知
的三个内角A，B，C 所对的边分别是
，
是钝角，且
．
(1)求
的大小；
(2)若
的面积为
，且
，求
的值；
(3)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
.
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求
三角形面积的最值或范围
【分析】（1）先由正弦定理得
即可得解.
（2）先由三角形的面积公式得
，再由余弦定理即可得解.
（3）先由余弦定理得
，再结合面积公式即可求解.
【详解】（1）
，
，
，
是钝角，
.
（2）
，
.
.
（3）
，
，当且仅当
时面积取最大值
.
10. 在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a，b，c 满足
，
.
(1)求B；
(2)若D 为线段BC 上一点，且满足
，
，求CD 的长；
(3)若
为锐角三角形，求
面积的范围.
【答案】(1)
(2)3
(3)
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、
求值
【分析】（1）由正弦定理化角为边，利用余弦定理可求答案；
（2）利用三角形的特征求出角
，利用余弦定理可求答案；
（3）利用正弦定理表示
，写成面积表达式，结合角的范围可求答案.
【详解】（1）由题可得
，
∴
，∵
，∴
.
（2）D 为线段BC 上一点，且满足
，
，
∴
为等边三角形，
∴
.
设
，在
中，
，
即
，
整理得：
，解得
或
（舍），即
.
（3）在△ABC 中，
，由正弦定理
得：
，
于是得
.
因为
是锐角三角形，则
，且
，
于是有
，则
，即
，
，
从而得
，
所以△ABC 面积的取值范围是
.
三、周长求解
11.
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解；
（2）由（1）结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
舍去，
所以
.
（2）由余弦定理可得
，则
.
由
得
.
由
得
，
故
的周长为
.
12. 已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由
，利用正弦定理转化为
求解.
（2）由
的面积为
，得到
，再利用余弦定理求解.
【详解】（1）
中，
，
由正弦定理可得：
，
即
，
又
，
，
∴
，求得
.
（2）由
的面积为
，
即
，
∵
，∴
，
由
，利用余弦定理
，
可得
，
即
，
∴
，
即
的周长为
.
13. 已知向量
，函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)在
中，
分别是角
的对边，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数
量积的坐标表示
【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式与辅助角公式可得
，再利用正弦型函数性
质计算即可得解；
（2）由
计算可得
，再利用面积公式与余弦定理计算即可得解.
【详解】（1）
，
令
，解得
，
故函数
的单调递减区间为
；
（2）
，则
，则
，
即
，又
，故
，
则
，故
，
，
即
，则
，
即有
，故
的周长为
.
14. 在
中，
的对边分别为
，且
，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)15
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得
，结合已知可求得
；
（2）由三角形的面积公式可求得
，结合余弦定理可求得
，进而可求周长.
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
因为
，则
，故
.
因为
，所以
为钝角，所以
.
（2）依题意，得：
，故
，
由余弦定理
，
即
，
所以
，所以
的周长为
.
15. 在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、
求值
【分析】（1）由题可得
，代入式子中可得
即可求解；
（2）由题可得
，再利用正弦定理及和差化简可得
，再利用正弦定理解三
角形即可求解.
【详解】（1）由
，
，可得
，
因为
，
所以
，
则
，
因为
，所以
．
（2）因为
，所以
．
由正弦定理可得
，所以
，
即
，所以
．
因为
，所以
，
故
，即
，则
．
由正弦定理得
，代入得
，解得
，
故
的周长为
．
四、周长最值范围
16. 记
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)若
为锐角三角形，
，求
周长范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互
化的应用、正弦定理解三角形
【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值
域即得.
【详解】（1）在
中，由射影定理得
，
则题述条件化简为
，
由余弦定理得
．
可得
所以
.
（2）在
中，
由正弦定理得
，
则
周长
，
因为
，则
，
因为
为锐角三角形，
，
则得
，
故
．
17. 在锐角
中，
， ，
（1）求角
；
（2）求
的周长l 的范围.
注：在①
，且
，②
，
③
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其
进行求解.
【答案】条件选择见解析，（1）
；（2）
.
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形
【分析】（1）若选①，首先根据题意得到
，从而得到
，即
.选②，首先利用正弦定理边化角公式得到
，再
化简即可得到答案.若选③，首先根据题意得到
，再求角
即可.
（2）首先根据正弦定理得到
，
，从而得到
，再求其范围即可.
【详解】（1）若选①，因为
，且
，
所以
，即
，
因为
，所以
.
若选②，因为
，
，
所以
，
因为
，所以
.
又因为
，所以
.
若选③，
.
因为
，所以
.
又因为
，
，
所以
，
.
（2）因为
，所以
，
.
因为
，所以
，
.
.
.
因为锐角
且
，所以
所以
，
，
故
.
【点睛】本题第一问考查正弦定理的边化角公式，第二问考查正弦定理解三角形，同时考
查三角函数的值域问题，属于中档题.
18. 在
中，三内角A，B，C 所对的边分别是
，
，，已知三内角A，B，C 成等差数列.
（1）求角B 的值；
（2）若
，且
的面积等于
，求
，；
（3）若
，求三角形的周长L 的范围.
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【解析】（1）由题得，
，结合
，即可求得角B；
（2）由面积公式，得
，由余弦定理，得
，结合两个式子即可得到本题答
案；
（3）利用正弦定理、三角形内角和等于
，和差公式，恒等变形得
，再结合A 的取值范围，即可得到本题得到.
【详解】（1）因为三内角A，B，C 成等差数列，所以
，又
，所以
；
（2）因为
的面积等于
，所以
，得
①，
又
，所以
，得
②，
综合①②得，
，
；
（3）由题，得
，所以
，
所以周长
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
【点睛】本题主要考查正余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的图象与性质的综合问
题，主要考查学生的转化能力和运算能力.
19. 在
中，内角
对应的边分别是
，且
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范
围
【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可；
（2）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量
角
的函数，再结合锐角三角形，确定角
的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
即
，
因为在
中，
，
所以
，又
，
所以
.
（2）因为
，
，结合正弦定理，得
，
所以
，
.
在
中，
，
所以
.
因为
为锐角三角形，
所以
，
所以
，则
，
所以
，
所以
.
20. 已知
为锐角三角形，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
的面积为S，且
满足
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
周长的范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角恒等
变换的化简问题、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】（1）利用诱导公式以及同角的三角函数关系结合正弦定理边化角化简，求值可得
答案；
（2）由正弦定理表示出
，利用三角恒等变换化简可得
，求出角B 范围，
结合正切函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）在
中，
，
∴由
，得
，
则
，
∵
，∴
，∴
，
又∵
，∴
.
（2）由正弦定理结合
得，
,
即
,
则
，
因为
为锐角三角形，故
，
故
，而
，
即
，
故
，
故
，即
周长的范围为
.
五、三角形中线问题
21. 在
中，角
、
、
的对边分别为
，
，，向量
，
，
且
.
(1)求角
的值；
(2)若
，
是
边上的中线，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、数量积的运算律、数量
积的坐标表示
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解
，
（2）利用向量法结合中线长公式求出边
的值，再利用三角形面积公式求解
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，
所以
，由正弦定理得
，即
，
且
，则
，可得
，
因为
，所以
，
（2）由题意得
，则
，
即有
，且
，解得：
，所以
，
故
的面积为
.
22. 记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若
，
，
，
边上的中线
，
相交于点M．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
．
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）
.
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、数量积的运算
律、平面向量共线定理的推论
【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角的性质得
，即可求角的大小；
（2）（i）由
并应用向量数量积的运算律求模长即可；（ii）首先得到
，再由
及向量数量积的运算律求模长即可得.
【详解】（1）由题设及正弦定理可得
，
所以
，
整理得
，且
，
可得
，故
，
又
，则
，可得
.
（2）（i）由
，则
；
（ii）令
且
，又
，则
，
由
共线，则
，即
，
而
，则
，
所以
.
23. 在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求AB 边上的中线CD 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）首先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，然后通过余弦定理求出
.
（2）根据三角形面积公式求出边的值，最后利用余弦定理求出中线的长.
【详解】（1）在
中，因为
，根据正弦定理得：
，因为
，所以
.
根据余弦定理
.
（2）由（1）知
，因为
，
所以
.
因为
的面积为
，所以
，
解得
，进而
.
根据余弦定理可得
.
所以根据余弦定理
.
因为
为线段，其长度取正值，所以
.
所以
边上的中线
的长为
.
24. 已知
的内角
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，中线
，求．
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用
和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得
，，根据中线向量关系，可得
，再根据余弦定理即可求得.
【详解】（1）在
中，
，则
，
因为
，
则
，
由正弦定理得：
，
所以
，
所以
，
又
，得
，所以
，即
，
由
，解得
.
（2）因为
的面积为
，
所以
，
由（1）知
，故
，
因为
为中线，即
为
中点，
则
，又
，
则
，所以
，
解得
，
由余弦定理得
，
所以
.
25. 在
中，三个内角
所对的边分别为
，已知
，
且
.
(1)求角B ;
(2)若
的周长为
，D 为BC 的中点.求中线AD 的长度.
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】数量积的运算律、由向量共线（平行）求参数、余弦定理解三角形、正弦定理
边角互化的应用
【分析】（1）由向量平行的坐标表示得
，应用正弦边角关系、三角恒等变
换整理化简得
，进而求角；
（2）由题设
、
，应用向量数量积的运算律、余弦定理得
、
，进而求边长，代入即可得.
【详解】（1）由题设
，可得
，
由正弦边角关系知
，
所以
，
即
，
所以
，而
，故
，
由
，则
；
（2）由题设
，则
，
又
，则
，
所以
，
由
，
，则
，可得
，
综上，
，所以
，即
.
26. 锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C 的值；
(2)若
，D 为AB 的中点，求中线CD 的范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、三角恒等
变换的实际应用
【分析】（1）利用正弦定理化简可得出
，结合角
为锐角可求得结果；
（2）由余弦定理可得出
，利用平面向量的线性运算可得出
，由平面向量数量积的运算可得出
，利用正弦定理结合正
弦型函数的基本性质可求得
的取值范围，可得出
的取值范围，即可得解
【详解】（1）由
，
，
，
，
，
．
（2）
，
，
，
由余弦定理有：
，
，
所以
，
，
由正弦定理
，
，
，
，
，
，因为
为锐角三角形，所以
且
，
则
，
,则
，
．
六、三角形中角平分线问题
27. 在
中，内角A，B，C 的对边分别是
，
，，
的面积记为S，已知
，
.
(1)求
；
(2)若
边上的中线长为，
为角
的角平分线，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用三角形面积公式以及正弦定理即可计算得出
，即可得
；
（2）利用平面向量的线性运算可得
的值，再由等面积法结合
，代入计算可求出
的长．
【详解】（1）因为
，所以
，即
，
由正弦定理可得
，即
，
所以
．因为
，所以
．
（2）设AE 为BC 边上的中线，可得
，
因为
，所以由正弦定理可得
则
，所以
，解得
，
．
因为
，所以
，
所以
.
28. 在
中，内角
所对的边分别为
，已知向量
，
满足
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，
的面积是
，
的角平分线
交
于点
．
①求
；
②求
的值．
【答案】(1)
(2)①
；②
．
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数
量积的坐标表示
【分析】（1）由数量积的坐标运算结合正弦定理得到
，
再结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）①由三角形面积公式得到
，再结合余弦定理即可求解；②由
即可求解.
【详解】（1）
，
由正弦定理得
，
，则
，
因为
，所以
，又
，所以
（2）①由
得
，
由余弦定理
得
，
所以
．
②由
得
，
所以
29. 记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
.
(1)求
；
(2)设
为边
上一点，
（ⅰ）若
为
中点，
，
的面积为
，求
的长度；
（ⅱ）若
为锐角
的角平分线，
，求
长度的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最
值或范围、已知数量积求模
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式、辅助角公式得出
，结
合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）（i）利用三角形的面积公式可得出
，结合余弦定理可得出
，由已知
得出
，利用平面向量数量积的运算性质可求得线段
的长；
（ii）由正弦定理结合两角差的正弦公式得出
，根据
为锐角三角形求
出角
的取值范围，可得出
的取值范围，设
，可得出
，可得出关于
的
不等式，即可解得
的取值范围，即为所求.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
，
化简得
，
因为
，则
，故
，即
，
所以
，而
，则
，
故
，解得
.
（2）（i）由余弦定理可得
，即
，
又因为
，可得
，则
，
因为
为
边的中点，所以
，即
，
所以
，故
；
（ii）由正弦定理得
，
因为
为锐角三角形，且
，由
得
，
所以
，则
，故
，
设
，则
，所以
，解得
，
因此
长度的取值范围是
.
30. 已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
，D 为BC 中点，求线段AD 长；
(3)若该三角形面积为
，AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D，求线段AD 长的最
大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边
角互化的应用
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.
（2）利用向量数量积的运算律及定义求解.
（3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
即
，由余弦定理得
，而
，
所以
.
（2）由（1）知，
，由D 为BC 中点，得
，而
，
所以
.
（3）由
的面积为
，得
，解得
，
由
为内角
的角平分线，得
，
由
，得
，
因此
，
，当且仅当
时取等号，
所以线段AD 长的最大值为
.
31. 在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，∠BAC 的角平分线交BC 于点D，求线段AD 长度的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正
弦定理边角互化的应用
【分析】（1）由
得
，由正
弦定理有
，由余弦定理即可求解
（2）由余弦定理得
，利用基本不等式得
，由
得
，由均值不等式即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
即
，
由正弦定理得
，即
，
由余弦定理得
，
又
， 所以
.
（2）因为
，
，
所以由余弦定理得
，
即
，
所以
，
即
（当且仅当
时，等号成立），
因为
，
所以
，解得
，
因为
（当且仅当
时，等号成立），
所以
（当且仅当
时，等号成立），
所以
长度的最大值为
.
