文档文本内容
专题02
常用逻辑用语压轴题
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以_
__的陈述句叫做命题．
2.充分条件与必要条件
(1)若
，则p 是q 的充分不必要条件．
(2)若
，则p 是q 的必要不充分条件．
(3)若
，则p 是q 的充要条件．
(4)若
，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
3.全称量词和存在量词
(1)全称量词有：_
__，_
_，
_
，
，用符号“__
__”表示．
存在量词有：__
__，_
，_
_等，用符号“__
_”表示．
(2)含有___
的命题，叫做全称量词命题；“对M 中任意一个x ，有
)
(x
p
成立”可用符号简记
为：
．
(3)含有_
_的命题，叫做存在量词命题；“存M 在中的一个x ，使
)
(x
p
成立”可用符号简记
为：
．
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
)
(
,
x
p
M
x
)
(
,
x
p
M
x
5.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p ，q 以集合的形式出现，即
)}
(
|
{
x
p
x
A
，
)}
(
|
{
x
q
x
A
，则：
(1)若
B
A
，则p 是q 的充分条件．
(2)若
B
A
，则p 是q 的必要条件．
(3)若
B
A
，则p 是q 的充要条件．
(4)若
B
A
，则p 是q 的充分不必要条件．
(5)若
B
A
，则p 是q 的必要不充分条件．
(6)若
A
B
B
A
,
，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
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题型一命题真假的判定
例1.给出下列命题，则假命题的个数是（
）
①若, ,
a b c
R
，则“ a
b
”的充要条件是“
2
2
ac
bc
”；
②给定两个命题p ，q，
p
是q的必要不充分条件，则p 是
q
的充分不必要条件；
③设,x y
R
，若
7
x
y
，则
3
x
或
4
y
；
④命题“若
0
m
，则方程
2
2
3
0
x
x
m
有实数根”的否命题．（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
练习题
（1）.判断下列命题的真假：
①a
b
是|
| |
|
a
b
的必要条件；
②a
b
是
3
3
a
b
的充要条件；
③两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件；
④三角形的三条边满足勾股定理是这个三角形为直角三角形的充要条件；
⑤在ABC
中，重心和垂心重合是ABC
为等边三角形的必要条件；
⑥如果点P 到点
,
A B 的距离相等，则点P 一定在线段AB 的垂直平分线上.
题型二充分、必要条件的判定
例2．（1）已知a ，b 为非零实数，则“ a
b
”是“
a
b
b
a
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）“
2
1
x ”是“
2
x
”的（
）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（3）.已知p 是r 的充分不必要条件，q是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q是s 的必要条件，现有下
列命题：①
s 是q的充要条件；②
p 是q的充分不必要条件；③r 是q的必要不充分条件；④r
是s 的充分不必要条件；正确的命题序号是（
）
A．①④
B．①②
C．②③
D．③④
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练习题
（1）．“
1
x ”是“
2
2
0
x
x
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）．已知
:2
5
0
p
x
，
2
:
2
0
q x
x
，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
题型三充分、必要条件的应用
例3．（1）已知不等式
1
1
m
x
m
成立的充分条件是1
1
3
2
x
，则实数m 的取值范围是（）
A．
1
2
m m
∣
或
4
3
m
B．
1
2
m m
∣
或
4
3
m
C．
1
4
2
3
m
m
D．
1
4
2
3
m
m
（2）已知集合
2
|
(
1)
4
0
A
x x
m
x
，
Z|
1
B
x
x
．
(1)若“ x
B
，x
A
”为假命题，求m 的取值范围；
(2)求证：A 至少有2 个子集的充要条件是
5
m ，或
3
m
．
练习题
（1）．设集合
2
2
3
0
A
x x
x
，
1
1,
0
B
x
a
x
a
a
，命题p：x
A
，命题q：x
B
．
(1)若p 是q 的充要条件，求正实数a 的取值范围；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围．
（2）已知全集U R ，集合
| 3
7
A
x
x
，集合
| 3
2
2
5
B
x
a
x
a
，其中
R
a
.
(1)当
4
a
时，求
R (
)
A
B
ð
；
(2)若“ x
A
”是“ x
B
”的充分条件，求a 的取值范围.
题型四创新提升能力题
1.在整数集Z 中，被6 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为
k ，即
6
k
n
k n
Z
，
1
k ，2，
3，4，5 给出以下五个结论：①
5
5
；②
0
1
2
3
4
5
Z
；③“整数a 、b 属于同一“类””
的充要条件是“
0
a
b
”；④“整数a 、b 满足
1
a
，
2
b
”的充要条件是“
3
a
b
”，则上述结论中
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正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若集合A 具有以下性质：①0
A
，1
A
；②若x ，y
A
Î
，则x
y
A
，且
0
x
时，1
A
x
.则称集合
A 是“好集”.
(1)分别判断集合
1,0,1
B
，有理数集Q 是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A 是“好集”，求证:若x ，y
A
Î
，则x
y
A
；
(3)对任意的一个“好集” A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题p ：若x ，y
A
Î
，则必有xy
A
；
命题q：若x ，y
A
Î
，且
0
x
，则必有y
A
x
.
3.设a b c
､､为ABC
的三边，求证：方程
2
2
2
0
x
ax
b
与
2
2
2
0
x
cx
b
有公共根的充要条件是
90
A
4．设集合
2
2
M
t t
m
n
m
n
Z
，，
.
（1）证明：属于M 的两个整数，其积也属于M ；
（2）判断32、33、34 是否属于M ，并说明理由；
（3）写出“偶数
2k k
Z
属于M ”的一个充要条件并证明.
1．以下选项中，p 是q 的充要条件的是（
）
A．p：3
2
5
x
，q：2
3
5
x
B．p：
2,
2
a
b
，q：a
b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：
0
a
，q：关于x 的方程
1
ax 有唯一解
2．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”
是“|x－y|＜1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
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D．既不充分又不必要条件
3．（多选题）下列命题中，真命题的是（
）
A．若,
R
x y
且
4,
x
y
则,x y 至少有一个大于2
B．
2
R,
1
x
x
x
C．
0
a
b
的充要条件是
1
b
a
D．至少有一个实数x ，使得
3
2
0
x
4．（多选题）若关于x 的方程
2
1
1
0
x
m
x
至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（
）
A．1
3
m
B．2
4
m
C．
4
m
D．1
2
m
5．（多选题）下列说法正确的是（
）
A．a
P
Q
是a
P
的必要不充分条件
B．U
U
P
Q
痧
（U 是全集）是P
Q
的充分不必要条件
C．a
b
是
2
2
a
b
的充分不必要条件
D．a
b
是
3
3
a
b
的充要条件
6．若命题“
2
R,
2
3
0
x
x
mx
m
”为假命题，则实数m 的取值范围是
．
7．已知命题
，则
为
．
8．集合
| 1
A
x
x
m
，
|1
4
B
x
x
.
(1)当
2
m
时，求A
B
；
(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m 的取值范围
条件①：x
B
是x
A
的充分条件；
条件②：A
B
A
；
条件③：A
B
B
.
注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
9．已知全集U R ，集合
1
3
A
x
x
，集合
2
1
B
x
m
x
m
．条件①
U
A
B
ð
；②x
A
是x
B
的充分条件；③
1
2
,
x
A
x
B
，使得
1
2
x
x
．
(1)若
1
m ，求A
B
；
(2)若集合A，B 满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m 的取值范围．
10．已知命题p：“ x
R ，使不等式
2
2
0
x
x
m
成立”是假命题．
(1)求实数m 的取值集合A；
(2)若
: 4
4
q
m
a
是
p
的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
11．已知命题
:
q “ x
满足2
2
x
，使
2
2
0
x
x
a
”，
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(1)命题
:
p “
2
R,
1
4
0
x
x
a
x
”，若命题
,p q 中至少一个为真，求实数a 的范围.
(2)命题
: 2
1
p
a
x
a
，若p 是q的充分不必要条件，求实数a 的范围.
12．将全体自然数填入如下表所示的3 行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同.
第一行
…
第二行
…
第三行
…
对于正整数a ，b ，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意nN ，都有n ，n
a
，n
b
分别在表
格的不同行，则称数对
,a b 为自然数集N 的“友好数对”.
（Ⅰ）试判断数对
1,2 是否是N 的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅱ）试判断数对
1,3 是否是N 的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅲ）若
4
b
，请选择一个数a ，使得数对
,a b 是N 的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出
使得数对
,a b 是N 的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）.
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