专题02
常用逻辑用语压轴题
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题．
2.充分条件与必要条件
(1)若
q
q
p
且
q ，则p 是q 的充分不必要条件．
(2)若
p
p
q
且
q ，则p 是q 的必要不充分条件．
(3)若
p
q
q
p
且
，则p 是q 的充要条件．
(4)若p
q
q且
q ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
3.全称量词和存在量词
(1)全称量词有：__所有_，一切__，任意一个_，_每一个等，用符号“____”表示．
存在量词有：__存在一个__，_至少有一个_，_有些_等，用符号“___”表示．
(2)含有___全称量词
的命题，叫做全称量词命题；“对M 中任意一个x ，有
)
(x
p
成立”可用符号简
记为：
)
(
,
x
p
M
x
．
(3)含有__存在量词_的命题，叫做存在量词命题；“存M 在中的一个x ，使
)
(x
p
成立”可用符号简记
为：
)
(
,
x
p
M
x
．
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
)
(
,
x
p
M
x
)
(
,
x
p
M
x
)
(
,
x
p
M
x
)
(
,
x
p
M
x
5.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p ，q 以集合的形式出现，即
)}
(
|
{
x
p
x
A
，
)}
(
|
{
x
q
x
A
，则：
(1)若
B
A
，则p 是q 的充分条件．
(2)若
B
A
，则p 是q 的必要条件．
(3)若
B
A
，则p 是q 的充要条件．
(4)若
B
A
，则p 是q 的充分不必要条件．
(5)若
B
A
，则p 是q 的必要不充分条件．
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(6)若
A
B
B
A
,
，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
题型一命题真假的判定
例1.给出下列命题，则假命题的个数是（
）
①若, ,
a b c
R
，则“ a
b
”的充要条件是“
2
2
ac
bc
”；
②给定两个命题p ，q，
p
是q的必要不充分条件，则p 是
q
的充分不必要条件；
③设,x y
R
，若
7
x
y
，则
3
x
或
4
y
；
④命题“若
0
m
，则方程
2
2
3
0
x
x
m
有实数根”的否命题．（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】当
0
c =
时，
2
2
ac
bc
不成立，反过来，若
2
2
ac
bc
，则可得a
b
，即可判断①；利用原命题与逆
否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④.
【详解】若a
b
，当
0
c =
时，
2
2
ac
bc
不成立，反过来，若
2
2
ac
bc
，则可得a
b
，故
2
2
ac
bc
是a
b
的充分不必要条件，故①错误；
若
p
是q的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，
q
是p 的必要不充分条
件，即p 是
q
的充分不必要条件，故②正确；
若
7
x
y
，则
3
x
或
4
y
的逆否命题为若
3
x
且
4
x
，则
7
x
y
，显然逆否命
题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若
0
m
，则方程
2
2
3
0
x
x
m
有实数根的否命题为若
0
m
，则方程
2
2
3
0
x
x
m
无实根，
显然是假命题，因为
0
m
时，方程就有实根，故④错误.
故选：C
练习题
（1）.判断下列命题的真假：
①a
b
是|
| |
|
a
b
的必要条件；
②a
b
是
3
3
a
b
的充要条件；
③两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件；
④三角形的三条边满足勾股定理是这个三角形为直角三角形的充要条件；
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⑤在ABC
中，重心和垂心重合是ABC
为等边三角形的必要条件；
⑥如果点P 到点
,
A B 的距离相等，则点P 一定在线段AB 的垂直平分线上.
【答案】①假命题；②真命题；③真命题；④真命题；⑤真命题；⑥真命题.
【解析】结合已有知识,利用充分必要条件和真假命题的概念,进行逐一判断即可.
【详解】①若a
b
则a
b
不一定成立,例如:
2,
2
a
b
,故a
b
是|
| |
|
a
b
的必要条件为假命题;
②因为
3
3
2
2 ,
a
b
a
b
a
ab
b
而
2
2
2
2
3
0
2
4
b
b
a
ab
b
a
,
所以a
b
是
3
3
a
b
的充要条件为真命题;
③由相似三角形的判定定理可知,此命题为真命题;
④由勾股定理的内容可知,必要条件成立,由勾股定理的逆定理可知,充分条件成立,故此命题为真命题;
⑤若三角形ABC
为等边三角形，则其垂心和重心重合,显然成立,故此命题为真命题;
⑥由垂直平分线的性质可得,此命题为真命题.
题型二充分、必要条件的判定
例2．（1）已知a ，b 为非零实数，则“ a
b
”是“
a
b
b
a
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】首先根据不等式的性质变形为
a
b
a a
b b
b
a
，再分情况讨论，判断充分，必要条件.
【详解】结论
a
b
a a
b b
b
a
，
当
0
a
b
时，
2
2
2
2
a
b
a
b
a a
b b
a a
b b
；
当0
a
b
时，
2
2
2
2
a
b
a
b
a a
b b
；
当
0
a
b
时，
0
a a
b b
；
综上：
a
b
a
b
b
a
．
故选：C
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（2）“
2
1
x ”是“
2
x
”的（
）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设
2
1
A
x x
，
2
B
x x
，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性.
【详解】设
2
1
1
A
x x
x x
或
1
x
，设
2
B
x x
，可得B
A ，
所以“
2
1
x ”是“
2
x
”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.
（3）.已知p 是r 的充分不必要条件，q是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q是s 的必要条件，现有下列
命题：①
s 是q的充要条件；②
p 是q的充分不必要条件；③r 是q的必要不充分条件；④r 是s 的充
分不必要条件；正确的命题序号是（
）
A．①④
B．①②
C．②③
D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定
, , ,
p q r s 之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为p 是r 的充分不必要条件，所以p
r
，r ¿
p ，
因为q是r 的充分条件，所以q
r
，
因为s 是r 的必要条件，所以r
s
，
因为q是s 的必要条件，所以s
q
，
因为q
r
，r
s
，所以q
s
，又s
q
，
所以s 是q的充要条件；命题①正确，
因为p
r
，r
s
，s
q
，所以p
q
，
若q
p
，则r
s
，s
q
，q
p
，故r
p
，与r ¿
p 矛盾，
所以q ¿
p ，
所以p 是q的充分不必要条件，命题②正确；
因为r
s
，s
q
，所以r
q
，r 是q的充分条件，命题③错误；
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因为s
q
，q
r
，所以s
r
，又r
s
，
所以r 是s 的充要条件，命题④错误；
故选：B.
练习题
（1）．“
1
x ”是“
2
2
0
x
x
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解方程可求得
2
2
0
x
x
的解，根据充分必要条件定义可得结论.
【详解】由
2
2
0
x
x
得：
2
x 或
1
x ，
“
1
x ”是“
2
2
0
x
x
”的充分不必要条件.
故选：A.
（2）．已知
:2
5
0
p
x
，
2
:
2
0
q x
x
，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】先求出
,p q 对应的不等式的解，再利用集合包含关系，进而可选出答案.
【详解】由题意，
5
: 2
5
0
2
p
x
x
，设
5
|
2
A
x x
2
:
2
0
q x
x
，解得：
2
x
或
1
x ，设
|
2
B
x x
或
1
x
显然A 是B 的真子集，所以p 是q的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若p 是q的必要不充分条件，则q对应集合是p 对应集合的真子集；
（2）p 是q的充分不必要条件，则p 对应集合是q对应集合的真子集；
（3）p 是q的充分必要条件，则p 对应集合与q对应集合相等；
（4）p 是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p 对应集合互不包含．
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题型三充分、必要条件的应用
例3．（1）已知不等式
1
1
m
x
m
成立的充分条件是1
1
3
2
x
，则实数m 的取值范围是（）
A．
1
2
m m
∣
或
4
3
m
B．
1
2
m m
∣
或
4
3
m
C．
1
4
2
3
m
m
D．
1
4
2
3
m
m
【答案】D
【分析】由题意知
1 1
,
1,
1
3 2
m
m
，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得
1 1
,
1,
1
3 2
m
m
，
所以
1
1
3
1
1
2
m
m
，且等号不能同时成立，解得
1
4
2
3
m
.
故选：D.
（2）已知集合
2
|
(
1)
4
0
A
x x
m
x
，
Z|
1
B
x
x
．
(1)若“ x
B
，x
A
”为假命题，求m 的取值范围；
(2)求证：A 至少有2 个子集的充要条件是
5
m ，或
3
m
．
【答案】(1)
, 6
6,4
4,
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知，先求解出集合
1,0,1
B
，然后根据A
B
，将集合A 分为A 和A两种
情况讨论，分别列式求解即可；
（2）由已知，先有
5
m 或
3
m
，证明A 至少有2 个子集，即证明充分性，然后再根据A 至少有2 个子
集，求解参数的范围与
5
m 或
3
m
比较即可证明其必要性.
【详解】（1）由已知，集合
Z|
1
B
x
x
，所以集合
1,0,1
B
．
因为“
B
，x
A
”为假命题，所以A
B
．
当A 时，
2
Δ
1
16
0
m
，解得5
3
m
；
当A时，要使A
B
，则Δ
0
，1
A
，且0
A
，1
A
，
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即
2
2
2
Δ
0
( 1)
(
1) ( 1)
4
0
0
(
1) 0
4
0
1
(
1) 1
4
0
m
m
m
，解得
6
m 或6
5
m
或3
4
m
或
4
m
．
综上，实数m 的取值范围为
, 6
6,4
4,
．
（2）证明：充分性：若
5
m ，或
3
m
，则A 至少有2 个子集．
当
5
m ，或
3
m
时，
2
Δ
1
16
0
m
，方程
2
1
4
0
x
m
x
有解，
集合
2
|
(
1)
4
0
A
x x
m
x
至少有1 个元素，A 至少有2 个子集，充分性得证；
必要性：若A 至少有2 个子集，则
5
m 或
3
m
．
若A 至少有2 个子集，则
2
|
(
1)
4
0
A
x x
m
x
至少有1 个元素，
方程
2
1
4
0
x
m
x
有解，
2
Δ
1
16
0
m
，解得
5
m 或
3
m
，
必要性得证．
综上，A 至少有2 个子集的充要条件是
5
m 或
3
m
．
练习题
（1）．设集合
2
2
3
0
A
x x
x
，
1
1,
0
B
x
a
x
a
a
，命题p：x
A
，命题q：x
B
．
(1)若p 是q 的充要条件，求正实数a 的取值范围；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围．
【答案】(1)
2
(2)
0,2
【分析】（1）通过解不等式可得
3
1
A
x
x
，由p 是q 的充要条件，得A
B
，即
1
3
1
1
a
a
，从而
即可求出实数a 的取值范围；
（2）根据p 是q 的必要不充分条件，得B
A
，从而即可求出实数a 的取值范围．
(1)
由
2
2
3
0
x
x
，得
3
1
0
x
x
，
解得3
1
x
，所以
3
1
A
x
x
，
由p 是q 的充要条件，得A
B
，即
1
3
1
1
a
a
，解得
2
a
，
所以实数a 的取值范围是
2 ；
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(2)
由p 是q 的必要不充分条件，得B
A
，
又
0
a
，则B ，所以
1
3
1 1
1
1
a
a
a
a
，解得0
2
a
，
综上实数a 的取值范围是
0,2 ．
（2）已知全集U R ，集合
| 3
7
A
x
x
，集合
| 3
2
2
5
B
x
a
x
a
，其中
R
a
.
①当
4
a
时，求
R(
)
A
B
ð
；
②若“ x
A
”是“ x
B
”的充分条件，求a 的取值范围.
【答案】①
, 5
7,
②
6,
【分析】（1）确定
| 5
3
B
x
x
，
5
7
A
B
x
x
，再计算补集得到答案.
（2）根据充分条件得到A
B
，得到
3
2
3
2
5
7
2
5
3
2
a
a
a
a
，解得答案.
【详解】（1）
4
a
，故
| 5
3
B
x
x
，
5
7
A
B
x
x
，
R(
)
, 5
7,
A
B
ð
（2）“ x
A
”是“ x
B
”的充分条件，故A
B
，故
3
2
3
2
5
7
2
5
3
2
a
a
a
a
，
解得
6
a
，故a 的取值范围是
6,
题型四创新提升能力题
1.在整数集Z 中，被6 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为
k ，即
6
k
n
k n
Z
，
1
k ，2，
3，4，5 给出以下五个结论：①
5
5
；②
0
1
2
3
4
5
Z
；③“整数a 、b 属于同一“类””
的充要条件是“
0
a
b
”；④“整数a 、b 满足
1
a
，
2
b
”的充要条件是“
3
a
b
”，则上述结论中正
确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
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【答案】B
【解析】根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.
【详解】①因为
5
6
5|
n
n
Z
，令6
5
5
n
，得
10
5
6
3
n
Z
，所以
5
5
，①不正确；
②
0
1
2
3
4
5
1
1
2
2
3
3
6
|
6
1|
6
2 |
n
n
Z
n
n
Z
n
n
Z
4
4
6
3|
n
n
Z
5
5
6
4 |
n
n
Z
6
6
6
5|
n
n
Z
Z
，故②正确；
③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6 除所得余数相同，从而a
b
被6 除所得余数为0 ，即
0
a
b
；
若
0
a
b
，则a
b
被6 除所得余数为0 ，则整数,a b 被6 除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””
的充要条件是“
0
a
b
”，所以③正确；
④若整数a 、b 满足
1
a
，
2
b
，则
1
6
1
a
n
，
1n
Z
，
2
6
2
b
n
，
2n
Z
，
所以
1
2
6(
)
3
a
b
n
n
，
1
2
n
n
Z
，所以
3
a
b
；若
3
a
b
，则可能有
2 ,
1
a
b
，所以“整数a 、
b 满足
1
a
，
2
b
”的必要不充分条件是“
3
a
b
”，所以④不正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.
2．若集合A 具有以下性质：①0
A
，1
A
；②若x ，y
A
Î
，则x
y
A
，且
0
x
时，1
A
x
.则称集合
A 是“好集”.
(1)分别判断集合
1,0,1
B
，有理数集Q 是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A 是“好集”，求证:若x ，y
A
Î
，则x
y
A
；
(3)对任意的一个“好集” A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题p ：若x ，y
A
Î
，则必有xy
A
；
命题q：若x ，y
A
Î
，且
0
x
，则必有y
A
x
.
【答案】(1)集合B 不是“好集”，有理数集Q 是“好集”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)命题p 、q均为真命题，理由见解析
【分析】（1）按照新定义，判断B 、Q 是否符合条件即可；
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（2）根据条件进行推导，先判断
y
A
，进而可证x
y
A
；
（3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可.
【详解】（1）（1）集合B 不是“好集”.
理由：假设集合B 是“好集”.
因为1
B
，1
B
，所以2
B
，这与2
B
矛盾，所以集合B 不是“好集”.
有理数集Q 是“好集”.
理由：
因为0
Q
，1
Q
，
对任意的x ，y
Q
，有x
y
Q
，且
0
x
时，1
Q
x
，
所以有理数集Q 是“好集”.
（2）证明:因为集合A 是“好集”，
所以0
A
，
若x ，y
A
Î
，则0
y
A
，即
y
A
.
所以
x
y
A
，即x
y
A
.
（3）命题p 、q均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集” A ，任取x ，y
A
Î
，
若x ，y 中有0 或1 时，显然xy
A
.
若x ，y 均不为0，1，由定义可知
1
x ，
1
1
x ，1
A
x
，
所以
1
1
1
A
x
x
，即
1
1
1
A
x
x
，所以
1
x x
A
.
由（2）可得
1
x x
x
A
，即
2x
A
.
同理可得
2
y
A
.
若
0
x
y
或
1
x
y
，则
2
x
y
A
.
若
0
x
y
且
1
x
y
，则
2
x
y
A
.
所以
2
2
2
2xy
x
y
x
y
A
，所以1
2
A
xy
.
由（2）可得1
1
1
2
2
A
xy
xy
xy
，所以xy
A
.
综上可知，xy
A
，即命题p 为真命题.
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若x ，y
A
Î
，且
0
x
，则1
A
x
，所以
1
y
y
A
x
x
，即命题q 为真命题.
3.设a b c
､､为ABC
的三边，求证：方程
2
2
2
0
x
ax
b
与
2
2
2
0
x
cx
b
有公共根的充要条件是
90
A
【答案】证明见解析
【分析】先证明充分性，利用
90
A
可得
2
2
b
a
c
，代入两个方程进行求根，发现有公共根；再证明必
要性，先把公共根假设为，代入两个方程，两式相减能得到
2
2
2
0
a
c
，再因为
0
，所以可以
整理得
2
2
2
c
b
a
，即
90
A
【详解】解：充分性：
因为
90
A
，
所以方程
2
2
2
0
x
ax
b
可化为
2
2
2
2
0
x
ax
a
c
，
所以
2
2
0
x
ax
a
c
a
c
，所以
0
x
a
c
x
a
c
，
所以该方程有两个根
1
2
,
x
a
c
x
a
c
，
同理，另一方程
2
2
2
0
x
cx
b
可化为
2
2
2
2
0
x
cx
c
a
，
所以
2
2
0
x
cx
c
a
c
a
，所以
0
x
c
a
x
c
a
，
所以该方程有两个根
3
4
,
x
a
c
x
c
a
，
可以发现
1
3
x
x
，所以这两个方程有公共根；
必要性：
设是两方程的公共根，所以
2
2
2
2
2
0
2
0
a
b
c
b
①
②，
由①②得：
2
2
2
0
a
c
，
若
0
，①式得到
2
0
b
即
0
b
与三角形的边长矛盾，所以
0
，
所以
a
c
，
代入①式得
2
2
2
0
a
c
a a
c
b
，整理得
2
2
2
c
b
a
，
所以
90
A
；
综上所述，方程
2
2
2
0
x
ax
b
与
2
2
2
0
x
cx
b
有公共根的充要条件是
90
A
.
4．设集合
2
2
M
t t
m
n
m
n
Z
，，
.
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（1）证明：属于M 的两个整数，其积也属于M ；
（2）判断32、33、34 是否属于M ，并说明理由；
（3）写出“偶数
2k k
Z
属于M ”的一个充要条件并证明.
【答案】（1）见解析；（2）32M ，33M ，34M 理由见解析；（3）k 为偶数，证明见解析.
【分析】（1）设1t ，2t
M
Î
，则对1 2
t t 进行化简，观察其是否满足集合M 的条件，进行判断即可；（2）用反
证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.
【详解】（1）设集合
2
2
M
t t
m
n
m
n
Z
，，
中的元素
2
2
1
1
1
t
m
n ，
2
2
2
2
2
t
m
n
，所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
t t
m
n
m
n
m m
m n
n m
n n
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
m m
n n
m n
n m
m m
n n
m n
n m
，
因为，
m
n
Z ，所以
1
2
1
2
m m
n n ，
1
2
1
2
m n
n m Z ，所以有1t ，2t
M
Î
，则1 2
t t
M
Î
，所以属于M 的两个整数，
其积也属于M .
（2）因为
2
2
32
6
2
，所以32M ；
假设33M ，则
2
2
33
m
m
n
n
m
n ，因为，
m
n
Z ，所以m
n
与m
n
有相同奇偶性，因为33
为奇数，所以m
n
与m
n
一个为奇数一个为偶数，则m
n
与m
n
有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所
以33M ；
假设34M ，同上可得
2
2
34
m
m
n
n
m
n ，因为，
m
n
Z ，所以m
n
与m
n
有相同奇偶性，因
为34 为偶数，所以m
n
与m
n
均为偶数，所以
m
n
m
n 应为4 的倍数，而34 不是4 的倍数，所以
假设不成立，所以34M .
（3）“偶数
2k k
Z
属于M ”的一个充要条件是k 为偶数.
充分性：因为k 为偶数，设
2
k
a
a
Z ，所以2
4
k
a ，而
2
2
1
1
4
a
a
a ，所以
2
2
2
1
1
k
a
a
满足集合
2
2
M
t t
m
n
m
n
Z
，，
，所以偶数
2k k
Z
属于M ；
必要性：因为偶数
2k k
Z
属于M ，所以
2
2
2
m
k
m
n
m
n
n ，因为，
m
n
Z ，所以m
n
与m
n
有相同奇偶性，因为
2k k
Z
为偶数，所以m
n
与m
n
均为偶数，所以
m
n
m
n 应为4 的倍数，2k
必为4 的倍数，即k 必为2 的倍数，所以k 为偶数.
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【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明
充要条件.
1．以下选项中，p 是q 的充要条件的是（
）
A．p：3
2
5
x
，q：2
3
5
x
B．p：
2,
2
a
b
，q：a
b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：
0
a
，q：关于x 的方程
1
ax 有唯一解
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A，
: 3
2
5
1
p
x
x
，: 2
3
5
1
q
x
x
，所以p 推不出q，q 推不出p，
所以p 是q 既不充分也不必要条件；
对于B，
:
2,
2
:
p a
b
q a
b
；当
1,
0
a
b
时，满足a
b
，但q 推不出p，
故p 是q 的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p 是q 的必要不充分条件；
对于D，若
0
a
，则关于x 的方程
1
ax 有唯一解；若关于x 的方程
1
ax 有唯一解，则
0
a
，
所以p
q
，故p 是q 的充分必要条件.
故选：D.
2．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”
是“|x－y|＜1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.
【详解】如果
,
Z
x
y
n n
，则有
1
2
1
2
,
,
,
0,1
x
n
d y
n
d d d
，
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x
y
1
2
1
d
d
＜
，所以
=
x
y
是
1
x
y
＜
的充分条件；
反之，如果
1
x
y
＜
，比如
3.9,
4.1
x
y
，则有
0.2 1
x
y
＜，
根据定义，
3,
4,
x
y
x
y
，即不是必要条件，
故
=
x
y 是
1
x
y
＜
的充分不必要条件；
故选：A.
3．（多选题）下列命题中，真命题的是（
）
A．若,
R
x y
且
4,
x
y
则,x y 至少有一个大于2
B．
2
R,
1
x
x
x
C．
0
a
b
的充要条件是
1
b
a
D．至少有一个实数x ，使得
3
2
0
x
【答案】ABD
【分析】假设x ，y 中没有一个大于2 得
4
x
y
，与
4
x
y
矛盾可判断A；Δ
0
可判断B；取
0,
0
a
b
时可判断C；取
3
3
2,
2
x
x
可判断D.
【详解】对于A，假设x ，y 中没有一个大于2，即
2
x
，
2
y
，则
4
x
y
，与
4
x
y
矛盾，故A 正确；
对于B，由
2
1
x
x
即
2
1
0
x
x
，则
1
4
0
，故
2
1
0
x
x
在R 上恒成立，故B 正确；
对于C，当
0,
0
a
b
时，
0
a
b
，推不出
1
b
a ，必要性不成立，故C 错误；
对于D，当
3
3
2,
2
x
x
，此时
3
2
0
x
，所以至少有一个实数x ，
使得
3
2
0
x
，故D 正确.
故选：ABD.
4．（多选题）若关于x 的方程
2
1
1
0
x
m
x
至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（
）
A．1
3
m
B．2
4
m
C．
4
m
D．1
2
m
【答案】BC
【分析】利用
2
1
1
0
x
m
x
的判别式
0
，求出m 的范围，再利用必要条件的定义即可求得.
【详解】因为方程
2
1
1
0
x
m
x
至多有一个实数根，
所以方程
2
1
1
0
x
m
x
的判别式
0
，
即：
2
(
1)
4
0
m
，解得1
3
m
≤
≤，
利用必要条件的定义，结合选项可知，1
3
m
≤
≤成立的必要条件可以是选项B 和选项C.
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故选：BC.
5．（多选题）下列说法正确的是（
）
A．a
P
Q
是a
P
的必要不充分条件
B．U
U
P
Q
痧
（U 是全集）是P
Q
的充分不必要条件
C．a
b
是
2
2
a
b
的充分不必要条件
D．a
b
是
3
3
a
b
的充要条件
【答案】AD
【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项分析即可.
【详解】对于A，若a
P
Q
，则可能a
Q
且a
P
，不能推出a
P
，
若a
P
，则必有a
P
Q
，
故a
P
Q
是a
P
的必要不充分条件，故A 正确；
对于B，若U
U
P
Q
痧
,则Q
P
，
故U
U
P
Q
痧
（U 是全集）是P
Q
的既不充分也不必要条件，故B 错误；
对于C，若a
b
，取
2,
1
a
b
,则
2
2
a
b
，
若
2
2
a
b
，取
1,
2
a
b
，则a
b
，
故a
b
是
2
2
a
b
的既不充分也不必要条件，故C 错误；
对于D，因为
3
3
a
b
a
b
，所以a
b
是
3
3
a
b
的充要条件，故D 正确.
故选:AD.
6．若命题“
2
R,
2
3
0
x
x
mx
m
”为假命题，则实数m 的取值范围是
．
【答案】[2，6]
【分析】写出命题的否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m 的取
值范围.
【详解】由命题“
2
R,
2
3
0
x
x
mx
m
”的否定为“
2
R,
2
3
0
x
x
mx
m
”，
因为命题“
2
R,
2
3
0
x
x
mx
m
”为假命题，则“
2
R,
2
3
0
x
x
mx
m
”为真命题，
所以
2
4(2
3)
0
m
m
，解得2
6
m
，
则实数m 的取值范围是
2,6 .
故答案为：
2,6 .
7．已知命题
，则
为
．
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【答案】
0
0
,sin
1
x
R
x
【详解】试题分析：根据全称命题的定义得
为
0
0
,sin
1
x
R
x
，故答案为
0
0
,sin
1
x
R
x
．
考点：全称命题的否定．
8．集合
| 1
A
x
x
m
，
|1
4
B
x
x
.
(1)当
2
m
时，求A
B
；
(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m 的取值范围
条件①：x
B
是x
A
的充分条件；
条件②：A
B
A
；
条件③：A
B
B
.
注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
| 1
4
x
x
(2)
4
m
【分析】（1）根据并集的定义求解；
（2）根据相关的定义求解.
【详解】（1）当
2
m
时，
1
2
A
x
x
∣
，
则
| 1
4
A
B
x
x
；
（2）若选①，则有B
A
，即
4
m
；
若选②，则有
,
4
B
A m
；
若选③，则有
,
4
B
A m
.
9．已知全集U R ，集合
1
3
A
x
x
，集合
2
1
B
x
m
x
m
．条件①
U
A
B
ð
；②x
A
是x
B
的充分条件；③
1
2
,
x
A
x
B
，使得
1
2
x
x
．
(1)若
1
m ，求A
B
；
(2)若集合A，B 满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
1
2
x
x
＜
(2)
（- ,-2）或
|
2
m m
＜
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【分析】（1）可将
1
m 带入集合B 中，得到集合B 的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A 与集合B 之间的关系，即可完成求解.
【详解】（1）当
1
m 时，集合
2
2
B
x
x
，集合
1
3
A
x
x
，所以
1
2
A
B
x
x
＜
；
（2）i.当选择条件①时，集合
2
1
B
x
m
x
m
，
当B 时，
U
A
B
A
ð
，舍；
当集合B 时，即集合2
1
m
m
＜
，
1
3
m＜
时，
|
2
1
UB
x x
m
x
m
或
ð
，
此时要满足
U
A
B
ð
，则
2
1
3 1
m
m
＜
，解得m＜-2，
结合
1
3
m＜
，所以实数m 的取值范围为
（- ,-2）或
|
2
m m
＜
；
ii.当选择条件②时，要满足x
A
是x
B
的充分条件，则需满足在集合B 时，
集合A 是集合B 的子集，即
2
1
3 1
m
m
＜
，解得m＜-2 ，
所以实数m 的取值范围为
（- ,-2）或
|
2
m m
＜
；
iii.当选择条件③时，要使得
1
2
,
x
A
x
B
，使得
1
2
x
x
，那么需满足在集合B 时，集合A 是集合B 的
子集，即
2
1
3 1
m
m
＜
，解得m＜-2 ，
所以实数m 的取值范围为
（- ,-2）或
|
2
m m
＜
；
故，实数m 的取值范围为
（- ,-2）或
|
2
m m
＜
.
10．已知命题p：“ x
R ，使不等式
2
2
0
x
x
m
成立”是假命题．
(1)求实数m 的取值集合A；
(2)若
: 4
4
q
m
a
是
p
的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
, 1
(2)
, 5
【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；
（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.
【详解】（1）命题p：“ x
R ，使不等式
2
2
0
x
x
m
成立”是假命题，
则“
x
R ，使不等式
2
2
0
x
x
m
恒成立”是真命题，
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故
4
4
0
m
，解得
1
m ，
故
, 1
m
，即
, 1
A
.
（2）由于命题：
: 4
4
q
m
a
，整理得：
4
4
a
m
a
，
由小问1 得
p
：
1
m ，
由于q是
p
的充分不必要条件，
所以
4
1
a
，解得
5
a ，
故实数a 的取值范围为
, 5
.
11．已知命题
:
q “ x
满足2
2
x
，使
2
2
0
x
x
a
”，
(1)命题
:
p “
2
R,
1
4
0
x
x
a
x
”，若命题
,p q 中至少一个为真，求实数a 的范围.
(2)命题
: 2
1
p
a
x
a
，若p 是q的充分不必要条件，求实数a 的范围.
【答案】(1)
3
a a 或
1
a
；
(2)
1 ,
2
【分析】（1）先求出命题
,p q 为真和假时a 的取值范围，由此可得命题
,p q 都为假命题时a 的取值范围，进
而即可求解；
（2）记
1,8 ,
2 ,
1
A
B
a a
，由题意可得B
A ，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；
【详解】（1）命题
:
q “ x
满足2
2
x
，使
2
2
0
x
x
a
”，为真命题时，
2
2
a
x
x
，令
2
2 ,
2
2
f x
x
x
x
，则
1
8
f x
，
所以1
8
a
，
所以命题q为假时，则
1
a 或
8
a
，
命题
:
p “
2
R,
1
4
0
x
x
a
x
”，为真命题时，
2
1
4 4
0
a
，解得
3
a 或
5
a
，
所以命题q为假时，则3
5
a
，
又因为命题
,p q 都为假命题时，
3
5
1
8
a
a
a
或
，
即3
1
a
，
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所以命题
,p q 中至少一个为真时，实数a 的范围是
3
a a 或
1
a
；
（2）由（1）可知：命题q为真命题时，1
8
a
，
记
1,8 ,
2 ,
1
A
B
a a
因为p 是q的充分不必要条件，
所以B
A ，
当B 即2
1
a
a
，也即
1
a 时，满足条件；
当B 时，
2
1
2
1
1
8
a
a
a
a
，解得
1
1
2
a
；
综上可知：实数a 的范围是
1 ,
2
12．将全体自然数填入如下表所示的3 行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同.
第一行
…
第二行
…
第三行
…
对于正整数a ，b ，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意nN ，都有n ，n
a
，n
b
分别在表
格的不同行，则称数对
,a b 为自然数集N 的“友好数对”.
（Ⅰ）试判断数对
1,2 是否是N 的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅱ）试判断数对
1,3 是否是N 的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅲ）若
4
b
，请选择一个数a ，使得数对
,a b 是N 的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使
得数对
,a b 是N 的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）.
【答案】（Ⅰ）数对
1,2 是N 的“友好数对”；（Ⅱ）数对
1,3 不是N 的“友好数对”；（Ⅲ）
2
a
；
2
b
a
.
【分析】（Ⅰ）由整除的知识易证数对
1,2 是N 的“友好数对”；
（Ⅱ）通过举例可证明数对
1,3 不是N 的“友好数对”；
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（Ⅲ）由（Ⅰ）中的结论可猜测
2
a
时，数对
2,4 是N “友好数对”，此时当证明
2
a
时，存在满足题意
的表格填法即可.；由（Ⅰ）与（Ⅱ）中的结论可推测
2
b
a
时，数对
,a b 是N 的“友好数对”.
【详解】（Ⅰ）对于数对
1,2 ，
将表中第一行填入能被3整除的自然数，
第二行填入被3 整除余1的自然数，
第三行填入被3整除余2 的自然数，
对于任意n
N
，n，
1
n ，
2
n
必分别在表格的不同行，
故数对
1,2 是N 的“友好数对”.
（Ⅱ）对于数对
1,3 ，
假设数对
1,3 是N 的“友好数对”，
令
0
n
，则
0 1 1
n
a
，
0
3
3
n
b
，
此时0,1,3互不同行，
令
1
n ，则
1 1
2
n
a
，
1 3
4
n
b
，
此时1,2,4 互不同行，
因为1与3互不同行，则3必与2 或4 同行，
令
2
n
，则
2 1
3
n
a
，
2
3
5
n
b
，
此时2,3,5互不同行，
令
3
n
，则
3 1
4
n
a
，
3
3
6
n
b
，
此时3,4,6互不同行，
即3不与2 、4 同行，故假设不成立，
则数对
1,3 不是N 的“友好数对”.
（Ⅲ）存在满足题意的a ，
令
2
a
，则
2
n
a
n
，
4
n
b
n
，
此时将数表中的第一行填入被6整除余0,1,2 的数，
第二行依次填入被6整除余2,3,4 的数，
第三行依次填入被6整除余4,5,6 的数，
在此表中，差为2 或4 的两个数不可能在同一行，
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此时对于任意n
N
，
在,
2
n n
以及
4
n
除以6的余数中，
较大数与任意较小数之差必为2 或4 ，
若按表中方法填入式，
任意两数均不可能在同一行，
则,
2
n n
以及
4
n
比不同行，
故
2
a
满足题意，
此时表格的填法如下：
第一行
0
1
2
6
7
…
第二行
2
3
4
8
9
…
第三行
4
5
6
10
11
…
由上可知使得数对
,a b 是N 的“友好数对”的一个充分条件为
2
b
a
，
当
2
b
a
时，
2
n
b
n
a
，
在该条件下，数表的填法为：
第一行填入被3a 整除余0,1,2,
,
1
a
的数，
第二行依次填入被3a 整除余,
1,
2,
,2
1
a a
a
a
的数，
第三行依次填入被3a 整除余2 ,2
1,2
2,
,3
1
a
a
a
a
的数，
在此表中，差为a 或2a 的两个数不可能在同一行，
此时对于任意n
N
，
在,n n
a
以及
2
n
a
除以3a 的余数中，
较大数与任意较小数之差必为a 或2a ，
若按表中方法填入式，
任意两数均不可能在同一行，
则,n n
a
以及
2
n
a
比不同行，
故
2
b
a
满足题意，
则“
2
b
a
”为使得数对
,a b 是N 的“友好数对”的一个充分条件.
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