文档文本内容
第 05 讲 空间向量及其应用 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：空间向量的线性运算
题型二：共线、共面向量定理的应用
题型三：空间向量的数量积及其应用
角度1：求空间向量的数量积
角度2：利用数量积求长度
角度3：利用数量积求夹角
角度4：利用向量解决平行和垂直问题
角度5：向量的投影和投影向量
题型四：利用空间向量证明平行与垂直
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：空间向量的有关概念
1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或
模；如空间中的位移速度、力等．
2、几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
知识点二：空间向量的有关定理
1、共线向量定理：
对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 ，使 ．
（1）共线向量定理推论：如果 为经过点 平行于已知非零向量 的直线,那么对于空间任一点 ,点
在直线 上的充要条件是存在实数 ,使 ①，若在 上取 ，则①可以化作：（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点 ，空间中三点 共线的充要条件是
，其中
2、共面向量定理
如果两个向量 不共线，那么向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使
（1）空间共面向量的表示
如图空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，使 ．
或者等价于：对空间任意一点 ，空间一点 位于平面 内（ 四点共面）的充要条件是存
在有序实数对 ，使 ，该式称为空间平面 的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
（2）拓展
对于空间任意一点 ，四点 共面（其中 不共线）的充要条件是
（其中 ）．
3、空间向量基本定理
如果向量三个向量 不共面，那么对空间任意向量 存在有序实数组 使得
知识点三：空间向量的数量积
1、空间两个向量的夹角
（1）定义：如图已知两个非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ， ，则么 叫做向量 的夹角，记 .（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
（2）范围： ．
特别地，（1）如果 ，那么向量 互相垂直，记作 ．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为 ，故
(或 ) ( 为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定 与任何向量 都是共线的，即 ．两非零向量的夹角
是唯一确定的．
（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为 ，
(1)向量夹角的范围是0<< >< ，异面直线的夹角 的范围是0< < ，
(2)当两向量的夹角为锐角时， ；当两向量的夹角为 时，两异面直线垂直；当两向量的夹角
为钝角时， .
2、空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量 ， ，则 叫做 ， 的数量积，记作 ；即
．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
3、向量 的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 共线的向量 ， 向量 称为向
量 在向量 上的投影向量．类似地，可以将向量 向直线 投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别
为 ， ，得到 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量．这时，向量 ， 的夹角就是向量 所在直线与平面 所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量 ， 的数量积等于 的长度 与 在 方向上的投影
的乘积或等于 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积.
5、数量积的运算：
（1） ， .
（2） (交换律)．
（3） (分配律).
知识点四：空间向量的坐标表示及其应用
设 ， ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
数量积
共线（平行）
垂直
（ 均 为非零向量）
模
，即
夹角
知识点五：直线的方向向量和平面的法向量
1、直线的方向向量
如图①, 是直线 的方向向量,在直线 上取 ,设 是直线 上的任意一点,则点 在直线 上的充
要条件是存在实数 ,使得 ，即
2、平面法向量的概念如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称 为平面 的法向量；过点 且以 为法向量
的平面完全确定，可以表示为集合 ．
3、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面 的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由 列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取 )
得结论：得到平面的一个法向量.
知识点六：空间位置关系的向量表示
1、空间中直线、平面的平行
设直线 , 的方向向量分别为 ， ，平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
线线平行 ⇔ ⇔ ( )
线面平行 ⇔ ⇔
面面平行 ⇔ ⇔
2、空间中直线、平面的垂直
设直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量
，平面 的法向量为 ，则
线线垂直 ⇔ ⇔
线面垂直 ⇔ ⇔ ⇔
面面垂直 ⇔ ⇔ ⇔第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：空间向量的线性运算
典型例题
例题1．（2022·天津市第二南开中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体 中，
为 与 的交点.若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是
（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 ，
故选：A
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，
得 ，
所以 ，
故选：D
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知 为正方体且 ， ， ，则
______．
【答案】
【详解】正方体 中，则
故答案为：
例题4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平行六面体 中， 、 分别是
、BC的中点．设 ， ， ．
(1)已知 是 的中点，用 、 、 表示 、 、 ；
(2)已知P在线段 上，且 ，用 、 、 表示 ．
【答案】(1) ， ，
(2)
(1)
因为M、N、P分别是 、BC、 的中点
所以， ；
；
；
(2)
因为 ，所以
所以 ．
题型归类练
1．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）如图，在平行六面体ABCD－ABC D 中，E为
1 1 1 1AC 的中点，若 = + + ，则（ ）．
1 1
A．x＝1， ， B．x＝1， ，
C． ，y＝1， D． ，y＝1，
【答案】B
【详解】由题意得：
，
所以
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
故选：D.
3．（2022·全国·高二课时练习）在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若
，且G、M、N三点共线，则 ______．
【答案】【详解】
若G、M、N三点共线，则存在实数 ，使得 ，又点M，N分别为OA、BC的中
点，则 ， ，则 ，则 ，解得
，则 .
故答案为： .
4．（2022·湖南·高二课时练习）如图，正方体 中，点E，F分别是上底面 和侧面
的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)(3)
(1)
解：由向量加法的三角形法则得， ，
由平行四边形法则和向量相等得， ；
所以 ，
所以 ；
(2)
解：由向量加法的三角形法则得， ，
由四边形法则和向量相等得， ；
所以 ，
所以 ．
(3)
解： 由（1），（2）可知，
，
所以 .
题型二：共线、共面向量定理的应用
典型例题
例题1．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）若空间向量 不共线，且
，则 ( )
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【详解】∵空间向量 不共线，
∴要使 ，
则 ．
故选：C．例题2．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知向量 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 或 .
故选：C.
例题3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））在平行六面体 中，点 在
上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
，
所以有 ，因此 ，
故选：C
例题4．（2022·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）已知 ， ，
，若向量 共面，则实数 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】向量 共面，则 ，（ ）.
则有 ，
所以
解得：x=1，y=1， =1.
故选：A
例题5．（2022·吉林·东北师大附中高二阶段练习） ， 为空间直角坐标系中的两个
点， ，若 ，则 ______．【答案】
【详解】由 ， 的点坐标可得 ，
因为 ，则 ，
所以 ．
故答案为： .
例题6．（2022·全国·高二课时练习）若三个向量 ， ， 共面，则实数
的值为______．
【答案】21
【详解】 ， ， 共面，则存在实数 ，使得 ，即
，
故答案为：21
题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）若点 ， ， 在同一条直线上，则
（ ）
A．21 B．4 C． 4 D．10
【答案】C
【详解】 ，
∵点 ， ， 在同一条直线上
∴ ∥ 则
解得
∴
故选：C．
2．（2022·福建·古田县第一中学高二阶段练习）已知向量 与 共线，则实数
（ ）
A．0 B．1 C． 或2 D． 或1
【答案】D
【详解】因为 共线，所以 ，
解得 或1.
故选：D
3．（2022·全国·高二课时练习）已知A， ， 三点不共线，点 是平面 外一点，则在下列各条件
中，能得到点 与A， ， 一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：对于A，因为 ，所以此条件不能保证点 与A， ， 共面；
对于B，因为 ，所以此条件能保证点 与A， ， 共面；
对于C，因为 ，所以此条件不能保证点 与A， ， 共面；
对于D，因为 ，所以此条件不能保证点 与A， ， 共面.
故选：B．
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知 ， ， ，若
四点共面，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若 四点共面，则存在实数 使得 成立，
则 解得
故选：D．
5．（2022·上海市七宝中学高二开学考试） ， ， ，若 ， ， 三向量
共面，则实数 _________.
【答案】
【详解】 ， ， ，若 ， ， 三向量共面，
设 ，
即 ，所以 ，解得: ，所以 .
故答案为：5
6．（2022·湖南师大附中高二开学考试）已知 ， ， ，且点
D在平面ABC内，则 ___________.
【答案】11
【详解】因为点 在平面 内，所以存在唯一一对实数 ，使得 成立，所以
，
因此 ，解得 .
故答案为：11
题型三：空间向量的数量积及其应用
角度1：求空间向量的数量积
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知 ， ，则 等于（ ）
A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23
【答案】C
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ .
故选：C.
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）如图，边长为1的正方体 中，则 • 的值
为（ ）A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】解：建立如图所示坐标系,则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D（0，0，1），
1
故 （1，0，0）， （ 1， 1，1），则 • 1，
故选：B．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，即
_______．
【答案】
【详解】根据空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，可得 .
故答案为： .
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知 是长方体， ，且 为侧
面 的中心， 为 的中点，分别求 .
【答案】16，0，2.
【详解】如图，以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，
即有 ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，0， ，，0， ， ，4， ， ，4， ，
，0， ， ，2， ，
（1） ，4， ，4， ；
（2） ，2， ，0， ；
（3） ，2， ，2， ．
题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体 中，棱长为 ，点 为棱 上一点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，
所以 ，
则 ，
当 时， 的最小值为 .
故选：D.2．（2022·湖南·长沙市平高高级中学有限公司高二阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，设
1 1 1 1
，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】B
【详解】由题意可得 ,
所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）若向量 ， ，则 的值是_______.
【答案】0
【详解】因为 ，所以 ，
故答案为：0.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直三棱柱 中， ，求
.
【答案】0.
【详解】∵直三棱柱 中， ，
∴ ，
∴
.
角度2：利用数量积求长度
典型例题例题1．（2022·湖北·高二期末）若 、 、 为空间三个单位向量， ，且 与 、
所成的角均为 ，则 （ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
故 ，
故选：C
例题2．（2022·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）已知空间向量 ， ，则
（ ）
A． B．19 C．17 D．
【答案】D
【详解】因为 ， ，
所以 ，故 ，
故选：D.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 ， ，若 与 垂直，则
___________.
【答案】
【详解】解： 与 垂直， ，
则 ，解得： ，
，
则 ，
.
故答案为： .
例题4．（2022·福建南平·高二期末）在空间直角坐标系中，已知 ， ，则
_______．
【答案】5【详解】因为 ， ，故可得 ，
故 .
故答案为： .
例题5．（2022·河南·高二阶段练习）如图，在四棱柱 中，四边形 是正方形，
，且 ，设 .
(1)试用 表示 ；
(2)已知 是 的中点，求 的长.
【答案】(1)
(2)
（1）
.
（2）
由题意知 ，
.
，
题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）已知空间向量 两两夹角均为 ，其模均为1，则
（ ）A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B
2．（2022·湖南·长郡中学高二期末）已知空间向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，所以
故选：A
3．（2022·全国·高二课时练习）已知 ， ，则 ______．
【答案】
【详解】由 ， ，则 .
故答案为： .
4．（2022·湖南·长沙市平高高级中学有限公司高二阶段练习）如图，在平行六面体 中，
， ， ， ， ， 是 的中点，设 = ， =
， = ．
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求 的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
（1）由题可知，根据向量的三角形法则得到：.
（2）因为 ，
所以
又 ， ， ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
即即AE的长为 .
5．（2022·福建·泉州师范学院附属鹏峰中学高二阶段练习）如图，在平行六面体 中，
， ， ， ， ．求：
(1)
(2) 的长．
【答案】(1)
(2)
（1）
.
（2）
，
，
，即 的长为 .
角度3：利用数量积求夹角典型例题
例题1．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）若向量 ， ，且 与
的夹角的余弦值为 ，则实数 等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或
【答案】B
【详解】由题知， ，
解得 ．
故选：B.
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： ，
又 ，
.
故选：C.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知 ， ，O是坐标原点， 与 的夹
角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，
所以 ，又 ， ，
所以 ，所以
解得λ
故选：C.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间三点 ，求 ．【答案】
【详解】 ， ，
，
所以 .
题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）已知向量 ， ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 的取
值可以是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【详解】由题可知：
所以
故选：A
2．（2022·河南开封·高二阶段练习）若 ， ，且 ， 的夹角的余弦值为 ，则 等
于（ ）
A．2 B． C． 或 D．2或
【答案】C
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
解得： 或 .
故选：C.
3．（2022·全国·高二单元测试）若空间两个单位向量 、 与 的夹角都
等于 ，则 ______．【答案】 .
【详解】因为 是单位向量，所以有 ，
因为 与 的夹角都等于 ，
所以 ，
所以有 ，
，
故答案为：
4．（2022·湖南·高二课时练习）已知 ， ， 三点，求 的值．
【答案】
【详解】由已知 ，
所以 ．
角度4：利用向量解决平行和垂直问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）若直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则
（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 或 .
故选：D
例题2．（2022·全国·高二课时练习）若 ，且 为直线 的一个方向向量， 为
平面 的一个法向量，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．8【答案】C
【详解】由题知， ，故 ，解得 .
故选：C
例题3．（2022·全国·高二单元测试）如图，正方体 的棱长为 ， ， 分别为
和 上的点， ，则 与平面 的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定
【答案】B
【详解】因为正方体的棱长为 ，可得 ，所以 ， ，
所以
．
又因为 是平面 的一个法向量，且 ，
所以 ，所以 平面 ．
故选：B．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知在正四棱柱 中， , ，点E为
的中点，点 为 的中点．
(1)求证： 且 ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
在正四棱柱 中，可以建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ．
（1）由 ， ， ，
得 且 ，
所以 且 ．
（2）
，由于 ，显然 ，故 ．
题型归类练
1．（2022·江苏扬州·高二期中）已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ， .
故选：A.
2．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）设 是平面α的法向量， 是直
线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）．
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．平行或在平面内
【答案】D
【详解】由 ，则 ，
由向量的自由性，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内，
故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）如图， 且 ， ， 且 ，
且 ， 平面ABCD， .若M为CF的中点，N为EG的中点，求
证： 平面CDE；
【答案】证明见解析
【详解】因为 ， ， 平面ABCD，
而AD､ 平面ABCD，所以 ， ，
因此以D为坐标原点，分别以 ､ ､ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为 且 ， 且 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ， ， ，
.
设 为平面CDE的法向量， ， ，
则 ，不妨令 ，可得 ；
又 ，所以 .
又∵直线 平面CDE，∴ 平面CDE；
4．（2022·全国·高三专题练习）如图在边长是2的正方体 中， ， 分别为 ， 的
中点．证明：平面 平面 ；【答案】证明见解析
【详解】证明：建立如图所示空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
因为 ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ，即 ，
又∵ ， 平面 且 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
5．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中，如图E、F分别是 ，CD的中点，求证： 平面ADE；
【答案】证明见解析
【详解】以D为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0）， （0，0，1），E（1，1， ），F（0， ，0），
则 ＝（0， ，－1）， ＝（1，0，0）， ＝（0，1， ），
则 ＝0， ＝0，
， ，即 ， ，
又 ， 平面ADE．
故 平面ADE．
角度5：向量的投影和投影向量
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）在正三棱柱 中，若 ，则 在 上的投影
向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】过 作 ，分别以 为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
设正三棱柱 的棱长为2，
则 ，
所以 ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：B
例题2．（2022·湖北·沙市中学高二阶段练习）已知空间向量 ＝（1，1，0）， ＝（﹣1，0，2），则
在 方向上的投影向量为__________________．
【答案】
【详解】空间向量 ＝（1，1，0）， ＝（﹣1，0，2），则 ,
,所以 在 上的投影向量为 ,其坐标为 .
故答案为： .
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知 ，求 在 上正投影的数量．
【答案】
【详解】 ， ，则 在 上正投影为 ，故 在
上正投影为例题4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在长方体 中，已知 ， ，
，分别求向量 在 、 、 方向上的投影数量．
【答案】向量 在 、 、 方向上的投影数量分别为 、 、 .
【详解】解：非零向量 在非零向量 方向上的投影数量为 ，
由空间向量的平行六面体法则可得 ，
在长方体 中， ，
因此，向量 在 方向上的投影数量为 ，
向量 在 方向上的投影数量为 ，
向量 在 方向上的投影数量为 .
题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 ，则 在 方向上的投影为___________.
【答案】 ##
【详解】 在 方向上的投影为 .
故答案为：
2．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知 ， ， .
(1)求 ；(2)求 在 上投影的数量.
【答案】(1)
(2)
（1）因为 ， ， ，所以 ， .
因为 ， ， ，
所以 ，
故 .
（2）因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 在 上投影的数量为 .
3．（2022·全国·高一）已知在标准正交基 下，向量 ， ，
，求向量 在 上的投影．
【答案】
【详解】解：非零向量 在非零向量 方向上的投影为 ，
由已知可得 ，且 ，
，
所以，向量 在 上的投影为 .
4．（2022·全国·高二课时练习）在标准正交基 下，已知向量 ， ，则向量
在 上的投影为______，在 上的投影之积为______．
【答案】 -12 56
【详解】解： 易得 ，
所以 在 ， ， 上的投影分别为-12，8，7，
其在 ， 上的投影之积为 ．
故答案为：-12；56.题型四：利用空间向量证明平行与垂直
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体 中， ， ， ，点
、 在棱 、 上，且 ， ，点 、 分别为 、 的中点．求证：直
线 直线 ．
【答案】证明见解析.
【详解】以点D为原点，分别以 、 与 的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则 、 、 、 、 、 、 、 ，
由题意知 、 、 、 ，
∴ ， ．
∴ ，又 ， 不共线，
∴ .
例题2．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）如图，已知矩形 所在平面外一点P，
平面 ， 、 分别是 、 的中点．
求证：（1） 共面；
（2）求证： ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【详解】证明： 如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系 ，
设 ， ， ，
则 0， ， 0， ， 2b， ，
2b， ， 0， ，
为AB的中点，F为PC的中点，
0， ， b， ，
b， ， ， 2b， ，
共面.
（2） ，
．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱 中侧棱与底面垂直，且
， ， 分别为 的中点．
求证： ∥平面 ；【答案】证明见解析
【详解】因为三棱柱 中侧棱与底面垂直，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为 ,
所以AB､AC､ 两两垂直，
所以以点A为坐标原点，AB､AC､ 所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
取向量 为平面 的一个法向量， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ 平面 ，
∴ 平面 ．例题4．（2022·全国·高二课时练习）在正方体 中，点 ， 分别是正方形 和
正方形 的中心．求证：
(1) 平面 ；
(2) 平面 ；
(3)平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(1)
设正方体的边长为 ，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
，
所以 ，
由于 ，所以 平面 .
(2)
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 .
，
， 平面 ，
所以 平面 .
(3)
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 .
，
显然，平面 与平面 不重合，所以平面 平面 .例题5．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中 中， 底面 ， ，
， ， ，点 为棱 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 为棱 上一点，满足 ，求线段 的长.
【答案】（1）略；（2）
【详解】（1） 底面ABCD， ，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意 ， ， ， ， ，， ，
，
.
（2） ，
，
由点F在棱PC上，设 ， ，
，
， ，解得 ，
即线段 的长为 。
题型归类练
1．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）如图，已知在正方体ABCD－ABC D 中，M，N，P分别
1 1 1 1
是AD，BD，BC的中点，利用向量法证明：
1 1
（1）MN∥平面CC DD；
1 1
（2）平面MNP∥平面CC DD．
1 1
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）证明：以D为坐标原点， ， ， 的方向
分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，
D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD⊥平面CC DD，
1 1
所以 ＝(2，0，0)为平面CC DD的一个法向量.
1 1
由于 ＝(0，1，－1)，
则 ＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以 ⊥ .
又MN 平面CC DD，
1 1
所以MN∥平面CC DD.
⊄ 1 1
（2）证明：因为 ＝(2，0，0)为平面CC DD的一个法向量，
1 1
由于 ＝(0，2，0)， ＝(0，1，－1)，
则 ，
即 ＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC DD.
1 1
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，
， ， ， ，平面 平面 ，且 ， 为 的中点，证明：平面
平面 .
【答案】证明见解析；【详解】如图，以 为坐标原点，以 ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则 ， ， ， .
因为 ， 为 的中点，所以 .
因为平面 平面 且交于 ，所以 平面 ，
令 .
则 ， ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，且 ，
， ， ，点M为棱PC的中点，
证明： .【答案】证明见解析
【详解】因为PD⊥底面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
如图，以A为原点，分别以 ， 为x轴，y轴的正方向，过点A作 ∥ ，则 ⊥平面 ，以
为 轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，4，2 ），
因为点M为棱PC的中点，所以M（1，3， ）．
所以 ，
所以 ．
所以 ，即 ．
4．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ，D为AB
的中点．试用向量的方法证明：(1) ；
(2) 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
建立如图所示空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
所以 .
（2）
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可令 ，
，所以 平面 .5．（2022·河南·北大公学禹州国际学校高二阶段练习）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，
， ， ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 .
【答案】(1)证明见解析 (2) 证明见解析
【详解】 三棱柱为直三棱柱 平面 ，
又 ，则 两两互相垂直，可建立如下图所示的空间直角坐标系则 ， ， ， ， ，
（1） ，
（2）由题意知： 是平面 的一个法向量
，
平面 平面
