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1
[来源@^:中教网~#*]
2017 年全国中考数学真题知识点分类解析汇编
专题3 因式分解
一、填空题
1.（2017 甘肃庆阳,11）分解因式：x2-2x+1= ．
【答案】（x-1）2．
【解析】x2-2x+1=（x-1）2．[
【考点】因式分解-运用公式法．
2.（2017 贵州安顺,11）分解因式：x3﹣9x= ．
【答案】x（x+3）（x﹣3）
【解析】原式=x（x2﹣9）
=x（x+3）（x﹣3）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
3.（2017 贵州安顺,14）已知x+y= 3，xy= 6，则x2y+xy2的值为 ．
【答案】3 2.
【解析】∵x+y= 3 ，xy=
，
∴x2y+xy2
=xy（x+y）[来源^:*&@中~教网]
= 6× 3
= 18
=3 2.[www^.zzs@t%e~*p.com]
【考点】因式分解的应用．
4.（2017 湖南怀化,11）因式分解：
2
m
m
-
= ．
【答案】m（m﹣1）[来源~:中*%国@教育出版#网]
【解析】m2﹣m=m（m﹣1）
【考点】因式分解﹣提公因式法．
5.（2017 江苏无锡,12）分解因式：3a2﹣6a+3= ．
【答案】3（a﹣1）2．
【解析】原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
6.（2017 江苏盐城,8）分解因式a2b-a 的结果为
2
【答案】a（ab-1）
【解析】a2b-a=a（ab-1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
7.（2017 贵州黔东南州,13）在实数范围内因式分解：x5﹣4x= ．
【答案】x（x2+2）（x+ 2）（x﹣2）
【解析】原式=x（x4﹣22），
[来源:#%中^&教*网]
=x（x2+2）（x2﹣2）
=x（x2+2）（x+ 2）（x﹣2），
【考点】实数范围内分解因式．
8.（2017 四川泸州,14）分解因式：2m2-8= ．
【答案】2（m+2）（m-2）
【解析】2m2-8，
=2（m2-4），[来@源#:^中国教育出&版~网]
=2（m+2）（m-2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
9.（2017 四川宜宾,9）分解因式：xy2﹣4x= ．
【答案】x（y+2）（y﹣2）
【解析】原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2）[来源:zzst@ep%&^~.com]
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
10.（2017 新疆建设兵团,10）分解因式：x2﹣1= ．
【答案】（x+1）（x﹣1）．
【解析】x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
11.（2017 浙江嘉兴,11）分解因式：
2
ab
b
．
【答案】b（a-b）
【解析】原式=b（a-b）
【考点】因式分解-提公因式法．
12.（2017 广东广州,12）分解因式：
2
9
xy
x
___________．
【答案】(
3)(
3)
x y
y
[www.*zz%step.#~co^m]
【解析】原式＝
2
(
9)
x y
(
3)(
3)
x y
y
【考点】提公因式法和公式法进行因式分解.
3
13.（2017 湖南长沙,13）分解因式：
2
4
2
2
a
a
．
【答案】2（a+1）2
【解析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公
式
2
2
a
b
a
b
a
b ，完全平方公式
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
）、三检查（彻底分解），可以先提公因式2，再用
完全平方分解为2（a+1）2.[中*%@国教育^出版#网]
故答案为：2（a+1）2
【考点】因式分解
14.（2017 山东临沂,15）分解因式：
2
9
m
m
．
【答案】
3
3
m m
m
[来#源:中^&*@国教育出版网]
【解析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2
b
﹣
2=（a+b）（a
b
﹣）．
m3
9m
﹣
，
=m（m2
9
﹣），
=m（m+3）（m
3
﹣）．
故答案为：m（m+3）（m
3
﹣）．
【考点】因式分解[w^*#w~w.zzs@tep.com]
15. (2017 四川泸州,14)分解因式：
2
2
8
m
．
【解析】2(m+2)(m-2).
原式=
2
2(
4)
m
2(m+2)(m-2).
16.(2017 辽宁沈阳,11)因式分解
2
3a
a
.
【答案】3(3a+1).
【解析】直接提公因式a 即可，即原式=3(3a+1).
【考点】因式分解.
17. (2017 山东日照,13)分解因式：2m3﹣8m=
．
【答案】2m（m+2）（m﹣2）．
提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解即可，即2m3﹣8m=2m（m2﹣4）=2m（m+2）（m﹣2）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
18. （2017 江苏苏州,14）因式分解：
2
4
4
1
a
a
．
4
【答案】
2
(2
1)
a
.
【解析】
2
4
4
1
a
a
2
(2
1)
a
.
【考点】公式法因式分解 .[中国教育*出&@^#版网]
19. (2017 山东菏泽,9)分解因式：
________.
【答案】x(x+1)(x-1).
【解析】提公因式后再利用平方差公式分解即可，即
.
20. (2017 浙江金华,11)分解因式：
2
4
x
．
【答案】（x+2）（x-2）.[www#.zz%st*ep.c@om~]
【解析】解：直接利用平方差公式进行因式分解即可，即原式=（x+2）（x-2）.
21. （2017 浙江湖州,11）把多项式
2
3
x
x
因式分解，正确的结果是 ．
【答案】x（x-3）
【解析】根据因式分解的方法，先提公因式x 可得x2-3x=x（x-3）.
【考点】提公因式法分解因式
22. (2017 湖南湘潭,9)因式分解：
．
【答案】(m+n)(m- n)
【解析】直接利用平方差公式分解即可，即
n
m
n
m
n
m
2
2
.
23. （2017 浙江台州,11）因式分解：
2
6
x
x
．
【答案】x（x+6）
【解析】根据因式分解的提公因式法即可得出，原式=x（x+6）.
故答案为：x（x+6）.[来*源:中&国^教育出~版网@]
【考点】因式分解-提公因式法
24. (2017 浙江舟山,11)分解因式：
2
b
ab
．[来源:%中@国教~育#出&版网]
【答案】b(a-b).
【解析】直接提公因式b 即可，即原式=b(a-b).
【考点】因式分解-提公因式法.
25．（2017 四川广安）分解因式：
2
4
mx
m
=
．
【答案】m（x+2）（x﹣2）．[w%w^w.z&zstep.co@~m]
5
【解析】
2
4
mx
m
=
2
(
4)
m x
=m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．[中国教育@出~^版*&网]
26．（2017 四川眉山）分解因式：
2
2
8
ax
a
=
．
【答案】2a（x+2）（x﹣2）．
【解析】首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．
原式=2a（x2
4
﹣）=2a（x+2）（x
2
﹣）．
故答案为：2a（x+2）（x
2
﹣）．
[来~#源:中国教&育出^版%网]
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．[www.zz&^st#ep.co*m~]
27．（2017 四川绵阳）分解因式：
2
8
2
a
=
．
【答案】2（2a+1）（2a﹣1）．
【解析】
2
8
2
a
=
2
2(4
1)
a
=2（2a+1）（2a﹣1）．故答案为：2（2a+1）（2a﹣1）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
28．（2017 四川达州）因式分解：
3
2
2
8
a
ab
=
．[中国@教育&#*~出版网]
【答案】2a（a+2b）（a﹣2b）．[来#~@源&:zzst*ep.com]
【解析】
2a3﹣8ab2
[来源:@~中国教^育*#出版网]
=2a（a2﹣4b2）
=2a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2a（a+2b）（a﹣2b）．[中国#教~^@育%出版网]
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
29．（2017 山东济宁）分解因式：
2
2
2
ma
mab
mb
=
．
【答案】
2
(
)
m a
b
．
【解析】[来源@~^:&中教网*]
原式=
2
2
(
2
)
m a
ab
b
=
2
(
)
m a
b
，故答案为：
2
(
)
m a
b
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
30．（2017 广东）分解因式：
a
a
2
=
．
6
【答案】a（a+1）．
【解析】
a
a
2
=a（a+1）．故答案为：a（a+1）．
【考点】因式分解﹣提公因式法．学&科网
31．（2017 江苏盐城）分解因式
2
a b
a
-
的结果为 ．
【答案】a（ab﹣1）．
【解析】[中国教@&%育出^版~网]
2
a b
a
-
=a（ab﹣1），故答案为：a（ab﹣1）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
32．（2017 浙江丽水）分解因式：
2
2
m
m
=
．
【答案】m（m+2）．[来源:*zzste^p@.~co%m]
【解析】原式=m（m+2）．故答案为：m（m+2）．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
33．（2017 浙江台州）因式分解：
2
6
x
x
=
．
【答案】x（x+6）．
【解析】原式=x（6+x），故答案为：x（x+6）．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
34．（2017 浙江绍兴）分解因式：
2x y
y
．
【答案】y（x+1）（x﹣1）．[中国~教@育%#出^版网]
【解析】原式=
=
[中国^*教育#出&@版网]
故答案为
.
【考点】1．提公因式法与公式法的综合运用；2．因式分解．[来源:中#国教^育@出版*网%]
二、解答题[中~国@%*教^育出版网]
1．
（2017 山东枣庄）我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q 是正整数，且p≤q），在n 的所
有这种分解中，如果p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解．并规定：F（n）= p
q
．
例如12 可以分解成1×12，2×6 或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4 是12 的最佳分解，所以F（12）= 3
4
．
（1）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数．[w~ww.zz#s^tep%@.com]
7
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原
来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．[来源:*中国教育出^版网@&#]
【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）3
4
．
【解析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n 为正整数），找出m 的最佳分解，确定出F（m）的值
即可；
（2）设交换t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x
与y 的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n 为正整数），
∵|n
n
﹣|=0，
[来~源:zz*^ste%@p.com]
∴n×n 是m 的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）=
=1；
（2）设交换t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t 是“吉祥数”，
∴t′
t=
﹣
（10y+x）﹣（10x+y）=9（y
x
﹣）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y 为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=
，F（26）=
，F（37）=
，F（48）=
=
，F（59）=
，
∵
＞
＞
＞
＞
，
[中&国教育出版@*~%网]
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为
．
【考点】1．因式分解的应用；2．新定义；3．因式分解；4．阅读型．[来源:zzst%ep^.c@om~*]
2．
（2017 重庆B 卷）对任意一个三位数n，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相
异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与
111 的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与
个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．[来源*:中国&^教#育出版网~]
（1）计算：F（243），F（617）；
8
（2）若s，t 都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y 都是正整数），规定：k=
( )
( )
F s
F t
，当F（s）
+F（t）=18 时，求k 的最大值．
【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）5
4
．
【解析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243 和n=617 代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y 结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y 的二元一次方程，解之即可得出x、y 的值，再根据
“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=
( )
( )
F s
F t
中，找出最大值即可．
（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）∵s，t 都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=
（510+y+100 y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y 都是正整数，∴
1
6
x
y
或
2
5
x
y
或
3
4
x
y
或
4
3
x
y
或
5
2
x
y
或
6
1
x
y
．
∵s 是“相异数”，∴x≠2，x≠3．
∵t 是“相异数”，∴y≠1，y≠5，∴
1
6
x
y
或
4
3
x
y
或
5
2
x
y
，∴
( )
6
( )
12
F s
F t
或
( )
9
( )
9
F s
F t
或
( )
10
( )
8
F s
F t
，∴k=
( )
( )
F s
F t
= 1
2
或k=
( )
( )
F s
F t
=1 或k=
( )
( )
F s
F t
= 5
4
，∴k 的最大值为5
4
．
【考点】1．因式分解的应用；2．二元一次方程的应用；3．新定义；4．阅读型；5．最值问题；6．压轴题．
