文档文本内容
第 03 讲 平面向量的数量积
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................2
第二部分：高考真题回顾........................................................................................4
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................4
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析....................................................4
高频考点二：平面向量数量积的几何意义........................................................5
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）........................................6
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）............................................7
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）.....................................8
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）....10
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）...........................11
高频考点八：向量的垂直关系.........................................................................12
高频考点九：向量的投影（投影向量)............................................................13
高频考点十：平面向量的综合应用.................................................................13
高频考点十一：最值范围问题.........................................................................15
第四部分：典型易错题型......................................................................................16
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题...................................16
第五部分：新定义题.............................................................................................17第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量 和 ，如图所示，作 ， ，则
( )叫做向量 与 的夹角，记作 ．
(2)范围：夹角 的范围是 ．
当 时，两向量 ， 共线且同向；
当 时，两向量 ， 相互垂直，记作 ；
当 时，两向量 ， 共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即
，其中θ是 与 的夹角，记作： ．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作： .
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点 ，作 .过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则
就是向量 在向量 上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当 为锐角（如图（1））时， 与 方向相同， ，所以
；
当 为直角（如图（2））时， ，所以 ；
当 为钝角（如图（3））时， 与 方向相反，所以
，即 .当 时， ，所以 ；
.
当 时， ，所以
综上可知，对于任意的 ，都有 .
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量 ， 为向量 和 的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量 的充要条件：
2.5三角不等式： （当且仅当 时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形 中，则
②三角形形式：在 中， 为 的中点，所以
5、常用结论
①②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2023·全国·乙卷文）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
3．（2023·全国·甲卷文）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·乙卷理）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
6．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
1．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量 ，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在 中，下列命题正确的个数是（ ）
① ；② ；③若 ，则 为等腰三角形；④
，则 为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）在三角形 中， 在
上的投影向量为 ，则 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东青岛·期中）在 中， ，若 ，则下列结论正确的为
（ ）
A． 一定为钝角三角形 B． 一定不为直角三角形
C． 一定为锐角三角形 D． 可为任意三角形
2．（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式① ；② ；③ ；④若
，且 ，则 ；其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ， ，则 D． ，则
高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为 的等边 中，点 为中线 上的动点，点 为
的中点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱
满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为 ， 、 是圆 上的两
点，若 ，则 .
练透核心考点
1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪
生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形
，其中 为正八边形的中心，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在 中，C为直角顶点， ，则 的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．缺少条件，做不出来高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边 的边长为 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·山东·阶段练习）在 中， 为 边上一点，满足 ，
则 （ ）
A． B．6 C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）在正六边形 中，已知 ，则 ．
练透核心考点
1．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网
格上，则 （ ）
A．－8 B．－4 C．0 D．4
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，正八边形 ，其外接圆 半径为2，则 =
.高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
1．23-24高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．
2．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知平面向量 满足 且 ，则
（ ）
A． B．5 C． D．6
3．（2024·全国·模拟预测）若 ， ，则 ．
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知 ， ， ， ，则 .
练透核心考点
1．（2024·陕西西安·三模）已知平面向量 ， 的夹角为 ，若 ， ，则
（ ）
A．2 B． C． 或2 D．2或
2．（2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知向量 ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量 和 的夹角的余弦值为 ， ， ，则 等
于（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2023·北京海淀·三模）已知 为单位向量，向量 满足 ， ，则 的最大值为（ ）A．1 B．2 C． D．4
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量 ， 满足 ，向量 在向量 方向上的投影向量是 ，
则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一·全国·专题练习）已知非零向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值
为 .
3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知在 中，N是边AB的中点，且 ，设AM与CN
交于点P．记 ．
(1)用 表示向量 ；
(2)若 ，且 ，求 的余弦值．
4．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量 ．
(1)若 ，求 的坐标；
(2)若 ，求 与 的夹角．练透核心考点
1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量 ，则 ．
2．（2021·河南·模拟预测）已知 ， ， ，则向量 与 的夹角的正切值为
．
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知 ， ， ．
(1)求 ；
(2)求向量 与 的夹角．
4．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量 ， ， ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求 与 的夹角的余弦值．
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题
1．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知点 ， ，向量 ，若 与 成锐角，则y
的取值范围为 ．
2．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知 且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是
.
3．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量 ， ， ．(1)①若 ，求 ；②若 ，求 ；
(2)若向量 与 的夹角为钝角，求x的取值范围．
4．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知向量 ， ．
(1)若 ，求实数k的值；
(2)若 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
练透核心考点
1．（23-24高一下·甘肃天水·期末）已知 ，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范
围是 .
2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量 ， ，则 与 的夹角 为钝角
时， 的取值范围为 .
3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）若向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为
．
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量 ， ．
(1)求 以及向量 与 的夹角的余弦值；
(2)已知 与 的夹角为锐角，求 的取值范围．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量 ， ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向 ， ， ， ， ，若
，则 的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若向量 ， 满足 ， ， ，则
.
练透核心考点
1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量 和 的夹角的余弦值为 ， ， ，则 等
于（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ，则
（ ）
A． B．-2 C．2 D．
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）向量 ，若存在实数 ，使得 ，则
的取值范围是
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
1．（2024高一·江苏·专题练习）已知 且向量 与 互相垂直，则k的值为
（ ）
A． B．C． D．1
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知向量 ，若 ，则 .
3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知 ， ， 与 的夹角为 ．
(1)求 ；
(2)若向量 与 相互垂直，求实数k的值．
练透核心考点
1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知 ， ， ，且 与 垂直，则实数
的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知单位向量 ， 的夹角为 ， ，若 与 垂直，则
.
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值；
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知 ，则向量 在 上的投影向量的模长为
（ ）
A．1 B． C． D．
2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则向量 在向
量 上的投影数量为（ ）A．1 B． C．2 D．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量 、 、 ，其中 且 与 的夹角是 与
的夹角是 ，则 在 方向上的投影数量为 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知平面向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知向量 ，向量 ，则向量 在向量 上的投影向量
为 ．
高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知向量
(1)向量 夹角的余弦值；
(2)若向量 与 垂直，求实数k的值；
(3)若向量 ，且 与向量 平行，求实数k的值.
2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）已知向量 满足 ，设 与 的夹角为 ，
(1)若对任意实数 ，不等式 恒成立，求 的值；
(2)根据（1）中 与 的夹角 值，求 与 夹角的余弦值．3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图所示，平行四边形ABCD中， ， ，H，M分别是
AD，DC的中点，F为BC上一点，且 ．
(1)以 ， 为基底表示向量 与 ；
(2)若 ， ， 与 的夹角为 ，求 ．
(3)设线段AM、FM的交点为 ，在（2）的条件下，求 的余弦值．
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 和点 ， ，且
，其中O为坐标原点．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，设点D为线段OA（包括端点）上的动点，求 的最小值；
(3)若 ，向量 ， ，求 式的最小值及对应的 值．
2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 .
(1)求 ；
(2)当 时，求向量 与 的夹角θ的值.3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知平面内的三个向量 ， ， ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量 满足 ， ，则
的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘
可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知 与 为全
等的正六边形，且 ，点 为该图形边界（包括顶点）上的一点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）设平面向量 ，其中 为单位向量，且满足
，则 的最大值为 ．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若 ，则
的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 ， ， ， ，
，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知平面向量 满足 ，则 的最大值
为 .
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若 ， ，平面内一点P，满足 ，
的最大值是 ．
第四部分：典型易错题型
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， 为互相垂直的单位向量， ， ，且 与 的夹
角为锐角，则实数 的取值范围为 ．
2．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知 是夹角为 的两个单位向量．若
，其中 ，若 的夹角为锐角，则 的取值范围 ．3．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，若
与 的夹角为钝角，则一个满足条件的 的值可以为 ．
第五部分：新定义题
1．（23-24高一下·山西大同·阶段练习） 元向量（ ）也叫 维向量，是平面向量的推广，
设 为正整数，数集 中的 个元素构成的有序组 称为 上的 元向量，其中
为该向量的第 个分量． 元向量通常用希腊字母 等表示，如 上全体 元向量构
成的集合记为 ．对于 ，记 ，定义如下运算：加法法则
，模公式 ，内积
，设 的夹角为 ，则 ．
(1)设 ，解决下面问题：
①求 ；
②设 与 的夹角为 ，求 ；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量
都相同，证明：．
