文档文本内容
第 03 讲 平面向量的数量积
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................8
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析....................................................8
高频考点二：平面向量数量积的几何意义......................................................11
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）......................................13
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）..........................................16
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）...................................19
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）....23
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）...........................27
高频考点八：向量的垂直关系.........................................................................30
高频考点九：向量的投影（投影向量)............................................................32
高频考点十：平面向量的综合应用.................................................................34
高频考点十一：最值范围问题.........................................................................39
第四部分：典型易错题型......................................................................................48
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题...................................48
第五部分：新定义题.............................................................................................50第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量 和 ，如图所示，作 ， ，则
( )叫做向量 与 的夹角，记作 ．
(2)范围：夹角 的范围是 ．
当 时，两向量 ， 共线且同向；
当 时，两向量 ， 相互垂直，记作 ；
当 时，两向量 ， 共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即
，其中θ是 与 的夹角，记作： ．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作： .
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点 ，作 .过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则
就是向量 在向量 上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当 为锐角（如图（1））时， 与 方向相同， ，所以
；
当 为直角（如图（2））时， ，所以 ；
当 为钝角（如图（3））时， 与 方向相反，所以
，即 .当 时， ，所以 ；
.
当 时， ，所以
综上可知，对于任意的 ，都有 .
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量 ， 为向量 和 的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量 的充要条件：
2.5三角不等式： （当且仅当 时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形 中，则
②三角形形式：在 中， 为 的中点，所以
5、常用结论
①②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】
利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】
向量 满足 ，
所以 .
故选：B
2．（2023·全国·乙卷文）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以 为基底向量表示 ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建
系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 ，进而根据数量积的定义运算求
解.
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，所以 .
故选：B.
3．（2023·全国·甲卷文）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 ，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
4．（2023·全国·乙卷理）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 ，或然后结合三角函数的性质即可确定 的最大值.
【详解】
如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 .当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】
本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对
于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
5．（2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】
空1：根据向量的线性运算，结合 为 的中点进行求解；空2：用 表示出 ，结合上一空答案，
于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
6．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
1．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量 ，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得.
【详解】 ，当且仅当 共线时取等号，A错误；
由向量加法的三角形法则知， ，当且仅当 同向或至少一个为零向量时取等号，B错误；
是与 共线的向量， 是与 共线的向量，因此 与 不一定相等，C错误；
，因此 ，D正确.
故选：D
2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在 中，下列命题正确的个数是（ ）
① ；② ；③若 ，则 为等腰三角形；④
，则 为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据向量的运算公式，即可判断选项.【详解】
① ，故①错误；② .故②正确；
③ ，则 ， 为等腰三角形，故③正确；
④若 ，只能说明 中，角 是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断 为锐角
三角形，故④错误.
故选：B
3．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）在三角形 中， 在
上的投影向量为 ，则 ．
【答案】
【分析】首先根据投影公式求 ，再转化向量 ，即可求解.
【详解】由题意， ， 为 中点，
由 在 上的投影向量为 ，
即 ，又 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东青岛·期中）在 中， ，若 ，则下列结论正确的为
（ ）
A． 一定为钝角三角形 B． 一定不为直角三角形
C． 一定为锐角三角形 D． 可为任意三角形
【答案】D
【分析】
根据数量积的概念即可判断 为锐角，再利用三角形的定义判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定 的形状，
故 可为任意三角形.故选：D
2．（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式① ；② ；③ ；④若
，且 ，则 ；其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.
【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；
0乘以任何向量都为零向量，故②正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；
不一定有 ，如 满足条件，结论不成立，故④错误；
故选：A
3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ， ，则 D． ，则
【答案】BD
【分析】
根据数量积的运算律及定义判断即可.
【详解】对于A： 表示与 共线的一个向量，
表示与 共线的一个向量，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C：因为 ，即 ，
又 ，所以 ，
即向量 与 在向量 方向上的投影相同，故C错误；
对于D：若 ，则 ，
即 ，
所以 ，则 ，故D正确；
故选：BD高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为 的等边 中，点 为中线 上的动点，点 为
的中点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据数量积的定义可得 为 在 上的投影，结合图，分别计算点 与点 重合、点
与点 重合时对应的 的值，可得 的取值范围，从而可得 的取值范
围.
【详解】
因为 ，
其中 为 在 上的投影，
又因为点 为边长为 的等边 中线 上的动点，
点 为 的中点，当点 与点 重合时， 为等边三角形，
此时 有最大值，所以 ，
当点 与点 重合时，此时 有最小值，
，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ．
故选：B．
2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱
满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为 ， 、 是圆 上的两点，若 ，则 .
【答案】18
【分析】利用平面向量的投影求解.
【详解】依题意得 ，
则 .
故答案为：18
练透核心考点
1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪
生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形
，其中 为正八边形的中心，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.
【详解】在正八边形 中，连接 ，则 ，
而 ，即 ，于是 ，
在等腰梯形 中， ，
所以 .
故选：D2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在 中，C为直角顶点， ，则 的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．缺少条件，做不出来
【答案】C
【分析】
由已知结合数量积的几何意义求解.
【详解】
如图，
∵C为直角， ，
∴ .
故选：C
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边 的边长为 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得.
【详解】等边 的边长为1，则 ，
，所以 .
故选：D
2．（23-24高一下·山东·阶段练习）在 中， 为 边上一点，满足 ，
则 （ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由题意分解向量得 ，进一步结合向量的数量积公式即可求解.
【详解】
由题意 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）在正六边形 中，已知 ，则 ．
【答案】 /
【分析】求出角度，由余弦定理得到 ，利用数量积公式求出答案.
【详解】在正六边形中， ， ，，
．
其中 ≌ ，
由余弦定理可得 ，
．
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网
格上，则 （ ）
A．－8 B．－4 C．0 D．4
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 ：，
，
，
故选:A．
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据数量积得运算律计算即可.【详解】由 ，
所以 ，则 .
故选：C
3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，正八边形 ，其外接圆 半径为2，则 =
.
【答案】
【分析】由 ，结合角度关系以及数量积定义和运算律即可求得结果.
【详解】正八边形 ，故 ，
故 ；
则 .
故答案为： .
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
1．23-24高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】B
【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】∵向量 满足 ，
，
，
，.
故选：B
2．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知平面向量 满足 且 ，则
（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】D
【分析】由垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算即得.
【详解】由 ，得 ，由 ，得 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，则 ，
所以 .
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】首先求出 ，再根据数据量的运算律得到 ，最后根据 计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
.
故答案为：
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知 ， ， ， ，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得.
【详解】由 ， ，得 ，而 ，且 ，
因此 ，解得 ，即 ，所以 .
故答案为：
练透核心考点1．（2024·陕西西安·三模）已知平面向量 ， 的夹角为 ，若 ， ，则
（ ）
A．2 B． C． 或2 D．2或
【答案】A
【分析】将 平方后，结合平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得 （舍负）.
故选：A.
2．（2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知向量 ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
计算 ，再计算模长即可.
【详解】
由题意知 ，
所以 ，
故选：D．
3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量 和 的夹角的余弦值为 ， ， ，则 等
于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
先由模长公式得 ，再结合数量积公式求 即可.
【详解】由题意可得， ， ，
可得 ， ，
解得 .
故选：B.
4．（2023·北京海淀·三模）已知 为单位向量，向量 满足 ， ，则 的最大值为（ ）A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
设 ， ，根据 求出 ，再根据 得到 ，最后根据向量模的坐
标表示及二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意设 ， ，
由 ，所以 ，则 ，
又 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
即 的最大值为 .
故选：C
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量 ， 满足 ，向量 在向量 方向上的投影向量是 ，
则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量可得 ，再结合向量夹角公式运算求解.
【详解】由向量 在向量 上投影向量为 ，
所以得 ，
又因为 ，所以 ，故C正确.
故选：C.
2．（2024高一·全国·专题练习）已知非零向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】由 ，可得 ，结合数量积的运算律求出 ，再根据向量夹角的计算公式
求解即可.
【详解】因为 且 为非零向量，设 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
设向量 的夹角为 ，则 ，
即向量 夹角的余弦值为 .
故答案为： .
3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知在 中，N是边AB的中点，且 ，设AM与CN
交于点P．记 ．
(1)用 表示向量 ；
(2)若 ，且 ，求 的余弦值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得；
（2）利用 结合条件根据向量夹角公式运算求解即得.
【详解】（1） ，
，.
（2）因为 三点共线，所以 得 ，
，得 ，
所以 ，
所以 ，即 的余弦值为 .
4．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量 ．
(1)若 ，求 的坐标；
(2)若 ，求 与 的夹角．
【答案】(1) 或 ；
(2) ．
【分析】
（1）根据向量模的坐标表示求解即可；
（2）利用坐标表示向量的数量积及向量夹角公式得解.
【详解】（1）由题意，设 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ．
（2）
因为 ，
所以 ，所以 ，
即 ，
设 与 的夹角为 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 与 的夹角 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量 ，则 ．【答案】 /
【分析】
根据向量夹角的坐标运算公式进行计算即可.
【详解】因为 ，
则 ，
所以 ，
故答案为： .
2．（2021·河南·模拟预测）已知 ， ， ，则向量 与 的夹角的正切值为
．
【答案】 /
【分析】确定 ，根据向量的夹角公式计算 ，再根据同角三角函数关系计算即可.
【详解】设向量 与 的夹角为 ，因为 ，所以 ，
， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以向量 与 的夹角的正切值为 ．
故答案为： ．
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知 ， ， ．
(1)求 ；
(2)求向量 与 的夹角．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由条件结合数量积的运算律求 ，再结合关系 求 ；
（2）根据向量的夹角余弦公式求向量 与 的夹角余弦，再求其夹角.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
解得， ．
所以 ，
所以 ．
（2） ．
设向量 与 的夹角为 ，则
．
因为 ，所以 ．
4．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量 ， ， ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求 与 的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助平面向量基本定理与坐标运算计算即可得；
（2）借助向量垂直可得数量积为0，结合向量夹角公式计算即可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
故 ．
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题1．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知点 ， ，向量 ，若 与 成锐角，则y
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.
【详解】因为 ， ， 与 成锐角，
所以 ，
解得 ，
当 与 同向时， ，即 ，解得 ，
此时满足 ，但 与 所成角为0，不满足题意，
综上， 与 成锐角时，y的取值范围为 .
故答案为：
2．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知 且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是
.
【答案】
【分析】先利用题意算出 ，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解
作答.
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为 与 的夹角为锐角，所以 ，且 与 不同向共线，
所以 且 ，
解得 且 ，所以 的取值范围为 ，
故答案为： .
3．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量 ， ， ．
(1)①若 ，求 ；②若 ，求 ；
(2)若向量 与 的夹角为钝角，求x的取值范围．
【答案】(1)① 或 ；② 或
(2)
【分析】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得 ；
（2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果.
【详解】（1） ， ，
①若 ，则 ，即 ，解得 或 ；
②若 ，则 ，解得 或 .
（2）由 ，解得 或 ，
又 时， 或 ，
若向量 与 的夹角为钝角，则 或 或 ，
故 的取值范围为 .
4．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知向量 ， ．
(1)若 ，求实数k的值；
(2)若 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【答案】(1)k＝
(2) ．
【分析】（1）先求出 ，然后再根据垂直关系即可求出 ；
（2）由 与 的夹角是钝角得到 且 与 方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.
【详解】（1） ，
因为 ，所以 ，
解得： .
（2）若 与 的夹角是钝角，
则 且 与 方向不相反，
即 ，且
解得： 且 ，
故实数k的取值范围是 .
练透核心考点1．（23-24高一下·甘肃天水·期末）已知 ，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】根据两向量夹角为钝角列不等式，求解 的取值范围即可.
【详解】因为 与 的夹角为钝角，所以 ，
解得 且 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量 ， ，则 与 的夹角 为钝角
时， 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据 与 的夹角 为钝角利用平面向量的夹角公式列出不等式，但是要排除两个向量成 角
时的情况.
【详解】因为 与 的夹角 为钝角，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，
同时向量 ， 也不能成 的角， 所以 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）若向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据向量 的夹角列式，从而求得 的取值范围.
【详解】依题意，向量 与 的夹角为钝角，
所以 ，解得 且 ，
所以 的取值范围是 .故答案为： .
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量 ， ．
(1)求 以及向量 与 的夹角的余弦值；
(2)已知 与 的夹角为锐角，求 的取值范围．
【答案】(1) ； ；
(2)
【分析】
（1）根据向量夹角公式计算求解即可；
（2）夹角为锐角时数量积为正，同时注意排除夹角为0的情况即可.
【详解】（1）
由 ， ，
得 ，
则 ；
，
（2）
，
由 与 的夹角为锐角，
则 ，
解得 ；
当 时，有 ，有 ．
此时 ．
所以 的取值范围为 且 ．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量 ， ，满足 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得向量 的夹角为 ， ，再利用数量积运算可得解.
【详解】由 ，可得向量 的夹角为 ，
，
.
故选：C.
2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向 ， ， ， ， ，若
，则 的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意由各向量间的夹角以及模长，画出图形利用圆心角和圆周角的关系并由向量数量积定义可得结果.
【详解】如下图所示：
令 ， ， ，
由余弦定理得 ， ，
因为 ，所以 ，
则C点在圆E的优弧AB上运动，可得圆心角 ，
其中 ， ， ， ，
则 ，所以 ，所以
故选：B．
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若向量 ， 满足 ， ， ，则
.
【答案】
【分析】利用垂直向量的数量积为0，结合数量积的运算法则即可求得 ，从而得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，解得 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量 和 的夹角的余弦值为 ， ， ，则 等
于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
先由模长公式得 ，再结合数量积公式求 即可.
【详解】由题意可得， ， ，
可得 ， ，
解得 .
故选：B.
2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ，则
（ ）
A． B．-2 C．2 D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件结合数量积的定义运算求出 ，然后再根据向量的运算法则进行求解即可.
【详解】 ，解得： .因此可得： .
故选：C
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）向量 ，若存在实数 ，使得 ，则
的取值范围是
【答案】
【分析】对给定向量等式两边平方，借助一元二次方程有实根求出 的取值范围即得.
【详解】向量 ，由 两边平方，得 ，
整理得 ，
依题意，关于 的方程 有实根，显然 ，否则 ，
则 ，即 ，解得 或 ，
由 ，得 ，因此 ， ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
1．（2024高一·江苏·专题练习）已知 且向量 与 互相垂直，则k的值为
（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【分析】根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.
【详解】因为向量 与 互相垂直，
所以 ．所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：B
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知向量 ，若 ，则 .【答案】
【分析】利用数量积的坐标运算求得 ， ，再根据数量积运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
故答案为：
3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知 ， ， 与 的夹角为 ．
(1)求 ；
(2)若向量 与 相互垂直，求实数k的值．
【答案】(1)2；
(2) .
【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可；
（2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值.
【详解】（1）根据题意， ，
又 .
（2）根据题意， ，即 ， ，解得 .
练透核心考点
1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知 ， ， ，且 与 垂直，则实数
的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的数量积表示、向量数量积的运算律可构造方程求得结果.
【详解】 ， ，
与 垂直， ，
解得： .
故选：C.
2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知单位向量 ， 的夹角为 ， ，若 与 垂直，则
.【答案】
【分析】根据题意，结合 ，列出方程，即可求解.
【详解】因为单位向量 ， 的夹角为 ，可得 ，
又因为 与 垂直，可得 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，得到 ，结合数量积的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由向量 ， ，且 ， 的夹角为 ，可得 ，
则 .
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
可得 ，即 ，解得 .
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知 ，则向量 在 上的投影向量的模长为
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【分析】直接根据投影的公式计算即可.
【详解】向量 在 上的投影向量的模长为 .
故选：B.
2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则向量 在向
量 上的投影数量为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据数量积的定义求出 ，再由向量 在向量 上的投影数量为 计算可得.
【详解】因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ，
所以 ，
所以向量 在向量 上的投影数量为 .
故选：B
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量 、 、 ，其中 且 与 的夹角是 与
的夹角是 ，则 在 方向上的投影数量为 ．
【答案】1
【分析】先求出数量积，再根据数量积的几何意义求解即可.
【详解】因为 且 与 的夹角是 与 的夹角是 ，
所以 ，
所以 在 方向上的投影数量为 .
故答案为：1
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，把 在 上的投影向量化简为 ，代入坐标计算即得.
【详解】 在 上的投影向量为 .
故选：D.
2．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知平面向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量 在向量 上的投影向量公式： 计算即得.
【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得: 向量 在向量 上的投影向量为： ，即
，
因 ，则 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为： .
故选：D.
3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知向量 ，向量 ，则向量 在向量 上的投影向量
为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得 ，结合投影向量公式，求得 ，即可求解.
【详解】由向量 ， ，可得 ，可得 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为： .高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知向量
(1)向量 夹角的余弦值；
(2)若向量 与 垂直，求实数k的值；
(3)若向量 ，且 与向量 平行，求实数k的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量数量积以及模的坐标运算，计算即可得出答案；
（2）求出向量 与 的坐标，根据向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可得出答案；
（3）求出向量 与向量 的坐标，根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得， ， ， ，
所以，向量 夹角的余弦值 .
（2）由已知可得， ， .
又向量 与 垂直，
所以， ，即 ，
解得 .
（3）由已知可得， .
又 与向量 平行， ，
所以有 ，
整理可得， ，解得 .
2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）已知向量 满足 ，设 与 的夹角为 ，
(1)若对任意实数 ，不等式 恒成立，求 的值；(2)根据（1）中 与 的夹角 值，求 与 夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解；
（2）分别求出 ，再利用夹角公式即可得解．
【详解】（1）将不等式 两边同时平方，
得 ，
即
因为 ， 与 的夹角为 ，
则 恒成立，
所以 ，
化简得 ，解得 ．
（2）由（1）知 ，
则 ，
，则 ，
则 ，
故 与 夹角的余弦值为 .
3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图所示，平行四边形ABCD中， ， ，H，M分别是
AD，DC的中点，F为BC上一点，且 ．(1)以 ， 为基底表示向量 与 ；
(2)若 ， ， 与 的夹角为 ，求 ．
(3)设线段AM、FM的交点为 ，在（2）的条件下，求 的余弦值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的线性运算及向量的中点表示即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量的数量积的定义，结合向量的数量积的运算律即可求解；
（3）利用（1）（2）及向量的数量积运算律，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1） 平行四边形ABCD中， ， ，H，M分别是AD，DC的中点， ．
，
.
（2）由（1）知， ， ，
， ， 与 的夹角为 ，
,
.
（3）由（1）（2）知， ， ， ， ，
， ， ，
，，
因为线段AM、FM的交点为 ，
所以 就是向量 与 的夹角，
所以 .
故 的余弦值为 .
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 和点 ， ，且
，其中O为坐标原点．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，设点D为线段OA（包括端点）上的动点，求 的最小值；
(3)若 ，向量 ， ，求 式的最小值及对应的 值．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时，最小0.
【分析】（1）求出 ，将目标式转化为用 表示，然后代入 的值计算即可；
（2）设点 ，利用向量的坐标运算以及二次函数的性质计算模的最小值；
（3）计算化简 ，然后利用正弦函数的性质求解最值.
【详解】（1）因为 ，则 ，
则 ；
（2）因为 ，且 ，则点 ，设点 ， ，
则 ，所以 ，
当 时， 最小，且最小为 ；
（3）由已知点 ，则 ，
又 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
则当 ，即 时， 取最小值，且最小值为 .
2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 .
(1)求 ；
(2)当 时，求向量 与 的夹角θ的值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得.
（2）利用数量积的运算律及夹角公式求解即得.
【详解】（1）向量 ，由 ，得 ，即 ，所以 .
（2）由（1）知， ，而 ，
则 ， ，
因此 ，而 ，
所以所求夹角 .
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知平面内的三个向量 ， ， ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算，得到 ， ，再利用共线的坐标运算，
即可求出结果；
（2）根据条件，利用垂直的坐标运算，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ．
（2）由（1）知 ，又 ，
因为 ，所以 ，得到 ，
解得 ．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量 满足 ， ，则
的最大值等于（ ）A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由 ， 即得到点 共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】设 ，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以点 共圆，
要使 的最大，即 为直径，
在 中，由余弦定理可得 ，
又由正弦定理 ，
即 的最大值等于 ，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点 共圆，再由正弦和余弦定理求解即
可.
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由 想到构造矩形 ，运用极化恒等式
推导出结论 ，求得 ,最后用三角形三边关系定理得到 的范围，转化即
得.
【详解】如图，设 ， ， ，点 在圆 上，
点 在圆 上，则 ， ，由 可得： ，
作矩形 , 则 .
下证： .
设 交于点 ，连接 ,因 则 ，
同理可得： ，两式左右分别相加得：
，
.
即 ，故 .
又 ，因 ，
即 ，故有 ．
故选:C．
【点睛】
方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
3．（2023·全国·模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘
可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知 与 为全
等的正六边形，且 ，点 为该图形边界（包括顶点）上的一点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取线段 的中点 ，可得出 ，求出 的最大值和最小值，即可得出
的取值范围.
【详解】取线段 的中点 ，则 ，
，
由图可知，当点 与点 重合时， 取最小值，且 ，
由图形可知，当 取最大值时，点 在折线段 上，
连接 ，则 ，
同理 ，
由正六边形的几何性质可知， ，
所以， ，
则 、 、 三点共线，则 ，即 ，
当点 在线段 上从点 运动到点 的过程中， 在逐渐增大，
同理可知， ，
当点 在线段 上由点 到 的过程中， 在逐渐增大，
所以，当 取最大值时，点 在折线段 上运动，
以线段 的中点 为坐标原点， 所在直线为 轴，
线段 的垂直平分线所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则 、 、 、 、 、
、 ，设点 ，
（1）当点 在线段 上运动时， ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以，线段 的方程为 ，
则 ；
（2）当点 在线段 上运动时， ， ，则 ，
所以， ；
（3）当点 在线段 上运动时， ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以，线段 的方程为 ，
所以， ，
因为函数 在 上单调递增，
故 .
综上所述， 的最大值为 ，故 ，
故 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）设平面向量 ，其中 为单位向量，且满足
，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用向量的模公式及向量的数量积的性质，再利用向量的夹角公式和向量数量积的运算律可将
表示为关于 的函数的形式，令 ，换元后可得 ，结合 的范围即可求
解.
【详解】 ， 为单位向量，
，即 ，
又
所以
设 ， ，则
，
设 ， ，则
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：解题关键是能够利用平面向量数量积的运算律将所求量转化为以为 自变量的函数
的形式，从而利用函数求最值的方法求得最大值.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若 ，则
的最大值为（ ）A．6 B．12 C．24 D．32
【答案】C
【分析】利用极化恒等式进行转化可求最大值.
【详解】如图：
分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF．
又 ，所以由极化恒等式得
， ，
所以
．
连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，
由 ， ，得 ，
所以E，F在以O为圆心， 为半径的圆上．所以EF的最大值为 ，
所以 的最大值为24．
故选：
【点睛】知识点点睛：极化恒等式：在 中，若 为 中点，则
.
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 ， ， ， ，
，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先得出 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换
为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.【详解】如图所示：
不妨设 ，
满足 ， ， ，
又 ，即 ，
由椭圆的定义可知点 在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为 ，
而 ，即 ，即 ，
这表明了点 在圆 上面运动，其中点 为圆心， 为半径，
又 ，等号成立当且仅当 三点共线，
故只需求 的最大值即可，
因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设 ，
所以 ，
所以当 且 三点共线时，
有最大值 .
故选：A.【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧
妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.
3．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知平面向量 满足 ，则 的最大值
为 .
【答案】30
【分析】设 ，则由题意可得 点在以 为圆心3为半径的圆周上， 点在以
为圆心2为半径的圆周上，然后结合图形可求出 的最大值.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，
所以 点在以 为圆心3为半径的圆周上， 点在以 为圆心2为半径的圆周上，如图所示，
，由图可知，当A，B，C三点共线，在如图所示的位
畳时，
有最大值 有最大值5，此时 取最大值1，
所以 的最大值为30.
故答案为：30
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积，考查向量的加法法则的应用，解题的关键是根据题意画出
图形，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若 ， ，平面内一点P，满足 ，
的最大值是 ．
【答案】 /0.5
【分析】由向量的数量积定义和条件易得 ，利用三角形的角平分线定理可得 ,设，求出 的取值范围，借助于余弦定理得到 的解析式，由基本不等式求得 的范
围，由正弦函数的图象即得 的最大值.
【详解】
如图，由 和向量的数量积定义可得，
，即得 ，从而 ，
设 ，则 ，由 ， 可得
由余弦定理， 当且仅当 时，即 时，等号成立，
因 ，则 ，故 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：本题主要考查向量的数量积定义和余弦定理、基本不等式的综合应用,属于难题.
解题的思路在于对向量等式的理解和转化，以及三角形中角平分线定理的运用，通过余弦定理将所求角
与三角形的三边联系起来，借助于基本不等式求得 的范围.
第四部分：典型易错题型
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， 为互相垂直的单位向量， ， ，且 与 的夹
角为锐角，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】根据题意可知 ， ， ， ，可得出 的取值范围，再计算 与 同向时 的
值，即可得 的取值范围.
【详解】因为 与 的夹角为锐角，
所以 ，且 与 不同向，
所以 ，因为 ， 为互相垂直的单位向量，
所以 ， ， ，
所以 ，可得 ，
当 与 同向时， ，即 ，
可得 ，可得 ，此时不满足 与 的夹角为锐角，
综上所述：实数 的取值范围为 且 .
故答案为： 且 .
2．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知 是夹角为 的两个单位向量．若
，其中 ，若 的夹角为锐角，则 的取值范围 ．
【答案】
【分析】
根据题意利用 建立不等式，解出后，排除同向共线的情况即可.
【详解】因为 是夹角为 的两个单位向量，
则 ，
又 ，
则
，
由题意知 ，解得 ，
又当 共线时，则存在唯一的实数 ，使得 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
此时 同向，夹角为 ，不符合题意，
故 的取值范围为 ，故答案为： .
3．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，若
与 的夹角为钝角，则一个满足条件的 的值可以为 ．
【答案】 （答案不唯一，只要满足 即可）
【分析】由题意可得 且这两个向量不共线，再结合数量积的运算律及平面向量共线定理
即可得解.
【详解】因为 ， 与 的夹角为 ，
所以 ，
因为 与 的夹角为钝角，
所以 且这两个向量不共线，
，解得 ，
当 时，
存在唯一实数 ，使得 ，
所以 ，所以 ，
又 不共线，所以 ，
综上所述， ，
所以满足条件的 的值可以为 .
故答案为： .（答案不唯一，只要满足 即可）
第五部分：新定义题
1．（23-24高一下·山西大同·阶段练习） 元向量（ ）也叫 维向量，是平面向量的推广，
设 为正整数，数集 中的 个元素构成的有序组 称为 上的 元向量，其中
为该向量的第 个分量． 元向量通常用希腊字母 等表示，如 上全体 元向量构
成的集合记为 ．对于 ，记 ，定义如下运算：加法法则，模公式 ，内积
，设 的夹角为 ，则 ．
(1)设 ，解决下面问题：
①求 ；
②设 与 的夹角为 ，求 ；
(2)对于一个 元向量 ，若 ，称 为 维信号向量．规定
，已知 个两两垂直的120维信号向量 满足它们的前 个分量都相同，证
明： ．
【答案】(1)① ；②
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件得到 ，再利用题设定义的运算，即可求出结果；
（2）任取 ， ，得到 ，设 的第 个分量之和为
，结合 ，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
① ，
②因为 ， ，所以 .
（2）任取 ， ，计算内积 ，设这些内积之和为 ，
则 ，设 的第 个分量之和为 ，
又因为 ，故 ，所以
又 ，
所以 ，即 ，所以 .
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，任取，，根据条件得到，再利用来解决问题.
