文档文本内容
重难专攻（二十二）抛物线与阿基米德三角形
重难点题型1 定点问题
1．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线
上的点
的直线，
分别交抛物线
于点
，
．设直线，
的斜率分别为
，
，
，当
且点
，
关于
轴对称时，
的面积为16．
(1)求抛物线
的方程；
(2)当
时，证明：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问
目录●重难点题型分布
题
【分析】（1）由题意设
，因为
，不妨设
．表示出
的坐标，由三
角形的面积求解即可；
（2）设
，
，
，由
，则
，求出
的方程为
，联立求得
，从而证得直线所过的定点即可.
【详解】（1）已知当
时，
，
，
关于
轴对称且
．
设
，因为
，不妨设
．
由斜率公式
，即
，解得
，所以
，
．
面积
，解得
，抛物线
方程为
．
（2）
证明：设
，
，
，
则
，
．
因为
，则
，所以
，
则
，
，
所以直线
的方程为
，整理得
．
把
代入直线
方程，得
，
所以直线
过定点
．
2．（2025·宁夏银川·三模）已知抛物线
与双曲线
的渐近线在第一､四象限的
交点分别为P，
，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的直线与抛物线
相交于
两点，
关于
轴的对称点为
.
（i）若
，求直线的方程.
（ii）证明：直线
必过定点.
【答案】(1)
；
(2)（i）
或
；（ii）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线相交求直线方程、
根据韦达定理求参数
【分析】（1）设点P 的坐标为
，根据点在渐近线上列方程求得
，再代入抛物线求参数，即
可得方程；
（2）（i）设直线
的方程为
，联立抛物线并应用韦达定理，结合
的坐标表示列方
程得
，即可得直线方程；（ii）设
关于
轴的对称点为
，写出直线
的方程，根据
对称性知定点在必定在
轴上，令
结合韦达公式化简，即可证.
【详解】（1）因为点
关于x 轴对称，设点P 的坐标为
，
双曲线
的渐近线方程为
，
因为点P 在双曲线的渐近线上，所以
，
所以点
的坐标为
，
又点
在抛物线
上，所以
，所以
，
故抛物线的标准方程为：
；
（2）（i）设直线
的方程为
，联立
，消
得，
，
方程
的判别式
，即
，
设
，则
①，
②，
，
，代入①②得
，则
，
直线的方程为
或
；
（ii）设
关于
轴的对称点为
，则直线
为
，
根据抛物线的对称性，知定点必定在
轴上，
令
得：
直线
过定点
.
3．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系
中，已知点
（异于点
）在抛物线
上，且满足
.
(1)证明：直线
过定点
；
(2)若
，分别以
为直径作
与
，过点
的直线与
分别交于点
，求
的最大值；
(3)在（2）的条件下，设
是抛物线
上的三个点，直线
均与
相切，判断直线
与
的
位置关系，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)相切，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】判断直线与圆的位置关系、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、
直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）直线
，与抛物线方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算求得
，即
可求解定点.
（2）利用几何关系得
，则
，即可求解面积最大值.
（3）设点
，则直线
，利用
与
相切得
，同理
，最后通过
的圆心
到直线
的距离
等于半径即可判断.
【详解】（1）由题意可得，点
和点
在抛物线上，设
，
则
，得
.
因为直线
的斜率一定存在，所以设直线
.
联立
得
，则
，即
，
所以直线
过定点
（2）因为直线
过定点
，点
分别在
上，
所以
，则
，
所以
.
又因为
，所以
.
（3）设点
，
则
.
同理可得，
.
令直线
，整理得
.
因为
与
相切，所以
，
整理得
.
同理可得，
.
观察结构可得，直线
，
所以
的圆心
到直线
的距离为
.
故直线
与
相切.
4．（2025·贵州黔东南·三模）已知抛物线
的焦点为F，且
为
E 上三个不同的点，
．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)若直线
的斜率之积为
，证明：直线
过定点；
(3)若直线
的斜率之和为0，且
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点
问题
【分析】（1）由焦半径公式即可求解；
（2）设直线
的方程为
，联立抛物线线方程，由韦达定理及斜率公式得到
，进而可求解；
（3）由
得到
，结合（2）得到
，再结合弦长公式及三角形面积公式得到
，再通过换元求导，确定单调性即可求解.
【详解】（1）由
，可得
，
由焦半径公式
，
，
解得：
，
所以抛物线E 的方程
.
（2）由（1）知
由题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
由
，得：
，
，
，
，
，
所以
，
所以直线
的方程为
，
当
时，
，故
恒过
.
（3）
，
得
，
，
由（2）知：
，
所以
斜率为
，
如图：
由（2）
，得：
，
得
，又
，
所以
，所以
所以
.
又点
到直线
的距离为：
.
所以
，（
）.
设
，则
，所以
，（
）.
设
，（
）
则
，
由
，
由
，或
，
因为
，所以函数
在
上单调递增.在
单调递减，
所以
.
所以
.
即
面积的最大值为
.
重难点题型2 切线问题
1．（2025·山西·三模）已知过点
的直线交抛物线
于
，
两点，过点
，
分别作抛物
线
的切线，两条切线交于点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设
，
，利用导数的几何意义求出抛物线
在点A、B 的切线方程，进而求得
，则点
的轨迹为一条直线，确定线段
的最小值为点
到直线
的距离，结
合点线距公式计算即可求解.
【详解】设
，
，
由
，得
（不妨设
），则
，
所以抛物线
在点A 的切线斜率为
，
得抛物线
在点A 的切线方程为
，即
.
同理可得抛物线
在点
处的切线方程为
，
，解得
，即
，
又因为直线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，即
，
将点
代入直线
的方程得：
①，
设点
坐标为
，则①式可整理为：
，即
，
所以点
的轨迹为一条直线．
所以线段
的最小值为点
到直线
的距离，
即为
．
故选：A
2．（2025·河南周口·二模）已知抛物线
，O 为坐标原点，点A 在直线
上，过点
A 作E 的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ 分别交x 轴于B，C 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的切线方程
【分析】联立方程利用判别式为零求出斜率，求出B，C 坐标，进而可得答案.
【详解】设点
，易知切线的斜率存在，设切线斜率为
，则方程为
，
联立
，
，
由
可得
，
解得
，
切线的方程为
，令
可得
，
不妨设
,
则
.
故选：A
3．（2024·河北邢台·二模）设
，
，
，
为抛物线
上不同的四点，点
，
关于该抛物线的
对称轴对称，
平行于该抛物线在点
处的切线，设点
到直线
和直线
的距离分别为
，
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】根据条件得到
，从而有
为
的角平分线，再利用
，得到
，进而求出
，即可求出结果.
【详解】如图，过
作
，设
，则
，
所以
，设抛物线在点
处的切线的方程为
，
由
，消
得到
，由
，
得到
，所以由题有
，即
，
所以
，又
，所以
，
得到
为
的角平分线，又
，所以
，
又
均为直角三角形，所以
，得到
，
所以
，
故答案：B.
4．（2023·河南·模拟预测）已知
为坐标原点，点
在抛物线
上，过直线
上
一点
作抛物线
的两条切线，切点分别为
．则
的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数量积的坐标表示、求抛物线的切线方程
【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为
在抛物线
上，所以
，解得
，所以
．
设
．由
，求导得
，
则直线
，直线
．
由
解得
所以
，
又
在直线
上，得
．
所以
．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.
5．（2024·浙江台州·一模）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反
射光线平行于抛物线的轴．过抛物线
：
上的点
（不为原点）作
的切线，过坐标原点
作
，垂足为
，直线
（
为抛物线的焦点）与直线
交于点
，点
，则
的取值范围
是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求平面轨迹方程、求抛物线的切线方程
【分析】设点
，切线的方程为
，继而求得切线的斜率，由
可求得
的方程，与直线
联立可求得点
的坐标，继而消参可求得点
的轨迹方程，则结合图形可求得
得范围.
【详解】因为点
为抛物线
：
上的点（不为原点），
所以可设点
，且
当切线的斜率不存在时，切点
为原点不合题意；
当切线的斜率存在时，可设为
，
联立
，消去
可得
，
化简可得
，
令
，可得
，
化简可得
，即
，
又
，所以
的斜率
，
所以
的方程
，
因为点
，
所以
的斜率为
，
则
的方程为
，
联立
，解得
，
即
，
当
时，
的方程为
，
的方程
则
或
，满足
由
两式相除可得
，即
由
，可得
再代入
，可得
，
化简可得
，可得
，
可知点
轨迹为半径为
的圆，圆心为
,
结合图形可知
，
又
，
，
则
.
故答案为：
重难点题型3 面积问题
1．（2024·四川绵阳·三模）如图，过点
的直线交抛物线C：
于A，B 两点，点A 在M，B
之间，点N 与点M 关于原点对称，连接BN 并延长交抛物线C 于E，记直线AN 的斜率为
，直线ME 的斜
率为
，当
时，
的面积为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理可解
【详解】由题意可得直线AB 的斜率存在且不为零，设
：
，
：
，
，
，
，
联立
得
，
所以
，即
，
，
，
联立
得
，
，
，
，
所以
，则
，
故
，
．
又
，所以
，解得
，
则
，
，
故
，
点N 到直线AB 的距离
，
故
．
故选：A
2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2，点
，
是直线与
轴的交点，
是
上一点，过点
作
于点
，
与
交于点
．若
为
的重心，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积
问题
【分析】先根据抛物线方程的条件求出抛物线的基本参数，进而确定焦点和准线方程；再利用三角形重心
和相似三角形的性质求出点的坐标；最后根据三角形面积公式计算三角形的面积.
【详解】对于抛物线
，已知
，可得
.那么抛物线
的方程为
，其焦
点
，准线的方程为
.
则
，
（
为抛物线准线与
轴交点）.
因为
为
的重心，所以
为
的三等分点且
.
又因为
，所以
与
相似，且
，即
.
不妨设
，且在第一象限，由抛物线的性质可知点
到准线
的距离
.
已知
，则
，解得
.
因为点
在抛物线
上，将
代入抛物线方程得
，又因为
在第一象限，所
以
.
因为
为
的三等分点且
，所以
.
已知
.
根据三角形面积公式，对于
，则
.
故选：B.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：
与抛物线C：
交于A，B 两点，
且直线AB 过C 的焦点F，点K 与点F 关于原点对称，M 为C 上一点，当
为等腰三角形时，
面积的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】先根据条件求出抛物线的方程，再分情况讨论，求出三角形的面积.
【详解】由题得圆心
，所以圆E 关于x 轴对称，因为抛物线C 关于x 轴对称，且直线AB 过抛物线
C 的焦点
，
所以直线AB 垂直于x 轴，不妨设点A 在第一象限，则
，
所以
，即
，解得
或
（舍），
所以抛物线C：
，
，
因为点K 与点F 关于原点对称，所以
，所以在
中，
，
当
时，
，
；
当
时，
，此时
；
当
时，
不存在．
综上，
面积的最大值为2．
故选：B．
4．（2025·河北·模拟预测）已知抛物线
，过焦点
的直线与抛物线交于
两点（
在第一象限）且
（
为坐标原点），则当
时，
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】根据题意设出直线方程及点
，联立抛物线，又
，可解p，继而可
解
的面积.
【详解】如图，
设
，则有
，化简为
，则
，则
，则
，解得
时，
，代入解得
，则
．
故选：B．
5．（2025·河北保定·二模）已知抛物线
的焦点为
上的点
到
轴的距离为
1，动点
在
上，动点
在圆
上，当
取最小值时，
的面积为
.
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线上的点求标准
方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】过点
作准线
的垂线，垂足为
，得到
，由
，得到
，
当
四点共线且点
在点
之间时等号成立，即可求解.
【详解】由题可知
，所以点
在抛物线
上，则
，解得
，
所以抛物线
；准线方程为
，
由题得圆
，其圆心为
，半径为1．
过点
作准线
的垂线，垂足为
，则
，
又
．当
三点共线且点
在点
之间时等号成立，
所以
．
当
四点共线且点
在点
之间时等号成立，所以
的最小值为2，
此时
，则
，所以
，
所以当
取最小值时，
.
故答案为：
.
6．（2025·湖南·二模）已知过抛物线
的焦点
的直线与抛物线
交于
两点（
在第一象限），以
为直径的圆
与抛物线
的准线相切于点
.若
为坐标原点，则
的面积为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】先求得
，由条件推得
轴，由
推出
，得到这些
的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得
，即得
的面积.
【详解】
依题意
，得
，则抛物线
的方程为
.
由题意可知
与抛物线的准线
垂直，
在
中，
，则
，
则直线
的方程为
.
由
消去
并化简整理得：
易得
，则
，
又原点
到直线
的距离为
，
故
.
故答案为：
.
重难点题型4 外接圆问题
1．（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）已知动点
在抛物线
上，点
，
为
坐标原点，若
，且直线
与
的外接圆相切，则
（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．2 或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦定理求外接圆半径、由直线与圆的位置关系求参数、求抛物线的轨迹方程
【分析】利用正弦定理求得△
外接圆半径，结合几何关系求得外接圆圆心，再根据直线和圆相切则
圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求得
.
【详解】由抛物线方程
，设圆心
，半径为
，显然
；
因为
，
，故
；
在
中，由正弦定理得
，解得
；
则
；
又圆
与直线
相切，故圆心到直线的距离
，
当
时，则圆心到直线的距离
，解得
；
当
时，则圆心到直线的距离
，解得
或
（舍），
综上
或
.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握正弦定理，直线与圆的位置关系的转化，属综合中档题.
2．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系
中，抛物线
：
的焦点为
，
是抛
物线
上的点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线的方程求参数
【分析】先由
的外接圆与抛物线C 的准线相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再由题意，列
出方程求解得p 的值，然后利用正弦定理可求得结果
【详解】因为
的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以
的外接圆的圆心到准线的距离等于圆
的半径，因为圆面积为
，所以圆的半径为
，
又因为圆心在OF 的垂直平分线上，所以圆心的横坐标为
，
则圆心到准线的距离为
，解得
，
在
中，由正弦定理得
，其中R 是
外接圆半径，
即
，所以
,
故选：D
3．（23-24 高三上·广东湛江·期末）抛物线
的焦点为F，M 是抛物线
上的点，
为坐
标原点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆的面积为
，则
（ ）
A．4
B．8
C．6
D．10
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据定义求抛物线的标准方程
【分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案.
【详解】因为
的外接圆与抛物线
的准线相切，
所以
的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
因为圆的面积为
，所以圆的半径为6，
又因为圆心在
的垂直平分线上，
，
所以
的外接圆的圆心到准线的距离
，可得
.
故选：B.
4．（2023·江西南昌·二模）已知F 为抛物线C：
的焦点，
都是抛物线上的点，O 为坐
标原点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆的面积为
，点
，则
的最
小值为 ．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】作图，根据几何关系求出抛物线的标准方程，再对
做出几何解释即可.
【详解】依题意作下图：
外接圆半径
，
∵
的外接圆与抛物线C 的准线l 相切，外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，
又圆心在OF 的中垂线上，中垂线的方程为
，准线方程为
，∴
，
，并且点Q
是准线与x 轴的交点；
抛物线C 的方程为：
，过M 作
得
，
∴
，
∴
最小即
最大 ，显然当
与抛物线相切时
最大，
设直线
的方程为
，联立
得：
，
令
，解得
，即
，∴
，故
的最小值为
；
故答案为：
.
5．（2024 高三下·全国·专题练习）已知点
在抛物线C：
上，点P，Q 是抛物线C 上
的两个动点（均不与A 重合），直线AP，AQ 的斜率分别为
，
，且
．
(1)求直线PQ 的斜率；
(2)设
的外接圆为圆G，过点A 作抛物线C 的切线l，试判断直线l 与圆G 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线l 与圆G 相切，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、判断直线与圆的位置关系、根据抛物线上的点求标准
方程、抛物线中的定值问题
【分析】（1）点
在抛物线C 上求得
，设
，
，结合题意可得
，
进而可得直线PQ 的斜率；
（2）设线段AP，AQ 的中点分别为M，N，根据外接圆的性质求
的外接圆的圆心坐标，即可得直
线GA 的斜率为
，利用导数的几何意义求直线l 的斜率，即可得结果.
【详解】（1）因为点
在抛物线C：
上，
则
，解得
，
所以抛物线C：
．
因为点P，Q 是抛物线C 上的两个动点，设
，
，
，
，
则
，
，
因为
，即
，整理得
，
可得
，
所以直线PQ 的斜率为
．
（2）直线l 与圆G 的相切，理由如下：
设线段AP，AQ 的中点分别为M，N，则
，
，
可得线段AP 的中垂线方程为
，①
同理可知：线段AQ 的中垂线方程为
，②
联立①②并消去y 得
，
因为
，整理得
，
代入①得
，得
，
所以
的外接圆的圆心为
，
则直线GA 的斜率
．
由
得
，
则l 的斜率
．
所以
，所以
，
因此直线l 与圆G 相切．
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）
无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
6．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知F 为抛物线
的焦点，点M 在抛物线C 上，
O 为坐标原点，
的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设
，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线
交于点P，过点P 作x 轴的垂线交抛
物线C 于点N，求点F 到直线
的距离
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题
【分析】（1）由题意知圆心必在直线
上，由相切即可知
，结合已知圆的面积即可求出
，
进而可求出抛物线的方程.
（2）设
，写出直线
的方程与
联立，求出
的横坐标，即可知
的横坐标，进而可
求出
的坐标，由直线的点斜式可写出直线
的方程，从而可求出所过定点；则当直线
过点
时，
直线
与直线
垂直时，
分别求得最小值和最大值，即可求得点F 到直线
的距离
的取值范围.
【详解】（1）设
外接圆的半径为，图象如图所示：
由图象可知，圆心必在直线
上，
故
，
所以
，解得
，
所以抛物线
的方程为：
.
（2）由（1）知，抛物线
的方程为：
，则
，
设
，又
，则直线
的方程为：
，
化简得：
，
与
联立得：
，把
代入
得：
，即
，
则直线
的方程：
，
化简得
，
当
，
时恒成立，所以直线
恒过定点
.
当直线
过点
时，点
到直线BN 的距离d 取得最小值，即
；
当直线
与直线
垂直时，
，
即点
到直线
的距离d 取得最大值
，
所以，点
到直线
的距离
的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线
和直线
求出
的横坐标，写出
的坐标
后，写出直线
的方程，判断出直线
恒过定点.
7．已知抛物线
，
，斜率为正数的直线l 交抛物线于P，Q 两点（
在
轴的上方、），与线
段OF 和y 轴分别交于A，B 两点且满足
，
的外接圆与抛物线交于点R（不同于O，P，
Q）.
（1）求四边形FPOR 面积的最大值；
（2）求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【难度】0.15
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点
相关问题
【分析】（1）先求出圆的方程，再联立抛物线方程和圆的方程，求出
的坐标后可求面积的表达式，从
而可求面积的最大值.
（2）利用（1）、（2）中的结果可得
的表达式，从而可求其取值范围.
【详解】（1）由题设可得的斜率必定存在且不为零，否则与
没有交点.
设
，
，则
，由题设可得
，
故
，故
，
，且
，
而
，而
，
故
，解得
（舍）或
.
设过
的圆
的方程为：
，
则
，解得
，
故过
的圆的方程为：
，
所以
，
故
④，
因为
既在抛物线上，又在圆上，故
均为④的根，
故
，
故
，故
.
故
，故
在
的右下方.
故四边形
的面积为
，
而由（1）可得
，且
，
此时
，其中
，
且
，故
.
故四边形
的面积的最大值为
.
（2）由（1）可得
，
而
，
其中
且
，
设
，则
，
因为
，则
，
因为
，故
，故
，
故
.
【点睛】思路点睛：对于圆与抛物线位置关系的有关的问题，注意所考虑的点的形式的合理假设，同理注
意圆的方程的合理假设，本题计算非常繁琐，注意计算的准确性.
重难点题型5 最值问题
1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，
如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦
的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线
的焦点为
，顶点为
，斜
率为
的直线过点
且与抛物线
交于
两点，若
为阿基米德三角形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】求出直线的方程，联立抛物线方程，得到
两点坐标，求出过点
的切线方程，联立后
得到
，得到答案.
【详解】依题意，
，设直线
，联立
，
则
，解得
或
，不妨设
，
设直线
方程为
，联立
得，
，
，
，
解得
，
故直线
的斜率
，故直线
，
同理可得直线
的斜率
，故直线
，
联立
，解得
，
即
，则
.
故选：C.
2．已知抛物线C：
的焦点为F，过点F 分别作两条直线，
，直线l1与抛物线C 交于A、B 两点，
直线l2与抛物线C 交于D、E 两点，若与
的斜率的平方和为1，则
的最小值为（ ）
A．16
B．20
C．24
D．32
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的参数范围问
题
【分析】设出直线，
的方程，可知
，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的
焦点弦性质，即可得
，利用基本不等式的性质，即可求得的
的最小值.
【详解】解：抛物线C：
的焦点
，设直线l1：
，直线l2：
由题意可知，则
，联立
整理得：
设
，
，则
，
设
，
，同理可得：
由抛物线的性质可得：
，
∴
，
当且仅当
时，上式“＝”成立．∴
的最小值24.
故选：C
3．（2024·广东广州·一模）已知曲线
是平面内到定点
与到定直线
的距离之和等于
的点
的轨迹，若点
在
上，对给定的点
，用
表示
的最小值，则
的最小值为
.
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的轨迹方程、求抛物线上一点到定点的最值
【分析】根据给定条件，求出点
的轨迹方程，结合图形并借助到两点距离的和不小于这两点间距离求出
最小值即得.
【详解】设
，当
时，
，则
，
化简得：
，即
；
当
时，
，则
，
化简得
，
，即
，
对于曲线
上的任意一点
，
，当且仅当
是线段
与曲线
的交点时取等号，
而
，当且仅当
，即点
时取等号，
因此
，当且仅当点
重合于
时取等号，
所以
的最小值为2.
故答案为：2
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值或范围．
4．（2022·山西·一模）已知椭圆
的焦点为
，
，点P 为椭圆上任意一点，过
作
的
外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线
上有一点M，它在x 轴上的射影为点H，则
的最小值是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——椭圆、抛物线定义的理解、求抛物线上一点到定直线的最值
【分析】如图所示，延长
交
于点
，连接
，求出点
的轨迹方程为
，证明
，即得解.
【详解】解：如图所示，延长
交
于点
，连接
.
因为
的外角平分线是
,且
,
所以
, 因为
,
所以
,
因为
,
所以点
的轨迹为以点
为圆心2 为半径的圆，
所以点
的轨迹方程为
.
由题得抛物线
的焦点坐标为
,准线方程为
.
所以
,
所以
因为
.
所以
.
所以
的最小值是
.
故答案为：
5．（2024·全国·模拟预测）已知M，N 是抛物线
上两点，焦点为F，抛物线上一点
到焦点F 的距离为
，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）
①
；
②若
，则直线MN 恒过定点
；
③若
的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为
；
④若
，则直线MN 的斜率为
．
【答案】①④
【难度】0.4
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物
线交点相关问题
【分析】
对于①：根据抛物线的定义分析求解；对于②：设直线MN 的方程为
，
，
，
根据垂直关系的斜率关系结合韦达定理分析求解；对于③：由题意可知
外接圆圆心的纵坐标为
，
结合抛物线的定义分析求解；对于④：由题意可知直线MN 过焦点F，且
，结合抛物线的定义
分析求解.
【详解】
对于①：根据抛物线的定义得
，解得
，
所以抛物线
，
，故①正确；
因为直线MN，OM，ON 的斜率必存在，设直线MN 的方程为
，
，
，
联立方程
，相切y 得
，
则
，
，
，
因为
，所以
，
解得
，满足
，
所以直线MN 恒过定点
，故②错误；
对于③：因为线段OF 的垂直平分线
，可知
外接圆圆心的纵坐标为
，
所以外接圆半径为
，故③错误；
对于④：因为
，可知直线MN 过焦点F，且
，
设直线MN 的倾斜角为
，
不妨设M 在第一象限，如图，过点M，N 分别向准线作垂线段MA，NB，过点N 向MA 作垂线段NC，
设
，则
，
，
，
则
，
，
，
，
所以直线MN 的斜率为
，故④正确．
故答案为：①④.
【点睛】
方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为
，由题设条件将t 用k 表示为
，得
，故动直线过定点
；
（2）动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数
等于零，得出定点．
6．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线
的焦点为F，点
是C 上一点，且
，
记O 为坐标原点，过点F 的直线与C 相交于A，B 两点．
(1)求抛物线C 的方程与准线l 的方程；
(2)求
的最小值；
(3)已知P，M 分别是抛物线C 与准线l 上的动点，若C 在点P 处的切线
交y 轴于点Q，且
，
试判断点N 是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
；
；
(2)
；
(3)N 在定直线上，直线方程为：
.
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的定直线、求抛物线上一点到定点的最值
【分析】（1）由
结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程；
（2）设过点F 的直线方程为
，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得
，然
后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值；
（3）设
，由导数知识可得点P 处的切线
方程，据此可得点Q 坐标，设
，
由
可得
，据此完成判断及得到定直线方程.
【详解】（1）由
是C 上一点，且
，结合抛物线定义，
可得准线方程为：
，则焦点为
，则
；
（2）由题可得点F 的直线的斜率存在，
设过点F 的直线方程为：
，将直线方程与抛物线方程联立，
可得
，判别式为
.
设
，由韦达定理，可得
，则
.
又由抛物线定义可得
，
当且仅当
，即
时取等号；
（3）设
，
，
则在
处的切线方程为：
.
令
，得
，设
，则
.
又注意到
，
，
则
.因
，
则
，从而
，即N 在定直线上，
直线方程为：
.
7．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点
到点
的距离与到直线
的距离相等，点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)设过点
的直线交
于
两点，过点
的直线
与
的另一个交点为
，点
在
与
之间.
（i）证明：线段
垂直于
轴；
（ii）记
的面积为
的面积为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
.
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、
根据韦达定理求参数
【分析】（1）由题意可得动点轨迹为抛物线，由焦点和准线，可得答案；
（2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线
的斜
率，研究其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，整理函数解析式，利用导数求得
最值，可得答案.
【详解】（1）设点
，由于动点
到点
的距离与直线
的距离相等，
所以点
的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线.
设此抛物线的方程是
，则
，故曲线
的方程是
.
（2）（i）因为直线
的斜率不为0，故设
的方程为
，
联立
可得：
，
，
则
，
.
故
，故直线
与直线
关于
轴对称，即点
与点
关于
轴对称，所以线段
垂
直于
轴.
（ii）由（i）可知
，不妨设
，因为点
在
与
之间，所以
，
，
则
，
令
，则
，
令
，则
，解得
；
令
，解得
.
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
，所以
的取值范围为
.
