专题04数列中的其他综合压轴题型（含摆动数列、开放性、新定义、应用、创新题型）（学生版）_2027版高中《压轴培优讲义》高二上学期（人教A版选择性必修第二册）

专题4 数列中的其他综合压轴题型
（含摆动数列、开放性、新定义、应用、创新题型）
数列的运算中含加、减、乘、除、乘方与开方，指数与对数，还有不等号等，形式多样化，方法灵活，
题意新颖，要求考生具有扎实的基础知识和较高的数学能力，包括题目阅读能力，细节观察能力，转化与
化归思想，特殊与一般思想，分类思想等，从而使数列成为高考和其它选拔性考试的一种常见题型，值得
我们好好重视，多维度观察与学习。
本节学习内容：
摆动数列题型：分段函数形式：
1
(
,
( )
)
,
n
f n n
a
g n n




为奇数
为偶数
，
1
(
,
(
)
)
,
n
n
n
f a
n
a
g a
n




为奇数
为偶数
，
1
(
,
,
(
,
)
)
.
n
n
n
n
n
f a
a
a
g a
a




当
为偶数时
当
为奇数时
含( 1)n

数列
等和数列、相加为变量
1
( )
n
n
a
a
f n



、
1
( )
n
n
S
S
f n



等积数列、相乘为变量
1
( )
n
n
a a
f n

开放性题型：答案不唯一，属于发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求考生自己去探索，结
合已知条件，进行观察、分析、比较和概括．
新定义题型：考察对定义的理解，结合新数列的新性质与数列常用基本“旧”性质，进行综合分析能力，
主要是将新性质顺势准确的应用在“旧”性质上，从而顺利解题.
应用题型：数列应用题通常以实际问题为背景，以数学建模为核心，以求解问题为目标，重点考查学生的
数列知识和分析问题与解决问题的能力．数列应用于生活的方方面面，经常用于分期付款、产
值增长等.
常用解题思路：审题、建模、研究模型、解决问题.
常用数列知识有等比数列求和、数列递推关系式，数列单调性，数列与指对运算相结合等.
创新题型：创新题一般与探究推理相结合，考查学生逻辑推理、信息加工、阅读理解、分析问题和解决问
题的能力，第一需要准确理解题意，确定该问题是数列问题；第二分析数量关系.从特殊到一般，
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找到数量规律，进行归纳与类比或猜想；第三构建数学模型，通过观察发现规律，把实际问题
转化为数学问题，解决数学问题.
题型一摆动数列
1. 已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n






为奇数
为偶数.
(1)记
2
n
n
b
a

，写出
1b 、
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
(2)求
na
的前n 项和
nT .
2．
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，数列
nb
满足


1
n
n
n
b
n
S


，
1
1
3
a
b

，
2
2
5
a
b

．
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)设数列
nb
的前n 项和为
nT ．
①求
10
T ；
②若集合

100
A
n n


且

100,
N
nT
n



，求集合A 中所有元素的和．
3．已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a ，


2
*
1
4
2,
n
n
S
S
n
n
n




N
，则
100
a
（
）
A．414
B．406
C．403
D．393
4．数列
na
满足
1
16n
n
n
a a 
，


1
2
N
a
n



．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
,
,
n
n
n
a n
b
b
n n





为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n 项和
2n
S
．
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1
4
2
1


．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷
猜想”等）．如取正整数
6
m ，根据上述运算法则得出6
3
10
5
16
8
4
2
1







，共需经过8
个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列
na
满足：
1a
m

（m 为
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正整数），
1
,
,
2
3
1,
.
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a






当
为偶数时
当
为奇数时
当
3
m 
时，
1
2
3
100
a
a
a
a




．
6．已知数列
na
的各项均为非负实数，且对任意正整数
2
n 
，均有
1
1
n
n
n
a
a
a
n





.
(1)若
1
2
3
,
,
a a a 成等差数列，证明：存在无穷多个正整数k ，使得
ka
k

；
(2)若
2
2022
1
a a
，求
2023
a
的最大值.
练习题：
1．已知数列
na
满足
1
1
a ,
1
1,
2
,
n
n
n
a
n
a
a n





为奇数
为偶数
.
(1)记
2
n
n
b
a

,写出
1b ,
2b ,
3b ,
4b ,并猜想数列
nb
的通项公式;
(2)证明（1）中你的猜想;
(3)若数列
na
的前n 项和为
n
S ,求
2n
S
.
2．设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
3
5
a ，且
2
1
4
4
1
n
n
a
S
n


．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若


1
1
n
n
n
n
n
b
a a 


，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3．(多选)已知数列
na
的前n 项和
n
S 满足
2
1
1
n
n
S
S
n
n




，
1
1
a ，则（
）
A．数列
na
的奇数项成等差数列
B．数列
na
的偶数项成等差数列
C．
2
2
2
n
S
n

D．


2
2
1
2
1
n
S
n


4．已知数列
na
满足


*
1
1
1,
2
N
n
n
n
a
a
a
n







（是常数）.
(1)若
0

，证明
na
是等比数列；
(2)若
0

，且
na
是等比数列，求的值以及数列

2
3
1
( 1) log
n
n
a


的前n 项和
n
S .
5．如图，平面四边形ABCD中
ABD
△
的面积是
CBD
△
面积的两倍，数列
na
满足
1
1
a ，
2
5
a 
，当
2
n 
时，恒有




1
1
1
n
n
n
n
BD
a
a
BA
a
a
BC










，则数列
na
的前2n 项和为
．
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6．已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
3
a 
，且
1
3
1,
,
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a





为奇数
为偶数
，若
90
m
S

，则m 
．
题型二开放性题型
1．设
n
S 是数列
na
的前n 项和，写出同时满足下列条件数列
na
的一个通项公式:
.
①数列
n
S
n






是等差数列；②
2
n

，
1
1
2
n
n
n
S
S
S




；③
N
n


，
0
nS 
2．若数列


1
2
:
,
,
,
2
n
n
A
a a
a
n


满足


1
1
1,2,
,
1
k
k
a
a
k
n
 





，则称
n
A 为E 数列.记


1
2
n
S A
a
a


n
a

.
(1)写出一个满足
1
5
0
a
a


，且

5
0
S A

的E 数列
5
A ；
(2)若
1
2022
a 
，
2021
n 
，证明E 数列
n
A 是递减数列的充要条件是
2
na 
；
(3)对任意给定的整数

2
n n 
，是否存在首项为0 的E 数列
n
A ，使得

0
n
S A

？如果存在，写出一个满
足条件的E 数列
n
A ；如果不存在，说明理由.
3．已知各项均为整数的数列
1
2
:
,
,
,
N
N
A
a
a
a

3,
N
N


N .满足
1
0
N
a a

，且对任意
2,3,
,
i
N


，都有
1
|
|
1
i
i
a
a 

≤.记
1
2
(
)
N
N
S A
a
a
a





.
（1）若
1
3
a ，写出一个符合要求的
6
A ；
（2）证明：数列
N
A 中存在
ka 使得
0
ka 
；
（3）若
(
)
N
S A
是N 的整数倍，证明：数列
N
A 中存在
ra 使得
(
)
N
r
S A
N a


.
4．已知无穷数列{an}，对于m∈N*，若{an}同时满足以下三个条件，则称数列{an}具有性质P(m)．
条件①：an＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）；
条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）．
（1）若an＝5＋4
1
(
)
2
n

（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m 的值和一个T 的值；
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（2）是否存在具有性质P（1）的数列{an}？若存在，求数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{an}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{an}的通项公式．
练习题：
1．已知一个首项为1 的数列
na
，从第二项起，每一项减去它前一项的差构成等比数列，每一项除以它
前一项的商构成等差数列．请写出一个满足题意的数列通项公式，即
na 
．
2．若实数数列


1
2
:
,
,
,
2
n
n
A
a a
a
n 

满足


1
1
1,2,
,
1
k
k
a
a
k
n





，则称数列
n
A 为E 数列.
(1)请写出一个5 项的E 数列
5
A ，满足
1
5
0
a
a


，且各项和大于零；
(2)如果一个E 数列
n
A 满足：存在正整数


1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
, , , ,
i i i i i
i
i
i
i
i
n





使得
1
2
3
4
5
,
,
,
,
i
i
i
i
i
a a
a
a
a 组成首项为1，
公比为2
的等比数列，求n 的最小值；
(3)已知


1
2
2
,
,
,
2
m
a a
a
m 

为E 数列，求证：
3
2
1
1 ,
,
,
2
2
2
m
a
a
a


为E 数列且
2
2
4
,
,
,
2
2
2
m
a
a
a

为E 数列”的充要条
件是“
1
2
2
,
,
,
m
a a
a

是单调数列”.
3．已知
na
是无穷数列，且
1
0
a 
.给出两个性质：①对于任意的m ，
*
N
n
，都有
m n
m
n
a
a
a


；②存
在一个正整数p ，使得
n
p
n
a
a


，对于任意的
*
N
n
都成立.
（Ⅰ）试写出一个满足性质①的公差不为0 的等差数列
na
（结论不需要证明）
（Ⅱ）若
2 n
na


，判断数列
na
是否同时满足性质①和性质②，并说明理由；
（Ⅲ）设
na
为等比数列，且满足性质②，证明：数列
na
满足性质①.
4．已知等差数列
1
2
:
,
,
,
,
n
A
a
a
a

，若存在有穷等比数列
1
2
:
,
,
,
N
B
b
b
b

，其中
1
1
b ，公比为q，满足
1
1
k
k
k
b
a
b




，其中
2,3,
,
k
N


，则称数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”．
(1)数列{
}
na
的通项公式为
8
5
na
n


，写出数列{
}
na
的一个长度为4 的“等比伴随数列”；
(2)等差数列{
}
na
的公差为d ，若{
}
na
存在长度为5 的“等比伴随数列”{ }
nb
，其中
1
2n
nb


，求d 的最大值；
(3)数列A 的通项公式为
n
a
n

，数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”，求N 的最大值．
题型三新定义题型
1．（多选）设数列


1
2
:
,
,
,
2
n
A a a
a
n 

，如果
1
2
0
2024
n
a
a
a





≤
，且


*,
1,2,
,
ia
i
n


N

，对于
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2, 1
1
k
s
t
r
k




，使
k
s
t
r
a
a
a
a



成立，则称数列A 为E 数列.则下列说法正确的是（
）
A．数列2,6,14,22 是E 数列
B．若数列A 是E 数列，且
2023
na 
，则n 的最小值为3
C．若数列A 是E 数列，且
2024
na 
，则
1a 为奇数
D．若数列A 是E 数列，且
1
2
a 
，则存在n ，使
2023
na 
【点睛】关键点睛：本题的关键是明确E 数列的性质，利用假设法进行求解.
2．设满足以下两个条件的有穷数列
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a

为n 阶“期待数列”：①
1
2
3
0
n
a
a
a
a





L
；
②
1
2
3
|
|
|
|
|
|
|
| 1
n
a
a
a
a






.
（1）若等比数列{
}
na
为2k 阶“期待数列”

*
N
k 
，求公比q；
（2）若一个等差数列{
}
na
既是2k 阶“期待数列”又是递增数列

*
N
k 
，求该数列的通项公式；
（3）记n 阶“期待数列” { }
ia
的前k 项和为
(
1,2,3,
, )
kS
k
n


，求证；数列{ }(
1,2,3,
, )
iS
i
n


不能为n 阶“期
待数列”.
3．若无穷数列{
}
na
满足：
1a 是正实数，当
2
n 
时，


1
1
2
1
max
,
,
,
n
n
n
a
a
a a
a





，则称{
}
na
是“Y 数列”．
(1)若{
}
na
是“Y 数列”且
1
1
a ，写出
4
a 的所有可能值；
(2)设{
}
na
是“Y 数列”，证明：{
}
na
是等差数列的充分必要条件是{
}
na
单调递减；
(3)若{
}
na
是“Y 数列”且是周期数列（即存在正整数T ，使得对任意正整数n ，都有
)
T
n
n
a
a

，求集合


*
1,1
2021,
i
i a
a
i
i


N
∣
的元素个数的所有可能取值．
4．已知数列
na
是由正整数组成的无穷数列，若存在常数
*
N
k 
，使得
2
1
2
n
n
n
a
a
ka


，对任意的
*
N
n
成
立，则称数列
na
具有性质

k

．
（1）分别判断下列数列
na
是否具有性质

2

；（直接写出结论）①
1
n
a ；②
2
na
n

．
（2）若数列
na
满足


1
1,2,3
n
n
a
a
n


，求证：“数列
na
具有性质

2

”是“数列
na
为常数列”的充分
不必要条件；
（3）已知数列
na
中
1
1
a ，且


1
1,2,3
n
n
a
a
n


．若数列
na
具有性质

4

，求数列
na
的通项公式．
5．在数字


1,2,
,
2
n n 

的任意一个排列A ：
1
2
,
,
,
n
a a
a

中，如果对于,
N
i j


，i
j

，有
i
j
a
a

，那么
就称

,
i
j
a a
为一个逆序对．记排列A 中逆序对的个数为
S A ．如
4
n 
时，在排列B ：3，2，4，1 中，逆
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序对有

3,2 ，

3,1 ，

2,1 ，

4,1 ，则
4
S B 
．
(1)设排列C ：
1
2
3
4
,
,
,
a a a a ，写出两组具体的排列C ，分别满足：①
5
S C 
，②
4
S C 
；
(2)对于数字1，2，…，n 的一切排列A ，求所有
S A 的算术平均值；
(3)如果把排列A：
1
2
,
,
,
n
a a
a

中两个数字


,
i
j
a a
i
j

交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到
一个新的排列，A：
1
2
,
,
,
n
b b
b

，求证：


S A
S A

为奇数．
练习题：
1．若数列
na
满足
1
2
1
a
a

，


1
2
3
n
n
n
a
a
a
n





，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋
线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个
正方形中作圆心角为90的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以
n
a 为边长的正方形中的扇形面
积为
nb ，数列
nb
的前n 项和为
n
S ．给出下列结论：
①
8
21
a 
；
②
2023
a
是奇数；
③
2
4
6
2022
2023
a
a
a
a
a






；
④
2023
2023
2024
π
4
S
a
a


．
则所有正确结论的序号是
．
2．（多选）对于数列
na
，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有
na
M

，则称数列
na
为有界数
列；若这样的正数M 不存在，则称数列
na
为无界数列．下列说法正确的有（
）
A．等比数列
na
的公比为q，若
1
q ，则
na
是有界数列
B．若数列
na
的通项
2
1
1


n
k
na
k ，则
na
是有界数列
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C．若正项数列
na
满足：
1
2
(
3)
3



n
n
n
a
a
n
a
≥
，则
na
是无界数列
D．若数列
na
满足：
1
2
1
2
1
1
1
1
n
n
a
a
a
a a
a






，且


1
0,1
a 
，则
na
是有界数列
3．设满足以下两个条件得有穷数列
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a

为(
2,3,4,
)
n n 
阶“期待数列”：
①
1
2
3
0
n
a
a
a
a




，②
1
2
3
1
n
a
a
a
a



.
（1）若等比数列{
}
na
为2 (
)
k k
N 

阶“期待数列”，求公比q；
（2）若一个等差数列{
}
na
既为2 (
)
k k
N 

阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n 阶“期待数列”
ia
的前k 项和为
(
1,2,3,
, )
k
S
k
n


.
（i ）求证：
1
2
k
S

；
（i i ）若存在


1,2,3,
,
m
n


，使
1
2
m
S 
，试问数列
iS
(
1,2,3,
, )
i
n


是否为n 阶“期待数列”？若能，求
出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
4．已知函数

y
f x

，对于数列
n
n
a
b
、
，若



,
n
n
a
f n
f b
n


，则称
na
为函数

y
f x

的“生成数
列”，
nb
为函数

y
f x

的一个“源数列”.
(1)已知


,
n
f
x
x
a

为函数

y
f x

的“生成数列”，
nb
为函数

y
f x

的“源数列”，求
4
2
a
b

；
(2)已知


e ,
x
n
f x
b

为函数

y
f x

的“源数列”，求证：对任意正整数n ，均有


2
1
nb
n


；
(3)已知


2
,
x
n
f x
x a


为函数

y
f x

的“生成数列”，
nb
为函数

y
f x

的“源数列”，
na
与
nb
的
公共项按从小到大的顺序构成数列
nc
，试问在数列
nc
中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
5．记R 上的可导函数

f
x 的导函数为

f
x

，满足




1
n
n
n
n
f
x
x
x
f
x



的数列
nx
称为“牛顿数列”．若函数

²
f x
x
x


，数列
nx
为牛顿数列，设
ln
1
n
n
n
x
a
x

，已知
1
2
a 
，
1
nx ，则
2a 
，数列
na
的前
n 项和为
n
S ，若不等式
2
14
n
n
tS
S


对任意的
*
nN 恒成立，则t 的最大值为
．
题型四应用题
1. （多选）我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR 模型、队列要素法等多种方法，
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直接推算法使用的公式是



0 1
1
n
nP
P
k
k



，其中
nP 为预测期人口数，
0P 为初期人口数，k 为预测期
内人口增长率，n 为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（
）
A．若在某一时期内1
0
k


，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内
0
k 
，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内0
1
k

，则这期间人口数摆动变化
D．若在某一时期内
0
k 
，则这期间人口数不变
2．贾先生买了一套总价为840万元的商品房，首付300万元，其余540万元（本金）向银行申请贷款，贷
款月利率0.5% .从贷款后的第一个月后开始还款（即第一次还款日距贷款发放日正好一个月），30年还
清.(精确到1元)
(1)若每月等额偿还本金（540万元），则贷款利息随本金逐月递减，还款额也逐月递减，其计算方法是：每
月还款金额（贷款本金/还款月数）（本金已归还本金累计额）每月利率，请计算第3 个月还款金
额是多少元？
(2)为图方便，若每月还款金额相等，问每月应还款多少元？（注：如果上个月欠银行贷款a 元，则一个月
后，应还给银行固定数额x 元，此时贷款余额为

1
0.5%
a
x


元）
(3)请问30年后还清贷款时，用这两种不同还款方式归还贷款，实际还款总额分别是多少元？（不考虑时间
价值等因素）.
3．（多选）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经
过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能
由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1 个黑球和2 个白球，现
从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行

N
n n


次这样的操作，记甲口袋中黑球个
数为
n
X ，恰有1 个黑球的概率为
np ，则下列结论正确的是（
）
A．
1
5
9
p 
B．


1
1
2
6
P X 

C．数列
3
5
np







是等比数列
D．
n
X 的数学期望


1
n
E X

4．某地区2020 年底有居民住房面积为a，现在居民住房划分为三类，其中危旧住房占1
3 ，新型住房占
1
4 ．为加快住房建设，计划用10 年的时间全部拆除危旧住房（每年拆除的数量相同），自2021 年起居民
住房只建设新型住房．从2021 年开始每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20% ，用
n
a 表示第n 年
底（2021 年为第一年）该地区的居民住房总面积．
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(1)分别写出
1a ，
2
a ，
3
a 的计算公式并归纳出
n
a 的计算公式（不必证明）．
(2)危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该地区居民住房总面积翻两番？（精确到年，lg2
0.30

，
lg3
0.48

，lg43
1.63

）
5．棋盘上标有第0、1、2...100 站，棋子开始位于第0 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，
棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99 站或第100 站时，游戏结束.设棋子
位于第n 站的概率为
nP ，设
0
1
P ．则下列结论正确的有（
）
①
1
1
2
P 
；
2
3
3
5
,
4
8
P
P


；
②数列

1
n
n
P
P 

（1
99
n


）是公比为
1
2

的等比数列；
③
100
99
98
2P
P
P


；
④
100
1
3
P

．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
练习题：
1. 某公司从2020 年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000 万元，到年底资金增长50%.预计以后
每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x 万元，余下资金再投入下一年的生产.设
第n 年年底扣除消费资金后的剩余资金为
n
a 万元.
(1)用x 表示
1a ，
2
a ，并写出
1
na 与
n
a 的关系式；.
(2)若企业希望经过5 年后，使企业剩余资金达3000 万元，试确定每年年底扣除的消费资金x 的值（精确
到万元）.
2．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言
处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，
2
t
X ，
1
t
X ，
t
X ，
1
t
X ，…，那么
1
t
X 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
t
X ，即




1
2
1
1
,
,
,
t
t
t
t
t
t
P X
X
X
X
P X
X






．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1 元，每
一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1 元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束
赌博游戏：一种是手中赌金为0 元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的
本金为

*
N ,
A A
A
B


，赌博过程如下图的数轴所示．
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当赌徒手中有n 元（0
n
B


，
N
n
）时，最终输光的概率为
．．．．．．．．
P n ，请回答下列问题：
(1)请直接写出

0
P
与

P B 的数值．
(2)证明



P n
是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当
100
A 
时，分别计算
200
B 
，
1000
B 
时，

P A 的数值，并结合实际，解释当B 时，

P A 的
统计含义．
3．习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产
业，根据规划，2021 年投入1000 万元，以后每年投入将比上一年减少1
5 ，当地2021 年度旅游业收入约为
500 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加1
4 ．
(1)设n 年内（2021 年为第一年）总投入为
n
S 万元，旅游业总收入为
nT 万元，写出
n
S ，
nT 的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
（参考数据：lg2
0.3010

，lg3
0.4771

，lg5
0.6990

）
4．2022 年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分
壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数
学家科赫在1904 年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每
条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1 个图中的三角形的周长为1，则第n 个图形的周长为
；若第1 个图中的三角形的面积为1，则
第n 个图形的面积为
.
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题型五
创新题
1．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm

的长方形纸，对折1 次共可以得到10dm 12dm

，20dm 6dm

两种规格的图形，它们的面积之和
2
1
240dm
S 
，对折2 次共可以得到5dm 12dm

，10dm 6dm

，20dm 3dm

三种规格的图形，它们的面积
之和
2
2
180dm
S 
，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为
；如果对折n 次，那么
1
n
k
k
S



2
dm .
2．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为
研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
nb
：
1
1
1
1
b


，
2
1
2
1
1
1
b




，
3
1
2
3
1
1
1
1
b






，…，依此类推，其中
(
1,2,
)
k
k




N
．则（
）
A．
1
5
b
b

B．
3
8
b
b

C．
6
2
b
b

D．
4
7
b
b

[方法二]：特值法
3．对于数列

1 2n
na
n


，
*
nN ，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对
于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：
①为什么

1
1
1
1
1
n n
n
n



可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1 项有一定关系，即第n 项的后一部
分与第n＋1 项的前一部分和为零
②不妨将

1 2n
na
n


，
*
nN 也转化成第n，n＋1 项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待
定系数法可得






1
2
1
2
1 2
n
n
n
na
pn
q
p n
q
n












，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定
系数
③将数列

1 2n
na
n


，
*
nN 表示成




1
2
1
2
n
n
na
pn
q
p n
q










形式，然后运用“裂项相消法”即可！
聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减
法”掌握．
(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求
na
的前n 项和
n
S ；
(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求
na
的前n 项和
n
S ．
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4．“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括
（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上，在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一
系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列1 n

，


2
1
n


，


3
2
n


，…，
1
2
n 

，
1
n的和，可
设计一个正立的n 行三角数阵，即正三角形A 的区域中所有数的分布规律为：第1 行为1 个n ，第2 行为
2 个n 1
，第3 行为3 个
2
n 
，…，第n 行为n 个1；再选一个数列
2
n
（其前n 项和已知），可设计一个
倒立的n 行三角数阵，即正三角形B 的区域中所有数的分布规律为：第1 行为n 个n ，第2 行为n 1
个
n 1
，第3 行为
2
n 个
2
n ，…，第n 行为1 个1.这两个三角数阵就组成一个n 行
1
n 列的菱形数阵.若已
知



2
2
2
2
1
1
2
3
1 2
1
6
n
n n
n








，则运用垛积术，求得数列1 n

，


2
1
n


，


3
2
n


，…，

1
2
n 

，
1
n的和为
.
5．已知正项数列
na
满足
2
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a



，
2023
2023
1
1



a
a
，则
1a 
.
6．对于数列A :


1
2
3
*
,
,
,
1, ,3
N
2
i
a a a
a
i


,定义“T 变换”:T 将数列A 变换成数列B :
1
2
3
,
,
b b b ,其中


1
1,2
i
i
i
b
a
a
i




,且
3
3
1
b
a
a


.这种“T 变换”记作

B
T A

,继续对数列B 进行“T 变换”,得到数列
C :
1
2
3
,
,
c c c ,依此类推,当得到的数列各项均为0 时变换结束.
(1)写出数列A :2,6,4 经过5 次“T 变换”后得到的数列;
(2)若
1
2
3
,
,
a a a 不全相等,判断数列A :
1
2
3
,
,
a a a 经过不断的“T 变换”是否会结束,并说明理由;
(3)设数列A :400,2,403 经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小,求k 的最小值.
练习题：
1．（多选）提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的
一位中学老师戴维斯提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列
na
：0.4 ，
0.7 ，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离( 以天文单位AU 为单
位).现将数列
na
的各项乘以10后再减4 ，得到数列
nb
，可以发现数列
nb
从第3 项起，每项是前一项
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的2 倍，则下列说法正确的是（
）
A．数列
nb
的通项公式为
2
3 2n
nb


B．数列
na
的第2023项为
2021
0.3 2
0.4


C．数列
na
的前n 项和
1
0.4
0.3
2
0.3
n
n
S
n





D．数列

n
nb
的前n 项和


1
3
1
2n
nT
n




2．（多选）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，
于1871 年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯
韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假
定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结
构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，
容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较
慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是
第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X 所有取值为1，
2，…n，且


0
i
P x
i
P



（
1
i ，2，…n）
1
1
n
i
i
P



，定义X 的信息熵

2
1
log
n
i
i
i
H x
P
P


，则下列说法
正确的有（
）
A．n=1 时

0
H x 
B．n=2 时，若
1
1
(0,
)
2
P 
，则

H x 与
1P 正相关
C．若
1
2
1
1
2n
P
P



，


1
2
2,
N
k
k
P
P k
k



，

1
2
2n
n
H x



D．若n=2m，随机变量y 的所有可能取值为1,2,…,m，且


2
1
j
m
j
P y
j
P
P




（j=1,2,…,m）则
( )
( )
H x
H y

3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案
都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第
n 个图形包含
( )
f n 个小正方形.
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(1)求出
(5)
f
；
(2)归纳出
(
1)
f n 
与
( )
f n 的关系式，并根据你得到的关系式求
( )
f n 的表达式；
(3)求证：
1
1
1
1
3
(1)
(2) 1
(3) 1
( ) 1
2
f
f
f
f n









.
1．已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
2
,
n
n
n
a
n
a
a n





为奇数
为偶数
，______，
*
nN ．从①
2
1
2
n
n
b
a



，
②
2
1
2
1
n
n
n
b
a
a




这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题．（注：如果两个条件分别作
答，按第一个解答计分）．
(1)写出
1b ，
2b ；
(2)证明
nb
为等比数列，并求数列
nb
的通项公式；
(3)求数列
na
的前2n 项和
2n
S
．
2．已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，
1
1
a ，
2
1
2
2
1




n
n
S
S
n
n
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
1
b ，
1
( 1)


n
n
n
n
b
b
a ，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3．若数列
na
的通项公式是



1
3
2
n
na
n


，则a
a
a








4．数列{
}
na
满足
1
1
Z,
2
3
n
n
a
a
a
n




，其前n 项和为
n
S ，若
21
m
S
a

，则正整数m 的值为
．
5．在数列
na
中，
1
1
a ，
1
,
2
3
1,
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a






为偶数
为奇数
，则
1
2
3
2021
a
a
a
a






．
6．已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a ，且


2
1
2
n
n
n
S
S
a
n



≥
，设



1
2
1
n
n
n
n
a
b
S



，则数列
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
nb
前n 项和的取值范围为
．
7．已知数列
na
满足下列条件：①数列
na
是等比数列；②数列
na
是单调递增数列；③数列
na
的
公比q满足0
1
q

.请写出一个符合条件的数列
na
的通项公式
.
8．图1 是中国古代建筑中的举架结构，
,
,
,
AA BB CC DD



是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称
为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
1
1
1
1
,
,
,
DD CC BB AA 是举，
1
1
1
1
,
,
,
OD DC CB BA 是相等
的步，相邻桁的举步之比分别为
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
,
0.5,
,
DD
CC
BB
AA
k
k
k
OD
DC
CB
BA




．已知
1
2
3
,
,
k k
k 成公差为0.1 的
等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则
3k （
）
A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
9．（多选）设正整数
0
1
1
0
1
1
9
9
9
9
k
k
k
k
n
a
a
a
a










，其中



0,1,2,3,4,5,6,7,8
0,1,2,
,
ia
i
k



.
记

0
1
k
n
a
a
a




，则（
）
A．


11
3


B．



81
29
5
n
n





C．



9
10
1
n
n





D．
9
1
8
n
n








10．若数列
na
满足
2
2
1
n
n
a
a
p


（n 为正整数，p 为常数），则称数列
na
为等方差数列，p 为公方差.
(1)已知数列
nx
，

ny
的通项公式分别为：
1
nx
n

，
1
3n
ny


，判断上述两个数列是否为等方差数列，
并说明理由；
(2)若数列
na
是首项为1，公方差为2 的等方差数列，在（1）的条件下，在
ky 与
1
ky 之间依次插入数列

2
na
中的k 项构成新数列
nc
：
1y ，
2
1a ，
2y ，
2
2a ，
2
3a ，
3y ，
2
4
a ，
2
5a ，
2
6a ，
4y ，……，求数列
nc
中前
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30 项的和
30
T .
11．设数列
na
满足：
1
1
2
1,
,
2,3,
n
n
n
a
a
a
a
n








，其中
x 表示不超过实数x 的最大整数．若
n
a 被正
整数p 除所得的余数为k ，则记


mod
n
a
k
p

，若数列中不同的两项
,
i
j
a a 被p 除所得余数相同，则记


mod
i
j
a
a
p

．
(1)直接写出
2
3
4
5
,
,
,
a a a a ；
(2)若


0 mod7
n
a 
，证明：


2
1
2
2
1 mod7
n
n
n
a
a
a




；
(3)证明：数列
na
有无穷多项是7 的倍数．
12．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”
的性质，即第
1
n 次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第
1
n ，
2
n ，
3
n ，…次状态无关，
即



1
2
1
1
,
,
,
n
n
n
n
n
n
P X
X
X
X
P X
X






.已知甲盒子中装有2 个黑球和1 个白球，乙盒子中装有2 个
白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复n 次这样的操作.记甲盒子中
黑球个数为
n
X ，恰有2 个黑球的概率为
n
a ，恰有1 个黑球的概率为
nb .
(1)求
1a ，
1b 和
2
a ，
2b ；
(2)证明：
6
2
5
n
n
a
b








为等比数列（
2
n 
且
*
nN ）；
(3)求
n
X 的期望（用n 表示，
2
n 
且
*
nN ）.
13．在一个传染病流行的群体中，通常有3 类人群：
类别
特征
S 类
（Susceptible）
易感染者，体内缺乏有关抗体，与I 类人群接触后易变为I 类人群．
I 类（Infectious）
感染者，可以接触S 类人群，并把传染病传染给S 类人群；康复后成为R 类人群．
R 类
（Recovered）
康复者，自愈或者经治疗后康复且体内存在相关抗体的I 类人群；若抗体存在时间有
限，可能重新转化为S 类人群．
在一个600 人的封闭环境中，设第n 天S 类，I 类，R 类人群人数分别为
n
S ，
nI ，
n
R ．其中第1 天
1
540
S 
，
1
60
I 
，
1
0
R 
．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：
S 类→I 类占当天S 类比例
I 类→R 类占当天I 类比例
R 类→S 类占当天R 类比例
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


(1)已知对于传染病A 有
1
15
α 
，
1
6

，
0
γ 
．求
2I ，
n
R ；
(2)已知对于传染病B 有
1
5
α 
，
1
10
β 
，
1
60
γ 
．
（Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得{
}
n
n
pS
I
q


是等比数列；
（Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一
项，通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A 需要投入更大力量防控传染病B．
14．某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如
下的喷洒试验：隔离选取1000平方米牧草，在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草，200 平
方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的受害牧草有80%的面积
会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有%
t
(0
t
20)


的面积会在下一次喷药前被
感染为受害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第n 次喷药前正常牧草的面积为
n
a 平方米．
(1)求使得
2
900
a 
成立的t 的最大整数值；
(2)证明：在t 取（1）中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920 平方米．
15．小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n 层（20
30
n


，
N
n


），设第
1 层的“环境满意度”为1，且第k 层（2
k
n


，
N
k


）比第
1
k 层的“环境满意度”多出
2
3
3
1
k
k

；
又已知小王有“恐高症”，设第1 层的“高层恐惧度”为1，且第k 层（2
k
n


，
N
k


）比第
1
k 层的
“高层恐惧度”高出1
3 倍.在上述条件下，若第k 层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为
ka ，
kb ，记小王
对第k 层“购买满意度”为
kc ，且
k
k
k
a
c
b

，则小王最想买第
层住宅.
（参考公式及数据：
2
2
2
2
(
1)(2
1)
1
2
3
6
n n
n
n






，ln 2
0.6931

，ln 3
1.0986

，3 4
1.1006
3 
）
16．1967 年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维
的飞跃.1977 年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分
形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的
不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段
AB 上取两个点C，D，使得
1
3
AC
DB
AB


，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后
去掉线段CD，得到图2 中的图形；对图2 中的线段EC、ED 作相同的操作，得到图3 中的图形；依
此类推，我们就得到了以下一系列图形：
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记第n 个图形（图1 为第一个图形）中的所有线段长的和为
n
S ，对任意的正整数n，都有
n
S
a
＜，则a 的
最小值为
．
17．给定正整数k，m，其中2
m
k


，如果有限数列
na
同时满足下列两个条件，则称
na
为( ,
)
k m 数
列．记( ,
)
k m 数列的项数的最小值为
( ,
)
G k m ．
条件①：
na
的每一项都属于集合{1,2,3,
, }
k

；
条件②：从集合{1,2,3,
, }
k

中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是
na
的子数列．
注：从
na
中选取第1i 项、第2i 项、…、第si 项（其中1
2
s
i
i
i




）形成的新数列
1
2
,
,
,
s
i
i
i
a
a
a

称为
na
的
一个子数列．
(1)分别判断下面两个数列是否为(3,3) 数列，并说明理由：
数列
1 :1,2,3,1,2,3,1,2,3
A
；
数列
2 :1,2,3,2,1,3,1
A
；
(2)求证：
( ,2)
2
1
G k
k

；
(3)求
(4,4)
G
的值．
18．定义：满足下列两个条件的有穷数列
1b ，
2b ，…，
(
2,3,4,
)
nb n 
为n 阶“期待数列”．
①
1
2
3
0
n
b
b
b
b






，②
1
2
3
1
n
b
b
b
b






．
试写出一个3 阶“期待数列”
；若2023 阶“期待数列”
nb
是递增的等差数列，则
2023
b

．
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