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专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
三、专项训练........................................................3
一、必备秘籍
实根问题，换元法令
将函数
化简为
，在利用正弦函数
的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2023·浙江·校联考二模）函数
的图象向左平移
个单位长度后对应的函
数是奇函数，函数
．若关于x 的方程
在
内有两个不同的解α，
β，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
满足
，若
在区间
上恰有3 个零点，则实数t 的取值范围为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于
的方程
在
上有实数解，则实数
的取值范围是 .
5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数
图象上各点的横坐标变为原来的
倍，然
后再向右平移
个单位得到函数
的图象，则
的解析式为 ；若方程
在
的解为
、
，则
.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数
，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标
相差
，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数
的图象向左平移
个单位长
度后得到的图象关于y 轴对称且
；②函数
的图象的一个对称中心为
且
.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若
函数
在区间
上恰有3 个零点，求t 的取值范围.
2
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7．（2023 秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70 中校考阶段练习）已知函数
（其中
）的部分图像如图所示，将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图
象．
(1)求
与
的解析式；
(2)令
，求方程
在区间
内的所有实数解的和．
三、专项训练
1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数
图象所有点的纵坐标伸长到原来
的
倍，并沿x 轴向左平移
个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到
的图象．若
的图象关于点
对称，则函数
在
上零点的个数是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数
，把函
数的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，若
时，方程
有实根，则实
3
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数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数
的图象
与直线
的相邻两个交点的距离为
，且对于任意
，不等式
恒成立，则（ ）
A．
B．
的取值范围为
C．
在区间
上单调递增
D．若实数
使得方程
在
恰有
，
，
三个实数根，则
的最小值为
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，若
在区间
上有且仅有一个零点，则实数m 的一个取值为 .
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知
，当
（其中
）时，
有且只有一个解，则
的取值范围是 .
6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数
的部分图象如图所
示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
4
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函数
的图象，若关于
的方程
在
上有两个不等实根
，求实数
的取值范围，
并求
的值．
7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数
（
，
）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数
的解析式的两个作为已知.
条件①：函数
的最小正周期为
；
条件②：函数
的图象经过点
；
条件③：函数
的最大值为
.
(1)求
的解析式及最小值；
(2)若函数
在区间
（
）上有且仅有1 个零点，求的取值范围.
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数
.
(1)若方程
在
上有且只有一个实数根，求实数m 的取值范围；
9．（2023 秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线
（
，
）相邻的两条对
称轴之间的距离为
，若将函数
的图象先向左平移
个单位，再向下平移个单位，得到函数
的
图象，且
为奇函数.
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(1)求函数
的的解析式和其图象的对称中心；
(2)若关于
的方程
在区间
上有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围.
10．（2023 秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数
(1)求函数
在区间
上的单调递减区间；
(2)将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数
的图象.当
时，方程
恰
有三个不相等的实数根
、
、
，求实数
的取值范围和
的值.
11．（2023 秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数
相
邻两条对称轴的距离为
，将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，且
的图象
关于原点对称．
(1)求
；
(2)设函数
，当
时，方程
有且仅有两个实数根
，求实数
的取值
范围．
12．（2023 秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知
，其中
，
，
6
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，且满足
，
．
(1)求
的解析式；
(2)若关于
的方程
在区间
上总有实数解，求实数
的取值范围．
13．（2023 春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x 的方程
在
上有两个不等实数解
，
.
①求实数m 的取值范围；
②求
的值.
14．（2023 秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数
．
(1)求
的最小正周期．
(2)求
的单调递增区间．
(3)若关于
的方程
在
上有解，求实数m 的取值范围．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量
，函数
，
．
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(1)当
时，求
的值；
(2)若
的最小值为﹣1，求实数m 的值；
(3)是否存在实数m，使函数
，
有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值
范围；若不存在，说明理由．
16．（2023 秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)方程
在
上的两解分别为
，求
的值.
17．（2023 春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）已知函数
为奇函数，且
图象的相邻两对称轴间的距离为
.
(1)求
的解析式；
(2)当
时，求
的单调递减区间；
(3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方
程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.
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