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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题31 数列第七缉
1．【2017 年内蒙古预赛】已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk = 1
2 ak ak +1(k ∈
N +
),其中a1=1.
(1)求数列{ak}的通项公式.
(2)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足：bk +1
bk
= k -n
ak +1
(k =1,2,3,⋯,n),b1=1求b1+b2+⋯+bn
.
2．【2016 年福建预赛】已知数列｛an｝的前n 项和Sn=2an-2(n∈Z+).
（1）求通项公式an；
（2）设bn= 1
an
-
1
n(n+1) ，T n为数列｛bn｝的前n 项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有T4≥Tn；
（3）设cn=
an+1
(1+an)(1+an+1)
，Rn为数列{cn}的前n 项和，若对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，求λ 的最小值.
3 ．【2016 年山东预赛】已知数列{xn}满足x1>0, xn+1= ❑√5 xn+2
❑√xn
2+1(n∈Z+). 证明：在
x1, x2,⋯, x2016中，最少可以找到672 个无理数.
4．【2016 年安徽预赛】已知数列{an}满足a0=1,a1=5，an= 2a❑
n-1
2
-3an-1-9
2an-2
(n≥2)用数学归纳法证明：
an=2
n+2-3.
5．【2016 年全国】设p 与p + 2 均为素数，p > 3.定义数列{an}：a1=1，an=an-1+[
pan-1
n ](n=2,3⋯)，
其中，[x]表示不小于实数x 的最小整数.证明对n=3,4⋯, p-1，均有n¿.
6．【2016 年浙江预赛】给定数列{xn}。证明：存在唯一分解xn= yn- zn
，其中，数列{yn}非负，{zn}单调
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不减，且yn(zn- zn-1)=0，z0=0。
7．【2016 年上海预赛】已知数列{an}满足an+1=- 1
2 an+ 1
3
n (n∈Z+)．求所有a1的值，使得{an}为单调数
列，即{an}为递增数列或递减数列．
8．【2016 年四川预赛】设等比数列{an}的前n 项和为Sn=2
n+r（r 为常数）.记bn=2(1+ log2an)(x∈Z+).
（1）求数列{anbn}的前n 项和T n
；
（2）若对于任意的正整数n，均有1+b1
b
1
⋅1+b2
b2
⋯1+bn
bn
≥k ❑√n+1，求实数k 的最大值.
9．【2016 年辽宁预赛】已知数列{an}满足a0= 1
k , an=an-1+ 1
n
2 a❑
n-1
2
(k ∈Z+)a2(k∈若对于所有的n∈Z*,
均有an<1,求k 的取值范围
10．【2016 年江苏预赛】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数
列的一次“Z 扩展”．已知数列1，2，3 第一次Z 扩展后得到数列1，3，2，5，3；第二次Z 扩展后得到数
列1，4，3，5，2，7，5，8，3；……设第n 次Z 扩展后所得数列1，x1，x2，…，xm，3，并记
an=1+ x1+ x2+⋯+ xm+3．
（1）求a1、a2、a3的值；
（2）若bn=an-2，证明：{bn}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．
11．【2016 年江苏预赛】设数列{an}满足a1=1，a2=3，an=3an-1-an-2(n∈Z+,n≥3)．
是否存在正整数n，使得2
2016¿，（2
2016¿）？若存在，求出最小的正整数n 的值；若不存在，请说明理由．
12．【2016 年湖北预赛】已知定义在R 上的函数f (x)满足f (1)= 10
3
，且对任意实数x、y，恒有
f (x)f ( y)= f (x + y)+ f (x - y)①设数列{an}满足an=3 f (n)- f (n-1)(n∈Z+).
（1）求数列{an}的通项公式；
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（2）令bn=
24 an
(3an-8)
2 (n∈Z+)，Sn为数列{bn}的前n 项和.证明：Sn＜1.
13．【2016 年河南预赛】定义数列{an}：a1=1，a2= 4，an= ❑√an-1an+1+1(n≥2).
证明：（1）{an}为整数数列；
（2）2anan+1+1(n≥1)为完全平方数。
14．【2016 年甘肃预赛】设数列{an}(n∈Z+)的前n 项和为Sn，点(an,Sn)在y = 1
6 - 1
3 x的图像上.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2 ）求c1=0，且对任意的正整数n ，均有cn+1-cn= log 1
2
an. 证明：对任意n≥2，总有
1
3 ≤1
c2
+ 1
c3
+⋯+ 1
cn
< 3
4 .
15．【2016 高中数学联赛（第02 试）】设实数a1,a2,⋯,a2016
满足9ai>11ai+1
2 (i=1，2，…，2015).
求(a1-a2
2)⋅(a2-a3
2)⋯⋯(a2015-a2016
2
)⋅(a2016-a1
2)的最大值.
16．【2016 高中数学联赛（第02 试）】设p 与p+2 均是素数，p>3.数列{an}定义为a1=2，
an=an-1+ ⌈pan-1
n
⌉，n=2，3，….这里⌈x⌉表示不小于实数x 的最小整数.
证明:对n=3，4，…，p－1 均有n| pan-1+1成立.
17．【2015 年浙江预赛】已知数列{an}、{bn}满足a1>0，b1>0，¿.证明：a50+b50>20.
18．【2015 年浙江预赛】已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+2
❑√an
2-1(n∈Z+).
（1）证明：{an}为正整数数列；
（2）是否存在m∈Z+，使得2015¿？并说明理由.
19．【2015 年浙江预赛】设k为正整数.若数字1,2,⋅⋅⋅,3k +1构成的排列x1, x2,⋅⋅⋅, x3k +1满足
（1）x1< x2<⋅⋅⋅< xk +1；
（2）xk +1> xk +2>⋅⋅⋅> x2k +1；
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（3）x2k +1< x2k +2<⋅⋅⋅< x3k +1，
则称此排列为“N 型”的.记dk为所有N 型排列的个数.
（1）求d1、d2的值；
（2）证明：对任意正整数k ，dk均为奇数.
20．【2015 年上海预赛】设n∈Z+, A ={a1,a2,⋯,an}为由数0 或1 组成的数列，即ak =0或1(1≤k ≤n).
（1 ）若n≥3，由数列A 定义另一个数列A ' ={a❑1
' ,a❑2
' ,⋯,a❑n
' }，其中，ak
' =¿. 求使得
ak +ak
' =1(k =1,2,⋯,n,)的所有数列A（只需写出结果，不需解题过程）.
（2）求使得a1+a2+⋯=+an除以4 余3 的所有数列A 的个数.
21 ．【2015 年上海预赛】已知数列{an}满足a1=1，a2=2，对每个正整数n≥3，有
an=2an-1或an=an-1+an-2.如这个数列可以为1，2，4，6，10….
（1）若某一项am(m≥4)为奇数，且不为3 的倍数，证明：am=2am-2+am-3
；
（2）证明：∑
n=1
2013
an
an+1an+2
< 1
2
；
（3）若在{an}的前2015 项中，恰有t 个项为奇数，求t 的最大值.
22．【2015 年新疆预赛】已知数列{an}满足an+1+(-1)
nan=2n-1.求数列{an}的前4n 项的和S4n
.
23．【2015 年天津预赛】设a1=1，a2=8，an+1=an-1+ 4
n an(n=2,3,⋯).
证明：（1）存在常数C >0，使得对任意正整数n，有an≤C n
2.
（2）对任意正整数n，有an+1-an≤4 n+3.
24．【2015 年四川预赛】已知数列{an}满足a1、a2+1、a3
成等差数列，且对任意的正整数n，均有
Sn= 1
2 an+1-2
n+ 3
2
，其中，Sn为数列{an}的前n 项和。求
（1）a1、a2、a3的值；
（2）数列{an}的通项公式。
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25．【2015 年陕西预赛】设等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+ 1
2 (n∈Z+).
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）在an与an+1
之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn
的等差数列.设数列{
1
dn}
的前n项和
为T n.证明：T n< 15
4 (n∈Z+).
26 ．【2015 年陕西预赛】设[x]表示不超过实数x的最大整数. 已知ak = ∑
i=k
2
(k +1)
2-1 1
i
(k =1,2,⋅⋅⋅). 求
∑
k =1
n
([
1
ak]+[
1
ak
+ 1
2])
.
27．【2015 年山东预赛】已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+ 1
an
2 (n≥2).
(1)证明:当n≥2 时,an
3>3n;
(2)当n≥4 时,求¿表示不超过实数x 的最大整数).
28．【2015 年辽宁预赛】在数列{an}中,a1=1,关于x的方程.x
2-an+1cosx +(2an+1)=0有唯一解.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=[1+
1
log2(an+1)]
n
,证明: bn<3
(3)设cn=n
2an
,求数列{cn}的前n 项和Sn
29．【2015 年江西预赛】正整数数列{an}满足a1=2，an+1=an
2-an+1.证明：数列的任何两项均互素。
30．【2015 年江苏预赛】设等比数列a1,a2,⋯,ak和b1,b2,⋯,bk
，记cn=an-bn(n=1,2,⋯,k ).
（1）写出一组a1、a2、a3和b1、b2、b3，使得c1、c2、c3是公差不为0 的等差数列；
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（2）当k ≥4时，证明：{cn}不可能是公差不为0 的等差数列.
31．【2015 年湖南预赛】已知数列{an}、{bn}满足an+1=an+1，bn+1= 1
2 an+bn.对于正整数n，定义函数
f n(x)= x
2+an x +bn
.证明：若ak、bk
为整数，且f k (x)有两个整数零点，则必有无穷多个f n(x)有两个整数
零点.
32．【2015 年湖北预赛】设T n
为数列{an}的前n项之积，满足T n=1-an(n∈Z+)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn=T 1
2+T 2
2+⋅⋅⋅+T n
2，证明：an+1- 1
2 <Sn<an+1- 1
3
.
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．
【
2015
年
河
南
预
赛
】
数
列
{an}、{bn}的
定
义
为
a1=1,b1=2，an+1= 1+an+anbn
bn
，bn+1= 1+bn+anbn
an
，证明:a2015<5.
34．【2015 年甘肃预赛】数列{an}满足a1=2, an+1=
2
n+1an
(n+ 1
2)an+2
n
(1)设bn= 2
n
b
n
,求数列{bn}的通项公式;
(2)设cn=
1
n(n+1)an+1
,数列{cn}的前n 项和为Sn,求Sn.
35．【2015 高中数学联赛（第01 试）】设a1,a2,a3,a4是4 个有理数，使得
{aia j|1⩽i< j⩽4}={-24 ,-2,- 3
2 ,- 1
8 ,1,3}
成立.求a1+a2+a3+a4
的值.
36．【2015 高中数学联赛（第02 试）】设a1,a2,⋯,an(n⩾2)为实数，证明：可以选取
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ε1,ε2,⋯,εn∈{-1,1}，使得(∑
i=1
n
ai)
2
+(∑
i=1
n
εiai)
2
⩽(n+1)(∑
i=1
n
ai
2)
2
①
8 / 8
