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重难点培优02 基本不等式求最值问题全归纳
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）
01 知识重构·重难梳理固根基.............................................................................................................1
02 题型精研·技巧通法提能力.............................................................................................................2
题型01 直接使用基本不等式与配凑法（
）
★★★★★
...................................................................................2
题型02 常数代换法（“1”的代换）（
）
★★★★★
.......................................................................................3
题型03 变形后常数代换法（
）
★★★★
..........................................................................................................4
题型04 分离转化对勾型（
）
★★★★
..............................................................................................................4
题型05 消元法（
）
★★★★★
...........................................................................................................................5
题型06 单、双、三角换法（
）
★★★
.............................................................................................................5
题型07 多次使用基本不等式（
）
★★★
.........................................................................................................6
题型08 多元型均值不等式（
）
★★
.................................................................................................................6
题型09 基本不等式交汇其他知识（
）
★★★★
..............................................................................................7
03 实战检测·分层突破验成效.............................................................................................................8
重难知识巩固........................................................................................................................................................8
创新能力提升......................................................................................................................................................10
知识重构·重难梳理固根基
知识点01 重要不等式
1、公式：对于任意的实数
，有
，当且仅当
时，等号成立．
【说明】
，当且仅当
时，等号成立．
2、常见变形：
、
、
．
知识点02 基本不等式
1、公式：如果
，
，那么
，当且仅当
时，等号成立．
2、常见变形：
；
3、常用结论：
①
（
同号），当且仅当
时取等号；
（
异号），当且仅当
时取等号．
②
（
），当且仅当
时取等号；
（
），当且仅当
时取等号；
知识点03 基本不等式链
即调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值(注意等号成立的条件).
题型精研·技巧通法提能力
题型01 直接使用基本不等式与配凑法
【技巧通法·提分快招】
1、利用基本不等式求最值
按照
一正、二定、三相等
的原则
“
”
,即
(1)一正:符合基本不等式a+ b
2
≥❑√ab成立的前提条件,即a>0,b>0.
(2)二定:化不等式的一边为定值.
(3)三相等:必须存在等号成立的条件.
以上三点缺一不可.
2、拼凑法求解最值
其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证各
量满足基本不等式
一正、二定、三相等
的条件
“
”
,尤其是要注意验证等号成立的条件.
1．（2026·天津河西·一模）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
5．（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）已知实数
，则
的最小值是__________.
6．（2026·贵州贵阳·二模）若
，且
，则ab 的最小值是______．
题型02 常数代换法（“1”的代换）
【技巧通法·提分快招】
形如
已知
“
x+y=t(t 为常数),求
的最值
的问题，先将
”
转化为
，再用基本不
等式求最值.
1．（25-26 高三上·江苏扬州·开学考试）
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．12
B．13
C．16
D．18
2．（2026·甘肃酒泉·二模）已知
，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·山东济南·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．（25-26 高三上·河北保定·期中）设
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
5．已知
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
题型03 变形后常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型.
形如
，可以通过同除ab，化为
构造“1”的代换求解.
2、形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解.
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配.
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求
型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利
用“1”的代换来求解.
1．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
2．（25-26 高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．（2025·浙江台州·一模）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
4．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为______.
5．（2026·湖南怀化·一模）已知
，且
，则
的最小值为__________.
6．（2025 高三上·湖北黄冈·专题练习）已知
且
，则
的最小值为____.
题型04 分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
形如
，可以通过换元
分离降幂，转化为对勾型
1．已知
，则
的最大值是（ ）．
A．
B．
C．5
D．8
2．（2026·河南开封·模拟预测）设
，则
的最小值为_____________．
3．函数
的值域为_____.
题型05 消元法
【技巧通法·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
和为常数
或
“
”
积为常数
的形式，最后利用基本不等式求最值
“
”
.
1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b 满足
，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三下·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）．
A．4
B．3
C．2
D．1
3．（多选题）（2026·西藏日喀则·模拟预测）若
，则
的值可能是（ ）
A．0
B．
C．2
D．
4．设
均为正实数，满足
，则
的最小值为______.
5．已知
，且
，则
的最大值为__________.
题型06 单、双、三角换法
1．已知
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．已知正数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．已知实数
，满足
，则
的最大值为_____.
4．（24-25 高三上·河南·阶段检测）已知
，则
的最小值为______.
5．已知实数
满足
，则
的最小值为______．
6．已知
，
，则
的最小值为____.
题型07 多次使用基本不等式
【技巧通法·提分快招】
多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性.
1．（25-26 高三上·湖南·期中）已知
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．
2．已知
，那么，当代数式
取最小值时，
的值为（ ）
A．
B．4
C．
D．8
3．（25-26 高三上·天津河东·期末）已知正实数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．16
C．12
D．
4．已知正实数
满足
.若
，则
的最小值为________.
题型08 多元型均值不等式
【技巧通法·提分快招】
设a1,a2,⋅¿⋅,an
均大于零，则记
，
，
，
，则
，其中等号成立的条件是
.
分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.
1．我们知道
，当且仅当
时，等号成立，即
的算术平均数的平方不大于
平方
的算术平均数.此结论可以推广到三元，即
，当且仅当
时，等号成立.已知
，若不等式
恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
2．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
3．已知a，b 为正数，且满足
，则
的最小值为______．
4．已知
，则
的最小值为________．
题型09 基本不等式交汇其他知识
1．（2026·辽宁·三模）已知椭圆
的焦点分别为
，
，点
为
上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆
关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
3．（2026·江西·模拟预测）已知数列
为等差数列，
为等比数列，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
中，M、N 分别在边
、
上，且
，
，D 在边
上（不包含端点）.
若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
5．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数
（
且
）的图象经过定点
，
若
，当满足
，
时，代数式
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三下·湖南株洲·阶段检测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
成等差数列，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
实战检测·分层突破验成效
重难知识巩固
1．（25-26 高三上·河北秦皇岛·阶段检测）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·福建泉州·二模）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
4．（2026·河北·三模）已知正实数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（25-26 高三上·辽宁·期中）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．11
D．13
7．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数
，正数
满足
，则
的最小
值为（ ）
A．2
B．5
C．8
D．9
8．（2026·天津红桥·一模）已知
，若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
9．（2026·湖南永州·三模）已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
是非负实数且
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．11
C．
D．
11．已知
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
12．若实数x，y 满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知
均为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．6
D．
15．已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．16
16．（多选题）下列结论正确的有（ ）
A．当
时，
B．当
时，
最小值为
C．当
时，
D．当
时，
17．（多选题）（25-26 高三上·安徽·期末）已知正数
，
，满足
，则（ ）
A．
的最大值为2
B．
的最小值为3
C．
的最小值为
D．
的最小值为
18．（25-26 高三上·福建厦门·期中）设
，
，
，则
的最小值为__________.
19．（25-26 高三上·北京·阶段检测）若
，则函数
的最小值为______，此时
______.
20．函数
在
上的值域为______.
21．（2026·陕西咸阳·三模）已知
，且
，则
的最小值为______．
22．已知
，且
，则
的最大值为_________；
23．已知pq 为实数，且满足
，那么
的最大值为______．
24．若实数a，b 满足
，则
的最小值为________．
25．（2025·上海长宁·一模）已知
均为正实数，且
，则
的最小值为
___________．
26．已知
，
，且满足：
，则
的最小值等于________．
27．已知
，则
的最小值为______.
28．已知正实数
满足
，则
的最小值是_____.
29．若正实数a，b 满足
，则
的最小值是________．
30．已知正实数
、
满足：
，则
的最大值为______，若实数
，则
的最小值为______．
创新能力提升
1．（25-26 高三上·江苏盐城·阶段检测）已知
，则
的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
2．若正实数x，y，z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
3．已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．“
，
是假命题，则实数
”
的最大值为_______．
5．若
，
，则
的最小值为____．
6．已知
，
，则
的最小值为_________.
7．若
，
，则
的最小值为______．
8．设
为正实数，则
的最小值是____________．
