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第 03 讲 等比数列及其前 n 项和 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等比数列 的前2项和为12， ， 则公
比 的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题意知，设等比数列的公比为 ，
则 ，即 ，
解得 ， .
所以 .
故选：A
2．（23-24高三下·广西·阶段练习）已知 为等比数列， ， ，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等比数列基本量的计算依次求得 ， ，进一步即可得解.
【详解】由题得， ，故 ，
，故 ，即 ， ，
所以 .
故选：D.
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知 为等比数列 的前 项积，若 ，且
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比中项的应用
【分析】利用等比中项的性质求解即可.
【详解】由等比数列的性质，得 ，所以
.
故选:B.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 是等比数列，若 ， 是 的
两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】根据一元二次方程韦达定理得出 ，得出 ，再利用等比数
列的性质，计算出结果；
【详解】若 ， 是 的两个根，则 ，
因为数列 是等比数列， ， .
故选：C.
5．（24-25高三上·安徽·开学考试）设公差 的等差数列 中， 成等比数
列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等比中项的应用
【分析】由题意可得 ，根据 求解即可.
【详解】因为公差 的等差数列 中， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 .
故选：A.6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知数列 是等比数列，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】根据已知条件算出等比数列的首项和公比，即可计算 .
【详解】设等比数列的公比为 ，因为 ， ，
所以由 ，得 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
7．（2024·山西太原·二模）已知 ， 分别是等差数列和等比数列，其前 项和分别
是 和 ，且 ， ， ，则 （ ）
A．9 B．9或18 C．13 D．13或37
【答案】B
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和
【分析】设等比数列 的公比为 ，当 时求出 ，即可求出 ，再由等差数列求和
公式及下标和性质计算可得，当 时根据等比数列求和公式求出 ，从而求出 ，即可
求出 ，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 且 ，
当 时，则 ，符合题意，则 ，又 ，所以 ，
所以 ；
当 时，则 ，即 ，解得 （舍去）或 ，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 ；
综上可得 或 .
故选：B
8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）递增等比数列 中， ， ，则
（ ）A． B． C．72 D．144
【答案】D
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设公比为 ，然后由已知条件列方程可求出 ，从而可求出 .
【详解】设公比为 ，因为 ， ，
所以 ，得 ，得 ，
所以 或 （舍去），
所以 ，
所以 .
故选：D
二、多选题
9．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）记等比数列 的前 项积为 ，且 ，
若 ，则 的可能取值为（ ）
A．-7 B．5 C．6 D．7
【答案】BD
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】由题意结合等比数列下标和的性质可得 ，结合 即可求解.
【详解】 ，
，
又 ，而 ，
或 .
故选： .
10．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知数列 的前 项和为 ，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D． 是递增数列
【答案】ACD
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、
判断数列的增减性
【分析】由题中条件可得 ，判断A；通过两式相减的 ，变形可得出 ，判断B；
根据求和公式结合作差法比较大小判断C，D；
【详解】对于A，由 得，
，所以 ．A正确；
对于B，将 与 整体相减得， ，
所以 ，
又 ，即 ，
所以 ．
因此 不是等比数列，B错误；
对于C,因为 ，
所以当 时， ．
当 时， ．
当 时， ，因此 ,C正确；
对于D，因为 ，
所以 ，
所以 ，
因此 是递增数列，D正确；
故选:ACD．
三、填空题
11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列 中， ，则
．
【答案】3
【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算
【分析】根据等比数列性质和对数运算即可.
【详解】由题意得 .
故答案为：3.12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 是等差数列， 是等比数列，若
， ，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等差和等比数列的性质，再结合特殊角的正切值，即可求解.
【详解】由等差数列的性质可知， ，即 ，而
，
根据等比数列的性质可知， ，则 ， ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
13．（22-23高二下·北京延庆·期中）在数列 中，已知 ， ．
(1)若数列 是等差数列，求数列 的通项公式及前 项和 ；
(2)若数列 是等比数列，求数列 的通项公式及前 项和 ；
(3)若数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数
列前n项和、求等比数列前n项和
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式计算即可；
（2）根据等比数列的通项公式及求和公式计算即可；
（3）根据 ， 时， 求解即可．
【详解】（1）设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 ，解得 ，
，
所以 ，．
（2）设等比数列的首项为 ，公差为 ，则 ，解得 ， ，
所以 ， ．
（3）由已知得 ，
当 时， ，
当 时， ，
又因为 ，
所以 ．
B能力提升
1．（23-24高二下·广东佛山·期中）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标
价格 与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还
价”来减少商品所标价格 与其实际价值的差距.设顾客第 次的还价为 ，商家第 次的
讨价为 ，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价 的一半，即第一
次还价 ，商家第一次的讨价为 与标价 的平均值，即 ；…，顾客第 次
的还价为上一次商家的讨价 与顾客的还价 的平均值，即 ，商家第 次
讨价为上一次商家的讨价 与顾客这一次的还价 的平均值，即 ，现有一件
衣服标价1200元，若经过 次的“对半讨价还价”， 与 相差不到2元，则 的最小值
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】由递推关系证明等比数列
【分析】判断出数列 是等比数列，由此列不等式，从而求得 的最小值.
【详解】依题意可知 ，
，则 ，又 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
由 得 ，其中 ，
解得 ，因此 的最小值为 .
故选：B.
2．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）等比数列 的首项为4，公比为3，前n项的和
为 ，若 （n， ），则 的最小值为 .
【答案】 /
【知识点】求等比数列前n项和、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】求出数列的通项和 ，从而由题设可得 即 或 ，故可求
的最小值.
【详解】由题设有 ， ，
因为 ，故 ，
所以 即 ，即 ，
因为 为非零的自然数，故 或 ，
故 的最小值为 ，
故答案为： .
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在不同的3项 （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样
的3项，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析．
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、验证是否为等比数列中的项
【分析】（1）直接赋值，然后建立等式求解即可；
（2）先假设存在，然后计算不同项的值，最后利用等比中项来判断假设是否正确即可.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，由题意知：
当 时， ，①
当 时， ，②
联立①②，解得 ，
所以数列 的通项公式 ．
（2）由（1）知 ．
所以 ，
所以 ．
设数列 中存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列．
则 ，
所以 ，即 ，
又因为 成等差数列，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，与已知矛盾，
所以在数列 中不存在不同的3项 成等比数列．
C综合素养（新定义解答题）
1．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列 的前 项之积为 ，若 ，，则称 是 数列．
(1)若 是首项为 ，公差为 的等差数列，请判断 是否为 数列？并说明理由；
(2)证明：若 的通项公式为 ，则 不是 数列；
(3)设 是无穷等比数列，其首项 ，公比为 ，若 是 数列，求 的值．
【答案】(1) 是T数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3) 或 ．
【知识点】数列新定义、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、写出等比
数列的通项公式
【分析】（1）由题知 ，再根据T数列的定义，即可作出判断；
（2）先假设 是 数列，从而有 ，再进行验证，即可证明结果；
（3）根据题设得到 ，取对数后可得 ，分类讨
论后可求 .
【详解】（1） 是T数列，
理由：由题知 ，即 ，
所以 ， ，
当 时， ，所以 是T数列．
（2）假设 是 数列，则对任意正整数 ， 总是 中的某一项，
，
所以对任意正整数 ，存在正整数 满足： ，
显然 时，存在 ，满足 ，
取 ，得 ，所以 ，
可以验证：当 ，2，3，4时， 都不成立，
故 不是T数列.
（3）已知 是等比数列，其首项 ，公比 ，
所以 ，所以 ，
由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得 ，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得 ，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得 ，
若 ，则 ，任意 ，这不可能成立；
若 ，
故 对任意 ，总存在 使得该等式成立，
故 必为整数，
取 ，则 有正整数解，故 ，
若 ，则 ，此时方程 对任意 ，
必有正整数解 ；
若 ，则 ，
此时方程 对任意 ，
必有正整数解 ；
综上， 或 ．
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或
给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的
信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问
题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
