文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题04 求数列通项公式
目录
题型一： 累加/累乘..........................................................................................................................1
题型二： 求和公式...........................................................................................................................2
题型三：
.........................................................................................3
题型四：
........................................................4
题型五：
...............................................................................................................4
题型六：
.................................................................................................5
题型七： 同除、平衡指数、因式分解..........................................................................................5
题型一：累加/累乘
【要点讲解】
【例1】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通项
【解答】
【变式训练1】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通
项。
【解答】
例题精讲
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例2】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通项。
解法：
【变式训练1】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通项。
【解答】
题型二：求和公式
【要点讲解】
【例3】已知数列
，满足
，试求数列的通项
【解答】
①当
时，
②当
时，
，作差可得
很明显，
时
也成立，故而数列的通项公式为：
。
【变式训练1】已知正项数列
，满足
，试求数列的通项公式。
【解答】
①当
时，
，解得
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②当
时，
，作差可得
，化
简可得：
故而数列
是以3 为首项，以2 位公差的等差数列，即
。
【变式训练2】已知正项数列
，满足
，试求数列
的通项公式。
【解答】
当
时，
；
当
时，
，作差可得
，
化简可得：
很明显，
时
也成立，故而数列的通项公式为：
。
题型三：
【例4】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通项。
【解答】设
，化简可得
，对比原式可得
，代入假
设的式子可得：
，故而可得数列
是以4 为首项，以2 为公比
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的等比数列，故而
题型四：
【例5】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通项。
【解答】设
，化简可得
，对比原式可得
，代入假设的式子可得：
，故而可得数列
是
以-2 为首项，以2 为公比的等比数列，故而
题型五：
【例6】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通项。
【解答】将递推公式两边同时取倒数可得
，故而可
得数列
是以1 为首项，以
为公差的等差数列，故而
。
【变式训练1】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通项。
【解答】将两边同时加1 可得
，同时取倒数
，将式子右
侧化简可得
，假设
，故而可得
，为线性数
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
列。根据线性数列的性质可得，数列
是以
为首项，以2 为公
比的等比数列，故而可得
，亦即
化简可得，
。
题型六：
【例7】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通项。
【解答】将根据递推公式可得
，故而数列
是以-3 为首项，以3 为公比的等比数列，故而可得
，根据线性数列的性质可得：
，故而数列
是以5 为首项，以2 为公比的等比数列，故
而可得
。
题型七：同除、平衡指数、因式分解
【解答】已知数列
，其中
，满足
，试求数列的通
项。
递推公式可化简为
，两边同除
，化简可
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
得
。故而数列
是以2 为首项，以2 为公差的等差数列，故而可得
，，化简可得
。
【例8】已知正项数列
，其中
，满足
，试求数列的通项。
【解答】观察到递推公式存在根式，故而两边同时加1 可得
化简可得
，故
而数列
是以2 为首项，以1 为公差的等差数列，故而可得
，，化简
可得
。
【变式训练1】已
知
正
项
数
列
，
其
中
，
满
足
，试求数列的通项。
【解答】将递推公式因式分解可得
，因为正项数列，故而
可得
化简为
，由线性数列的性质可得
，
故而数列
是以1 为首项，以2 为公比的等比数列，此时
。
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
一．选择题（共6 小题）
1．已知数列
满足
，则
A．当
时，则
B．当
时，则
C．当
时，则
D．当
时，则
【解答】解：
，
，即
，
对于
：当
时，
，故
，故
错误；
对于
：当
时，
，故
，故
错误；
对于
：当
时，
，
，故
错误；
对于
，由于
，所以
，所以
，同理可推
，
当
时，
，成立，
课后练习
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
假设当
时成立，
，即
，
当
时：
，
由于
，所以
，
所以
成立，
故
恒成立，得证．
故选：
．
2．已知数列
的前
项和为
，且满足
，若
，则
A．2027
B．1012
C．1013
D．1014
【解答】解：
，
当
时，
，
当
时，
，
故数列从第2 项开始都是偶数，而
是奇数，
故正整数
和
其中必有一个等于
，另一个就是
，
故
．
故选：
．
3．在数列
中，若
，
，则
A．
B．1
C．
D．2
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：因为
，
，
所以
，
，
，
所以数列
为周期数列，周期为3，
则
，
故选：
．
4．数列
满足
，则
等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
数列
满足
，①
当
时，
，②
①
②得：
，
，
由①得
适合上式，
故
，
，
故选：
．
5．定义：在数列
中，
，其中
为常数，则称数列
为“等比
差”数列．已知“等比差”数列
中，
，
，则
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．1763
B．1935
C．2125
D．2303
【解答】解：
数列
是“等比差”数列，
，
，
，
，
，
由累加法得
，
，
由累乘法得
，
．
故选：
．
6．已知各项为正的数列
的前
项和为
，满足
，则
的最小值为
A．
B．4
C．3
D．2
【解答】解：
各项为正的数列
的前
项和为
，满足
，①
，
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，②
①
②整理得：
，
可得
，
舍）
即数列
是首项为1，公差为2 的等差数列，
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即
的最小值为2，
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．对于数列
，若
，
，则下列说法正确的是
A．
B．数列
是等差数列
C．数列
是等差数列
D．
【解答】解：对于数列
，已知
，
，①
则
，②
由②
①可得：
，
又
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即数列
是以1 为首项，2 为公差的等差数列，数列
是以1 为首项，2 为公差的等
差数列，
则
，
，
对于选项
，
，即选项
正确；
对于选项
，
，
，
，
数列
不是等差数列，即选项
错
误；
对于选项
，数列
是以1 为首项，2 为公差的等差数列，即选项
正确；
对于选项
，数列
是以1 为首项，2 为公差的等差数列，则
，
即选项
正确．
故选：
．
8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引
入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用
表示斐波那契
数列的第
项，则数列
满足：
，
，记
，
则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：对于
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，故
正确；
对于
，
，故
正确；
对于
，
，
，
，
，即
，故
正确；
对于
，
，
，
，
，
将以上各式相加得
，
，即
，
，故
错误，
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
9．已知数列
满足：
，若
，且数
列
为递增数列，则实数
的取值范围为
．
【解答】解：因为
，两边取倒数可得
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
变形可得
，所以数列
是等比数列，且首项为
，公比为
2，所以
，
则
，又
，数列
为递增数列，
所以
，即
．
当
时，
，即
，解得
．
所以实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
10．已知
为数列
的前
项和，且
，若
，则
8
．
【解答】解：已知
为数列
的前
项和，且
，
则
，
则
，
即
，
又
，
则
．
故答案为：8．
11．已知数列
的前
项和为
，且
，则
．
【解答】解：因为
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以当
时，
，两式相减得
，整理得
，
即
时，
，
又当
时，
，解得
，
所以数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
．
故答案为：
．
12．已知数列
的前
项和
为正整数），则此数列的通项公式
．
【解答】解：已知数列
的前
项和
为正整数），
则当
时，
，
又
，
即
．
故答案为：
．
四．解答题（共4 小题）
13．已知等差数列
的前
项和为
，
，
．数列
的前
项和为
，
，
．
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求数列
和
的通项公式；
（2）设
，求数列
的最大项．
【解答】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，
则
，所以
，
所以
，
因为
，
当
时，
，则
，所以
；
当
时，
，所以
，
所以数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，
所以
；
（2）因为
，所以
，
，
，
当
时，
，
因为
在
时单调递减，所以
，
所以当
时，
，即
，
所以
，
所以数列
的最大项为
．
14．已知数列
的前
项和为
，
且
．
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求
的通项公式；
（2）
为满足
的
的个数，求使
成立的最小正整数
的值．
【解答】解：（1）由题意，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
又
，
，都符合上式，所以
，
所以当
，
，
又
符合上式，所以
；
（2）结合（1）可知，
，
设数列
的前
项和
，则
，
因为
每一项都为正，所以
是单调递增的，
又
，
，
所以所求最小正整数
为11．
15．已知等比数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且
．
（1）求
的通项公式；
（2）若存在正整数
，使得
成立，求
的值．
【解答】解：（1）
，
，
两式相减可得
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
等比数列
的各项均为正数，
；
设公比为
，则
，
解得
，即
，
当
时，
，
解得
，
；
（2）若存在正整数
，使得
，
即
，
，
解得
，
存在
，使得
．
16．30．设数列
的前
项和是
，且满足
．
（1）求
的值；
（2）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
（3）若数列
的通项公式是
（其中常数
是整数），对于任意
，
都有
成立，求整数
的最小值．
【解答】解：（1）
，解得
；
（2）
，
时，
，
两式作差得到
，
即
，由于
，
所以
是以1 为首项，
为公比的等比数列，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
；
（3）
，由题意
，
，
，
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
，
，
，
由题意只需
，即
，
所以整数
的最小值为14．
19
