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模型构建专题：相似三角形中的基本模型
——熟知需要用相似来解决的图形
模型一 “A”字型
1．(2017·湘潭中考)如图，△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的
面积比为________．
第1 题图 第2 题图
2．如图，△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上，请添加一个条件：____________，使
△ABC∽△AED.
3．如图，在△ABC 中，DE∥BC，＝，M 为BC 上一点，AM 交DE 于N.
(1)若AE＝4，求EC 的长；
(2)若M 为BC 的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．
模型二 “X”字型
4．(2016·哈尔滨中考)如图，在△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 边上的点，DE∥BC，BE 与
CD 相交于点F，则下列结论一定正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第4 题图 第5 题图 第6 题图
5．(2016·贵港中考)如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，CE 平分∠BCD 交AB 于点
E，交BD 于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝
AC·BC；③OE∶AC＝∶6；④S△OCF＝2S△OEF，其中成立的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．如图，已知AD、BC 相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么
AD＝________．
7．如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，点E 是边AD 的中点，连接BE 并延长交CD 的延长
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线于点F，交AC 于点G.
(1)若FD＝2，＝，求线段DC 的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
模型三 旋转型
8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是(
)
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C.＝ D.＝
第8 题图 第9 题图 第10 题图
9．★如图，△ABC≌△DEF(点A、B 分别与点D、E 对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC 固
定不动，△DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B 向C 移动(点E 不与B、C 重合)，DE 始终经过
点A，EF 与AC 边交于点M，当△AEM 是等腰三角形时，BE＝__________．
模型四 “子母”型(大三角形中包含小三角形)
10．(2016·毕节中考)如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝
2，AB＝3，则BD＝________．
11．(2016·云南中考)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如
果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( )
A．15 B．10 C. D．5
第11 题图 第12 题图
模型五 垂直型
12．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
13．如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED、EC 为折痕
将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B 恰好落在CD 边上的点F 处．若AD＝3，BC＝5，则EF
的长是( )
A. B．2 C. D．2
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第13 题图 第14 题图
14．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y＝x－3 与x 轴、y 轴分别交于
点A、B，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．
15．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD 与BE 相交于点F.
(1)求证：△ACD∽△BFD；
(2)当AD＝BD，AC＝3 时，求BF 的长．
模型六 一线三等角型
16．(2017·潮阳区模拟)如图，在边长为9 的等边△ABC 中，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE
的长为________．
17．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点P、D 分别是BC、AC 边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长．
参考答案与解析
1．1∶4
2．∠ADE＝∠C(答案不唯一)
3．解：(1)∵DE∥BC，∴＝＝.∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2.
(2)∵M 为BC 的中点，∴S△ABM＝S△ABC＝18.∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴＝＝，
∴S△ADN＝8.
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4．A
5．D 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°.∵CE 平分
∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝60°，∴△CBE 是等边三角形，∴BE＝BC＝CE，∠CEB＝
60°.∵AB＝2BC，∴AE＝BE＝BC＝CE，∴∠CAE＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAE－∠ABC＝
90°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD＝AC·BC，故②正确；
在Rt△ACB 中，∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴AC＝BC.∵AO＝OC，AE＝BE，∴OE∥BC，
∴OE＝BC，∴OE∶AC＝BC∶BC＝∶6，故③正确；∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝
2，∴S△OCF∶S△OEF＝＝2，∴S△OCF＝2S△OEF，故④正确．故选D.
6．4.5 解析：∵AB∥EF，∴＝，则＝.又∵EF∥CD，∴＝，则＝，∴＝，即＝，解得AF＝
3，∴AD＝AF＋FD＝3＋1.5＝4.5.
7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴＝，＝.∵点E 是边AD 的中
点，∴AE＝DE，∴＝，∴EF·GB＝BF·GE.
8．D
9．1 或 解析：∵△ABC≌△DEF，AB＝AC，∴∠AEF＝∠B＝∠C.∵∠AEC＝∠AEF＋
∠MEC＝∠B＋∠BAE，∴∠MEC＝∠EAB.∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME
＞∠AEF，∴AE≠AM.当AE＝EM 时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6
－5＝1.当AM＝EM 时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB
＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴CE＝＝，∴BE＝6－＝，∴BE＝1 或.
10.
11．D 解析：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∵AB＝4，AD＝2，
∴S△ACD∶S△ABC＝(AD∶AB)2＝1∶4，∴S△ACD∶S△ABD＝1∶3.∵S△ABD＝15，∴S△ACD＝5.故选D.
12．C 13.A
14. 解析：根据“垂线段最短”，得PM 的最小值就是当PM⊥AB 时PM 的长．∵直线y
＝x－3 与x 轴、y 轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B 的坐标为(0，－3)，即OB
＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A 的坐标为(4，0), 即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在
Rt△AOB 中，根据勾股定理得AB＝＝＝5.在Rt△PMB 与Rt△AOB 中，∵∠PBM＝∠ABO，
∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴＝，即＝，解得PM＝.
15．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝
90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD.
(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴＝＝1，∴BF＝AC＝3.
16．2
17．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝
∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，
∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.
(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.又∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，∴＝.∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝.
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