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相似三角形的性质--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6 和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3 和4 及x，
那么x 的值（ ）
A．只有1 个 B．可以有2 个 C．有2 个以上，但有限 D．有无数个
2. 若平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF 的长
为（ ）．
A．1.8 B．5 C．6 或4 D．8 或2
3. 如图，已知D、E 分别是
的AB、 AC 边上的点，
且
那么
等于（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
A
B
C
D
E
4．如图G 是△ABC 的重心，直线过A 点与BC 平行.若直线CG 分别与AB、交于D、E 两点，直线BG 与
AC 交于 F 点，则△AED 的面积 ：四边形ADGF 的面积=( )
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
5.（2015•哈尔滨）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连
接EF，分别交AD，CD 于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
6．如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD 交于点F，则S△DEF：S△EBF：
S△ABF等于( )
A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25
二、填空题
7（2015•自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于
．
8.如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
A
B
C
D
9.如图，在△PAB 中，M、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB 的度数是
_______________.
10.如图，△ABC 中，DE∥BC、BE,CD 交于点F，且S △EFC=3S △EFD，则S △ADE ：S △ABC=______________.
F
A
C
D
E
11.如图，锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18 和2，DE=2，
则AC 边上的高为______________.
12. 如图，点M 是△ABC 内﹣点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、
△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC 的面积是 ．
三、解答题
13.（2015•杨浦区三模）如图所示，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作
AF∥BC 交ED 的延长线于点F，连接AE，CF．
求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；
（2）FG•BE=CE•AE．
14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，OE⊥BC 于E，连结DE 交OC 于点F，作FG⊥BC 于G．求证：
点G 是线段BC 的一个三等分点．
证明：在矩形ABCD 中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴ OE∥DC．∵
＝
，∴
＝
＝
．∴
＝
．
……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过
程）．
15. 已知如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点E 自A 点出发，以每秒1cm 的速度向D 点前进，同
时点F 从D 点以每秒2cm 的速度向C 点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t 为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF 的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F 为顶点的三角形能否与△BCD 相似？若能，请求出所有可能的t 的值；若不能，请说明
理由．
【答案与解析】
一．选择题
1.【答案】B.
【解析】x 可能是斜边，也可能是直角边.
2.【答案】A.
3.【答案】B.
4.【答案】D.
5.【答案】C.
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，
∴
，
，
，
故选C．
6.【答案】 A.
【解析】 □ABCD 中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，
(△DEF 与△EBF 等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.
二、填空题
7.【答案】1：3.
【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1：
∴△AOB 与△DOC 的面积之比等于1：3．
8.【答案】3.
【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,
∴
,
AC
AD
AB
AC
AB=
2
2
2
4
1
AC
AD
，
∴BD=AB-AD=4-1=3.
9. 【答案】120°.
【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN 是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
10.【答案】1:9
【解析】∵
EFC
S△
=3
EFD
S△
，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，
由△ADE∽△ABC，即
ADE
S△
：
ABC
S△
=1:9.
11.【答案】 6.
【解析】∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC
∴Rt△ABD∽Rt△CBE
∴AB
BD
BC
BE
，
∴△ABC∽△DBE
∵相似三角形面积比为相似比的平方，
∴
2
18
2
AC
DE
= 9, ∴AC
DE
=3 ,
∴AC=3DE=3×2=6
∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6
即AC 边上的高是6 .
12.【答案】36.
【解析】因为△1、△2、△3 的面积比为1：4：9，所以他们对应边边长的比为1：2：3，又因为四边形BDMG
与四边形CEMH 为平行四边形，所以DM=BG，EM=CH，设DM 为x，则ME=2x，GH=3x，所以
BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以BC：DM=6x：x=6：1，由面积比等于相似比的平方故
可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．
三、解答题
13.【解析】
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠FDA=∠CDE，D 是AC 的中点，
∴△ADF≌△EDC，
∴AF=CE，
∵AF∥BC，
∴四边形AFCE 是平行四边形；
（2）证明：∵四边形AFCE 是平行四边形，
∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，
∵AF∥BC，
∴∠FAB=∠ABE，
∴△AFG∽△BEA，
∴
，
∴FG•BE=AF•AE，
∴FG•BE=CE•AE．
14.【解析】
（1）
补全证明过程:
∵ FG⊥BC，DC⊥BC，
∴ FG∥DC．
∴
＝
＝
．
∵ AB＝DC，
∴
＝
．
又 FG∥AB，
∴
＝
＝
．
∴ 点G 是BC 的一个三等分点．
（2）如图，连结DG 交AC 于点H，作HI⊥BC 于I，则点I 是线段BC 的一个四等分点.
15.【解析】
（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t= 6
5 ，
故当t= 6
5 时，DE=2DF；
（2）∵矩形ABCD 的面积为：12×6=72，S△ABE= 1
2 ×12×t=6t，
S△BCF= 1
2 ×6×（12-2t）=36-6t，
∴四边形DEBF 的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36，
故四边形DEBF 的面积为定值.
（3）设以点D、E、F 为顶点的三角形能与△BCD 相似，
则ED
DF
BC
DC
或ED
DF
DC
BC
，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，
代入解得：t=3 或t=1.2，
故当t=3 或1.2 时，以点D、E、F 为顶点的三角形与△BCD 相似．
