专题08
函数的奇偶性、对称性及周期性
压轴题（解析版）
1.函数的奇偶性
函数
定义
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且
)
(
)
(
x
f
x
f
，那么函数
f(x)就叫做偶函数
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且
)
(
)
(
x
f
x
f
，那么函
数f(x)就叫做奇函数
2.奇偶函数的性质
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．
(2)若奇函数f(x)在x＝0 处有定义，则f(0)＝
0
．
(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性
相同_；
若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性__相反__．
(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．
(5)在函数f(x)，g(x)的公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(6)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D 是关于原点对称的非空
数集．
3.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有
x＋T∈D，且
)
(
)
(
x
f
T
x
f
，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最小的正数，那么这个__最小正数__就叫做
f(x)的最小正周期．
4.函数对称性的常见结论
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．
(2)若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a 对称．
若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
(3)函数y＝f(x)的图象关于x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)．
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(4)函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a－x)＝－f(a＋x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)．
题型一判断函数的奇偶性
例1.（1）已知
4
y
f x
是定义域为R 的奇函数，
2
y
g x
是定义域为R 的偶函数，且
y
f x
与
y
g x
的图象关于y 轴对称，则（
）
A．
y
f x
是奇函数
B．
y
g x
是偶函数
C．
y
f x
关于点
2,0 对称
D．
y
g x
关于直线
4
x
对称
【答案】A
【分析】根据函数
4
y
f x
，
2
y
g x
的奇偶性可推出
y
f x
以及
y
g x
的对称性，结合
y
f x
与
y
g x
的图象关于y 轴对称，推出
y
f x
的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得
y
g x
的奇偶
性以及对称性，判断B,D.
【详解】由于
4
y
f x
是定义域为R 的奇函数，则
y
f x
的图象关于(4,0) 成中心对称，
2
y
g x
是定义域为R 的偶函数，则
y
g x
的图象关于
2
x 对称，
因为
y
f x
与
y
g x
的图象关于y 轴对称，则
y
f x
的图象关于
2
x
对称，
又
y
f x
的图象关于(4,0) 成中心对称，则
y
f x
的图象关于(0,0) 成中心对称，
故
y
f x
为奇函数，A 正确；
因为
y
f x
为奇函数，故
( )
f
x
f x
，
由
y
f x
与
y
g x
的图象关于y 轴对称，可得
( )
(
), ( )
(
)
f x
g
x g x
f
x
，
故(
)
( )
(
)
( )
g
x
f x
f
x
g x
，故
y
g x
为奇函数，B 错误；
由A 的分析可知
y
f x
的图象关于
2
x
对称，故C 错误；
由A 的分析可知
y
f x
的图象关于(4,0) 成中心对称，
y
f x
为奇函数，
则
y
f x
的图象也关于( 4,0)
成中心对称，
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而
y
f x
与
y
g x
的图象关于y 轴对称，
则
y
g x
的图象关于(4,0) 成中心对称，故D 错误，
故选：A
【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的
思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.
(2).函数
( )
f x 的定义域为R，且
(
1)
f x
与
(
2)
f x
都为奇函数，则下列结论错误的是（
）
A．
( )
f x 为奇函数
B．
( )
f x 为周期函数
C．
(
3)
f x
为奇函数
D．
(
4)
f x
为偶函数
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行公式变换，找到新的函数关系即可求解.
【详解】①
)1
(
f x
与
(
2)
f x
都为奇函数，
(
1)
(
1)
f
x
f x
①，
(
2)
(
2)
f
x
f x
②，
由①可得
[ (
1)
1]
(
1
1)
f
x
f x
，即
(
)
(
2)
f
x
f x
③，
由②③得
(
)
(
2)
f
x
f
x
，
( )
(
2)
f x
f x
,
由
2
(
f
x
f x
2) 及
2
f x
f x
,
得
2
f
x
f x
, 以
x
代换x ,
得
2
f x
f
x
,
即
f x
f
x
，因而选项A 正确.
②在前面已经证明
( )
(
2)
f x
f x
所以
( )
f x 的周期为2，因而选项B 正确；
③
3
1
f x
f x
=
1
1
f x
f
x
=
1
3
f
x
f
x
所以
3
3
f x
f
x
，
所以
(
3)
f x
为奇函数，因而选项C 正确.
④
(
4)
(
2)
( )
(
)
(
2)
(
4)
f x
f x
f x
f
x
f
x
f
x
则
(
4)
f x
为奇函数，因而选项D 错误.
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故选：D.
(3).已知定义在
,0
0,
上的函数
f
x 满足
a
，
,0
0,
b
，
a
f
f a
f b
b
，且当
0,1
x
时，
0
f x
，则下列说法正确的是（
）
A．
f
x 是奇函数但不是偶函数
B．
f
x 是偶函数但不是奇函数
C．
f
x 既是奇函数又是偶函数
D．
f
x 既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【分析】对a、b 进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.
【详解】
f
x 的定义域
,0
0,
关于原点对称，
因为
a
，
,0
0,
b
，
a
f
f a
f b
b
，
故令b
a
时，
1
f
f a
f
a
，
令
1
a
b
时，
1
1
1
0
f
f
f
，
令
1
a ，
1
b 时，
1
1
1
1
0
f
f
f
f
，
0
f a
f
a
，即
f a
f
a
，
∴
f
x 是偶函数，
又当
0,1
x
时，
0
f x
，即
f
x 不恒为零，故
f
x 只能为偶函数，不能为奇函数.
故选：B.
练习题
（1）设函数
2
1
4
5
f
x
x
x
，则下列函数中为偶函数的是（
）
A．
2
f x
B．
1
f x
C．
2
f x
D．
1
f x
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义即可判断.
【详解】
2
2
1
1
4
5
2
1
f
x
x
x
x
，
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对于选项A，
2
1
2
1
f x
x
，因为
2
2
1
1
2
2
1
1
f
x
f x
x
x
，
所以
2
f x
是偶函数，A 正确；
对于选项B，
2
1
1
1
2
1
f
x
x
，因为
2
1
2
f
，
18
2
1
17
f
，
所以
1
f x 不是偶函数，B 错误；
对于选项C，
2
1
2
4
1
f
x
x
，因为
4
2
1
f
，
1
4
2
65
f
，
所以
2
f x
不是偶函数，C 错误；
对于选项B，
2
1
1
1
2
1
f
x
x
，因为
2
1
0
f
，
16
2
1
17
f
，
所以
1
f x 不是偶函数，D 错误；
故选：A
(2).若定义在R 上的函数
( )
f x 满足：对任意
1,
x
2
x
R
有
1
2
1
2
(
)
( )
(
) 1
f x
x
f x
f x
则下列说法一定正确的是
A．
( )
f x 为奇函数B．
( )
f x 为偶函数
C．
( )
1
f x 为奇函数
D．
( )
1
f x 为偶函数
【答案】C
【详解】x1=x2=0，则
0
0
0
1
f
f
f
，
0
1
f
，
令x1=x，x2=-x，
则
0
1
f
f x
f
x
，
所以
1
1
0
f
x
f
x
，
即
1
1
f x
f
x
，
( )
1
f x 为奇函数，故选C.
(3)．设函数
( )
f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A．
( )
f x +|g(x)|是偶函数
B．
( )
f x -|g(x)|是奇函数
C．|
( )
f x | +g(x)是偶函数
D．|
( )
f x |- g(x)是奇函数
【答案】A
【详解】由题设知:
(
)
( ), (
)
( )
f
x
f x
g
x
g x
于是有
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(
)
(
)
( )
( )
f
x
g
x
f x
g x
，
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
f
x
g
x
f x
g x
f x
g x
，
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
f
x
g
x
f x
g x
f x
g x
，
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
f
x
g
x
f x
g x
f x
g x
.
(4)．函数
( )
f x 的定义域为R，若
(
1)
f x
与
(
1)
f x
都是奇函数，则
A．
( )
f x 是偶函数
B．
( )
f x 是奇函数
C．
( )
(
2)
f x
f x
D．
(
3)
f x
是奇函数
【答案】D
【详解】[方法一]：
(
1)
f x
与
(
1)
f x
都是奇函数，
(
1)
(
1)
f
x
f x
，
(
1)
(
1)
f
x
f x
，函数
f
x 关于点(1,0) ，及点( 1,0)
对称，函数
f
x 是周期
2[1
( 1)]
4
T
的周期函
数.
(
1
4)
(
1
4)
f
x
f x
，
(
3)
(
3)
f
x
f x
，即
(
3)
f x
是奇函数.故选D.
[方法二]：
(
1)
f x
与
(
1)
f x
都是奇函数，
(
1)
(
1)
f
x
f x
，
(
1)
(
1)
f
x
f x
，由
(
1)
(
1)
f
x
f x
，得
=
2
f x
f
x
，
由
(
1)
(
1)
f
x
f x
，得
2
f x
f
x
，所以
2
f
x
2
f
x
，
进而可得
4
f x
f x
，可见
f
x 是周期4 的周期函数.说明A 与B 不一定成立，C 肯定不成立，而D
成立的理由如下：
3
1 4
1
f
x
f
x
f
x
，
3
1 4
1
1
f x
f x
f x
f
x
，所以
3
3
f
x
f x
.
题型二对称性与周期性
例2.（1）已知函数
f
x 的定义域为
R,
1
0
f
，且
0
0,
,
R
f
x y
都有
2
f x
y
f x
y
f x f
y
，
则下列说法正确的命题是（
）
①
0
1
f
；②
R,
0
x
f
x
f x
；
③
f
x 关于点
1,0 对称；④
2023
1
( )
1
i
f i
A．①②
B．②③
C．①②④
D．①③④
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【答案】D
【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.
【详解】对于①，由于
,x y
R 都有
2
f x
y
f x
y
f x f
y
，
所以令
0
x
y
，则
0
0
2
0
0
f
f
f
f
，即
2
0
0
f
f
，
因为
0
0
f
，所以
0
1
f
，所以①正确，
对于②，令
0
x
，则
2
0
2
f
y
f
y
f
f
y
f
y
，所以
f
y
f
y
，即
=
f x
f
x
，
所以
R,
0
x
f
x
f x
，所以②错误，
对于③，令
1
x ，则
1
1
2
1
0
f
y
f
y
f
f
y
，所以
1
1
f
y
f
y
，
即
1
1
f
x
f
x
，所以
f
x 关于点
1,0 对称，所以③正确，
对于④，因为
1
1
f
x
f
x
，所以
2
f
x
f
x
，
因为
=
f x
f
x
，所以
2
f
x
f
x
，所以
4
2
f
x
f
x
，
所以
4
f
x
f x
，所以
f
x 的周期为4，
在
2
f x
y
f x
y
f x f
y
中，令
1
x
y
，则
2
0
2
1
1
0
f
f
f
f
，因为
0
1
f
，所以
(2)
1
f
，
(3)
( 1)
(1)
0,
(4)
(0)
1
f
f
f
f
f
，
所以
(1)
(2)
(3)
(4)
0
( 1)
0 1
0
f
f
f
f
，
所以
2023
1
( )
505
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
1
i
f i
f
f
f
f
f
f
f
，所以④正确，
故选：D
（2）已知函数
f
x 的定义域为R ，若
2
1
f
x
为偶函数，
2
f x
为奇函数，则（
）
A．
1
0
f
B．
1
0
f
C．
2022
0
f
D．
2023
0
f
【答案】C
【分析】根据奇偶性可求得函数
f
x 是以4 为周期的函数，再利用赋值法求函数值，即可判断.
【详解】函数
2
f x
为奇函数，则
2
2
f
x
f
x
，可得
4
f
x
f
x
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函数
2
1
f
x
为偶函数，则
2
1
2
1
f
x
f
x
，可得
1
1
f x
f
x
，
所以
2
f x
f
x
，即
4
2
f
x
f
x
，即
2
f x
f x
，
即
4
2
f
x
f
x
f
x
，故函数
f
x 是以4 为周期的函数，
由
2
2
f
x
f
x
，令
0
x
，得
2
2
f
f
，知
2
0
f
，
则
2022
505 4
2
2
0
f
f
f
，故C 正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故ABD 不一定成立.
故选：C.
（3）若函数
f
x 的定义域为R ，
2
1
f
x
是偶函数，且
2
2
6
f
x
f
x
．则下列说法正确的个数为
（
）
①
f
x 的一个周期为2；
②
22
3
f
；
③
f
x 的一条对称轴为
5
x
；
④
1
2
19
57
f
f
f
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得
(2
)
( )
f
x
f x
，
(
2)
(
2)
0
f
x
f x
，由此推理计
算即可判断各命题作答.
【详解】对于①：
2
1
f
x
是偶函数，设
2
t
x
，得
1
1
f t
f
t
，
因
2
2
6
f
x
f
x
，所以
4
6
f
x
f
x
，故
1
3
6
f t
f
t
，
故
1
3
6
f
t
f
t
，即
2
6
f
x
f
x
，故
2
4
6
f
x
f
x
，
所以
4
f x
f x
，所以
f
x 的一个周期为4，故①错误.
对于②：由于
2
2
6
f
x
f
x
，令
0
x
，得
2
3
f
.
22
4 5
2
2
3
f
f
f
.故②正确.
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对于③：由
(2
)
( )
f
x
f x
知函数的一条对称轴为
1
x ，因为
f
x 的一个周期为4，所以
5
x
也是函数
f
x
的一条对称轴，故③正确.
对于④：因
2
3
f
，
(2
)
( )
f
x
f x
得
0
3
f
，即
4
3
f
.
因
2
2
6
f
x
f
x
，所以
1
3
6
f
f
，
1
2
19
5
1
2
3
4
20
5 12
4
57
f
f
f
f
f
f
f
f
f
，故④正确
故选：C.
（4）设
f
x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有
2
f x
f x
．当
0,2
x
时，
2
2
f
x
x
x
．
(1)求证：
f
x 是周期函数；
(2)当
2,4
x
时，求
f
x 的解析式；
(3)计算
0
1
2
2011
f
f
f
f
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
6
8
f
x
x
x
(3) 0
【分析】（1）把
2
x
看成一个整体证明
4
f x
f x
即可；
（2）当
2,4
x
时，可得出0
2
2
x
，再由
2
f x
f x
可求得函数
f
x 在
2,4 上的解析式；
（3）计算出
1
f
、
2
f
、
3
f
、
4
f
的值，再利用函数
f
x 的周期性可求得
0
1
2
2011
f
f
f
f
的值.
【详解】（1）证明：因为
f
x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，
2
f x
f x
，
则
4
2
f
x
f
x
f
x
，所以函数
f
x 是周期为4 的周期函数.
（2）解：当
2,4
x
时，0
2
2
x
，
此时，
2
2
2
2
2
2
6
8
f x
f x
x
x
x
x
.
（3）解：因为当
0,2
x
时，
2
2
f
x
x
x
；当
2,4
x
时，
2
6
8
f x
x
x
，
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所以，
1
2 1
1
f
，
2
2
2
2
2
0
f
，
2
3
3
6 3 8
1
f
，
2
4
4
6 4
8
0
f
，
因为2011
4 502
3
，
所以，
1
2
2011
503
1
2
3
4
4
f
f
f
f
f
f
f
f
503
1 0 1 0
0
0
.
练习题
(1).已知
f
x 是定义在R 上的函数，且满足
3
2
f
x
为偶函数，
2
1
f
x
为奇函数，则下列说法正确的是
（
）
A．函数
f
x 的周期为2
B．函数
f
x 关于直线= 1
x 对称
C．函数
f
x 关于点
1,0
中心对称
D．
2023
1
f
【答案】C
【分析】根据
3
2
f
x
为偶函数推导出
4
f x
f
x
，根据
2
1
f
x
为奇函数，得到
1
1
f x
f
x
，得到函数的图象关于点
1,0
对称，故B 错误，C 正确；
由由
4
f x
f
x
及
1
1
f x
f
x
推导出
4
f x
f x
，故周期为4，A 错误；
根据函数的周期性求出
1
2023
0
f
f
，D 错误.
【详解】∵
3
2
f
x
为偶函数，
∴
3
2
3
2
f
x
f
x
，
∴
2
2
f
x
f x
，
故
2
2
2
2
f
x
f
x
即
4
f x
f
x
，
∴函数
f
x 的图象关于直线
2
x 对称.
∵
2
1
f
x
为奇函数，
∴
2
1
2
1
f
x
f
x
，
∴
1
1
f x
f
x
，所以函数的图象关于点
1,0
对称，故B 错误，C 正确；
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由
4
f x
f
x
及
1
1
f x
f
x
知，
4
2
f
x
f
x
f
x
，
∴
2
4
f
f
x
x
，
∴
4
2
4
4
f
f x
x
，即
2
f
x
f
x
，
∴
2
4
f
x
f
x
，故
4
f x
f x
∴函数
f
x 的周期为4，A 错误，
2023
506 4 1
1
0
f
f
f
，故D 错误.
故选：C.
(2).已知函数
f
x 是R 上的偶函数，
g x 是R 上的奇函数，且
1
g x
f x
，求证：
f
x 是周期函数.
【答案】证明见解析.
【分析】利用函数的奇偶性，以及抽象函数周期性的公式，即可证明
f
x 是周期函数，且周期为4
【详解】证明：由
1
g x
f x
，得
1
g
x
f
x
，
又
g x 是R 上的奇函数，∴
g
x
g x
，
∴
1
1
f
x
f x
，即
1
1
f x
f
x
，
用
1
x 替换x，得
2
f x
f
x
，
又
f
x 是R 上的偶函数，
∴
2
2
2
f x
f
x
f
x
f x
，
2
2
2
2
f x
f x
f x
f x
，
∴
2
2
2
4
f x
f x
f x
即
4
2
f
x
f
x
f
x
，所以
f
x 是周期函数，且周期为4.
(3).我们知道，函数
( )
y
f x
的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数
( )
y
f x
为奇函数，有同学
发现可以将其推广为：函数
( )
y
f x
的图象关于点
( , )
P a b 成中心对称的充要条件是函数
(
)
y
f x
a
b
为奇
函数.
(1)依据推广结论，求函数
3
2
( )
3
f x
x
x
图象的对称中心；
(2)请利用函数
3
2
( )
3
f x
x
x
的对称性求
( 2019)
( 2017)
( 2015)
( 3)
( 1)
(1)
(3)
(5)
(2017)
(2019)
(2021)
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
的值；
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(3)类比上述推广结论，写出“函数
( )
y
f x
的图象关于x 轴成轴对称的充要条件是函数
( )
y
f x
为偶函数”
的一个推广结论.（不需要证明）
【答案】(1)(1, 2)
(2) 4042
(3)答案见解析
【分析】（1）设对称中心为
( , )
P a b ，令
(
)
g x
f x
a
b
，根据
g x 为奇函数建立关系即可求出；
（2）根据（1）中结论可得
( 2019)
(2021)
( 2017)
(2019)
( 1)
(3)
4
f
f
f
f
f
f
即可求出；
（3）根据函数对称性质推论即可.
【详解】（1）设
3
2
( )
3
f x
x
x
的对称中心为
( , )
P a b ，
设
3
2
(
)
(
)
3(
)
g
b
x
，则
g x 为奇函数，
由题可知(
)
(
)
g
x
f
x
a
b
，且
(
)
( )
g
x
g x
，
所以
(
)
(
)
f
x
a
b
b
f x
a
，即
(
)
(
)
2
f
x
a
f x
a
b
，
则
3
2
3
2
(
)
3(
)
(
)
3(
)
2
x
a
x
a
x
a
x
a
b
，整理得
2
3
2
(6
6)
2
6
2
0
a
x
a
a
b
，
所以
3
2
6
6
0
2
6
2
0
a
a
a
b
，解得
1
2
a
b
，
所以函数
3
2
( )
3
f x
x
x
的对称中心为(1, 2)
；
（2）由（1）知函数
3
2
( )
3
f x
x
x
的对称中心为(1, 2)
，
所以
(
1)
(
1)
4
f
x
f x
，
则
( 2019)
(2021)
( 2017)
(2019)
( 1)
(3)
4
f
f
f
f
f
f
，且
(1)
2
f
，
则
( 2019)
( 2017)
( 2015)
( 3)
( 1)
(1)
(3)
(5)
(2017)
(2019)
(2021)
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
4 1010
2
4042
；
（3）推论：函数
( )
y
f x
的图象关于x
a
成轴对称的充要条件是函数
(
)
y
f x
a
为偶函数
或函数
( )
y
f x
的图象关于x
a
成轴对称的充要条件是满足
(
)
(
)
f x
a
f a
x
.
题型三奇偶性、对称性、周期性的应用
例3.(1)定义在R 上的函数
f
x 满足
f x
y
f x
f
y
，当
0
x
时，
0
f x
，则下列说法错误的是
（
）
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A．
0
0
f
B．
f
x 为奇函数
C．
f
x 在区间
4,4
上有最大值
4
f
D．
2
2
1
2
0
f
x
f
x
的解集为
1,3
【答案】C
【分析】根据题意，可令
0
x
y
即可判断A；根据奇函数定义可判断函数满足
f
x
f
x
，即B 正确；
再利用单调性的定义以及当
0
x
时，
0
f x
可判断函数单调性，得出C 错误；根据函数单调性的应用，
即可解出不等式的解集.
【详解】解：对于A 选项，在
f x
y
f x
f
y
中，令
0
x
y
，可得
0
2
0
f
f
，
解得
0
0
f
，A 选项正确；
对于B 选项，由于函数
f
x 的定义域为R ，在
f x
y
f x
f
y
中，
令y
x
，可得
0
0
f x
f
x
f
，所以
f
x
f
x
，则函数
f
x 为奇函数，B 选项正确；
对于C 选项，任取
1
2
,
R
x x
，且
1
2
x
x
，则
2
1
0
x
x
，
2
1
0
f x
x
，
所以
2
1
2
1
2
1
0
f x
f x
f x
f
x
f x
x
，所以
1
2
f x
f x
，
则函数
f
x 在R 上为减函数，所以
f
x 在区间
4,4
上有最大值
4
f
，C 选项错误；
对于D 选项，由
2
2
1
2
0
f
x
f
x
可得
2
2
1
2
0
f
x
x
f
，
又函数
f
x 在R 上为减函数，则
2
2
1 2
0
x
x
，
整理得
2
2
3
0
x
x
，解得1
3
x
，
故D 选项正确.
故选：C.
(2).已知函数
( )
f x 满足如下条件：①任意xR ，有
( )
(
)
0
f x
f
x
成立；②当
0
x
时，
2
2
2
1
( )
(|
|
|
2
| 3
)
2
f x
x
m
x
m
m
；③任意xR ，有
( )
(
1)
f x
f x
成立，则实数m 的取值范围是(
)
A．
6
6
[
,
]
6
6
B．
1 1
[
, ]
6 6
C．
3
3
[
,
]
3
3
D．
1 1
[
, ]
3 3
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【答案】A
【分析】通过条件①，分析函数
f
x 是奇函数；
通过条件②，将
f
x 写成分段函数
2
2
2
2
2
2
0
,
2
3
,
2
x
x
m
f x
m m
x
m
x
m
x
m
，
，并通过奇函数画出整个函数图像；
通过条件③，分析出若
1
f x
f x
成立，则
f
x 图像在
1
f
x
图像的上方，从而求出实数m 的取值范
围.
【详解】
0
f x
f
x
，
( )
f
x
\
是奇函数
当
0
m
时，
f x
x
，显然符合题意
当
0
m
时，
f
x 在
0
，
上的解析式为：
2
2
2
2
2
2
0
,
2
3
,
2
x
x
m
f x
m m
x
m
x
m
x
m
，
作出
f
x 的函数图象如图所示
任意x
R
，有
1
f x
f x
成立
2
6
1
m
，解得
6
6
6
6
m
故选：A
(3).已知定义在R 上的函数
f
x 在
,3
单调递增，且
3
f x
是偶函数，则不等式
1
2
f
x
f
x
的解
集为（
）
A．
3
1, 5
B．
5
,1
,
3
C．
,1
D．
1,
【答案】B
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【分析】由可得函数
f
x 关于
3
x
对称，
f
x 在
3,上单调递减，进而可得
1 3
2
3
x
x
，即得.
【详解】∵
3
f x
为偶函数，
∴
3
3
f
x
f x
，即函数
f
x 关于
3
x
对称，
又函数
f
x 在
,3
上单调递增，
∴函数
f
x 在
3,上单调递减，
由
1
2
f
x
f
x
，可得
1 3
2
3
x
x
，
整理得
2
3
8
5
0
x
x
，解得
1
x 或
5
3
x
，
即不等式
1
2
f
x
f
x
的解集为
5
,1
,
3
.
故选：B.
(4).已知函数
f
x 对任意实数,x y 恒有
f x
y
f x
f
y
，当
0
x
时，
0
f x
，且
1
2
f
(1)判断
f
x 的奇偶性；
(2)求函数
f
x 在区间
3,3
上的最大值；
(3)若
2
1,1 ,
1,1 ,
<
2
2
x
a
f
x
m
am
恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)奇函数，理由见解析；
(2)最大值为
( 3)
6
f
；
(3)
2
m 或
2
m
.
【分析】（1）令= =0
x y
求得
(0)=0
f
，令y
x
结合奇偶性定义即可判断；
（2）令
1
2
= + > =
x
x y x x ，根据已知条件及单调性定义即可判断单调性，利用单调性求最值；
（3）由（2），问题化为
2
[ 1,1], ( )=
2
>0
a
g a
m
ma
恒成立，根据一次函数性质，讨论参数m 求范围.
【详解】（1）令= =0
x y
，则
(0)
2 (0)
f
f
，可得
(0)=0
f
，
令y
x
，则
(0)
( )
(
)
0
f
f x
f
x
，可得
(
)
( )
f
x
f x
，
又
f
x 定义域为R，故
f
x 为奇函数.
（2）令
1
2
= + > =
x
x y x x ，则
1
2
1
2
( )= (
)+ (
)
f x
f x
f x
x
，且1
2
0
x
x
，
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因为
0
x
时，
0
f x
，所以
1
2
1
2
( )
(
)= (
)<0
f x
f x
f x
x
，
故
1
2
(
)
(
)
f x
f x
，即
f
x 在定义域上单调递减，
所以
f
x 在区间
3,3
上的最大值为
(
3)= (
1
2)= (
1)+ (
2)=3 (
1)=
3 (1)=6
f
f
f
f
f
f
.
（3）由（2），
f
x 在
1,1
上
min
( )
= (1)=
2
f x
f
，
2
[ 1,1],
[ 1,1], ( )<
2
2
x
a
f x
m
am
恒成立，即
2
[ 1,1],
2
2>
2
a
m
am
恒成立，
所以
2
[ 1,1], ( )=
2
>0
a
g a
m
ma
恒成立，显然
0
m 时不成立，
则
2
>0
(1)=
2 >0
m
g
m
m
，可得
2
m
；
2
<0
( 1)=
+2 >0
m
g
m
m
，可得
2
m ；
综上，
2
m 或
2
m
.
(5).已知函数
2
1
f x
x
x
a
，x
R
．
(1)判断函数
f
x
的奇偶性，并说明理由；
(2)当
0
a
时，求函数
f
x
的单调区间；
(3)求函数
f
x
的最小值
g a ．
【答案】(1)见解析
(2)单调递增区间是
0
，
，单调递减区间是
0
，
(3)
2
3
1
,
4
2
1
1
( )
1,
2
2
3
1
,
4
2
a a
g a
a
a
a a
【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断得结论；
（2）利用分段函数的单调性与单调区间，结合二次函数的图象得结论；
（3）利用分段函数的最值，结合对a 的讨论和二次函数的图象计算得结论．
【详解】（1）显然函数
2
1
f x
x
x
a
的定义域为R，
当
0
a
时，
2
1
f
x
x
x
f
x
，此时函数
f
x 为偶函数；
当
0
a
时，因为
2
1
f a
a
，
2
2
1
f
a
a
a
，
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所以
f
a
f a
，
f
a
f a
，
此时函数
f
x 既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当
0
a
时，
2
2
2
1,
0
( )
1
1,
0
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
，
所以函数
f
x 在
0
，
上单调递增，在
0
，上单调递减，
即函数
f
x 的单调递增区间是
0
，
，单调递减区间是
0
，．
（3）因为
2
2
2
1,
( )
1
1,
x
x
a
x
a
f x
x
x
a
x
x
a
x
a
，
所以
①当
1
2
a
时，x
a
时，函数
f
x 的最小值为
1
3
2
4
f
a
，
x
a
时，函数
f
x 在
a
，
上单调递减，
2
1
f x
f a
a
，
而
2
2
3
1
1
0
4
4
a
a
a
a
，
所以函数
f
x 的最小值为
3
4
g a
a
．
②当
1
2
a
时，x
a
时，函数
f
x 的最小值为
2
1
f a
a
，
x
a
时，函数
f
x 的最小值为
1
3
2
4
f
a
，
而
2
2
3
1
1
0
4
4
a
a
a
a
，
所以函数
f
x 的最小值为
3
4
g a
a
．
③当
1
1
2
2
a
时，函数
f
x 的最小值为
2
1
g a
f a
a
．
综上所述，
2
3
1
,
4
2
1
1
( )
1, 2
2
3
1
,
4
2
a a
g a
a
a
a a
．
练习题
(1).已知函数
f
x 的定义域为R ，
1
2
,
x x
R 都有
1
2
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
x
x
，函数
1
g x
f x
，且
g x
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为奇函数，则不等式
2
2
3
2
f m
f
m
的解集为（
）
A．
3,1
B．
1,3
C．
, 3
1,
D．
, 1
3,
【答案】A
【分析】根据函数
g x 为奇函数，得到
2
f
x
f x
，然后结合题意，根据函数
f
x 的单调性求解；
【详解】解析：因为
g x 为奇函数，
所以
0
g
x
g x
，即
1
1
0
f
x
f x
，
所以
2
f
x
f x
，所以
2
2
2
f
m
f m
，
所以
2
2
3
2
f m
f
m
等价于
2
2
3
f
m
f
m
又因为
1x
，
2x R 都有
1
2
1
2
0
x
x
f
x
f
x
所以函数
f
x 在R 上单调递减，
所以
2
2
3
m
m
，
解得3
1
m
，
所以不等式的解集为
3,1
.
故选：A.
(2).已知
0
a
，设函数
( ) |
|
|
1|
f x
x
a
ax
．
(1)判断函数
( )
f x 的奇偶性；
(2)若对任意的xR ，不等式
( )
(2
)
f x
x
a
x
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)当
0
a
时，
( )
f x 为偶函数；当
0
a
时，
( )
f x 为非奇非偶函数
(2)
2
0
2
a
．
【分析】（1）由
(1)
( 1)
f
f
可求
0
a
，结合偶函数定义可得函数为偶函数，而
(1)
( 1)
f
f
不成立，故可
判断
( )
f x 的奇偶性；
（2）利用赋值法可得
2
0
2
a
，再证明当
2
0
2
a
时题设中的不等式恒成立，从而可求求a 的取值范围.
【详解】（1）易知
(1)
2 |
1|,
( 1)
2 |
1|
f
a
f
a
，
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若
(1)
( 1)
f
f
，则2 |
1| 2 |
1|
a
a
，解得
0
a
，
此时
(
) |
| 1
f
x
x
f x
，而xR ，故此时
f
x 为偶函数；
当
0
a
时，
(1)
( 1)
f
f
，
而
(1)
( 1)
2
1
2
1
0
f
f
a
a
，故
(1)
( 1)
f
f
，
故此时
f
x 为非奇非偶函数.
综上，当
0
a
时，
( )
f x 为偶函数；当
0
a
时，
( )
f x 为非奇非偶函数．
（2）
0
a
时，
2
( ) |
| 1
f x
x
x
显然成立，所以
0
a
符合．
0
a
时，若
(
,0]
[2 ,
)
x
a
，则(2
)
0
( )
x
a
x
f x
恒成立，
故只需考虑|
|
|
1|
(2
)
x
a
ax
x
a
x
对任意
(0,2 )
x
a
恒成立．（*），
取x
a
，有
2
2
1
a
a
，解得
2
1
2
a
，即得
2
0
2
a
．
而当
2
0
,0
2
2
a
x
a
时，
2
1
2
1
0
ax
a
，
故（*）式可化为
2
|
|
3
1
0
x
a
x
ax
对任意
[0,2 ]
x
a
恒成立，
令
2
( ) |
|
3
1
g x
x
a
x
ax
，
①当
(0, ]
x
a
时，
2
( )
(3
1)
(
1)
g x
x
a
x
a
恒成立；
因为对称轴
3
1
2
a
x
a
，故
2
( )
1 2
0
g x
g a
a
．
②当
[ ,2 )
x
a
a
时，
2
( )
(3
1)
(1
)
g x
x
a
x
a
，
因为对称轴
3
1
2
a
x
a
，且
2
( )
1 2
0
g x
g a
a
．
故此时
2
|
|
3
1
0
x
a
x
ax
对任意
[0,2 ]
x
a
恒成立，
因此
2
0
2
a
．
综上：
2
0
2
a
．
(3).若定义在R 上的函数
f
x 满足：
1
2
,
x x
R
，都有
1
2
1
2
1
f x
x
f x
f x
成立，1
1
f
且
f
x 为
R 上的增函数，
(1)求
0
f
的值，并证明
( )
1
f x 为奇函数；
(2)解不等式
2
3
3 ( )
0
2
f
x
x
f x
(3)若
x
R ，
y
R
，
2
2
2
4
4
3
f
x
m
xy
y
my
恒成立，求实数m 的取值范围.
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【答案】(1)
0
1
f
，证明过程见解析；
(2) 2 ,1
3
(3)
1 ,0
3
【分析】（1）利用赋值法令
1
2
=
=0
x
x
可求出
(0)
f
，令
1=
x
x ，
2x
x
即可证明
( )
1
f x 为奇函数；
（2）利用
1
2
1
2
1
f x
x
f x
f x
结合单调性的定义列出不等式，即可求解；
（3）利用赋值法结合
1
1
f
求出
2
f
，再由
( )
f x 的单调性结合一元二次不等式恒成立，即可求出实数m
的取值范围.
(1)
解：由
1
2
1
2
1
f x
x
f x
f x
令
1
2
=
=0
x
x
，则
0
0
0
1
f
f
f
解得：
0
1
f
令
1=
x
x ，
2x
x
，则
0
1
1
f
f x
f
x
即
1
1
f x
f
x
，x
R
所以
( )
1
f x 为奇函数
(2)
解：由
1
2
1
2
1
f x
x
f x
f x
得
2
1
f
x
f x
f x
所以
2
1
f
x
f x
f x
f x
f x
即
3
2
1
3
2
f x
f
x
f x
f
x
所以
2
3
3 ( )
0
2
f
x
x
f x
等价于
2
2
2
3
3
0
f
x
x
f
x
即
2
5
3
3
f
x
x
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由
1
2
1
2
1
f x
x
f x
f x
，且
1
1
f
，令
1
1
x ，
2
1
x
得：
2
1
1
1
3
f
f
f
所以
2
5
3
3
f
x
x
等价于
2
2
3
5
f
f
x
x
又
f
x 为R 上的增函数
所以
2
5
3
2
x
x
，即
2
3
5
2
0
x
x
解得：
2 ,1
3
x
故不等式得解集为：2 ,1
3
(3)
解：由（2）知，
2
3
f
2
2
2
4
4
3
f
x
m
xy
y
my
，x
R
，
R
y
等价于
2
2
2
4
4
2
f
x
m
xy
y
my
f
又
f
x 为R 上的增函数
所以
2
2
2
4
4
2
x
m
xy
y
my
即
2
2
2
4
2
0
myx
m
x
y
my
，x
R
恒成立
所以
2
2
2
4
4
4
2
0
m y
my
my
即
2
2
4
2
0
m
m y
my
，
R
y
恒成立
①当
2
=0
m
m
，即
0
m
或
1
m
0
m
时，不等式变为：2
0
，符合题意
1
m 时，不等式变为：4
2
0
y
，即
1
2
y
，不符合题意
②当
2
0
m
m
时
2
2
2
0
16
4
2
0
m
m
m
m
m
解得：
1
0
3
m
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综上，实数m 的取值范围为：
1 ,0
3
m
题型四能力提升创新题
1.已知函数
f
x 的定义域为R ，值域为
0,
，若
1
1
4
f
x
f
x
，函数
2
f x
为偶函数，
2024
1
f
，
则
2023
1
n
f n
（
）
A．4050
B．4553
C．4556
D．4559
【答案】B
【分析】推导出函数
f
x 为周期函数，确定该函数的周期，求出
1
f
、
2
f
、
3
f
、
4
f
的值，结合周
期性可求得
2023
1
n
f n
的值.
【详解】由
1
1
4
f
x
f
x
可得
2
4
f
x
f
x
，①
对任意的xR ，
0
f x
，所以，
4
2
4
f
x
f
x
，②
由①②可得
4
f x
f x
，所以函数
f
x 是周期为4 的周期函数．
因为
2
f x
为偶函数，则
2
2
f
x
f x
，
因为
2024
4 506
0
1
f
f
f
，由
2
4
f
x
f
x
可得
4
2
4
0
f
f
，且
4
0
1
f
f
，
由
2
4
f
x
f
x
可得
2
4
f
x
f
x
，
因为
2
2
f
x
f x
，所以，
f
x
f x
，故函数
f
x 为偶函数，
因为
2
4
f
x
f
x
，则
2
1
1
4
1
f
f
f
，所以，
1
2
f
，
由
1
3
4
f
f
可得
3
2
f
，
因为2023
4 505
3
，所以，
2023
4
3
1
1
1
505
n
n
n
f n
f n
f n
505
2
4
2
1
2
4
2
4553
.
故选：B.
2.已知函数
( )(
)
f x xR 满足
(
)
2
( )
f
x
f x
，若函数
1
x
y
x
与
( )
y
f x
图像的交点为
1
1
2
2
( ,
),(
,
),
,(
,
),
m
m
x y
x
y
x
y
则
1
(
)
m
i
i
i
x
y
A．0
B．m
C．2m
D．4m
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【答案】B
【详解】[方法一]：直接法.
由
-
2
f
x
f x
得
f
x 关于
0 1
，对称，
而
1
1
1
x
y
x
x
也关于
0 1
，对称，
∴对于每一组对称点
'
0
i
i
x
x
'=2
i
i
y
y
，
∴
1
1
1
0 2 2
m
m
m
i
i
i
i
i
i
i
m
x
y
x
y
m
，故选B．
[方法二]：特值法.
由
-
2
f
x
f x
得
-
+
2
f
x
f x
不妨设因为
1
f x
x
，与函数
1
1
1
x
y
x
x
的交点为
1,2 ,
1,0
∴当
2
m
时，
1
1
2
2
2
x
y
x
y
m
，故选B．
[方法三]：构造法.
设
1
s x
f x
，则
1 1
s
x
f
x
f x
s x
，故
s x 为奇函数.
设
1
1
t x
y
x
，则
t
x
t x
，故
t x 为奇函数.
∴对于每一组对称点
'
0
i
i
x
x
'=0
i
i
s
t
.
将
1
i
i
s
y
，
'
' 1
i
i
t
y
代入，即得
'
0
i
i
x
x
'=2
i
i
y
y
∴
1
1
1
0 2 2
m
m
m
i
i
i
i
i
i
i
m
x
y
x
y
m
，故选B．
[方法四]：
由题意得,函数
( )(
)
f x xR 和
(
)
2
( )
f
x
f x
的图象都关于(0,1)对称,
所以两函数的交点也关于(0,1)对称,
对于每一组对称点( ,
)
i
i
x y
和
'
'
(
,
)
i
i
x
y
，都有
'
'
0,
2
i
i
i
i
x
x
y
y
.
从而
1
(
)
2
2
m
i
i
i
m
x
y
m
.故选B.
3.已知函数
2
2
1
1
R
f
x
x
a
x
a
a
．
(1)当
0
a
时，求
f
x 的单调区间( 不要求证明) ；
(2)若
f
x 为偶函数，求a 的值；
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(3)若
f
x 的最小值
min
3
f x
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)在
1
2
，上单调递减，在1
2
，
上调递增
(2)
1
a
(3)
1
6
2
a
或
2
2
a
【分析】（1）当
0
a
时，
2
2
2
,
1
( )
1
1
2,
1
x
x x
f x
x
x
x
x
x
，即可得
f
x 的单调区间；
（2）由条件可得
1
1
x
a
x
a
恒成立，即可求得a 的值；
（3）
2
2
2
2
3 ,
1
2,
1
x
x
a
a x
a
f x
x
x
a
a
x
a
，分类讨论得
f
x 的最小值，根据
min
3
f x
求得实数a 的取值范
围即可．
【详解】（1）当
0
a
时，
2
2
2
2
2
1
1 ,
1
2
4
( )
1
1
1
7
2
,
1
2
4
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
，
∴
f
x 在
1
2
，上单调递减，在1
2
，
上调递增．
（2）因为
f
x 定义域为R ，
f
x
f x
，
所以
1
1
x
a
x
a
恒成立，解得
1
a ．
（3）
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
3
3
,
1
2
4
( )
1
7
2
,
1
2
4
x
x
a
a
x
a
a
x
a
f x
x
x
a
a
x
a
a
x
a
．
①当
1
1
2
a
时，
1
2
a
时，
2
min
7
3
4
f x
a
a
，解得
1
6
2
a
．
②当
1
1
2
a
，即
3
2
a
时，
2
min
1
3
3
4
f x
a
a
，解得
3
2
a
．
③当
1
1
1
2
2
a
，即1
3
2
2
a
时，
2
min
1
2
2
3
f x
f
a
a
，解得
2
2
a
或
2
2
a
，
∴
2
3
2
2
a
．
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综上可得，
1
6
2
a
或
2
2
a
．
4.已知
3
2
1
3
f x
x
x
ax
，且关于x 的方程
0
f
x
有3 个不同的实数解
1
2
0
,
x x
，
，其中
1
2
x
x
（1）求a 的取值范围；
（2）是否存在点
,
m n ，使得
f
x 的图像关于点
,
m n 对称？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理
由；
（3）若对任意的
1
2
,
x
x x
，都有
1
f
f
x
，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）
3
4
a
且
0
a
；（2）存在,
1
m ；（3）2
3
3
4
a
【分析】（1）变形
2
1
3
f x
x
x
x
a
，问题转化为
2
1
0
3 x
x
a
有两个不同的非零实数解，利用判别式
列不等式求解即可；
（2）将问题转化为函数
g x
f
x
m
n
为奇函数，利用奇函数的定义列方程求解；
（3）分类讨论，当
2
1
0
x
x
时，可求出
f
x 的最大值为零，则
1
0
f
，解不等式求解；当
2
1
0
x
x
时，
发现
1
0
f
f
，不可能对任意的
1
2
,
x
x x
，都有
1
f
f
x
，综合可得结果.
【详解】解：由已知
3
2
2
1
1
3
3
f x
x
x
ax
x
x
x
a
，
（1）关于x 的方程
0
f
x
有3 个不同的实数解
1
2
0
,
x x
，
，其中
1
2
x
x
，
则
2
1
0
3 x
x
a
有两个不同的非零实数解，
4
1
0
3
0
a
a
，
解得
3
4
a
且
0
a
；
（2）假设存在点
,
m n ，使得
f
x 的图像关于点
,
m n 对称，
则函数
g x
f
x
m
n
为奇函数，
则
3
2
3
2
2
3
2
1
1
1
1
2
3
3
3
g x
x
m
x
m
a x
m
n
x
m
x
m
m
a x
m
m
am
n
，
3
2
2
3
2
1
1
1
2
3
3
g
x
x
m
x
m
m
a x
m
m
am
n
2
3
2
1
1
2
0
3
2 m
x
m
m
am
g x
g
x
n
恒成立，
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3
2
2
1
0
1
2
0
3
m
m
m
am
n
，解得
1
m ，
故存在点
,
m n ，使得
f
x 的图像关于点
,
m n 对称，此时
1
m ；
（3）由已知
1
2
1
3
f x
x x
x
x
x
①当
2
1
0
x
x
时，此时有
3
0
4
a
，对任意的
1
2
,
x
x x
，有
1
2
0,
0
x
x
x
x
，此时
0
f x
，
1
0
f
，即1
1
0
3
a
，得
2
3
a
，
2
3
3
4
a
；
②当
2
1
0
x
x
时，此时有a<0 ，
又
1
2
1
1
0
3
3
f
a
a
，
0
0
f
，
1
0
f
f
，所以不可能对任意的
1
2
,
x
x x
，都有
1
f
f
x
.
综上所述：2
3
3
4
a
.
5.如果函数
( )
y
f x
的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有
(
)
(
)
f x
a
f
x
成立，
则称此函数
( )
f x 具有“性质
( )
P a ”.
（1）判断函数
|
1|
y
x
是否具有“
( )
P a 性质”，若具有“
( )
P a 性质”，求出所有a 的值的集合，若不具有“
( )
P a
性质”，请说明理由；
（2）已知函数
( )
y
f x
具有“
(0)
P
性质”，且当
0
x
时，
2
( )
(
)
f x
x
m
，求函数
( )
y
f x
在区间[0,1] 上的值
域；
（3）已知函数
( )
y
g x
既具有“
(0)
P
性质”，又具有“
(2)
P
性质”，且当1
1
x
时，( ) |
|
g x
x
，若函数
( )
y
g x
的图像与直线y
px
有2017 个公共点，求实数p 的值.
【答案】（1）
2
；（2）
0
m
，函数
( )
y
f x
的值域为
2
2
,(1
)
m
m
；
1
0
2
m
，函数
( )
y
f x
的值域为
2
2
[
,(1
) ]
m
m
；1
1
2
m
，函数
( )
y
f x
的值域为
2
[0,
]
m
；
1
m
，函数
( )
y
f x
的值域为
2
2
[(1
) ,
]
m
m
；（3）
1
2017
p
.
【分析】（1）根据题意可知|
1| |
1|
x
a
x
，由待定系数法可求得
2
a ；
（2）由新定义可推出
( )
f x 为偶函数，从而求出
( )
f x 在[0,1] 上的解析式，讨论m 与[0,1] 的关系判断
( )
f x 的
单调性得出
( )
f x 的最值；
（3）根据新定义可知( )
g x 为周期为2 的偶函数，作出( )
g x 的函数图象，根据函数图象得出p 的值.
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【详解】（1）假设
|
1|
y
x
具有“
( )
P a 性质”，则|
1| |
1|
x
a
x
恒成立，
等式两边平方整理得，
2
2
2
2(
1)
(
1)
2
1
x
a
x
a
x
x
，因为等式恒成立，
所以
2
2(
1)
2
(
1)
1
a
a
，解得
2
a ，
则所有a 的值的集合为
2
；
（2）因为函数
( )
y
f x
具有“
(0)
P
性质”，
所以
( )
(
)
f x
f
x
恒成立，
( )
y
f x
是偶函数.
设0
1
x
，则
0
x
，
2
2
( )
(
)
(
)
(
)
f x
f
x
x
m
x
m
.
①当
0
m
时，函数
( )
y
f x
在[0,1] 上递增，值域为
2
2
,(1
)
m
m
.
②当
1
0
2
m
时，函数
( )
y
f x
在[0,
]
m 上递减，在[ ,1]
m
上递增，
min
( )
0
y
f m
，
2
max
(1)
(1
)
y
f
m
，值域为
2
0,(1
)
m
.
③当1
1
2
m
时，
min
( )
0
y
f m
，
2
max
(0)
y
f
m
，值域为
2
0,m
.
④
1
m
时，函数
( )
y
f x
在[0,1] 上递减，值域为
2
2
(1
) ,
m
m
.
（3）
( )
y
g x
既具有“
(0)
P
性质”，即
( )
(
)
g x
g
x
，函数
( )
y
g x
为偶函数，
又
( )
y
g x
既具有“
(2)
P
性质”，即
(
2)
(
)
( )
g x
g
x
g x
，
函数
( )
y
g x
是以2 为周期的函数.
作出函数
( )
y
g x
的图象如图所示：
由图象可知，当
0
p
时，函数
( )
y
g x
与直线y
px
交于点(2 ,0)(
)
k
k
Z
，即有无数个交点，不合题意.
当
0
p
时，在区间[0,2016]上，函数
( )
y
g x
有1008 个周期，要使函数
( )
y
g x
的图象与直线y
px
有2017
个交点，
则直线与函数y=g(x)的图像在每个周期内都应有2 个交点，且第2017 个交点恰好为(2017,1)，所以
1
2017
p
，
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同理，当
0
p
时，
1
2017
p
，
综上，
1
2017
p
.
1.已知定义在R 上的函数
=
y f x 满足条件
3
(
)
( )
2
f x
f x
，且函数
3
(2
)
4
y
f
x
为奇函数，则下列说法中
错误的是（
）
A．函数
f
x 是周期函数；
B．函数
f
x 的图象关于点
0
3
4 ,
对称；
C．函数
f
x 为R 上的偶函数；
D．函数
f
x 为R 上的单调函数．
【答案】D
【分析】根据函数周期性、对称性、奇偶性、单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，
3
3
3
3
2
2
2
f x
f
x
f
x
f x
f x
，所以
f
x 是周期为3的周期函
数，故A 正确.
对于B，函数
3
2
4
y
f
x
为奇函数，关于
0,0 对称，向左平移3
8 个单位得到
2
f
x ，横坐标再扩大为原
来的2 倍，所以
f
x 关于
0
3
4 ,
对称，故B 正确.
对于C，
f
x 关于
0
3
4 ,
对称，则
3
3
4
4
f
x
f
x
，
3
15
3
15
9
3
4
4
4
4
2
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
3
3
3
3
3
3
2
2
2
f
x
f
x
f
x
f x
f x
，所以
f
x 为偶函数，故C 正确.
对于D，由于
f
x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，y 轴两侧函数对应区间的单调性相反，故D 错误.
故选：D
2.已知
f
x 是定义域为
,
的奇函数，满足
2
f x
f
x
.若
1
1
f
，则
1
2
3
2019
f
f
f
f
（
）
A．-2019
B．1
C．0
D．2019
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【答案】C
【分析】推导出函数
( )
f x
为周期为4 的周期函数，
1
1
f
，
(2)
(0
2)
(0)
0,
(3)
(1
2)
(1)
1. (4)
(0)
0,
f
f
f
f
f
f
f
f
由此能求出
1
2
3
2019 .
f
f
f
f
【详解】
f
x 是定义域为
,
的奇函数，满足
2
f x
f
x
，则有
2
f
x
f
x
，又由函数
( )
f x
为奇函数，则
(
)
( )
f
x
f x
，则有
(2
)
( ).
f
x
f x
(4
)
(
2)
f
x
f x
(
4)
( ).
f x
f x
则函数
( )
f x
是周期为4 的周期函数，
1
1
f
，
(2)
(0
2)
(0)
0,
(3)
(1
2)
(1)
1. (4)
(0)
0,
f
f
f
f
f
f
f
f
1
2
3
2019
504
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
504 0
1
0 1
0.
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，周期性．通过函数的奇偶性和周期性推导出函数的周期是关键．
3.已知函数
f
x
x
x
，其中
x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（
）
A．
f
x 的值域是
0,1
B．
f
x 是奇函数
C．
f
x 是周期函数
D．
f
x 是增函数
【答案】C
【分析】根据
x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单
调性，进而下结论.
【详解】由
x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为
选项A，函数
0,1
f x
，故错误；
选项B，函数
f
x 为非奇非偶函数，故错误；
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选项C，函数
f
x 是以1 为周期的周期函数，故正确；
选项D，函数
f
x 在区间
0,1 , 1,2 , 2,3
上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.
故选：C
4.函数
y
f
x
的图像关于点
,
P a b 成中心对称的充要条件是函数
y
f
x
a
b
为奇函数，以下选项不正
确的有（
）
A．
3
1
f
x
x
关于1,0
3
中心对称
B．
3
2
6
13
f
x
x
x
关于
2, 3
中心对称
C．函数
y
f
x
的图象关于点
,
P a b 对称，则
2
2
f
x
b
f
a
x
D．函数
y
f
x
的图象关于x
a
对称的充要条件是
y
f
x
a
为偶函数
【答案】A
【分析】根据函数
y
f x
的图象关于点
,
P a b 成中心对称的充要条件是函数
y
f
x
a
b
为奇函数，即
可判断A 错误，B 正确；对选项C，根据充要条件的定义即可判断C 正确；对选项D，根据函数的对称性、
偶函数的定义以及充要条件的定义即可判断D 正确.
【详解】对选项A，
3
1
f x
x
，
1
3
a
，
0
b
，
+
2
2
3
1
3
3
3
+1
4
2
f
x
b
f
x
x
x
，故A 错误.
对选项B，由
3
2
6
13
f
x
x
x
，若
2,
3
a
b
，
则
3
2
3
2
6
13
4
6 4
13
6
4
x
x
f
x
x
x
x
f
，故B 正确.
对选项C，因为函数
y
f
x
a
b
为奇函数，所以
f
x
a
b
f
x
a
b
，
即
2
f
x
a
f
x
a
b
，令t
a
x
，则有
2
2
f t
f
a
t
b
，
即
2
2
f
x
b
f
a
x
，故C 正确.
对选项D，若
y
f
x
a
为偶函数，则
f x
a
f
x
a
，
令t
x
a
，则有
2
f t
f
a
t
，函数的图象关于x
a
对称，故必要性成立，
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函数
y
f
x
的图象关于x
a
对称，则有
2
f x
f
a
x
，
令x
t
a
，则有
f t
a
f a
t
，
即
y
f
x
a
为偶函数，故充分性成立，故D 正确.
故选：A.
5.已知
f
x 是定义在R 上的奇函数，且
2
2
f
，若对任意的
1
x ，
2
0,
x
，均有
1
2
1
2
1
f x
f x
x
x
成立，
则不等式
1
1
f x
x
的解集为（
）
A．
2,0
2,
B．
, 2
0,2
C．
, 1
1,3
D．
1,1
3,
【答案】D
【分析】构造函数
g x
f x
x
，则
g x
f x
x
在
0,
上递增，判断
g x
f x
x
也是是定义在
R 上的奇函数，可得
g x
f x
x
在
,0
上递增，分类讨论列不等式求解即可.
【详解】因为对任意的
1
x ，
2
0,
x
，均有
1
2
1
2
1
f x
f x
x
x
成立，
不妨设
2x
1 > 0
x
，则
1
x
2
0
x
，
所以
1
2
1
2
1
1
2
2
f
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
x
，
构造函数
g x
f x
x
，则
g x
f x
x
在
0,
上递增，
因为
f
x 是定义在R 上的奇函数，所以
g x
f x
x
也是是定义在R 上的奇函数，
所以
g x
f x
x
在
,0
上递增，
不等式
1
1
f x
x
化为
1
1
0
1
0
f
x
x
g x
，
因为
2
2
2
2
0
2
0
2
2
0
f
f
g
g
g
，
则
1
2
1
2
3
1
0
1
0
x
g x
g
x
x
x
，
或
1
2
1
2
1
1
1
0
1
0
x
g x
g
x
x
x
；
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1
0
x
时，
0
0
g
，不合题意；
综上不等式
1
1
f x
x
的解集为
1,1
3,
，
故选：D.
6.已知函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，若
a
，
0,
b
，且a
b
¹
，都有
0
af a
bf b
a
b
成立，则不
等式
2
1
2
2
1
0
f
t
t f
t
t
的解集为（
）
A．
1
1,0
,
2
B．
1 ,0
1,
2
C．
1
, 1
,
2
D．
1
,
1,
2
【答案】D
【分析】根据题意，构造函数
g x
xf x
，求出函数
g x 的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.
【详解】令
g x
xf x
，由题意知
g x 在
0,
上为减函数，
又
f
x 为R 上的偶函数，所以
g x 为R 上的奇函数，
又
g x 在
0,
上为减函数，
0
0
g
，
所以
g x 在R 上为减函数，
①当
0
t
时，
1
1
2
1
2
1
f
t
f
t
t
t
，即
1
2
1
g
g
t
t
，
所以1
2
1
t
t
，所以
2
1
2t
t
，解得
1
t ；
②当
0
t
时，
1
1
2
1
2
1
f
t
f
t
t
t
，即
1
2
1
g
g
t
t
，
所以1
2
1
t
t
，所以
2
1
2t
t
，解得
2
1
t
.所以
2
1
t
或
1
t .
故选：D.
7.函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,
)
上是增函数，若对任意
0,
1
x
t
，均有
2
f x
t
f
x
，
则实数t 的最大值是（
）
A．5
4
B．3
2
C．5
2
D．3
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得
2
x
t
x
，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.
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【详解】因为
0,
1
x
t
，所以
1
0
t
，则
1
t ，
因为函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，所以
f
x
f
x
，
则由
2
f x
t
f
x
得
2
f
x
t
f
x
，
又因为
f
x 在[0,
)
上是增函数，所以
2
x
t
x
，
两边平方化简得
2
2
3
2
0
x
tx
t
在
0,
1
x
t
恒成立，
令
2
2
( )
3
2
g x
x
tx
t
，则max
0
g x
，
又因为
g x 开口向上，对称轴为
0
3
t
x
，
所以
2
2
( )
3
2
g x
x
tx
t
在
0,
1
x
t
单调递增，
则
2
max
( )
(
1)
4
8
3
0
g x
g t
t
t
，解得1
3
2
2
t
，
又因为
1
t ，所以
3
1
2
t
，
所以t 的最大值为3
2 .
故选：B.
15．已知函数
1
f x
是偶函数，当
1
2
1
x
x
时，
2
1
0
f x
f x
恒成立，设
1 ,
2 ,
3
2
a
f
b
f
c
f
，
则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．b<c<a
D．b
a
c
【答案】D
【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解.
【详解】因为当
1
2
1
x
x
时，
2
1
0
f x
f x
恒成立，即
2
1
f x
f x
恒成立，
所以
( )
f x 在(1,
)
上单调递增，
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因为
(
1)
f x
是偶函数，
所以
( )
f x 的图象关于
1
x 对称，
因为
1
5
2
2
a
f
f
，
2
b
f
，
3
c
f
，
因为
5
2
3
2
，
所以
5
2
3
2
f
f
f
，即
1
2
3
2
f
f
f
，
所以b
a
c
．
故选：D．
8.已知奇函数
( )
f x 在R 上单调递增，对
[ 2,2]
a
，关于x 的不等式
2
( )
(
)
0
f a
f x
ax
b
x
在
[ 2,0)
(0,2]
x
上有解，则实数b 的取值范围为（
）
A．
2
b
或
1
b
B．
6
b 或
3
b
C．1
3
b
D．
2
b 或
3
b
【答案】A
【分析】根据函数
( )
f x 的单调和奇偶性，将不等式转化为当
2
(
]
0,
x
时，
2
(
1)
b
x
a
x
在
[ 2,2]
a
成立，
2
(
]
0,
x
上有解，结合主元变更求实数b 的取值范围，同样当
[ 2,0)
x
时，
2
b
x
ax
a
在
[ 2,2]
a
成
立，
[ 2,0)
x
上有解，结合主元变更求实数b 的取值范围即可.
【详解】解：①当
2
(
]
0,
x
时，
2
( )
(
)
0
f a
f x
ax
b
x
可以转换为
2
( )
(
)
0
f a
f x
ax
b
，
因为奇函数
( )
f x 在R 上单调递增，
2
(
)
(
)
f x
ax
b
f
a
，则
2x
ax
b
a
，
∴
2
(
1)
b
x
a
x
在
[ 2,2]
a
成立，则
2
max
(
1)
b
x
a
x
，
由于
1
0
x
，∴
2
(
1)
x
a
x
在
[ 2,2]
a
递减，则
2
2
2
b
x
x
，
又在
2
(
]
0,
x
上有解，则
2
min
2
2
b
x
x
，∴
2
b
；
②当
[ 2,0)
x
时，由单调性和奇偶性可转换为：
2
a
x
ax
b
，
∴
2
b
x
ax
a
，在
[ 2,2]
a
成立，则
2
min
(
1)
b
x
a
x
，
当
[ 2, 1]
x
时，在
[ 2,2]
a
，
2
(
1)
x
a
x
递增，则
2
2
2
b
x
x
，
又在
[ 2, 1]
x
有解，则
2
max
2
2
b
x
x
，∴
1
b ，
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当
1,0
x
时，在
[ 2,2]
a
，
2
(
1)
x
a
x
递减，则
2
2
2
b
x
x
，
又在
1,0
x
有解，则
2
max
2
2
b
x
x
，∴
2
b
，综合得
1
b .
综上，
2
b
或
1
b .
故选：A.
9.设
f
x 是定义在R 上的奇函数，对任意xR ，满足
2
2
4
4
f x
f x
f x
f x
，
，则
2022
f
的值等于（
）
A．2022
B．2021
C．4040
D．4042
【答案】A
【分析】利用题设条件推得
4
2
2
4
4
f x
f x
f x
f x
，从而得到
2
2
f x
f x
，再
利用奇函数的性质得到
0
0
f
，从而利用并项法即可得解.
【详解】因为
2
2
4
4
f x
f x
f x
f x
，
，
所以
4
2
2
2
2
4
4
f x
f x
f x
f x
f x
，
所以
4
2
2
4
f x
f x
f x
，
故
2
2
f x
f x
，
又
f
x 是定义在R 上的奇函数，所以
0
0
f
，
因此
2022
2022
2020
2020
2018
2
0
0
f
f
f
f
f
f
f
f
2 1011
2022
.
故选：A.
10.已知函数
f
x 的定义域为
2,2
，对任意
,
2,2
x y
，都有
f x
f
y
f x
y
，且当x
0,2 时，
0
f x
.
(1)求证：
f
x 是奇函数；
(2)若
1
2
f
，
2
1
f x
t
at
对任意的
1,1
x
，
2,2
a
恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
, 3
3,
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【分析】（1）令
0
x
y
代入方程得
0
0
f
，令y
x
代入方程得
f x
f
x
即可证；
（2）由定义法先证函数
f
x 在
2,2
单调递增，恒成立等价于
2
max
1
f x
t
at
，由单调性及奇偶性得
max
2
f
x
，故恒成立等价于
2
3
0
g a
ta
t
，
2,2
a
恒成立，等价于
2
0
2
0
g
g
恒成立.
【详解】（1）证明：令
0
x
y
得
0
0
0
0
0
f
f
f
f
，
得
0
f x
f
x
f
f x
f
x
，故
f
x 是奇函数；
（2）设任意
1
2
,
0,2
x x
且
1
2
x
x
，
1
2
1
2
1
2
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
，
1
2
0
x
x
，且当x
0,2 时，
0
f x
，故
1
2
1
2
0
f x
f x
f x
x
，
故函数
f
x 在
0,2 单调递增，由函数
f
x 为奇函数，故函数
f
x 在
2,2
单调递增.
2
1
f x
t
at
对任意的
1,1
x
，
2,2
a
恒成立，即
2
max
1
f x
t
at
，
由函数单调性得
max
1
1
2
f x
f
f
，故
2
2
1
t
at
对任意
2,2
a
恒成立.
设
2
3
g a
ta
t
，
2,2
a
，要使
0
g a
恒成立，则
2
2
2
0
3
1
2
3
0
2
0
1
3
2
3
0
g
t
t
t
t
g
t
t
t
t
或
或
，
故
3
t
或
3
t £ - ，所以实数t 的取值范围为
, 3
3,
.
11.已知函数
3
1
x
f x
x
x
．
(1)判断函数
f
x 的单调性并证明；
(2)若关于m 的不等式
2
6
3
2
0
f
m
f
m
mt
在
3, 1
3,6
m
恒成立，求实数t 的取值范围．
【答案】(1)增函数，证明见解析
(2)
16
1, 9
【分析】（1）先利用作差法判断函数在
0,
上单调性，再证明函数是奇函数，从而可得出结论；
（2）由（1）可得不等式等价于
2
6
3
2
m
m
mt
在
3, 1
3,6
m
恒成立，分
3, 1
m
和
3,6
m
两种情况将t 分离出来，再结合基本不等式即可得出答案.
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【详解】（1）解：函数
f
x 在R 上是增函数，
理由：函数
f
x 的定义域为R ，
当
0
x
时，
3
1
x
f x
x
x
令
1
2
0
x
x
，
则
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3
1
1
x
x
f x
f x
x
x
x
x
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
3
1
1
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
1
3
1
1
x
x
x
x
，
因为
1
2
0
x
x
，
所以
2
1
2
1
1
0,3
0
1
1
x
x
x
x
，
所以
2
1
f x
f x
，
所以函数
f
x 在
0,
上递增，
因为
3
1
x
f
x
x
f
x
x
，
所以函数
f
x 是奇函数，
由函数
f
x 在R 上连续，
所以函数
f
x 在R 上是增函数；
（2）解：由（1）可得，
不等式
2
6
3
2
0
f
m
f
m
mt
，
等价于
2
6
3
2
f
m
f m
mt
，
因为函数
f
x 在R 上是增函数，
所以
2
6
3
2
m
m
mt
在
3, 1
3,6
m
恒成立，
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即
2
3
4
mt
m
m
在
3, 1
3,6
m
恒成立，
当
3, 1
m
时，不等式等价于
4
3
1
t
m
m
，
因为
3, 1
m
，
则
4
4
4
1
1
2
1
3
m
m
m
m
m
m
，
当且仅当
4
m
m
，即
2
m 时，取等号，
所以
max
4
1
3
m
m
，
所以3
3
t ，所以
1
t ，
当
3,6
m
时，不等式等价于
4
3
1
t
m
m
，
令
4
1,
3,6
h m
m
m
m
，
任取
1
2
3
6
m
m
，
则
2
1
2
1
2
1
4
4
h m
h m
m
m
m
m
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
4
4
m
m
m
m
m m
m
m
m m
m m
，
因为
1
2
3
6
m
m
，
所以
2
1
2
1
0,
4
0
m
m
m m
，
所以
2
1
h m
h m
，
所以函数
h m 在
3,6 上递增，
所以
min
16
3
3
h m
h
，
所以
16
3
3
t
，即
16
9
t
，
综上实数t 的取值范围
16
1, 9
.
12.定义在
1,1
上的函数
f
x 满足：对任意的
,
1,1
x y
，都有
1
x
y
f x
f
y
f
xy
，当
1,0
x
，
0
f x
．
(1)求证：函数
f
x 是奇函数；
(2)求证：
f
x 在
1,1
上是减函数；
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(3)解不等式：
1
1
0
1
f x
f
x
；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
2,
2
【分析】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解，
（2）根据函数单调性的定义即可求解，
（3）根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】（1）令
0
x
y
，则
0
0
0
f
f
f
，解得：
0
0
f
；
令y
x
，则
2
0
0
1
x
x
f x
f
x
f
f
x
，
( )
f
x
\
为定义在
1,1
上的奇函数.
（2）设
1
2
1
1
x
x
，则
2
1,1
x
，
1
2
1
2
1
2
1
x
x
f x
f
x
f
x x
；
1
2
1
1
x
x
，
1
2
1
x x
，
1
2
1
0
x x
，
1
2
1
2
0
1
x
x
x x
；
又
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
0
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
，
1
2
1
2
1
0
1
x
x
x x
，又当
1,0
x
，
0
f x
，
1
2
1
2
0
1
x
x
f
x x
，
1
2
0
f
x
f
x
，即
1
2
0
f x
f x
，
( )
f
x
\
在
1,1
上是减函数.
（3）由
1
1
0
1
f x
f
x
得：
1
1
1
1
1
f x
f
f
x
x
；
f x
定义域为
1,1
且在
1,1
上是减函数，
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
，解得：2
2
x
，不等式的解集为
2,
2
.
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