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3.6 零点定理（精练）
1．（2023 云南）函数
的零点所在的区间为( )
A．
B．
C．
D．
2．（2022 江西）用二分法求函数
的零点时，初始区间大致可选在（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·北京）已知二次函数
，若
，则
在区间
内的零点
情况是（ ）
A．有两个零点
B．有唯一零点
C．没有零点
D．不确定
4．（2023·河南平顶山）已知等差数列
中，
，
是函数
的两个零点，则
（ ）
A．3
B．6
C．8
D．9
5．（2023·贵州黔东南）函数
在
内零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2023 山西）已知函数
，若
恰有两个零点，则正数
的取值范围是
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a
(1)
0,
(2)
0
f
f
( )
f x
(1,2)
na
5a
14
a
2
3
2
( )
x
x
x
f
3
8
11
16
a
a
a
a
π
sin 3
3
f x
x
0,π
2
1,
1
2
,
1
x
x
f x
x
a
x
a
x
f
x
a
1
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（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·辽宁鞍山）已知函数
在区间
上有唯一零点，则正整数
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
8．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数
的零点时，第一次经过计算得
，
，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
9．（2023·上海金山）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln x
10．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数
的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
0 2
，
1 ,2
2
1 ,1
2
1,2
12
lg
f x
x
x
,
1
n n
n
5
3
8
1
f x
x
x
0
0
f
0.5
0
f
0,0.5
0.125
f
0,0.5
0.375
f
0.5,1
0.75
f
0,0.5
0.25
f
f
x
1
x
2
x
3x
4x
2
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11．（2022 秋·湖北）已知
，且
是方程
的两实数根，则
，
，m，n 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023·四川南充）设正实数
分别满足
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程
有两个不同
的解
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数
，若方程
恰有
四个不等的实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2022
y
x
m
x
n
m
n
，
,
0
y
m
n
m
n
m
n
m
n
, ,
a b c
3
2
2
log
log
1
a
a
b
b
c
c
, ,
a b c
a
b
c
b
c
a
c
b
a
a
c
b
2
2
1
1
7
log
0
4
2
4
x
x
x
1
2
,
x x
1
2
1
2
x x
1
2
1
x x
1
2
1
0
2
x x
1
2
0
1
x x
e ,
0
( )
ln(
1),
0
x
x
x
f x
x
x
2( )
( )
0(
R)
f
x
af x
a
a
1
(0, )
e
(
1
, )
e
1
(
,0)
e
1
( ,
)
e
3
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15．（2023·河北）若函数
的一个零点是1，则它的另一个零点是__________．
16．（2023 春·浙江·高一校联考期中）函数
的零点是_______________
17．（2023 春·四川雅安）已知函数
，则
在区间
内的所有零
点之和为__________．
18．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数
有三个零点，则a 的
取值范围是______.
19．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象与函数
的图象所有交点的横坐
标之和等于______.
20．（2023 春·江苏扬州）若
是方程
的解，则
在区间________内(填序号).
①
；②
；③
；④
.
21．（2023·全国·高三对口高考）方程
在区间
上有解，则实数a 的取值范围为__________．
22．（2023 春·湖北）设函数
在区间[
上有零点，则实数
的取值范围是
___________.
23．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数
，若
在区间
上有零点，则
的最
大值为__________.
2
(
3
)
f x
x
ax
( ) |
1|
f x
x
x
3
1 sin π
cos
π
2
f x
x
x
x
f
x
3,5
2
ln
f x
x
ax
1
1
y
x
2sin π ( 2
4)
y
x
x
0x
e
2
x
x
0x
2, 1
1,0
0,1
1,2
2
2
0
x
ax
[1,5]
e
2
x
f x
mx
1 ,3
2
m
2
ln
f x
x
ax
b
f
x
2,3
ab
4
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24．（2023·广西北海·）若函数
在区间
上存在一个零点，则实数m 的取值范围是_____.
25．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是________．
26．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
有三个不同的零点，其中有两个正零点，则
实数
的取值范围为____.
27．（2023 秋·宁夏银川·高三校考期末）已知函数
满足
，且
是偶函数，当
时，
，若在区间
内，函数
有2 个零点，则实数a 的取值范围
是________．
28．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数
，
，
若
有2 个不同的零点，则实数
的取值范围是__________.
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则
有零点的充要条件是______.
30．（2023·全国·模拟预测）已知函数
满足
.当
时，
，则
在
上的零点个数为___________.
( )
2
f x
x
m
(1,2)
cos
1(
0)
f
x
x
0,2π
4
eax
f x
x
a
f
x
2
f x
f x
f
x
1,0
x
2
f x
x
1,3
loga
g x
f
x
x
e ,
0
ln ,
0
x x
f x
x x
g x
f
f x
a
g x
a
2
2
2
1 e x
f x
ax
x
f
x
f
x
3
3
2
2
f
x
f
x
0,3
x
3
2
2
11
14
f
x
x
x
x
f
x
120,120
5
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1．（2023·陕西西安）已知函数
，则关于
的方程
实数解的个数
为（ ）
A．4
B．5
C．3
D．2
2．（2023 春·安徽）已知函数
与
的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·湖北·校联考模拟预测）函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则函数
在
上的所有零点之和为（ ）
A．－32
B．32
C．16
D．8
4．（2023·北京）若函数
的零点与
的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数
可
以是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数
在
附近一点的函数值可用
代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续
( )
f x
0
x
1
2
1,0
2
( )
1
(
2),
2
2
x
x
f x
f x
x
( )
( ) 1
g x
xf x
[ 6,
)
( )
f x
3
( )
512
125
g x
x
( )
f x
( )
4
1
f x
x
( ) | 2
1|
f x
x
3
( )
2
f x
x
x
2
( )
(3
1)
f x
x
f
x
0x
0
0
0
f x
f x
f
x
x
x
6
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迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程
，选取初始值
，在
下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知函数
，
，对于下述四个结论：
①函数
的零点有三个；②函数
关于
对称；
③函数
的最大值为2；④函数
的最小值为0．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．（2023·新疆·校联考二模）若函数
在区间
上的三个零点为
，
，
，
且
，且
，则下列结论：（ ）
①
的最小正周期为
；
②
在区间
有3 个极值点；
③
在区间
上单调递增；
④
为函数
离原点最近的对称中心．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3
3
1
0
x
x
0
1
2
x
0.333
0.335
0.345
0.347
cos2
cos
f x
x
x
0,2π
x
y
f x
y
f x
π
x
y
f x
y
f x
π
2sin
1
6
f x
x
5π
0, 2
1
x
2
x
3x
1
2
3
x
x
x
1
2
3
7
2
3
x
x
x
f
x
π
f
x
5π
0, 2
f
x
π
0, 2
5π , 1
12
f
x
7
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8．（2023·全国·统考高考真题）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数
，
的零点
分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023 秋·河北石家庄·高三统考期末）（多选）已知函数
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2022 秋·四川成都）（多选）已知函数
的两个零点分别为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3
2
f
x
x
ax
a
, 2
, 3
4, 1
3,0
10 (
1)
1
x
x
f x
x
x
lg (
1)
1
x
g x
x x
x
1
x
2
x
1
2
lg
x
x
1
2
1
1
1
x
x
1
2
4
x
x
1
2
10
200
x x
1
1
2
2
2
2,
0
1
2
,
0
2
x
x
x
f x
x
x
x
1
2
3
4
f x
f x
f x
f x
1
2
3
4
x
x
x
x
1
2
2
x
x
3
4
0
1
2
x
x
3
4
1
x x
1
2
3
4
0
x
x
x
x
1
ln
e
x
y
x
1
2
,
x x
1
2
x
x
1
1
2
1
1
x
x
x
2
1
2
1
1
x
x
x
2
1
2
1
1
x
x
x
2
1
2
1
1
x
x
x
8
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12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知
，
分别是函数
和
的零点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023 春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）函数
在区间
上存
在零点，则
的最小值为_________.
14．（2023·天津·统考高考真题）若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围
为_________．
15．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数
与函数
的图象恰有三个不同
的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则
的取值范围为__________.
16（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）设
，函数
，若
函数
在区间
内恰有6 个零点，则a 的取值范围是______．
17．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数
有三个零点，则a 的
取值范围是______.
1
x
2
x
1
ex
f x
x
1
ln
g x
x
x
1
1
0
2
x
1
2
ln
ln
0
x
x
1
2
e ln
1
x
x
1
2
13
5
6
2
x
x
( )
ex
f x
ax
b
1,3
2
2
a
b
2
2
2
1
f x
ax
x
x
ax
a
2
( )
( ,
R)
f x
ax
b a b
1
( )
g x
x
x
a
R
a
2
2
cos 2
2
,
2
1
5,
x
a
x
a
f x
x
a
x
a
x
a
f
x
0,
2
ln
f x
x
ax
9
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18．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）若关于
的方程
恰有两个不同的实数解，则实数
__________.
19．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若存在实数
及正整数
，使得
在区间
内恰有
个零点，则所有满足条件的正整数
的值共有_________个．
20．（2022·全国·高三专题练习）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检
测的总人数是
（
）将
个人的样本混合在一起做第1 轮检测（检测一次），如果检测结果为阴
性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组
人的样本混合在一起做第2 轮检测，每组检测1 次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组
人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必
须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4 轮共7 次检测后确定了所
有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为
，且假设其中有不超过2 名感染
者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n 的最大值为______.
x
ex
a x
a
a
n
cos2
sin
f
x
x
a
x
(0, π)
n
2022
n
2m
m
N
2m
1
2m
2
3
m m
10
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11
