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专题07 三角函数的图象与性质综合
（十三大题型九大易错题）
【题型1 求三角函数的定义域】
1．已知角α的终边经过点(−12
13 , 5
13)，则tanα =（ ）
A．−5
12
B．−12
5
C．−12
13
D．5
13
【答案】A
【分析】由三角函数定义即可得解.
【详解】由题意tanα = 5
13 ÷(−12
13)=−5
12.
故选：A.
2．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
P(sinπ
3 ,cosπ
3 )，则cos(α +π
6 )=（ ）
A．0
B．1
2
C．√2
2
D．√3
2
【答案】B
【分析】由三角函数的定义即可求得α，从而得到结果.
【详解】由题意可得P(
√3
2 , 1
2)，则tan α = 1
√3 = √3
3 ，所以α =π
6 +2k π ,k ∈Z，
所以cos(α +π
6 )=cos(
π
6 +2k π+π
6 )=cosπ
3 = 1
2.
故选：B
3．已知角α，角β的顶点均为坐标原点，始边均与x轴的非负半轴重合，终边分别过
A (1,3),B (−3,1)，则tan α + β
2
=（ ）
1
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A．−2或1
2
B．2 或−1
2
C．1
2
D．−2
【答案】D
【分析】取AB的中点M，利用三角函数定义得出∠xOM = α + β
2
，再由倾斜角和斜率的
关系得出tan α + β
2
=kOM，最后利用OM ⊥AB得出答案.
【详解】记O为坐标原点，因为A (1,3),B (−3,1)，所以|OA|=|OB|=√10，
所以点A (1,3),B (−3,1)，均在以原点O为圆心√10为半径的圆上.
连接AB，取AB的中点M，连接OM，则OM ⊥AB，
不妨设α , β ∈(0,2π)，则∠xOM =α + β −α
2
= α + β
2
，
所以tan α + β
2
=kOM =−1
k AB
=−2.
故选：D.
4．已知角α的终边经过点M (√2,1)，则cosα =（ ）
A．√6
3
B．√3
3
C．√2
D．√2
2
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求解.
【详解】根据题意r =|OM|=√(√2)
2+1
2=√3，
由三角函数的定义得cosα = x
r = √2
√3 = √6
3 .
故选：A.
【题型2 求三角函数的值域(最值)】
2
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5．函数f (x)= 4 sin(5 x−π
6)在[0,π
5 ]上的值域为（ ）
A．[−2,2]
B．[−2,4]
C．[−2√3,4]
D．[−2√3,2]
【答案】B
【分析】先求得5 x−π
6 的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【详解】因为x∈ [0,π
5 ]，所以5 x−π
6 ∈[−π
6 , 5 π
6 ]，所以sin(5 x−π
6)∈[−1
2 ,1]，
故f (x)= 4 sin(5 x−π
6)在[0,π
5 ]上的值域为[−2,4].
故选：B.
6．已知函数f (x)=3sin x +√3cos x，若x∈[−π
2 ,π
2 ]时，函数f (x)的值域为（ ）
A．[−3,2√3]
B．[−3,3]
C．[−√3
2 ,1]
D．[−√3
2 , √3
2 ]
【答案】A
【分析】
先化简，然后利用正弦函数的性质求值域即可.
【详解】f (x)=3sin x +√3cos x =2√3sin(x +π
6 ),
因为x∈[−π
2 ,π
2 ]，所以−π
3 ≤x +π
6 ≤2π
3
则−√3
2 ≤sin(x +π
6 )≤1，
所以函数f (x)的值域为[−3,2√3].
故选：A.
7．函数y =cos2 x +sin(
π
2 −x)的最小值为（ ）
A．-2
B．−9
8
C．−5
8
D．0
3
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【答案】B
【分析】化简y =cos2 x +sin(
π
2 −x)=2cos
2 x +cos x−1=2(cos x + 1
4 )
2
−9
8，对称轴处
取最小值即可.
【详解】y =cos2 x +sin(
π
2 −x)=2cos
2 x +cos x−1=2(cos x + 1
4 )
2
−9
8
当cos x =−1
4 时，取得最小值为−9
8
故选：B
【题型3 根据三角函数的值域求参数】
8．在锐角△ABC中，若B =2 A，则sin B
sin A 的取值范围是（ ）
A．(√2,√3)
B．[−1
2 , 1
2]
C．(
√3
3 , √2
2 )
D．(−1
2 , 1
2)
【答案】A
【分析】
根据题意，求得π
6 < A <π
4 ，结合倍角公式，得到则sin B
sin A = sin2 A
sin A =2cos A，即可求解．
【详解】
在锐角△ABC中，由B =2 A，可得C =π−3 A，于是¿，
解得π
6 < A <π
4 ，所以√2
2 <cos A < √3
2 ，则sin B
sin A = sin2 A
sin A =2cos A ∈(√2,√3)．
故选：A.
9．当x∈[
π
6 ,m]时，函数f ( x)=cos(3 x + π
3)的值域是[−1,−√3
2 ]，则m 的取值范围是
（ ）
A．[
π
9 , 7 π
18]
B．[
2π
9 , 7 π
18]
4
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C．[
π
9 , 5 π
18]
D．[
2π
9 , 5 π
18]
【答案】D
【分析】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3 x +π
3 的范围，根据f (x)的值域可得
答案；
解法二：由x的范围求出3 x +π
3 的范围，根据y =cos x的图象性质和f (x)的值域可得答案．
【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由x∈[
π
6 ,m]，可知
5π
6 ≤3 x +π
3 ≤3m+π
3 ，
因为f(
π
6 )=cos 5π
6 =−√3
2 且f(
2π
9 )=cosπ =−1，
要使f (x)的值域是[−1,−√3
2 ]，只要2π
9 ≤m≤5π
18 ，
即m∈[
2π
9 , 5π
18 ]；
解法二：由题x∈[
π
6 ,m]，可知5π
6 ≤3 x +π
3 ≤3m+π
3 ，
由y =cos x的图象性质知，要使f (x)的值域是[−1,−√3
2 ]，
则π≤3m+π
3 ≤7π
6 ，解之得m∈[
2π
9 , 5π
18 ]．
故选：D.
5
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10．函数f (x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T =2π
3
，其图象关于点
(
π
18 ,0)对称，且当x∈[
π
6 ,m]时，f (x)的值域是[−1,−√3
2 ]，则m的取值范围是（ ）
A．[
π
9
,7π
18 ]
B．[
2π
9
,7π
18 ]
C．[
π
9
,5π
18 ]
D．[
2π
9
,5π
18 ]
【答案】D
【分析】利用函数f (x)的基本性质可得出f (x)=cos(3 x +π
3 )，由x∈[
π
6 ,m]可求得
3 x +π
3 的取值范围，根据函数f (x)在区间[
π
6 ,m]的值域可得出关于m的不等式，解之即
可.
【详解】因为函数f (x)=cos(ωx +φ)(0<φ<π)的最小正周期为T =2π
3
，则ω= 2π
T
=3，
所以，f (x)=cos(3 x +φ)，
又因为函数f (x)的图象关于点(
π
18 ,0)对称，则3×π
18 +φ=π
2 +k π(k ∈Z)，
解得φ=π
3 +k π(k ∈Z)，因为0<φ<π，故φ=π
3 ，故f (x)=cos(3 x +π
3 )，
6
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当x∈[
π
6 ,m]时，5π
6 ≤3 x +π
3 ≤3m+π
3 ，
且函数f (x)在[
π
6 ,m]上的值域为[−1,−√3
2 ]，
所以，π≤3m+π
3 ≤7π
6 ，解得2π
9 ≤m≤5π
18 ，
故选：D.
11．已知函数y =√2sin(x−π
4 )在区间[0,a],[0,a+π
4 ]上的值域均为[−1,b]，则实数
a的取值范围是（ ）
A．[
3π
4 , 5π
4 ]
B．[
π
2 , 5π
4 ]
C．[
3π
4 , 3π
2 ]
D．[
π
2 , 3π
2 ]
【答案】A
【分析】利用正弦型函数图象，数形结合可得.
【详解】在[0,a]上，x−π
4 ∈[−π
4 ,a−π
4 ]，在[0,a+π
4 ]上，x−π
4 ∈[−π
4 ,a]，
由题意，函数y =√2sin(x−π
4 )在两个区间上最值相同，且最小值为−1，即两区间左端
点函数值均为最小值，
所以两区间右端点函数值不能小于−1，但两区间内最大值相同，
如图y =√2sin(x−π
4 )的部分图象，数形结合得a≥3π
4 且a+π
4 ≤6π
4 ，即
a∈[
3π
4 , 5π
4 ].
7
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故选：A
12．已知函数f (x)=sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π
2 )的图像上相邻最高点和最低点的距离为
2√2，且f (x)在(0,φ)上有最大值，则φ的取值范围为（ ）
A．(
π
π+2 ,π
2 (
π
4 +1))
B．(
π
π+2 ,π
2 )
C．(
π
6 ,π
2 )
D．(
π
6 , 7π
6 )
【答案】B
【分析】根据勾股定理，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】设f (x)的最小正周期为T，则(
T
2)
2
+2
2=(2√2)
2，
解得T = 4 = 2π
ω ，所以ω=π
2 ，所以f (x)=sin(
π
2 x +φ)．
当x∈(0,φ)时，π
2 x +φ∈(φ ,π
2 φ+φ)．又0<φ<π
2 ，
所以要使f (x)在(0,φ)上有最大值，
则π
2 φ+φ>π
2 ，所以φ的取值范围为(
π
π+2 ,π
2 )．
故选：B
13．已知函数f (x)=sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π
2 )的图像上相邻最低点和最高点的距离为
2√2，且f (x)在(0,φ)上有最大值，则φ的取值范围为（ ）
A．(
π
π+2 ,π
3 ) B．(
π
π+2 ,π
2 )
C．(
π
6 ,π
2 )
D．(
π
6 ,π
3 )
【答案】B
【分析】先利用三角函数的性质与勾股定理求得，再根据正弦函数的性质求解即可.
【详解】设f (x)的最小正周期为T，则(
T
2)
2
+2
2=(2√2)
2，所以T = 4 = 2π
ω ，解得ω=π
2 ，
所以f (x)=sin(
π
2 x +φ)，
8
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因为x∈(0,φ)，所以π
2 x +φ∈(φ ,π
2 φ+φ)，
又0<φ<π
2 ，
所以要使f (x)在(0,φ)上有最大值，则π
2 φ+φ>π
2 ，解得π
π+2 <φ<π
2 ，
所以φ的取值范围为(
π
π+2 ,π
2 ).
故选：B．
【题型4 求三角函数的单调区间】
14．函数f (x)=√3sin(x +π
3 )−cos x的单调递减区间为（ ）
A．[
π
3 +k π, 4π
3
+ k π],k ∈Z
B．[
π
6 +k π, 2π
3 + k π],k ∈Z
C．[
π
3 +2k π, 4π
3 +2k π]，k ∈Z D．[
π
6 +2k π, 2π
3 +2k π],k ∈Z
【答案】C
【分析】先用三角恒等变换化简得到f (x)=sin( x +π
6 )，再用整体法求解单调递减区间.
【详解】f (x)=√3sin(x +π
3 )−cos x = √3
2 sin x + 1
2 cos x =sin( x +π
6 )，令
π
2 +2k π≤x +π
6 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z ,解得：π
3 +2kπ ≤x ≤4 π
3 +2kπ ，k ∈Z，故f
（x）的单调递减区间为[
π
3 +2k π, 4π
3
+2k π]，k ∈Z
故选：C
15．函数f (x)=2sin(x +π
3 ), x∈[0,π]的单调减区间是（ ）
A．[0,π
6 ]
B．[0,π
2 ]
C．[
π
6 ,2π
3 ]
D．[
π
6 ,π]
9
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【答案】D
【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解.
【详解】令π
2 +2k π≤x +π
3 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z,所以
π
6 +2k π≤x ≤7π
6 +2k π,k ∈Z，
当k =0,π
6 ≤x ≤7π
6 ，由于[
π
6 ,π]⊆[
π
6 , 7π
6 ]，故D 正确，ABC 均错误，
故选：D
16．将函数y =sin(x +π
6 )的图象上每一点的横坐标变为原来的1
2（纵坐标不变），再向
右平移5π
12 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[−π
2 ,0]上单调递减
B．在区间[
π
10 , 7π
12 ]上单调递增
C．在区间[−π
6 ,π
3 ]上单测递减
D．在区间[−π
6 ,π
3 ]上单调递增
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的变换及性质判定选项即可.
【详解】函数y =sin(x +π
6 )的图象上每一点的横坐标变为原来的1
2得y =sin(2 x +π
6 )，
再向右平移5π
12 个单位长度得y =sin[2(x−5π
12 )+π
6 ]=sin(2 x−2π
3 )，
即y =sin(2 x−2π
3 )，
由2k π−π
2 ≤2 x−2π
3 ≤2k π+π
2 ，k ∈Z得增区间为[k π+π
12 ,k π+ 7π
12 ]，
k ∈Z．
当k =0时，一个增区间为[
π
12 , 7π
12 ]，而[
π
10 , 7π
12 ]⊆[
π
12 , 7π
12 ]，所以B 正确.
故选：B
10
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17．已知函数f ( x)=cos(ωx −π
3 ),ω>0, x∈R，且f (α )=−1,f ( β)=0.若|α −β |的
最小值为π
4 ，则f ( x)的单调递增区间为（ ）
A．[−π
3 +k π,π
6 + k π],k ∈Z
B．[−π
3 +2k π,π
6 +2k π],k ∈Z
C．[−π
12 +k π, 5π
12 +k π],k ∈Z
D．[−π
12 +2k π, 5π
12 +2k π],k ∈Z
【答案】A
【分析】先求出函数f ( x)的周期，再求出ω，求出函数f ( x)的解析式，再结合余弦函数的
性质，即可求解.
【详解】函数f ( x)=cos(ωx −π
3 ),ω>0, x∈R，且f (α )=−1,f ( β)=0，|α −β |的最
小值为π
4 ，
则T
4 =π
4 ，所以T =π，故2π
ω =π，所以ω=2，所以f ( x)=cos(2 x−π
3 )，
令2k π−π≤2 x−π
3 ≤2k π,k ∈Z得−π
3 +k π≤x ≤π
6 +k π,k ∈Z，
故f ( x)的单调递增区间为[−π
3 + k π,π
6 +k π],k ∈Z.
故选：A
18．函数f (x)=−3cos(2 x +π
6 )的单调递增区间为（ ）
A．[k π−π
3 ,k π+π
6 ],k ∈Z
B．[k π+π
6 ,k π+ 2π
3 ],k ∈Z
C．[k π−7π
12 ,k π−π
12],k ∈Z
D．[k π−π
12 ,k π+ 5π
12 ],k ∈Z
【答案】D
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】f (x)=−3cos(2 x +π
6 )，令2k π≤2 x +π
6 ≤2k π+π,k ∈Z，
11
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∴k π−π
12 ≤x ≤k π+ 5π
12 ,k ∈Z,
故函数f (x)的单调递增区间为[k π−π
12 ,k π+ 5π
12 ],k ∈Z.
故选：D．
【题型5 已知函数的单调性求参数】
19．若函数f ( x)=sin(ωx)(ω>0)在(0,π
4 )上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A．(0, 1
2)
B．(0,2)
C．(0, 1
2]
D．(0,2]
【答案】D
【分析】由已知结合正弦函数得单调性即可求解.
【详解】函数f ( x)=sin(ωx)(ω>0)在(0,π
4 )上单调递增,当x∈(0,π
4 )时，
ωx ∈(0,π
4
ω)，则π
4
ω≤π
2 ，解得0<ω≤2，
故选：D
20．若函数f (x)=sin(2 x−φ)(0≤φ<π)在(0,π
3 )上单调递增，则φ的最小值为（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【答案】B
【分析】利用正弦型函数的单调性建立不等式，解不等式即可求解．
【详解】令2kπ −π
2
≤2 x−φ≤2k π+π
2
，(k ∈Z)，
解得k π−π
4 + φ
2 ≤x ≤k π+π
4 + φ
2 ，(k ∈Z)，
由于f ( x)在(0,π
3
)上单调递增，
所以k π−π
4 + φ
2 ≤0< x<π
3
≤k π+π
4 + φ
2 (k ∈Z)，
12
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即−k π+π
12 ≤φ
2 ≤−k π+π
4 ，(k ∈Z)，
因为0≤φ<π，所以当k =0时，φ的最小值为π
6
．
故选：B．
21．已知函数f ( x)=sin 2ωx +cos2ωx(ω>1)的一个零点是π
2 ，且f ( x)在(−π
6 ,π
16)
上单调，则ω=（ ）
A．5
4
B．7
4
C．9
4
D．11
4
【答案】B
【分析】整理可得f ( x)=√2sin(2ωx +π
4 )，以2ωx +π
4 为整体，根据单调性分析可得
1<ω≤2，再结合零点分析求解.
【详解】因为f ( x)=sin 2ωx +cos2ωx =√2sin(2ωx +π
4 )，
x∈(−π
6 ,π
16)，且ω>1时，
可得2ωx +π
4 ∈(−π
3 ω+π
4 ,π
8 ω+π
4 )，且−π
3 ω+π
4 <0<π
8 ω+π
4 ，
若f ( x)在(−π
6 ,π
16)上单调，则¿，解得1<ω≤2，
又因为f ( x)的一个零点是π
2 ，则πω+π
4 =k π,k ∈Z，解得ω=k −1
4 ,k ∈Z，
所以k =2,ω= 7
4 .
故选：B.
【题型6 三角函数的奇偶性问题】
22．已知函数f (x)=e
axsin x
1+e
x 是定义在R上的奇函数，则实数a=（ ）
A．－1
B．0
C．1
2
D．1
【答案】C
【分析】
13
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利用奇函数定义求解.
【详解】
∵f (x)为奇函数，∴f (−x)= f (x)，
∴e
−axsin(−x)
1+e
−x
=−e
axsin x
1+e
x ，即e
−ax
1+e
−x =e
ax
1+e
x
∴e
xe
−ax
e
x+1
=e
ax
e
x+1 ，即x−ax =ax，解得a= 1
2，
故选：C．
23．若函数f (x)=(a+
2
2
x−1)cos x (a∈R)为奇函数，则实数a的值为（ ）
A．1
B．2
C．1
2
D．−1
2
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义可求实数a的值.
【详解】因为f (x)=(a+
2
2
x−1)cos x (a∈R)，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
所以f (−x)=(a+
2
2
−x−1)cos(−x)=(a+ 2
x +1
1−2
x)cos x
=(a+ 2
x +1−2+2
1−2
x )cos x =(a−2+
2
1−2
x)cos x
因为f (x)为奇函数，所以f (−x)=−f (x)，所以a−2=−a，即a=1.
故选：A
24．已知函数f (x)=cos(ωx +φ)(ω>0)是奇函数，则φ的值可以是（ ）
A．0
B．π
4
C．π
2
D．π
【答案】C
【分析】根据三角函数的奇偶性可得φ =π
2 +k π，k ∈Z，求解得答案.
【详解】由f (x)为奇函数，可得φ=π
2 +k π，k ∈Z，
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当k =0时，φ=π
2 .
故选：C.
25．定义在R上的函数f (x)周期为4，且f (2 x +1)为奇函数，则（ ）
A．f (x)为偶函数
B．f (x +1)为偶函数
C．f (x +2)为奇函数
D．f (x +3)为奇函数
【答案】D
【分析】根据周期性与奇偶性的定义推导B、D，利用反例说明A、C.
【详解】定义在R上的函数f (x)周期为4，所以f (x + 4)= f (x)，
又f (2 x +1)为奇函数，所以f (−2 x +1)=−f (2 x +1)，
即f (−x +1)=−f (x +1)，所以f (x +1)为奇函数，故B 错误；
所以f (−x +2)=−f (x)，则f (−x +2)=−f (x + 4)，
所以f (−x +3)=−f (x +3)，则f (x +3)为奇函数，故D 正确；
由f (−x +1)=−f (x +1)，所以f (−x +1)+ f (x +1)=0，则f (x)关于(1,0)对称，
令f (x)=sin (π x)，则f (x + 4)= sinπ (x + 4)= sinπ x = f (x)，满足函数f (x)周期为4，
且f (2 x +1)=sin (2π x +π)=−sin (2π x)满足f (2 x +1)为奇函数，
但是f (x)=sin (π x)为奇函数，故A 错误；
令f (x)=cos(
π
2 x)，则f (x + 4)=cos[
π
2
(x + 4)]=cos(
π
2 x)= f (x)，满足函数f (x)周期
为4，
又f (2 x +1)=cos[
π
2
(2 x +1)]=cos(π x +π
2 )=−sin (π x)满足f (2 x +1)为奇函数，
但是f (x +2)=cos[
π
2
(x +2)]=cos(
π
2 x +π)=−cos(
π
2 x)为偶函数，故C 错误.
故选：D
26．已知函数f (x)=(2
x−a
2
x)cos x是偶函数，则实数a=（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．−2
【答案】B
【分析】根据偶函数定义可直接构造方程求得结果.
【详解】∵f (−x)=(2
−x−a
2
−x)cos(−x)=(−a⋅2
x+ 1
2
x)cos x，f (x)为偶函数，
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∴f (−x)= f (x)，则−a=1，解得：a=−1.
故选：B.
【题型7 三角函数的周期性问题】
27．函数f ( x)=sin(2 x +π
3 )的最小正周期为（ ）
A．π
B．π
2
C．π
3
D．π
6
【答案】A
【分析】由周期公式直接求解可得.
【详解】由周期公式得T = 2π
ω = 2π
2 =π.
故选：A
28．已知函数f (x)=sin(ωx +π
3 )在[−π
2 ,π
2 ]上的图象大致如图所示，则f (2 x)的最小
正周期为（ ）
A．2π
3
B．π
3
C．π
6
D．π
9
【答案】B
【分析】根据图象确定周期的范围，得出2<|ω|<4，再由特殊点求出ω=−3−36 k即可得
解.
【详解】由图可知，π
2 < 2π
|ω| <π，则2<|ω|<4．
−ωπ
18 +π
3 =π
2 +2k π，k ∈Z．解得ω=−3−36k，k ∈Z，故ω=−3，
则f (x)=sin(−3 x +π
3 )，所以f (2 x)=sin(−6 x +π
3 )，
故f (2 x)的最小正周期为2π
|−6|=π
3 ．
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故选：B
29．已知函数f (x)=|cos(ωx +π
6 )|的部分图象如图所示，则ω=（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．5
2
【答案】B
【分析】设g(x)的最小正周期为T，由图象可知T <2π<2T，可推得−2<ω<−1或
1<ω<2.根据f(−4 π
9 )=0，可推得ω=−3+9k
4
(k ∈Z).分别求解−2<ω<−1以及
1<ω<2，即可得出答案.
【详解】设g(x)=cos(ωx +π
6 )的最小正周期为T，
由图象可知T <2π<2T，
则2π
|ω| <2π< 4π
|ω| ，所以1<|ω|<2，所以−2<ω<−1或1<ω<2.
又由题图知，f(−4 π
9 )=0，则−4π
9
ω+π
6 =π
2 +k π(k ∈Z)，
解得ω=−3+9k
4
(k ∈Z).
解−2<−3+9k
4
<−1可得1
9 <k < 5
9，不满足条件；
解1<−3+9k
4
<2可得，−11
9 <k <−7
9，
当且仅当k =−1时，符合题意.
所以，k =−1，此时ω= 3
2.
故选：B.
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【题型8 三角函数的对称性问题】
30．将函数f (x)=3cos(2 x−π
4)的图象向左平移3 π
8 个单位长度后得到函数g(x)的图象，
则g(x)的图象的一条对称轴为（ ）
A．直线x = π
6
B．直线x = π
3
C．直线x = π
2
D．直线x = 3 π
4
【答案】D
【分析】
将原函数平移后借助诱导公式及正弦函数的性质即可得.
【详解】由题意可得g(x)=3cos(2 x +2× 3 π
8 −π
4)=−3sin 2 x，
令2 x = π
2 +k π (k ∈Z)，则x = π
4 + k
2 π (k ∈Z)，
当k =1时，有x = 3 π
4 ，其余选项均不符合.
故选：D.
31．已知函数f (x)=sin(ωx −π
3 )(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有两条对称轴，则ω的
取值范围是（ ）
A．[
11
6 , 17
6 )
B．(
17
6 , 23
6 ]
C．(
11
6 , 17
6 ]
D．[
17
6 , 23
6 )
【答案】A
【分析】
由x的取值范围求出ωx −π
3 ，再结合题意及正弦函数的性质得到3π
2 ≤ωπ−π
3 < 5π
2 ，
解得即可.
【详解】当x∈[0,π]，则ωx −π
3 ∈[−π
3 ,ωπ−π
3 ]，(ω>0)，
依题意可得3π
2 ≤ωπ−π
3 < 5π
2 ，解得ω∈[
11
6 , 17
6 )，
故选：A
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32．若函数f (x)=cos(π x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x = 1
3对称，则φ =（ ）
A．π
3
B．π
6
C．2π
3
D．5π
6
【答案】C
【分析】由余弦函数的对称性直接求解.
【详解】因为f (x)=cos(π x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x = 1
3对称，
所以π
3 +φ =k π(k ∈Z)，得φ =−π
3 +k π(k ∈Z)，
因为0<φ<π，所以φ= 2π
3 .
故选：C.
33．若函数f ( x)=3cos(2 x +φ−π
3 )(0<φ<π)的图象关于y轴对称，则φ =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数f ( x)=3cos(2 x +φ−π
3 )是偶函数，则φ−π
3 =k π,k ∈Z，
即φ=π
3 +k π,k ∈Z，而0<φ<π，所以φ=π
3 .
故选：B
【题型9 判断三角函数图象变换】
34．多选题已知函数f ( x)=2√2cos(
π
4 + x)cos(
π
4 −x)，要得到函数
g( x)=sin 2 x −2cos
2 x +1的图象，只需将f ( x)的图象（ ）
A．向左平移π
8 个单位长度
B．向左平移3 π
4 个单位长度
C．向右平移3 π
4 个单位长度
D．向右平移3 π
8 个单位长度
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【答案】D
【分析】先把f (x)，g(x)的解析式都化成y = A sin (ωx +φ)或y = A cos(ωx +φ)的形式，
再用图象的平移解决问题.
【详解】
f ( x)=2√2cos(
π
4 + x)cos(
π
4 −x)=2√2cos(
π
4 + x)sin(
π
4 + x)=√2sin(
π
2 +2 x)=√2cos2 x
，
g( x)=sin 2 x−2cos
2 x +1=sin 2 x−cos2 x =√2sin(2 x−π
4)=√2cos(2 x−3 π
4 )，
故将f ( x)的图象向右平移3 π
8 个单位长度可得y =√2cos2(x−3 π
8 )=√2cos(2 x−3 π
4 )，
即为g( x)的图象.
故选：D
35．多选题为得到函数y =6sin(2 x +π
3 )的图象，只需要将函数y =6sin2 x的图象
（ ）
A．向左平行移动π
6 个单位
B．向左平行移动π
3 个单位
C．向右平行移动5π
6 个单位
D．向右平行移动11π
6
个单位
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.
【详解】A 选项，向左平行移动π
6 个单位，有y =6sin[2(x +π
6 )]=6sin(2 x +π
3 )，A
正确；
B 选项，向左平行移动π
3 个单位，有y =6sin[2(x +π
3 )]=6sin(2 x +2π
3 )，B 错误；
C 选项，向右平行移动5π
6 个单位，有y =6sin[2(x−5π
6 )]=6sin(2 x−5π
3 )，
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y =6sin(2 x−5π
3 )=6sin[(2 x +π
3 )−2π]=6sin(2 x +π
3 )，C 正确；
D 选项，向右平行移动11π
6
个单位，有y =6sin[2(x−11π
6 )]=6sin(2 x−11π
3 )，
y =6sin(2 x−11π
3 )=6sin[(2 x +π
3 )−4π]=6sin(2 x +π
3 )，D 正确；
故选：ACD
36．多选题为了得到函数y =sin(4 x−π
3 )的图象，只需将函数y =sin(x +π
6 )的图象
（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的1
4 ，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π
8 个单
位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的1
4 ，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π
8 个单
位长度
C．向右平移π
2 个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
4 ，纵
坐标不变
D．向左平移π
2 个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的1
4 ，纵
坐标不变
【答案】AC
【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.
【详解】将y =sin(x +π
6 )图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
4 ，得到
y =sin(4 x +π
6 )，纵坐标不变，
再把得到的图象向右平移π
8 个单位长度，得到函数y =sin(4 x−π
3 )的图象，A 正确；
将y =sin(x +π
6 )的图象向右平移π
2 个单位长度，得到y =sin(x−π
3 )，
21
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再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
4 ，纵坐标不变，得到函数
y =sin(4 x−π
3 )的图象，C 正确.
故选：AC
【题型10 由三角函数图象确定解析式】
37．函数f (x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π
2 )的图象如图所示A(−5
3 ,−2),B(
1
3 ,2).将
f (x)的图象向右平移2 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为（ ）
A．g(x)=2sin(
π
2 x−π
3 )
B．g(x)=2sin(
π
2 x +π
3 )
C．g(x)=−2sin(
π
2 x−π
3 )
D．g(x)=−2sin(
π
2 x +π
3 )
【答案】D
【分析】先根据题意求出函数的周期，即可求出ω，再利用待定系数法求出φ，即可得函数
f (x)的解析式，再根据平移变换的原则即可求出g(x)的解析式.
【详解】由题意可知f (x)的周期T满足T
2 = 1
3 −(−5
3)=2，得T = 4，
即2π
ω = 4，得ω=π
2 ，
所以f (x)=2sin(
π
2 x +φ)，
22
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因为点B(
1
3 ,2)是f (x)图象的一个点，
所以f(
1
3)=2sin(
π
6 +φ)=2，sin(
π
6 +φ)=1，
则π
6 +φ=π
2 +2k π,k ∈Z，又0<φ<π
2 ，所以φ=π
3 ，
所以f (x)=sin(
π
2 x +π
3 )，
将f (x)的图象向右平移2 个单位长度，
得到函数g(x)=2sin[
π
2
(x−2)+π
3 ]=−2sin(
π
2 x +π
3 ).
故选：D.
38．已知函数f ( x)= A sin(ωx +φ)，(ω>0,0<φ<π)，及其导函数的图象如图所示，则
函数f ( x)的解析式为（ ）
A．f ( x)=2sin( x +π
3 )
B．f ( x)=2sin(2 x +π
3 )
C．f ( x)=sin(2 x +π
3 )
D．f ( x)=sin( x +π
6 )
【答案】C
【分析】根据给定图象，由f (0)>0可得A >0，由x∈[0,π
12 )时f
′( x)>0可得函数f ( x)
的单调性，进而确定f ( x)及其导函数图象求解.
【详解】观察图象知，f (0)= A sin φ>0，而0<φ<π，sin φ>0，则A >0，
当x∈[0,π
12 )时，f
′( x)>0，则函数f ( x)在[0,π
12 )上单调递增，
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因此最大值为1 的函数图象为函数f ( x)的图象，即A =1，
由f ( x)= A sin(ωx +φ)，求导得f
′( x)=ωA cos(ωx +φ)，则ωA =2，解得ω=2，
即f ( x)=sin(2 x +φ)，由f (π
12 )=1，得2×π
12 +φ =π
2 +2k π,k ∈Z，又0<φ<π，
于是k =0,φ =π
3 ，所以函数f ( x)的解析式为f ( x)=sin(2 x +π
3 ).
故选：C
39．函数f (x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<π)的部分图像如图所示，把函数f (x)的图
像向右平移π
12得到g(x)，则g(x)的解析式为（ ）
A．−2cos2 x
B．2cos2 x
C．2sin(2 x−π
6 )
D．2sin(2 x +π
6 )
【答案】A
【分析】利用函数图象求得函数f (x)的解析式为f (x)=2sin(2 x−π
3 )，再由平移规则即
可得g(x)=−2cos2 x.
【详解】根据图像可知5π
12 −(−π
3 )= 3
4 π= 3
4 T，可得T =2π
ω =π，即ω=2；
又f(
5π
12 )=2sin(2× 5π
12 +φ)=2，可得2× 5π
12 +φ=π
2 +2k π,k ∈Z，
解得φ =−π
3 +2k π,k ∈Z，由−π<φ<π可知φ =−π
3 ；
即可得f (x)=2sin(2 x−π
3 )，
24
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把函数f (x)的图像向右平移π
12得到
g(x)=2sin(2(x−π
12)−π
3 )=2sin(2 x−π
2 )=−2cos2 x；
即g(x)=−2cos2 x.
故选：A
40．下图是函数y = A sin(ωx +φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ）
A．y =2sin(
1
2 x +π
3 )
B．y =2sin(
1
2 x−π
3 )
C．y =2sin(2 x +π
3 )
D．y =2sin(2 x−π
3 )
【答案】C
【分析】利用图象易得A值和周期，从而可求ω，代入最值点坐标确定φ，即得.
【详解】由图可得：A =2, 3
4 T =π
12 −(−2π
3 )= 3
4 π，即T =π= 2π
|ω| ，即ω=±2，
观察各选项可知，本题考虑ω=2即可，则y =2sin(2 x +φ)，
把点(π
12 ,2)代入y =2sin(2 x +φ)中，可得：sin(π
6 +φ)=1，
故π
6 +φ=π
2 +2k π,k ∈Z，即φ=π
3 +2k π,k ∈Z，
所以y =2sin(2 x +π
3 +2k π)=2sin(2 x +π
3 ).
故选：C.
41．函数f (x)= A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|< π
2)的部分图象如图所示，则将y = f ( x)
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的图象向右平移π
6 个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A．y =sin(2 x−π
6) B．y =cos2 x
C．y =sin2 x
D．y =sin(2 x + 2π
3 )
【答案】A
【分析】由最大值可得A、周期可得ω，代入最大值点可得φ，即可得y = f ( x)，即可得平
移后函数图象解析式.
【详解】由图可得|A|=1，又A >0，故A =1，3
4 T = 11π
12 −π
6 = 3
4 π，故T = π，
则|ω|= 2π
T = 2π
π =2，又ω>0，故ω=2，
f(
π
6)=sin(2× π
6 +φ)=1，即π
3 +φ= π
2 +2k π，k ∈Z，
故φ= π
6 +2k π，k ∈Z，又|φ|< π
2 ，故φ= π
6 ，
则f (x)=sin(2 x + π
6)，将y = f ( x)的图象向右平移π
6 个单位长度后，
可得y =sin[2(x−π
6)+ π
6]=sin(2 x−π
6)，
故选：A.
【题型11 求图象变换前(后)的解析式 】
42．将函数y =sin2 x的图像向右平移π
6 个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横
坐标伸长到原来的2 倍得到曲线C2，则C2的解析式为（ ）
A．y =sin(x +π
3 )
B．y =sin(x−π
6 )
C．y =sin(x−π
3 )
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D．y =sin(4 x−π
3 )
【答案】C
【分析】由平移变换和伸缩变换得出C2的解析式.
【详解】y =sin2 x的图像向右平移π
6 个单位长度后得到
y =sin2(x−π
6 )=sin(2 x−π
3 )的图像，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍
得到y =sin(x−π
3 ).
即C2的解析式为y =sin(x−π
3 ).
故选：C
43．已知函数f (x)=sin ωx cosωx + √3cos2ωx
2
(ω>0)图象的相邻的对称轴之间的距离为
2，将函数f (x)的图象向右平移1
6个单位长度﹐再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来
的2 倍﹐纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ）
A．g(x)=sin(2π x +π
6 )
B．g(x)=sin(
π x
2 +π
6 )
C．g(x)=sin(
π x
4 +π
6 )
D．g(x)=sin(
π x
4 +π
4 )
【答案】D
【分析】利用三角函数的恒等变换可得f (x)=sin(2ωx +π
3 )，根据周期求出ω，即得到
f (x)的表达式，从而根据三角函数图象变换可得g(x)=sin(
π x
4 +π
4 ).
【详解】
f (x)=sin ωx cosωx + √3cos2ωx
2
= 1
2 sin 2ωx + √3cos2ωx
2
=sin(2ωx +π
3 )(ω>0)，
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由题意知，最小正周期T =2×2= 4，又T = 2π
2ω =π
ω = 4，所以ω=π
4 ，所以
f (x)=sin(
π
2 x +π
3 )；
将f (x)的图象向右平移个1
6个单位后，得到y =sin[
π
2 (x−1
6)+π
3 ]=sin(
π
2 x +π
4 )的
图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
得到y =sin(
π
4 x +π
4 )的图象，所以g(x)=sin(
π x
4 +π
4 ).
故选：D
44．函数f ( x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，将y = f ( x)
的图象向左平移π
6 个单位长度得到函数y = g( x)的图象，则函数y = g( x)的解析式是
（ ）
A．g( x)=−sin 2 x
B．g( x)=sin(2 x +π
3 )
C．g( x)=sin(2 x−π
3 )
D．g( x)=sin(2 x + 2π
3 )
【答案】D
【分析】由图象求出函数f ( x)的解析式，然后由图象变换得结论．
【详解】由图象得A =1，T = 4×(7π
12 −π
3 )=π，所以|ω|= 2π
T
=2，又ω>0，所以
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ω=2，
又sin(2× 7π
12 +φ)=−1，φ+7π
6 =2k π+3π
2 ，φ=2k π+π
3 ，k ∈Z，
由0<φ<π得φ=π
3 ，
所以f ( x)=sin(2 x +π
3 )，
因为将y = f ( x)的图象向左平移π
6 个单位长度得到函数y = g( x)的图象，
所以g( x)=sin[2( x +π
6 )+π
3 ]=sin(2 x +2π
3 )．
故选：D．
45．已知函数f ( x)=2√3sin x
2 cos x
2 +2cos
2 x
2，将函数f ( x)图象上所有点的横坐标缩短
到原来的1
2，纵坐标保持不变，再将图象向上平移a(a>0)个单位长度后得到函数g( x)的
图象，且函数g( x)的最大值为6，则g( x)的解析式为（ ）
A．g( x)=2sin(2 x +π
6 )+ 4
B．g( x)=2sin(
1
2 x +π
6 )+ 4
C．g( x)=3sin(2 x +π
6 )+3
D．g( x)=3sin(
1
2 x +π
6 )+3
【答案】A
【分析】化简可得f (x)=2sin(x +π
6 )+1，然后通过变换可得
g( x)=2sin(2 x +π
6 )+1+a.根据函数最大值，解出a=3，即可得出答案.
【详解】f ( x)=2√3sin x
2 cos x
2 +2cos
2 x
2 =√3sin x +cos x +1=2sin(x +π
6 )+1，
将其图象上所有点横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标保持不变，得到y =2sin(2 x +π
6 )+1，
再将图象向上平移a(a>0)个单位长度后得到函数g( x)=2sin(2 x +π
6 )+1+a的图象，
因为g( x)的最大值为6，
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所以1+a+2=6，解得a=3，
故g( x)=2sin(2 x +π
6 )+ 4.
故选：A．
46．已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)（A ,ω,φ为常数，ω>0, A >0）的部分图像如图所示，
若将f (x)的图像向左平移π
6 个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式可以为
（ ）
A．g(x)=2√2sin(3 x + π
4)
B．g(x)=2√2cos(3 x + π
4)
C．g(x)=2√2sin(3 x−π
4)
D．g(x)=−2√2cos(3 x−π
4)
【答案】A
【分析】首先根据已知条件得到f (x)=2√2sin(3 x−π
4)，再根据三角函数平移变换求解
g(x)即可。
【详解】由题意得11π
12 −5
12 π = π
2 = 3
4 T，所以T = 2π
3 ，故ω=3，
因为3× 5 π
12 +φ= π +2k π，k ∈Z，所以φ=−π
4 +2k π，k ∈Z，
即 f (x)= A sin(3 x−π
4 +2k π)= A sin(3 x−π
4).
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又因为f(
π
2)= A sin(
3 π
2 −π
4)= A sin(
5 π
4 )=−2，A >0解得A =2√2.
即f (x)=2√2sin(3 x−π
4).
将f (x)的图像向左平移π
6 个单位长度，
得到函数g(x)=2√2sin[3(x + π
6)−π
4]=2√2sin(3 x + π
4).
故选：A
【考题型12 由图象变换研究函数的性质】
47．函数f ( x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示，下列说法正
确的是（ ）
A．A =2,φ =π
6
B．函数f ( x)的最小正周期为2π
C．函数f ( x)在(
π
3 ,π
2 )上单调递减
D．函数f ( x)的图象上的所有点向左平移π
12 个单位长度后，所得的图象关于y轴对称
【答案】C
【分析】根据图象求出函数f ( x)的解析式，再对选项中的命题分析判断正误即可．
【详解】由f (x)max =2得A =2，f (0)=2sin φ =−1，
31
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所以sin φ =−1
2，又|φ|<π
2
，所以φ=−π
6 ，故A 错误；
x = 7π
12 时，ωx +φ= 7π
12 ω−π
6 =π，所以ω=2，T = 2π
|ω| =π，故B 错误；
f (x)=2sin(2 x−π
6 )，令t =2 x−π
6 ，则y =2sint，
x∈(
π
3 ,π
2 )时，t ∈(
π
2 , 5π
6 )，此时t =2 x−π
6 单调递增，y =2sint单调递减，
故f ( x)在(
π
3 ,π
2 )上单调递减，故C 正确；
f ( x)的图象上的所有点向左平移π
12 个单位长度，
得到y =2sin[2(x +π
12)−π
6 ]=2sin 2 x，图象关于原点对称，故D 错误.
故选：C.
48．若函数f (x)=sin(2 x +π
6 )的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数
g(x)=cos2 x的图象重合，则m的值可以为（ ）
A．5π
6
B．2π
3
C．π
3
D．π
6
【答案】D
【分析】利用三角函数图象的平移变换，代入计算即可.
【详解】由题可得f (x +m)=sin(2 x +2m+π
6 )的图象与函数g(x)=cos2 x的图象重合，
则f (m)=sin(2m+π
6 )= g(0)=1，即2m+π
6 =π
2 +2k π，k ∈Ζ，
解得m=π
6 +k π，k ∈Ζ，故m的值可以为π
6 .
故选：D．
49．将函数f (x)=sin(ωx +π
6 )（ω>0）的图象向右平移π
3 个单位长度后与函数
g(x)=cos(ωx)的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】D
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【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得−π
3 ω+π
6 =2k π+π
2 ，结合ω>0即可
求解.
【详解】由题意可得y = f(x−π
3 )=sin[ω(x−π
3 )+π
6 ]=sin(ωx −π
3 ω+π
6 )
=cos(ωx)=sin(ωx +π
2 )，∴−π
3 ω+π
6 =2k π+π
2 ，k ∈Z，解得ω=−6k −1，
k ∈Z，
又ω>0，∴当k =−1时，ω取得最小值为5．
故选：D.
50．将函数f (x)=sin(2 x + π
12)的图象向左平移π
6 个单位长度后得到函数g(x)的图象，若
函数g(x)在[−2m,m](m>0)上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．(0, 11π
48 ]
B．(0, π
24]
C．[
π
24 , 11π
48 ]
D．(
π
24 , 11π
48 ]
【答案】B
【分析】根据三角函数平移变换原则可得g( x)，采用整体代换的方式，结合正弦函数单调
性可构造不等式组求得m的范围，结合m>0和k ∈Z进行讨论即可求得结果．
【详解】由题意知：g( x)= f ( x + π
6 )=sin[2( x + π
6 )+ π
12 ]=sin(2 x + 5 π
12 )，
当x∈[−2m，m]时，2 x + 5 π
12 ∈[−4 m+ 5 π
12 ,2m+ 5 π
12 ]，
∵g( x)在[−2m，m]上单调递增，∴ ¿，∴ ¿；
若11π
48 −kπ
2 > π
24 +kπ(k ∈Z)，则9 π
48 > 3kπ
2 ，∴ k < 3
24 ，此时m≤π
24 +kπ，
又m>0，
∴k =0，
∴ 0<m≤π
24 ；
若11π
48 −kπ
2 ≤π
24 +kπ(k ∈Z)，则9 π
48 ≤3kπ
2 ，∴ k ≥3
24 ,k ≥1，此时m≤11π
48 −kπ
2 <0，
与m>0矛盾，不合题意；
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综上所述：实数m的取值范围为(0, π
24 ]．
故选：B．
【题型13 三角函数在生活中的应用】
51．多选题海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，
晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．
已知某港口水深f (t )（单位：m）与时间t（单位：h）从0~24时的关系可近似地用函数
f (t )= A sin(ωt +φ)+b(A >0,ω>0,|φ|<π
2 )来表示，函数f (t )的图象如图所示，则（
）
A．f (t )=3sinπ
6 t +5(0≤t ≤24)
B．函数f (t )的图象关于点(12,0)对称
C．当t =5时，水深度达到6.5m
D．已知函数g(t )的定义域为[0,6]，g(2t )= f (2t )−n有2个零点t1,t2，则
tanπ
t1+t2
=√3
【答案】ACD
【分析】根据图象的最值求出A ,b，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出φ，
则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利
用整体法和其对称性即可判断D.
【详解】对A，由图知f (t )max =8，f (t )min=2，∴A = f (t )max−f (t )min
2
=3，
b= f (t )max+ f (t )min
2
=5，
∵f (t )的最小正周期T =12，∴ω= 2π
T
=π
6 ，
∵f (3)=3sin(
π
2 +φ)+5=8，∴π
2 +φ =π
2 +2k π(k ∈Z)，解得：φ =2k π(k ∈Z)，
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又|φ|<π
2 ，∴φ =0，∴f (t )=3sinπ
6 t +5(0≤t ≤24)，故A 正确；
对B，令π
6 t =k π，(k ∈Z)，解得t =6k，(k ∈Z)，
当k =2时，t =12，
则f (12)=3sin2π +5=5，
则函数f (t )的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；
对C，f (5)=3sinπ
6 ×5+5=6.5，故C 正确；
对D，2t ∈[0,6]，则t ∈[0,3]，令g(2t )= f (2t )−n=0，
则f (2t )=n，令2t =m，则根据图象知两零点m1,m2关于直线t =3，
则m1+m2=6，即2t1+2t2=6，则t1+t2=3，
则tanπ
t1+t2
= tanπ
3 =√3，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.
52．多选题在新农村建设中，某村准备将如图所示的∠BAC内区域规划为村民休闲中心，
其中∠CAD区域设计为人工湖（点D 在∠BAC的内部），∠DAB区域则设计为公园，种
植各类花草.现打算在AC，AB上分别选一处E，F，修建一条贯穿两区域的直路EF，供汽
车通过，设AD与直路EF的交点为P，现已知AB = AC = 400米，∠BAC = 2π
3 ，
∠CAD =π
6 ，AP =200米，PE，PF段的修路成本分别为100 万元/百米，50 万元/百米，
设∠AFP=α，修路总费用为关于α的函数S (α )，（单位万元），则下列说法正确的是
（ ）
A．PE =
100
cos(
π
6 +α)
米
B．S (α )=
100
sin(
π
6 +α)
+ 100
sin α(0<α <π
3 )
C．修路总费用最少要400 万元
D．当修路总费用最少时，PF长为400 米
【答案】ACD
【分析】对A，在△AEP中，由正弦定理判断即可；对B，由题意∠PAF =π
2 ，再分别分
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析PE，PF段的修路成本相加即可；对CD，由B 可得S (α )=
100
cos(
π
6 +α)
+ 100
sin α ，再根据
三角恒等变换，换元结合三角函数的单调性判断即可.
【详解】
对A，在△AEP中，由正弦定理
AP
sin∠AEP =
PE
sin∠EAP ，故
PE =
200× 1
2
sin(
π
3 −α)
=
100
cos(
π
6 +α)
，故A 正确；
对B，在△APF中，因为∠BAC = 2π
3 ，∠CAD =π
6 ，故∠PAF =π
2 .
故sin α = AP
PF ，故PF = AP
sin α = 200
sin α ，故S (α )=1×
100
cos(
π
6 +α)
+0.5× 200
sin α
=
100
cos(
π
6 +α)
+ 100
sin α ，(0<α <π
3 )，故B 错误；
对CD，S (α )=
100sin α +100cos(
π
6 +α)
sin α cos(
π
6 +α)
= 100sin α +50√3cosα −50sin α
sin α(
√3
2 cosα −1
2 sin α)
=
100sin(α +π
3 )
√3
4 sin 2α −1
2 sin
2α
=
100sin(α +π
3 )
√3
4 sin 2α +1
4 cos2α −1
4
=
400sin(α +π
3 )
2sin(2α +π
6 )−1
.
因为0<α <π
3 ，故π
3 <α +π
3 <2π
3 ，设θ =α +π
3 ，则√3
2 <sinθ≤1，
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S (α )=
400sinθ
2sin(2θ−π
2 )−1
=
400sinθ
−2(1−2sin
2θ)−1
= 400sinθ
4 sin
2θ−3
=
400
4 sinθ−
3
sinθ
，
设t =sinθ，√3
2 <t ≤1，则y = 4t −3
t 为增函数，y = 400
4t −3
t
为减函数.
故当t =sinθ =1，即α +π
3 =π
2 时，α =π
6 时，S (α )取最小值400万元，故C 正确；
对D，S (α )取最小值时α +π
3 =π
2 ，故∠AFP=π
6 ，此时PF = AP
sin α = 400米，故D 正确.
故选：ACD
53．多选题通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的
屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋
脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心
角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且
坡屋面高度半径
半坡宽度
=0.57±0.3．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A 为屋脊，B，C
为檐口，且´AC所对的圆心角θ =π
6 ，´AC所在圆的半径为4，√3≈1.732，则（ ）
A．´AC的长为2
3 π
B．AC =2√6−√2
C．若´AB与´AC所在两圆的圆心距为4√3，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特
点
D．若´AB与´AC所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，
可将圆心角θ 缩小
【答案】ACD
【分析】结合图形特征，利用两角差的正弦正切公式，弧长公式和三角函数，求解选项中
的数据.
【详解】记´AB，´AC所在圆的圆心分别为E，F，连接AE，AF，CF，EF，
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则AE = AF =CF = 4，∠AFC =π
6 ，
选项A：根据弧长公式得´AC的长为π
6 ×4 = 2
3 π，故A 正确．
选项B：1
2 AC = AF ×sinπ
12 = 4 sin(
π
4 −π
6 )= 4× √6−√2
4
=√6−√2，则
AC =2(√6−√2)，故B 错误．(也可以在△AFC中利用余弦定理求解)
选项C：如图1，过点A，C 分别作EF 的平行线，与过点F 的EF 的垂线分别交于点D，
G，∵AE = AF = 4，EF = 4√3，∴∠EFA =π
6 ，
∵∠AFC =π
6 ，∴∠CFG=π
6 ，∠AFD =π
3 ．
由题易知AD﹣CG 为半坡宽度，DG 为坡屋面高度半径，
AD = AF sin ∠AFD =2√3，CG =CF sin ∠CFG =2，
FG =CF cos∠CFG =2√3，FD = AF cos∠AFD =2，
∴
DG
AD−CG = 2√3−2
2√3−2 =1>0.57+0.3=0.87，不符合宋代建筑屋顶的第二个特点，C 正确．
选项D：如图2，过点A 作EF 的垂直平分线，交EF 于点M，过点C 作CN ⊥AM，垂足
为N，
MF = 1
2 AF
，
∠FAM =π
6
，当
∠AFC <π
6
时，
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∠FAC > 5π
12
，
∴∠CAN =π−∠FAM −∠FAC < 5π
12 ，∴∠ACN =π
2 −∠CAN >π
12．
易知CN 为半坡宽度，AN 为坡屋面高度半径，
∴AN
CN = tan ∠ACN >tanπ
12 =tan(
π
4 −π
6 )=2−√3≈0.268，D 正确．
故选：ACD
【点睛】方法点睛：
理解题目中坡屋面高度半径和半坡宽度的定义是解题关键，结合图形特征，利用三角函数
知识求解.
54．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛
于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒
车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5
米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始
计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为
H = f (t )= A sin(ωt +φ)+b(A >0,ω>0,|φ|<π
2 ,t ≥0)，则f (2023)= .
【答案】3
【分析】由题意得T =6，ω= 2π
T
=π
3 ，A =3,b=1.5，又t =0时，H =0，代入求值，得
到φ =−π
6 ，求出函数解析式，求出答案.
【详解】由题意得T =6，又ω>0，故ω= 2π
T
=π
3 ，
且A +b= 4.5,−A +b=−1.5，解得A =3,b=1.5，
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故H = f (t )=3sin(
π
3 t +φ)+1.5，
当t =0时，H =0，即3sinφ+1.5=0，sinφ =−1
2，
又|φ|<π
2 ，解得φ=−π
6 ，
故H = f (t )=3sin(
π
3 t −π
6 )+1.5，
所以f (2023)=3sin(
2023π
3
−π
6 )+1.5=3sin(674π+π
6 )+1.5
=3sinπ
6 +1.5=3.
故答案为：3
【易错点1 三角函数的周期性】
1．若偶函数
的
最小正周期为
，则（ ）
A．ω＝2
B．φ 的值是唯一的
C．f（x）的最大值为
D．f（x）图象的一条对称轴为
【答案】D
【
解
答
】
解
：
偶
函
数
的最小正周期
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为
，
对于A，因为周期只与ω 有关，因此只需考虑f（x）＝|cosωx|+|sinωx|的情况．
若对任意x∈R，都有
，
即
＝
，
所以
，所以ω＝1，所以A 错；
对于B，因为f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）．
因为f（x）＝|cos（x+φ）|+|sin（x+φ）|，f（﹣x）＝|cos（﹣x+φ）|+|sin（﹣x+φ）|，
所以
．又
，所以φ＝0 或
，所以B 错误；
对于C，
，
当|sin2（x+φ）|＝1 时取得最大值
，所以C 错误；
对
于
D
，
容
易
知
道
φ
＝
0
或
时
，
+cos|x﹣φ|＝
f（x），
所以f（x）的图象关于直线
对称．所以D 正确．
故选：D．
【易错点2 正弦函数的单调性】
2 ．已知函数
，
，
，且f（x）在
上单调，则ω 的最大值为
5
．
【答案】5．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ），
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∴f（﹣
）＝2sin（﹣
ω+φ）＝0，
∴﹣
ω+φ＝kπ，k∈Z ①；
又
，
∴x＝
是f（x）图象的对称轴，
∴
ω+φ＝k′π+
，k′∈Z ②；
由①②得，φ＝
π+
，k∈Z，
∴取φ＝
，且ω＝﹣4k+1，k∈Z；
∴f（x）＝2sin（ωx+
）的最小正周期为T＝
；
又f（x）在
上单调，
∴
﹣
＜
，即
＜
，
解得ω＜6；
综上，ω 的最大值为5．
故答案为：5．
3．若函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在
上单调递增，则ω 的最大值为
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解∵f（x）在[﹣
]上递增，
故
⊆
即
≥
．
∴ω≤
．
42
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∴ωmax＝
．
故答案为：
【易错点3 正弦函数的奇偶性和对称性】
4．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f（x）的图象交
于M，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是 2π
B．函数f（x）的图象关于点
成中心对称
C．函数f（x）在
单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移
后关于原点成中心对称
【答案】B
【解答】解：由圆的性质知，C＝
＝
，
则
＝
﹣（﹣
）＝
，即周期T＝π，
则
＝π，得ω＝2，故A 错误，
∵函数关于点（
，0），对称，
∴函数的对称中心为（
+
，0），则当k＝2 时，对称中心为（
，0），故B
43
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正确，
函数的一条对称轴为x＝
＝
，函数的相邻最小值的对称轴x＝
+
＝
，前一条对称轴为x＝
﹣
＝﹣
，
则函数的单调递增区间为[﹣
+kπ，
+kπ]，k∈Z，
当k ＝0 时，函数的单调递增区间为[﹣
，
] ，k∈Z ，此时f （x ）在
单调递增错误，故C 错误，
∵f（x）的一条对称轴为x＝﹣
，
∴函数f （x）的图象向右平移
，此时函数关于y 轴对称，故D 错误，
故选：B．
【易错点4 余弦函数的图象】
5．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+2（ω＞0，﹣
＜φ＜
）的两个相邻的零点之差
的绝对值为
，且
是f（x）的最小正零点，则f（φ）＝
1
．
【答案】1．
【解答】解：令函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+2＝0，得cos（ωx+φ）＝﹣1，
所以函数f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为T＝
，即
＝
，解得ω＝
3，
又因为
是f（x）的最小正零点，所以f（
）＝2cos（3×
+φ）+2＝0，
即cos（
+φ）＝﹣1，解得
+φ＝π+2kπ，k∈Z，
又因为φ＝
+2kπ，k∈Z；且﹣
＜φ＜
，所以φ＝
，
所以f（φ）＝2cos（3×
+
）+2＝﹣2sin
+2＝1．
44
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故答案为：1．
【易错点5 正切函数的图象】
6．函数
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【
解
答
】
解
：
因
为
y
＝
tanx
是
奇
函
数
，
所
以
是奇函数，因此B，C
不正确，又因为
时函数为正数，所以D 不正确，A
正确；
故选：A．
7．已知α，β∈R，则“α＝β”是“tanα＝tanβ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解答】解：α，β∈R，则“α＝β”如果α＝β＝90°，不存在tanα，tanβ 所以不可能得
到“tanα＝tanβ”；
“tanα＝tanβ”可得角α，β 的终边可能相同，也可能不相同，推不出“α＝β”，
45
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所以α，β∈R，则“α＝β”是“tanα＝tanβ”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【易错点6 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换】
8．已知函数f（x）＝asinωx+cosωx（ω＞0）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为
，
且f（0）+f（
）＝3，为了得到函数g（x）＝sinωx﹣acosωx 的图象，只要把f（x）
图象上所有的点（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】B
【解答】解：f（x）＝asinωx+cosωx＝
sin（ωx+φ），
∵图象中相邻两条对称轴之间的距离为
，
∴
，即T＝π，
则
，即ω＝2，
则f（x）＝asin2x+cos2x，
∵f（0）+f（
）＝3，
∴cos0+asin
+cos
＝3，
即1+
a+
＝3，
即
a＝
，得a＝
，
即f（x）＝
sin2x+cos2x＝2sin（2x+
），
46
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g（x）＝sin2x﹣
cos2x＝2sin（2x﹣
）＝2sin（2x﹣
﹣
+
）
＝2sin（2x﹣
+
）＝2sin[2（x﹣
）+
]，
即只要把f（x）图象上所有的点向右平移
个单位长度即可．
故选：B．
9．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点
中心对称，则（
）
A．直线
是函数f（x）图象的对称轴
B．f（x）在区间
上有两个极值点
C．f（x）在区间
上单调递减
D．函数f（x）的图象可由y＝cos2x 向左平移
个单位长度得到
【答案】C
【解答】解：因为函数f （x ）的图象关于点
中心对称，所以
，
可得
，结合0＜φ＜π，得
，所以f（x）＝sin（2x+
），
对于A，
＝
＝0，所以直线
不是函数f（x）图
象的对称轴，故A 不正确；
对于B，当x∈
时，
∈（
），所以函数f（x）在区间
（
，
）上只有一个极值点，故B 不正确；
47
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对于C，当
时，
∈（
，
），所以函数f（x）在区间（
）上单调递减，故C 正确；
对于D，y＝cos2x 左移
个单位长度后得到
，故D 错误．
故选：C．
（多选）10．关于函数y＝2sin（3x+
）+1，下列叙述正确的是（ ）
A．其图象关于直线x＝﹣
对称
B．其图象关于点（
，1）对称
C．其值域是[﹣1，3]
D．其图象可由y＝2sin（x+
）+1 图象上所有点的横坐标变为原来的
得到
【答案】ACD
【解答】解：因为sin[3×
+
]＝﹣1，y 取得最小值，故
是对称轴，故A
正确；
因为
，故
不是对称中心，故B 错误；
因为sin（3x+
）∈[﹣1，1]，故2sin（3x+
）+1∈[﹣1，3]，故C 正确；
由y＝2sin（x+
）+1 到y＝2sin（3x+
）+1 系数中，只有x 的系数变成了原来的3
倍，故所有点的横坐标变成原来的
，故D 正确．
故选：ACD．
11．已知函数
，将f（x）的图像向右平移
个单
位长度后的函数g（x）的图像，若g（x）为偶函数，则函数f（x）在[0，
]上的值域
48
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为
[ ﹣
，
2]
．
【答案】[﹣
，2]．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+φ）的图像向右平移
个单位长度，得g（x）＝f
（x﹣
）＝2sin[2（x﹣
）+φ]＝2sin（2x﹣
+φ）的图像，
若g（x）为偶函数，则﹣
+φ＝
+kπ，k∈Z；解得φ＝
+kπ，k∈Z；
因为|φ|＜
，所以φ＝﹣
，所以函数f（x）＝2sin（2x﹣
）；
因为x∈[0，
]，所以2x﹣
∈[﹣
，
]，所以sin（2x﹣
）∈[﹣
，1]；
所以f（x）在[0，
]上的值域为[﹣
，2]．
故答案为：[﹣
，2]．
【易错点7 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式】
12．函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．f（x）图象的一条对称轴方程是x＝﹣
C．f（x）图象的对称中心是（k
，0），k∈Z
D．函数
是奇函数
【答案】B
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【解答】解：由函数f（x）＝3sin（ωx+φ）的图象知，
T＝
﹣（﹣
）＝
，
解得T＝π，
所以ω＝
＝2，f（x）＝3sin（2x+φ），
又因为f（﹣
）＝3sin（φ﹣
）＝3，所以φ﹣
＝
+2kπ，k∈Z，即φ＝
+2kπ，k∈Z；
因为0＜φ＜π，所以φ＝
，f（x）＝3sin（2x+
）；
对于A，f（x）＝3sin（2x+
），所以选项A 错误；
对于B，f（﹣
）＝3sin（﹣
+
）＝3sin（﹣
）＝﹣3，选项B 正确；
对于C，令2x+
＝kπ，k∈Z，解得x＝
kπ﹣
，k∈Z，所以f（x）的对称中心是
（
kx﹣
，0），k∈Z，所以选项C 错误；
对于D ，设g （x ）＝f （x+
）＝3sin （2x+
+
）＝3sin （2x+
）＝
3cos2x，则g（x）的定义域为R，g（x）为偶函数，选项D 错误．
故选：B．
（多选）13．函数
的部分图像
如图所示，
，
，则下列选项中正确的有（ ）
A．
B．
50
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C．将f（x）的图像右移
个单位所得函数为奇函数
D．f（x）的单调递增区间
【答案】BC
【解答】解：由函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图像知，
＝
﹣
＝
，
解得T＝
，所以ω＝
＝3；
由f（
）＝f（
）＝0，所以3×
+φ＝
+2kπ，k∈Z；解得φ＝﹣
+2kπ，k∈Z；
又因为|φ|＜
，所以φ＝﹣
，选项A 错误；
由f（
）＝﹣
，得Acos（3×
﹣
）＝﹣Asin
＝﹣
A＝﹣
，解得A＝
，选项B 正确；
由f（x）＝
cos（3x﹣
），f（x）的图像右移
个单位，
得y＝f（x﹣
）＝
cos[3（x﹣
）﹣
]＝
cos（3x﹣
）＝
sin3x
的图像，是奇函数，选项C 正确；
令﹣π+2kπ≤3x﹣
≤2kπ，k∈Z；解得﹣
+
≤x≤
+
，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[﹣
+
，
+
]，k∈Z；选项D 错误．
故选：BC．
（多选）14．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所
示，则（ ）
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A．A＝2
B．ω+φ＝0
C．f（x）的图象关于点（23，0）对称
D．不等式f（4x）＞1 的解集为
【答案】ABD
【解答】解：设f（x）的最小正周期为T，由图像可知A＝2，
，解得T
＝8，
所以
，所以
，
将（﹣1，﹣2）代入解析式，得
，所以
，
所以
，选项A，B 正确；
，选项C 错误；
f（4x）＞1，即
，得
，
得
，
解得
，选项D 正确．
故选：ABD．
（多选）15．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，π＜φ＜2π）的部分图象如
图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点
，则（
）
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A．
B．ω＝3
C．f（x）在
上单调递减
D．方程f（x）＝a（﹣2＜a＜﹣1）在[0，π]内恰有4 个互不相等的实根
【答案】BCD
【解答】解：由题意得A＝2，将（0，﹣1）代入可得f（0）＝2sinφ＝﹣1，所以
，
又π＜φ＜2π，所以
或
，
根据图象知点（0，﹣1）在其递减区间上，所以
，选项A 错误；
将
代
入
得
，
结
合
图
象
得
，所以ω＝3+6k，k∈Z，
且T＞2﹣0＝2，所以
，则0＜ω＜π，所以ω＝3，选项B 正确；
则
，当
时，
，
则f（x）在
上单调递减，选项C 正确；
当x∈[0，π]时，则
，可得f（x）在x∈[0，π]上的图象如下：
由图可得方程f（x）＝a（﹣2＜a＜﹣1）在[0，π]内恰有4 个互不相等的实根，选项D
正确．
53
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故选：BCD．
（多选）16．已知f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是某个简谐运动的函
数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．ω＝2
B．这个简谐运动的初相为
或
C．f（x）在
上单调递减
D．将函数f（x）的图象向左平移
个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数
【答案】AD
【解答】解：由函数图象知，A＝2，当x＝0 时，f（0）＝2sinφ＝1，
又0＜φ＜π，所以
或
，
当
时，
时，f（x）不单调递增，不符合题意，所以
，选
项B 错误；
由
，可得ω＝12k+2，k∈Z；
又ω＞0，周期
，所以ω＜3，所以k＝0，ω＝2，选项A 正确；
，当
时，
，
此时f（x）不单调递减，选项C 错误；
54
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将函数f（x）的图象向左平移
个单位长度得到的图象对应的函数解析式为：
g（x）＝2sin[2（x+
）+
]＝2sin（2x+
）＝2cos2x，所以g（x）是偶函数，选项
D 正确．
故选：AD．
17．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），若函数f（x）的图象关于点
中
心对称，且关于直线
轴对称，则ω 的最小值为
3
．
【答案】3．
【解答】解：当对称中心
与对称轴
的横向距离最小时，最小正周期最
大，ω 最小，
此时T＝4（
﹣
）＝
，
．
故答案为：3．
【易错点8 y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
（多选）18．单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为y＝Asin
（ωx+φ），A＞0，ω＞0，|φ|＜π，其中x 表示时间（s），y 表示位移（cm），A 表示
振幅，
表示频率，φ 表示初相位．如图1 甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏
移的位移为正，竖直方向为平衡位置．图乙表示该小球在[0，3]秒运动时的位移随时间
变化情况．根据秒表记录有：当x＝
时，小球第一次到平衡位置；当
时，小球的
位移第一次到反向最大值．根据以上图文信息，下列选项中正确的是（ ）
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A．频率为
B．初相位
C．振幅A＝10
D．当
时，小球第三次回到平衡位置
【答案】ACD
【解答】解：根据题意知，三角函数的周期为T＝4×（
﹣
）＝2，所以ω＝
＝
π，
所以频率为f＝
＝
＝
，选项A 正确；
当x＝
时，小球第一次到平衡位置，即（
，0）是正弦函数减区间上的零点，且|φ|＜
π，所以sin（
+φ）＝0，解得φ＝
，选项B 错误；
根据图中的信息知（3，﹣5
）在函数的图象上，所以Asin（3π+
）＝﹣5
，解
得A＝10，选项C 正确；
当x＝
时，小球第一次到达平衡位置，当x＝
+2＝
时，小球第三次到达平衡位置，
选项D 正确．
故选：ACD．
【易错点9 三角函数的最值】
19．奇函数f（x）＝cos（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））在区间[﹣
，
]上恰有一
个最大值和一个最小值，则ω 的取值范围是（ ）
A．[2，6）
B．[2，
）
C．[
，
）
D．[
，6）
【答案】B
【解答】解：因为函数f（x）＝cos（ωx+φ）为奇函数，且ω＞0，φ∈（0，π），所以
φ＝
，
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所以f（x）＝﹣sinωx，
所以x∈[﹣
，
]时，ωx∈[﹣
ω，
ω]，
因为f（x）在区间[﹣
，
]上恰有一个最大值和一个最小值，
所以
，解得2≤ω＜
，
所以ω 的取值范围是[2，
）．
故选：B．
57
