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专题09 奇偶性、周期性及对称性
考点一
判断函数的奇偶性
考点二
根据奇偶求解析式
考点三
利用奇偶求参数
考点四
利用奇偶求函数值及解不等式
考点五
函数的周期性
考点六
函数的对称性
考点七
单调性与奇偶性的综合问题
考点八
奇偶性与周期性的综合问题
考点九
对称性，周期性与奇偶性的综合问题
一、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于
轴对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，
也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；
（2）
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
奇函数
偶函数
1
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奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）若奇函数的定义域包括
，则
．
（4）若函数
是偶函数，则
．
（5）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数
为偶函数，函数
为奇函数．
②函数
（
且
）为奇函数．
③函数
（
且
）为奇函数．
④函数
（
且
）为奇函数．
二、函数的周期性
1．周期函数
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，
那么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数
，
.
①若
，则函数的周期为
；②若
，则函数的周期为
；
③若
，则函数的周期为
三、函数的对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数y=f ( x)的图像关于点A(a，b)对称的充要条件是：
2
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f ( x)+f (2a−x)=2b，即f (a−x)+f (a+x)=2b ；
（2）函数y=f ( x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是：
f (a+x)=f (a−x)，即f ( x)=f (2a−x)。
2．不同函数对称性
（1）函数y=f (a+x)与y=f (b−x)的图像关于直线x=b−a
2
成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线y=x 对称。
考点一
判断函数的奇偶性
例1．（2022 秋·高一单元测试）（多选）若正比例函数
的图象经过点
，则函数
在定义
域上是（ ）.
A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．减函数
【答案】AC
【分析】根据所给条件结合正比例函数的意义，求出正比例函数的解析式再探讨其性质即可得解．
【详解】因
是正比例函数，设
，而其图象过点
，
即
，解得
，于是得
，且
定义域为R，
显然
是R 上增函数，C 正确；
，则
为R 上奇函数．A 正确．
故选：AC．
例2．（2023 春·云南普洱·高三校考阶段练习）（多选）设
是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是
（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
3
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C．
是偶函数
D．
是偶函数
【答案】ABD
【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】因为
满足
，所以
是偶函数；
因为
满足
，所以
是偶函数，
因为
满足
，所以
是奇函数；
因为
满足
，所以
是偶函数；
故选：ABD．
例3．（2023·辽宁丹东·统考一模）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，故函数为非奇非偶函数，故A 不符合；
函数
的定义域为
，则
，故该函数为奇函数，故B 不符合；
函数
的定义域为
，则
，故该函数为偶函数，
故C 符合；
函数
的定义域为
，故函数为非奇非偶函数，故D 不符合.
故选：C.
例4．（2023 春·广东佛山·高三佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性的定义结合三角函数的性质即可求解.
【详解】对于A，
故A 错误，
4
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对于B,
故B 正确，
对于C，
故C 错误，
对于D，
故D 错误，
故选：B
考点二
根据奇偶求解析式
例5．（2022 秋·高三单元测试）已知
是定义在R 上的偶函数，当
时，
.
(1)求
的解析式；
(2)画出
的图象；
(3)求该函数的值域．
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）由函数奇偶性求解函数解析式；
（2）得到函数的单调性及特殊点的函数值，画出函数图象；
（3）在（2）的基础上，数形结合得到函数值域.
【详解】（1）当
时，
，故
，
因为
是定义在R 上的偶函数，所以
，
所以
，
综上，
；
5
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（2）当
时，
，
故此时函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
为偶函数，故
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
画出函数图象如下：
（3）由（2）可知看出函数的值域为
.
例6．（2022 秋·高一课时练习）已知
是定义在R 上的奇函数，当
时
则
在R 上
的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用奇函数性质求
上
的解析式，进而可得在R 上的解析式.
【详解】当
时，
，所以
，则
，
结合已知解析式知：
.
故选：D
例7．（2023 春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知
为偶函数，当
时，
6
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，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知，利用函数的奇偶性求解.
【详解】当
时，
，则
，
又因为
是偶函数，所以
.
故选：B.
例8．（2023·全国·高三专题练习）设函数
与
的定义域是
，函数
是一个偶函数，
是一个奇函数，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据函数的奇偶性得到
，
，再结合题意即可求出
的表达式．
【详解】由函数
是一个偶函数，
是一个奇函数，
所以
，
，
因为
①，
则
②，
所以①+②得
，
所以
．
故选：A．
7
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考点三
利用奇偶求参数
例9．（2022 秋·高三课时练习）已知函数
是偶函数，则
________，
________.
【答案】
0
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得
，由偶函数满足的等量关系可求解
【详解】∵
是偶函数，∴其定义域关于原点对称，
∴
，∴
；∴
.
∵
，∴
∴
，∴
故答案为：
例10．（2023 春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知定义域为
的奇函数
则
的值为__________．
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称求出
，再根据奇函数的定义求出b 即可作答.
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，
则有
，解得
，
，解得
，
所以
.
故答案为：0
例11．（河北省2023 届高三下学期大数据应用调研联合测评（Ⅲ）数学试题）已知函数
，
则“
”是“函数
是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
8
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当函数
为偶函数时，求得
.结合充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】函数
的定义域为R，关于原点对称，
当函数
为偶函数时，
，
即
，整理，得
，
由
，解得
.
又
，得
，
所以“
”是“函数
为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
例12．（2023·上海静安·统考二模）已知函数
为偶函数，则函数
的值域为
___________.
【答案】
【分析】利用偶函数的定义求出
，则
，设
，利用基本不等式，即可求
出结果．
【详解】
函数
（
）是偶函数，
，
，易得
，
设
，
则
，
9
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当且仅当
即
时，等号成立，
所以
，
所以函数
的值域为
．
故答案为：
．
考点四
利用奇偶求函数值及解不等式
例13．（2022 秋·高一课时练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，在
上的图象如图所示，
则使
的x 的取值集合为______．
【答案】
【分析】由函数的奇偶性的性质，画出
在
上的图象，由图象即可求出
的x 的取值
集合.
【详解】解析
的图象如图所示，由图易得使
的x 的取值集合为
．
10
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故答案为：
.
例14．（河南省信阳市2022-2023 学年高三下学期期中数学试题）已知函数
，若
，则
=__________________
【答案】2023
【分析】由条件可得
，即可算出答案.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
故答案为：
.
例15．（2022 秋·北京房山·高三统考期中）偶函数
在
上单调递减、且
，则
_____________；满足
的x 的取值范围是___________________．
【答案】 2
【分析】结合偶函数性质直接可求
；由函数增减性和偶函数对称性可直接求出x 的取值范围.
11
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【详解】函数是偶函数，故
；因为
在
单减，故
在
单增，
当
时，即
,由单调性可得
，解得
故答案为：2；
例16．（2022 秋·广东清远·高三校联考期中）如果奇函数
在
上是减函数，且最小值是-5，那么
在
上有最___________（填“大”或“小”）值为____________.
【答案】 大 5
【分析】结合奇函数的性质分析即可得答案.
【详解】解：因为
为奇函数，且在
上是减函数，
所以
在
上也单调递减，
又因为
在
上最小值是-5，
即
,
所以
,
所以么
在
上有最大值为5.
故答案为：大, 5
例17．（2022 秋·吉林白山·高三校考阶段练习）定义在R 上的偶函数
满足
，则
函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】先计算
时
的零点，再利用偶函数的对称性，即可知道
时
的零点，由此可得
的零点个数.
【详解】因为当
时，
，
令
，即
，解得
或
，
12
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又因为
是在R 上的偶函数，所以由偶函数的对称性可知，
在
时有一个零点
，
所以
一共有
三个零点.
故选：D.
考点五
函数的周期性
例18．（2022 秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知实数
，函数
的定义域为
，
则“对任意的
，都有
”是“
是函数
的一个周期”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性的定义，结合周期性判断题设条件间的推出关系.
【详解】由
有
且
，故
是
的一个周期，充分性成立；
由
是函数
的一个周期，则
，即
，而
不一定成立，即
不一定成立，必要性不成立；
所以“对任意的
，都有
”是“
是函数
的一个周期”的充分不必要条件.
故选：B
例19．（2021·高一课时练习）如图，从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球.已知第1，2 个是黑球，第
3 个是白球，……，以此类推，第2 019 个球是____（填“白球”或“黑球”）
【答案】白球
【分析】由图可知，3 个球为一个周期，又注意到2 019=673×3，即可得答案.
【详解】球的摆放呈周期性，第3，6，9，…个球都是白球，其余的都是黑球.因为2 019=673×3，所以第2
019 个球是白球.
故答案为：白球.
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例20．（2021 秋·高三课时练习）已知函数
的最小正周期为3，则函数
的最小正周期为
______．
【答案】6
【分析】利用周期性定义即可得到结果.
【详解】设函数
的最小正周期为
，
则
，
∴
，
即
，
∴函数
的最小正周期为
，
又函数
的最小正周期为3，
∴
.
故答案为：6
例21．（2022 春·陕西西安·高二校考阶段练习）已知定义在R 上的奇函数
满足
，当
时，
，则
________.
【答案】2
【分析】由题意可得函数的周期为6，结合奇函数和周期性的性质可得答案.
【详解】∵
，
，
∴函数
是周期为6 的周期函数，
∴
，
，
∴
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故答案为：2.
考点六
函数的对称性
例22．（2021 春·陕西汉中·高二校考期中）已知函数
满足
，且当
时，
，则
______.
【答案】
【分析】根据已知条件，采用赋值法，即可求解.
【详解】因为函数
满足
，
所以当
时，
.
故答案为：
例23．（2023 春·湖北·高三赤壁一中校联考阶段练习）下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图
形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用数形结合，结合正切函数、幂函数及对数函数的图象性质判断各函数的对称性（对称中心、
对称轴）即可.
【详解】A：由正切函数的图象性质：
关于原点对称，但没有对称轴，不符合；
B：由幂函数的图象性质：
关于原点和
对称，符合；
C：由幂函数的图象性质：
关于原点对称，但没有对称轴，不符合；
D：由
，即
关于y 轴对称，但没有对称中心，不符合.
故选：B
例24．（2023 春·江西·高三校联考阶段练习）设函数
，则（ ）
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A．
关于
对称
B．
关于
对称
C．
关于
对称
D．
关于
对称
【答案】D
【分析】根据函数对称性的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，因为
，
所以
不关于
对称，故A 错误.
对选项B，因为
，
所以
不关于
对称，故B 错误.
对选项C，因为
，
，
，
所以
不关于
对称，故C 错误.
对选项D，因为
，
所以
关于
对称，故D 正确.
故选：D
例25．（2023 春·云南保山·高三校联考阶段练习）若函数
是偶函数，则函数
的图象对
称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的平移即可求解原函数的对称轴.
【详解】
是偶函数，
的图象关于
轴对称，
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又
的图象是
的图象向左平移一个单位长度得到，
的对称轴为
，
故选：B.
考点七
单调性与奇偶性的综合问题
例26．（2023 春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
.
(1)求函数
的解析式.
(2)若对任意的
，
恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，结合函数的解析式和奇函数的性质可得函数的解析式；
（2）首先确定函数的单调性，结合函数的单调性转化为对任意的
，
恒成立，结合
二次函数的性质可得
的取值范围.
【详解】（1）函数
是定义在R 上的奇函数，所以
，解得
.
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
（2）当
时，
，
单调递增，
17
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因为
在
上是增函数，又
为奇函数，所以
在R 上单调递增.
因为
为奇函数，
，
所以
，即
，
则对任意的
，
恒成立，
即
对任意的
恒成立.
当
时，
取最大值
，所以
.
故
的取值范围是
.
例27．（2023 春·湖北宜昌·高三校联考期中）已知函数
，若
，则
实数a 的取值范围是_______.
【答案】
【分析】判断
的奇偶性、单调性，结合已知不等关系得
，即可求范围.
【详解】由
，且定义域为R，
所以
为奇函数，则
，
根据
在R 上均为减函数，故
也为减函数，
所以
，则
.
故答案为：
例28．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】根据函数的奇偶性以及当
时，
，判断函数单调性，作出其大致图像，数形
结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意
是定义在R 上的奇函数，故
，
当
时，
，此时
在
上单调递增，且过点
，
则当
时，
在
上单调递增，且过点
，
作出函数
的大致图像如图：
则由
可得
或
，
解得
或
，即
的解集为
，
故选：D
例29．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数
在定义域
上满足
，若
在
上是减函数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可得函数
在定义域
上奇函数，进而可得
在
上是减函数，根据题意结合
单调性解不等式即可.
【详解】∵
，即
，
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故函数
在定义域
上奇函数，
若
在
上是减函数，则
在
上是减函数，
∵
，且
，
若
，则
，解得
，
故不等式
的解集为
.
故选：A.
考点八
奇偶性与周期性的综合问题
例30．（2021 春·高三课时练习）已知
是定义在
上的周期为3 的偶函数，若
，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．
【详解】由
是定义在
上的周期为3 的偶函数，
则
，
即
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
例31．（2022 秋·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知函数
如满足：
20
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，
，且
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【分析】先判断出函数
是周期为6 的周期函数，再利用周期性直接求解即可．
【详解】由
，则
，
所以函数
是周期为6 的周期函数，
又
，即
，
所以
．
故选：B．
例32．（2023·陕西安康·统考三模）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，
则
（ ）
A．
B．
C．2022
D．2023
【答案】D
【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数
的对称轴和中心对称点及周期，利用
相关性质得出具体函数值，即可得出结果.
【详解】∵
，∴
关于
对称，
∵
为奇函数，∴由平移可得
关于
对称，且
，
，即
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上两式比较可得
∴函数
是以4 为周期的周期函数.
，
，
∴
， ∴
.
故选：D.
例33．（2023·全国·高三专题练习）函数
在
上有定义，且满足
是偶函数，且
，
是奇函数，则
的值为__________ ．
【答案】0
【分析】根据函数的奇偶性得到
的周期为4，根据奇函数得到
，计算得到答案.
【详解】
，即
，
令
，则
，即有
，
，故
，函数周期为
，
故
，
为奇函数，故
，
，故
，
故
.
故答案为：
考点九
对称性，周期性与奇偶性的综合问题
例34．（2023 春·湖南·高三校联考期中）（多选）已知定义在R 上的函数
满足条件
，且函数
为奇函数，则下列说法中正确的是（ ）
22
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A．函数
是周期函数
B．函数
为R 上的偶函数
C．函数
的图象关于点
对称
D．函数
为R 上的单调函数
【答案】AC
【分析】由题可得
即可判断A；由
为奇函数可得
，即可
判断B；由
、
可得
，即可判断C；根据
为R 上的奇
函数，结合单调函数的定义即可判断D.
【详解】A 选项，由
，得
，即
，故A 正确；
B 选项，因为
为奇函数，
，
用
换x，得
，又
，
所以
，即函数
为R 上的奇函数，故B 错误；
C 选项，因为
为奇函数，
所以
，
则
的图象关于点
对称，故C 正确；
D 选项，因为函数
为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，
函数
在
和
的单调性相同，
但函数
在R 上不一定为单调函数，故D 错误.
故选：AC.
23
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例35．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，函
数
为偶函数，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】推导出函数
为周期函数，确定该函数的周期，求出
、
、
、
的值，结合
周期性可求得
的值.
【详解】由
可得
，①
对任意的
，
，所以，
，②
由①②可得
，所以函数
是周期为
的周期函数．
因为
为偶函数，则
，
因为
，由
可得
，且
，
由
可得
，
因为
，所以，
，故函数
为偶函数，
因为
，则
，所以，
，
由
可得
，
因为
，所以，
.
24
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故选：B.
例36．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，且
在
上单调递减，若方程
在
有实数根，则方程
在区间
上所有实数根之和
是（ ）
A．6
B．12
C．30
D．56
【答案】C
【分析】利用函数
是
上奇函数且满足
，得出函数
是周期为4 的周期函数，
且关于直线
对称，利用周期性和对称性，讨论出函数
在一个周期内的单调性，从而判断出方程
在一个周期内的根的个数，并利用对称性求出两根之和，从而求出方程
在区间
上所有实数根之和.
【详解】因为函数
满足
，所以函数
的图像关于直线
对称，故
，又
是
上奇函数，所以
，所以
，故函数
的周期为4，
考虑一个周期
，由函数
在区间
上单调递减，又由
是
上奇函数，且关于直线
对
称，
知
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
因为
，
故当
时，
，当
，
，
当
时，
，当
时，
，
因为方程
在区间
有实数根，则这实根是唯一的，
25
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又因为函数
的图像关于直线
对称，则方程
在区间
有唯一实数根，方程
在区间
和区间
上没有实根，
所以方程
在一个周期内有且只有2 个实数根，根据对称性，知这两根之和为2，
因为函数
在区间
上恰好3 个周期，所以根据函数
周期性和对称性知，方程
在区
间
上所有实数根之和为
,
故选：C.
例37．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
是偶函数，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2
【答案】B
【分析】由函数的奇偶对称性推得
是周期为4 的函数，并求得
，最后利用周期性求目
标函数值.
【详解】由
是偶函数，
，则
，又
，
，
所以
是周期函数，周期为4，
对于
，令
，得
，则
，
所以
.
故选：B
例38．（四川省资阳市2023 届高考适应性考试数学（理科）试题）已知函数
满足
，
26
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且
是偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用周期和指数式的运算规则求函数值.
【详解】由
是偶函数，得
，令
，则
．
由
，令
，则
，
则有
，即
，所以函数
周期为4．
因为
，则有
，
所以
．
故选：B
一、单选题
1．（2021 春·高三课时练习）若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为
正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为
天(下图是相继两次满月时，月、地、日相
对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间
为（ ）
A．
天
B．
天
C．
天
D．
天
27
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【答案】B
【分析】根据所给信息分析即可.
【详解】由题图知，地球从
到
用时
天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个
周期．
故选：B
2．（2022 秋·高一单元测试）奇函数
在
上是增函数，在
上的最大值是8，最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和单调性，得到
，求出答案.
【详解】因为奇函数
在
上是增函数，故
在
上是增函数，
因为
在
上的最大值是8，最小值为
，所以
在
上最小值是-8，最大值为1，
即
，故
.
故选：C
3．（2020 秋·安徽合肥·高三合肥市第十一中学校考期中）已知
，若
，则
（ ）
A．－14
B．14
C．6
D．10
【答案】A
【分析】先计算
，再代入数值得结果.
【详解】
,又
，所以
故选A
【点睛】本题考查函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
28
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4．（2022 秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考期中）已知函数
的图像关于直线x＝1 对
称，则实数a 的取值为（ ）
A．-1
B．1
C．-3
D．3
【答案】A
【分析】根据
的函数图象特点，直接求解即可.
【详解】因为形如
的函数图象，其对称轴为
，
故对
，其对称轴为
，解得
.
故选：A.
5．（2023 秋·广东广州·高三校考期末）奇函数
是定义域为
上的增函数，且
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，还需注意函数的定义域，解得即可.
【详解】解：因为
是定义域为
上的增函数，且为奇函数，
则不等式
，即
，
等价于
，解得
，即
，
即实数
的取值范围是
.
故选：B
6．（2022 秋·重庆云阳·高三校考阶段练习）已知
是奇函数,当
时,
， 若
29
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， 则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】应用奇函数定义,把
转化为
,再利用已知解析式,计算即可
【详解】由
是奇函数,可得
,又因为当
,
,
所以
得
故选:
.
7．（2023·陕西西安·校联考一模）定义在R 上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【分析】先求出函数的周期，再根据对称性求解.
【详解】因为
是定义在R 上的奇函数，所以
，解得
，
又
，所以
，则
，即
是以4 为周期的周期函数，
；
故选:B.
8．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）函数
的部分图像大致为（ ）
A．
B．
30
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C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性以及
时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.
【详解】因为
，又函数的定义域为
，故
为奇函数，排除AC；
根据指数函数的性质，
在
上单调递增，当
时，
，故
，则
，排除D.
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）已知
是定义在
上的增函数，且
的图象关于点
对称，
则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将所求不等式化为
，可令
，根据奇函数定义
和单调性性质可确定
为奇函数且在
上单调递增，由定义域、奇偶性和单调性可构造不等式组求
得结果.
【详解】由
得：
，
令
，则
；
关于
对称，
，
，
为定义在
上的奇函数；
又
为
上的增函数，
为增函数，
在
上单调递增，
31
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则由
得：
，
，解得：
，即
的解集为
.
故选：D.
10．（2023·贵州·统考模拟预测）已知函数
的定义域均为
，且
，若
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．0
【答案】C
【分析】依题意可得
，结合已知可得
，即
为偶函数，进而得到
，即
的周期为
，再根据所给条件计算可得.
【详解】∵
的图象关于直线
对称，∴
，
由
知，
，
，
∴
，即
，∴
是偶函数，
∴
，即
，
由
知，
，即
，
∴
，∴
，
所以
，从而
，即
，
所以
的周期为
，
32
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∵
，∴
，
∵
，∴
，即
，
，
故选：C．
11．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数且
，当
时，
，则
（ ）
A．10
B．4
C．-4
D．
【答案】A
【分析】由
为奇函，得到
，再由
，代入得到
，
再将
当作
代入，即可求得函数的周期为
，再将
利用周期化到
之间，即可求得
.
【详解】由题可得：
，即
又
，所以
，即
．
所以
，因此函数
的周期
．
所以
，
故选：
．
12．（四川省攀枝花市2023 届高三第三次统一考试文科数学试题）定义在R 上的连续函数
满足
，且
为奇函数.当
时，
，则
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（ ）
A．
B．
C．2
D．0
【答案】B
【分析】首先根据题意，得到
，
，从而得到函数
的周期为
，再
根据
求解即可.
【详解】因为函数
满足
，所以
关于
对称，
即
①.
又因为
为奇函数，所以
，
即
②.
由①②知
，
所以
，
即
，所以函数
的周期为
，
所以
，
,
因为
时，
，
所以
，
又
为奇函数，所以当
时，
，
所以
，
故选：B.
二、多选题
13．（2023 秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数
在R 上单调递减，且为奇函数，若
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，则满足
的x 值可能为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】CD
【分析】利用奇函数的性质及其单调性可得
求自变量范围，即可得答案.
【详解】由题设
，且
，又
在R 上单调递减，
所以
，即
，符合要求的x 值为C、D.
故选：CD
14．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数
的定义域为R，且对任意
，都有
，且当
时，
恒成立，则（ ）
A．函数
是R 上的减函数
B．函数
是奇函数
C．若
，则
的解集为
D．函数
(
)+
为偶函数
【答案】ABC
【分析】利用单调性定义结合
可判断A；利用特殊值求出
，从而证明
可判断B，根据条件求出
，进而利用单调性解不等式
可判断C，利用奇偶性的定义可判断D.
【详解】设
，且
，
，则
，
而
，
又当
时，
恒成立，即
，
，
函数
是R 上的减函数，A 正确；
由
，
令
可得
，解得
，
35
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令
可得
，即
，而
，
，而函数
的定义域为R，
故函数
是奇函数，B 正确；
令
可得
，解得
，
因为函数
是奇函数，所以
，
由
，可得
，
因为函数
是R 上的减函数，所以
，C 正确；
令
，易知定义域为R，
因为
，显然
不恒成立，所以
不是偶函数，D 错误.
故选：ABC.
15．（2022 秋·高三单元测试）下列函数中，即是奇函数，又是（0，+∞）增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据基本初等函数的奇偶性的性质，单调性定义判断．
【详解】选项A 不具有奇偶性；
选项B 是奇函数，在
上单调递增；
选项C，记
，则
，
，
，函数在
上不是增函数；
选项D，函数是奇函数，在
上是增函数，
故选：BD．
16．（2023 秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则下列选项正确的是（ ）
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A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
是偶函数
D．
【答案】ABD
【分析】由条件通过赋值判断A，D，根据偶函数的定义及性质判断B，根据奇函数的定义判断C.
【详解】因为
，取
可得
，
因为
，取
可得
，故
，A 正确；
由已知
所以
，D 正确；
因为
，所以函数
为偶函数，
所以函数
的图象关于直线
对称，
所以函数
的图象关于直线
对称，B 正确；
由已知
，
，
所以
，
故函数
为奇函数，故C 错误；
故选：ABD.
三、填空题
17．（2023 秋·广东佛山·高三南海中学校考期末）已知函数
为R 上奇函数，当
时，
，则
时，
____．
37
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【答案】
【分析】根据奇函数的定义即可求解.
【详解】因为函数
为R 上奇函数，所以
；
当
时，则
，所以
，
因为函数
为R 上奇函数，所以
，
所以当
时，
，
综上所述：当
时，函数
，
故答案为：
.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
______．
【答案】1
【分析】奇函数
的周期为4，分别求得
，则问题可以转化为
，从而求得结果.
【详解】由题知，奇函数
的周期为4，
，
，
，又
，则
，
，
，
则
，
故答案为：1
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19．（2022 秋·浙江绍兴·高三统考期末）若函数
；且
，则
______.
【答案】7
【分析】由题得
，
，得到方程组，解出即可.
【详解】
，
，
，
即
，解得
，故
，
此时
，
故答案为：7.
20．（2023 春·甘肃武威·高三民勤县第一中学校考开学考试）设函数
，若
，则实数m 的取值范围是________．
【答案】
【分析】依题意得函数
的定义域为R，先证明函数
在R 上是奇函数，再证明函数
在R 上
是减函数，从而可得
，进而求解即可．
【详解】依题意得函数
的定义域为R，
由
，则
，
所以函数
是R 上的奇函数．
任取
，且
，
39
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则
，
因为
，所以
，
又
，所以
，即
，
所以函数
是R 上的减函数．
又
，则
，
所以
，解得
．
故答案为：
．
【点睛】本题的解题关键是先判断函数
在定义域上的奇偶性，单调性，再利用单调性求解抽象不等式．
四、解答题
21．（2023 春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）已知定义在
上的奇函数
，当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质
，
，即可求出函数
的解析式；
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数
的取值范围.
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【详解】（1）∵
是定义在
上的奇函数，且
时，
，
∴
，解得
，
∴
时，
，
当
时，
，则
，
即
在
上的解析式为
．
∴函数
的解析式为
（2）∵
时，
，
∴
在
有解，
整理得
，
令
，显然
与
在
上单调递减，
∴
在
上单调递减，则
，
∴
∴实数
的取值范围是
．
22．（2023 春·河北石家庄·高三石家庄一中校考期中）已知定义在
上的奇函数m=1,n=2 ，（其中
为常数）.
(1)求实数
的值；
(2)求不等式
的解集.
【答案】(1)
，
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(2)
【分析】（1）根据函数是定义在
上的奇函数，可得
，
，即可得解；
（2）先利用定义法判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可.
【详解】（1）因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，即
，所以
，
经检验符合题意，故
，
由
，得
，解得
，
经检验，符合题意，
所以
，
；
（2）由（1）得
，
令
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
在
上为减函数，
由函数为奇函数，得不等式
，即为
，
所以
，即
，
整理得
，所以
，
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所以不等式
的解集为
.
【点睛】关键点点睛：根据函数为奇函数，将不等式
转化为
是解决
本题的关键.
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