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翔梦想
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成人成才
期中检测卷
：
时间
120 分
分：
钟
满
120 分
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
一、选择题(本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分，每小题只有一个正确选项)
1．抛物线y＝－(x＋2)2－3 的顶点坐标是( )
A．(2，－3) B．(－2，3) C．(2，3) D．(－2，－3)
2．已知α 为锐角，sin(α－20°)＝，则α 的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．已知抛物线y＝x2－x－1 与x 轴的一个交点为(m，0)，则代数m2－m＋100 的值为(
)
A．98 B．109 C．99 D．101
4．如图，生活经验表明靠墙摆放的梯子当α＝70°时(α 为梯子与地面所成的角)能够使人
安全攀爬．现在有一长为5.8 米的梯子AB，确保在能够使人安全攀爬的情况下，梯子的顶端
能达到的高度AC 约为(结果精确到0.1 米．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，
tan70°≈2.75)( )
A．2.0 米 B．5.5 米 C．2.1 米 D．5.6 米
第4 题图 第5 题图
5．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c 图象的对称轴是直线x＝1，过抛物线上两点的直线
AB 平行于x 轴．若点A 的坐标为，则点B 的坐标为( )
A. B. C. D.
6．已知抛物线y＝－x2－2x＋3 与x 轴交于A，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接
AC，则tan∠CAB 的值为( )
A. B. C. D．2
二、填空题(本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分)
7．二次函数y＝2(x－3)2－4 的最小值为________．
8．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝6，cosA＝，则AC＝________.
9．已知点A(－3，m)在抛物线y＝x2＋4x＋10 上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐
标为________．
10．将45°的∠AOB 按如图所示的方式放置在一把刻度尺上，顶点O 与刻度尺下边沿的
端点重合，OA 与刻度尺下边沿重合，OB 与刻度尺上边沿的交点B 在刻度尺上的读数恰为
2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与刻度尺上边沿的交点C 在
刻度尺上的读数约为________cm(结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75)．
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第10 题图 第11 题图 第12 题图
11．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果＝，那么
tan∠DCF 的值是________．
12．我们把一边和该边上的高相等的三角形称为“和谐三角形”．如图，已知抛物线y＝
ax2经过A(－1，1)，P 是y 轴正半轴上的动点，射线AP 与抛物线交于另一点B，当△AOP 是
“和谐三角形”时，点B 的坐标为______________．
三、(本大题共5 小题，每小题6 分，共30 分)
13．计算：cos60°－2－1＋－(π－3)0.
14．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是△ABC 的角平分线．若AC＝，求线段
BD 的长．
15．如图是一个专用车位的指示牌，其侧面示意图可看成由一个半圆和一个等腰梯形
ABCD 组成．已知等腰梯形ABCD 的上底AD＝18cm，腰AB＝50cm，∠B＝70°，求这个指示牌
的高(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)．
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值
如下表所示：
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x
…
－1
0
2
4
…
y
…
－5
1
1
m
…
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m 的值．
17．如图，已知锐角△ABC.
(1)过点A 作BC 边的垂线MN，交BC 于点D(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝，求DC 的长．
四、(本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分)
18．已知抛物线y＝x2－4x＋m－1.
(1)若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；
(2)若抛物线与直线y＝2x－m 只有一个交点，求m 的值．
19．如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，AD 是BC 边的中线，过点D 作DE⊥AB 于点E，且
sin∠DAB＝，DB＝3.求：
(1)AB 的长；
(2)∠CAB 的正切值．
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20．如图，已知二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
五、(本大题共2 小题，每小题9 分，共18 分)
21．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根
据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图①，AB 可绕
点A 旋转，在点C 处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm.
(1)如图②，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD 的长；
(2)如图③，当∠BAC＝12°时，求AD 的长(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，
tan24°≈0.45，sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，≈17.6)．
22．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面(如图①)，经过锅心和盖心的纵断面是两端
抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”．某锅的锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖
高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图②所示，如果把锅纵断面的抛
物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.
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(1)求C1和C2的解析式；
(2)如果炒菜锅时的水位高度是1dm，求此时水面的直径；
(3)如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm 的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能
否正常盖上？请说明理由．
六、(本大题共12 分)
23．若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，abc≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P，
且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系，此时，
直线l 叫作抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫作直线l 的“路线”．
(1)若直线y＝mx＋1 与抛物线y＝x2－2x＋n 具有“一带一路”关系，求m，n 的值；
(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y＝的图象上，它的“带线”l 的解析式为y＝2x
－4，求此“路线”L 的解析式．
参考答案与解析
1．D 2.D 3.D 4.B 5.C
6．D 解析：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3 或1，则A(－3，0)，B(1，0)．∵y＝
－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点C 的坐标为(－1，4)．如图所示，过点C 作CD⊥AB 于点
D.在Rt△ACD 中，tan∠CAD＝＝＝2.故选D.
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7．－4 8.4 9.(－1，7) 10.2.7 11.
12．(2，4)或(1，1) 解析：把A(－1，1)代入y＝ax2得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝
x2.∵A(－1，1)，∴∠AOP＝45°，OA＝.∵△AOP 是“和谐三角形”，∴当点A 到OP 的距离等
于OP 时，即OP＝1，此时AP⊥y 轴，点A 与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为(1，1)．当点
P 到OA 的距离等于OA 时，即点P 到OA 的距离等于，则OP＝2，此时直线AP 的解析式为y
＝x＋2.解方程x2＝x＋2 得x1＝－1，x2＝2，则点B 的坐标为(2，4)．同理当点O 到AP 的距离
等于AP 时，得到OP＝1 或OP＝2.综上所述，点B 的坐标为(2，4)或(1，1)．
13．解：原式＝－＋2－1＝1.(6 分)
14．解：∵△ABC 中，∠C＝90°∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.(1 分)∵AD 是△ABC 的角平分
线，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD.(3 分)在Rt△ADC 中，∵AD＝＝＝
2，∴BD＝2.(6 分)
15．解：作AE⊥BC 于点E，∴∠AEB＝90°.(1 分)在Rt△ABE 中，AE＝AB·sinB≈50×0.94
＝47(cm)，(4 分)47＋＝56(cm)．
答：这个指示牌的高约是56cm.(6 分)
16．解：(1)将(－1，－5)，(0，1)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴这个二次函数的解析
式为y＝－2x2＋4x＋1.(3 分)
(2)由y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，故其顶点坐标为(1，3)．(4 分)当x＝4 时，m＝－
2×16＋16＋1＝－15.(6 分)
17．解：(1)如图所示．(3 分)
(2)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.(4 分)在Rt△ABD 中，∵tan∠BAD＝＝，∴BD＝
×4＝3，∴CD＝BC－BD＝5－3＝2.(6 分)
18．解：(1)∵抛物线y＝x2－4x＋m－1 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－
4×1×(m－1)＝20－4m＝0，(2 分)解得m＝5.(4 分)
(2)联立抛物线与直线解析式消掉y，得x2－4x＋m－1＝2x－m，整理得x2－6x＋2m－1＝
0.(6 分)∵抛物线与直线只有一个交点，∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×(2m－1)＝0，解得m＝
5.(8 分)
19．解：(1)在Rt△BDE 中，∵DE⊥AB，BD＝3，∠ABC＝45°，∴BE＝DE＝3.在Rt△ADE
中，∵sin∠DAB＝，DE＝3，∴AD＝＝＝5，(2 分)由勾股定理得AE＝＝4，∴AB＝AE＋BE＝4
＋3＝7.(4 分)
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(2)作CH⊥AB 于点H.∵AD 是BC 边的中线，BD＝3，∴BC＝6.(6 分)∵∠ABC＝45°，
∴BH＝CH＝6，∴AH＝7－6＝1.在Rt△CHA 中，tan∠CAB＝＝6.(8 分)
20．解：(1)将O(0，0)，A(2，0)代入二次函数的解析式y＝a(x－h)2＋中得h＝1，a＝－，∴
抛物线的对称轴为直线x＝1.(2 分)
(2)点A′是该函数图象的顶点．(3 分)理由如下：如图，作A′B⊥x 轴于点B，∵线段OA 绕
点O 逆时针旋转60°到OA′，∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°.(5 分)在Rt△A′OB 中，∵OB＝
OA′·cos∠A′OA＝OA′＝1，A′B＝OA′·sin∠A′OA＝，∴点A′的坐标为(1，)，由(1)知该抛物线的
解析式为y＝－(x－1)2＋.∴点A′为抛物线y＝－(x－1)2＋的顶点．(8 分)
21．解：(1)∵∠BAC＝24°，CD⊥AB，∴sin24°＝，(2 分)∴CD＝AC·sin24°≈30×0.41＝
12.3(cm)，∴支撑臂CD 的长约为12.3cm.(4 分)
(2)如图，当∠BAC＝12°时，支撑杆CD 的位置有两种情况．过点C 作CE⊥AB 于点
E.∵∠BAC＝12°，∴sin12°＝＝， cos12°＝，∴CE≈30×0.21＝6.3(cm)，∴AE＝30×0.98＝
29.4(cm)．(7 分)∵CD＝12.3cm，∴DE＝≈10.56(cm)，∴AD＝AE－DE≈29.4－10.56＝
18.84(cm)，AD′＝AE＋D′E≈39.96(cm)，AD 的长约为18.84cm 或39.96cm.(9 分)
22．解：(1)由于抛物线C1，C2都过点A(－3，0)，B(3，0)，可设它们的解析式为y＝a(x－3)
(x＋3)．∵抛物线C1还经过D(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋3)，解得a＝，即抛物线C1的解析
式为y＝x2－3(－3≤x≤3)．(2 分)∵抛物线C2还经过C(0，1)，∴1＝a(0－3)(0＋3)，解得a＝
－，即抛物线C2的解析式为y＝－x2＋1(－3≤x≤3)．(4 分)
(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm 时，y＝－2，即x2－3＝－2，解得x＝±，∴此时水面的
直径为2dm.(6 分)
(3)锅盖能正常盖上，理由如下：当x＝时，抛物线C1为y＝×－3＝－，抛物线C2为y＝－
×＋1＝，而－＝3，∴锅盖能正常盖上．(9 分)
23．解：(1)令直线y＝mx＋1 中x＝0，则y＝1，即该直线与y 轴的交点坐标为(0，1)．(1 分)
将(0，1)代入抛物线y＝x2－2x＋n 中，得n＝1，(3 分)∴抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－
1)2，∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1，0)代入到直线y＝mx＋1 中，得0＝m＋1，解得m＝
－1.(5 分)
(2)联立方程组解得∴该“路线”L 的顶点坐标为(－1，－6)或(3，2)．(8 分)令“带线”l：
y＝2x－4 中x＝0，则y＝－4，∴“路线”L 的图象过点(0，－4)．(9 分)设该“路线”L 的解析
式为y＝m(x＋1)2－6 或y＝n(x－3)2＋2，将点(0，－4)代入得－4＝m(0＋1)2－6，－4＝n(0－3)2
＋2，解得m＝2，n＝－.∴此“路线”L 的解析式为y＝2(x＋1)2－6 或y＝－(x－3)2＋2.(12 分)
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