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专题01 数列通项的多元求法（从基础到进阶）
一、典例精讲
方法01：观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列
的一个通项．
1．数列
的前4 项为：
，则它的一个通项公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】将
可以写成
，
所以
的通项公式为
；
故选:C
2．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为（ ）
A．2n
B．
C．
D．
【解析】依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9，…，它们成等差数列，通项为
，
所以第n 行的首尾两个数均为
.
故选：B
方法02： 公式法：
在处理含
，
的式子时，一般情况下利用公式
，消去
，进而求出
的通项公式；但是有些题目虽然要求
的通项公式，但是并不便于运用
，这时可以考虑先消去
，
得到关于
的递推公式，求出
后再求解
．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，
即分段式；另一种是“合二为一”，即
和
合为一个表达，（要先分
和
两种情况分别进行运算，
然后验证能否统一）．
2.已知数列
的前
项和为
，满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
，
－
=1，∴
是以1 为首项，以1 为公差的等差数列，
∴
，即
，∴
（
）.当
时，
也适合上式，
.故选A.
3． 设数列
满足
，
．
(1)求证：
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【解析】（1）因为
，
，
所以
，即
又
，所以
是以为首项，
为公比的等比数列，
所以
，所以
（2）由（1）可得
，
所以
①，
所以
②，
①
②得
即
，所以
；
4．在数列
中，
，且
.
(1)证明：
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
【解析】（1）因为
，所以
，又
，所以
，所以
是
以4 为首项，2 为公比的等比数列.故
，即
.
（2）由（1）得
，则
，①当
时，
②当
时，
，综上所述，
5．数列
的前n 项和
，已知
，
，k 为常数.
(1)求常数k 和数列
的通项公式；
(2)数列
的前n 项和为
，证明：
【解析】（1）由
得
，
，
两式相减的
，整理得
，
当
时，得
，
，
当
时，
，
，
，
，
相加得
，
所以
，
，
当
，2 时符合
，
所以
，
则
，
，
则
，即
.
（2）由（1）得
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
综上可得，
.
6．设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
.证明：对一切正整数
，
.
【解析】（1）因为
，即
，
当
时
，解得
或
（舍去），
当
时
，
所以
，
即
，即
，
则
，因为
，所以
，
所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
所以数列
的通项公式是
（2）由（1）可得
，所以
，
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
7．已知数列
的首项
，
，前n 项和
满足
，则数列
的前n 项
和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
得
，
即
，
所以
，所以
，
两式作差，得
，即
，
所以
，
所以
或
，又
，
故
，
所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以数列
的前n 项和
.
故选：A.
方法03： 累加法：
遇到形如
的递推关系式，可利用累加法求
的通项公式，
可构造：
将上述
个式子两边分别相加，可得：
①若
是关于
的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若
是关于
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若
是关于
的二次函数，累加后可分组求和；
④若
是关于
的分式函数，累加后可裂项求和．
8．已知数列
满足
，
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
，等式两边同除以
，∴
，
可得到
，
，…，
，利用累加法，可得到
，即
，
又∵
，所以
.
，∴
，故A 正确；
，∴
，故B 错误；
，∴
，故C 错误，
，∴
，故D 错误.故选A
9．已知数列
满足
，则数列
的前2023 项的和
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
，
所以
，即
，
所以
所以
.
所以
.
故选：D
10．设数列
满足
，
，则数列
的通项公式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【解析】：
，所以当
时，
，
，
，
，
将上式累加得
，
，即
，又
时，
也适合，
．故选B．
11.在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】：由题意得，
，则
，
…，
，
由累加法得，
，即
，
则
，所以
，故选：D
12.在数列
中，已知
，
，
.若
，求数列
的通项公式.
【解析】由题意，
，得：
，运用累加法：
，
，即
，
，
当
时，
，
，
当
时，
成立，
所以
方法04： 累乘法：
遇到形如
的递推关系式，可利用累乘法求
的通项公式可构造：
将上述
个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
13．设
是首项为1 的正项数列，且
，求通项公式
=___________
【解析】由
，得
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，
又
满足上式，∴
.
故答案为：
.
14.已知数列
满足
，求数列
的通项公式。
【解析】因为
，所以
，则
，故
所以数列
的通项公式为
15.数列
满足：
，
，则
的通项公式为_____________.
【解析】由
得，
，
则
，
即
，又
，所以
.
故答案为：
.
16．数列
及其前n 项和为
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析当
时，
，即
，所以
累乘得
，又
，所以
所以
则
.故选C.
17．数列
及其前n 项和为
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：当
时，
，即
所以
累乘得
，又
，所以
，所以
则
.故选C.
方法05： 构造数列法：
（一）形如
（其中
均为常数且
）型的递推式：
（1）若
时，数列{
}为等差数列；
（2）若
时，数列{
}为等比数列；
（3）若
且
时，数列{
}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设
，展开移项整理得
，与题设
比较系数（待
定系数法）得
，即
构
成以
为首项，以
为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理
可得
法二：由
得
两式相减并整理得
即
构成以
为
首项，以
为公比的等比数列．求出
的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如
型的递推式：
（1）当
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，
以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整
理可得
法二：当
的公差为
时，由递推式得：
，
两式相减得：
，令
得：
转化为类型Ⅴ㈠求出
，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出
（2）当
为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可
得
法二：当
的公比为
时，由递推式得：
——①，
，两边同时乘以
得
——②，由①②两式相减得
，即
，在转化
为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为
（其中p，q 均为常数）或
（其中p，q， r 均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以
，得：
，引入辅助数列
（其中
），
得：
再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当
为任意数列时，可用通法：
在
两边同时除以
可得到
，令
，则
，在转
化为类型Ⅲ（累加法），求出
之后得
类型1.待定系数法
1. 形如
型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列
的形式求解．方法为：设
，比较系数得
，可解得
，于是
是公比为
的等比数列，这样就化归为
型．
18．在数列
中，
，
．求
的通项公式.
解析依题意，数列
中，
，
，所以
，所以
数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
19．已知数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前10 项和
．
【解析】(1)当
时，
，即
，解得
；
当
时，∵
，∴
，
两式作差得
，
即
，
∴
，又
，
∴数列
是以
为首项，3 为公比的等比数列，
∴
，
(2)∵
，
则
．
20.已知数列
满足
，求数列
的通项公式。
解：设
④
将
代入④式，得
，等式两边消去
，得
，两边除以
，得
代入④式得
⑤
由
及⑤式得
，则
，则数列
是以
为首项，
以2 为公比的等比数列，则
，故
。
类型2：同除以指数
21．已知数列的首项
，且满足
．求数列
的通项公式；
解析∵
，∴
，∴
，又∵
，故
是以2 为首
项，2 为公比的等比数列．
，则
22．已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式.
【解析】由
两边同除以
得
，令
，
则
，设
，解得
，
，而
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
，得
类型3： 倒数变换法：
形如
（
为常数且
）的递推式：两边同除于
，转化为
形式，化
归为
型求出
的表达式，再求
；
还有形如
的递推式，也可采用取倒数方法转化成
形式，化归为
型求出
的表达式，再求
．
23.数列
满足
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
是等比数列
C．
D．
【解析】由
，且
，则
，
，
，
以此类推可知，对任意的
，
，
所以，
，所以
，且
，
所以，数列
是等差数列，且该数列的首项为，公差为
，
所以，
，则
，其中
，C 对；
，所以，数列
是等比数列，B 对；
由等差中项的性质可得
，A 对；
由上可知
，则
，
，
所以，
，D 错.
故选：D.
24.已知数列
满足
，
，
，则满足
的n 的最大取值为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【解析】因为
，所以
，所以
，又
，
数列
是以1 为首项，4 为公差的等差数列．
所以
，所以
，由
，即
，即
，解得
，
因为
为正整数，所以
的最大值为
；
故选：C
类型4： 对数变换法：
形如
型的递推式：
在原递推式
两边取对数得
，令
得：
，化归为
型，求出
之后得
（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
25．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广
泛，若数列
满足
，则称数列
为牛顿数列．如果函数
，数列
为
牛顿数列，设
，且
，
．数列
的前
项和为
，则
______．
【解析】∵
，∴
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
又
∴
，
又
，且
，
所以
，
∴数列
是首项为，公比为
的等比数列，
∴
的前
项和为
，则
.
故答案为：
.
26.已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式。
【解析】：因为
，所以
。在
式两边取常用对数
得
⑩
设
将⑩式代入式，得
，两边消去
并整理，得
，则
，故
代入式，得
由
及式，
得
，
则
，
所以数列
是以
为首项，以5 为公比的等比数列，则
，因此
则
。
方法05：周期数列
27． 数列
满足
，
，若对于大于2 的正整数
，
，则a108=__________.
【解析】由题意知：
，
故
是周期为3 的周期数列，则a108=a3×36=a3= 1
2.
故答案为：
.
28.设数列
满足
且
，则a2026=（ ）
A．
B．
C．
D．3
【解析】由题意可得：
，
，
，
，
据此可得数列
是周期为4 的周期数列，
则a2026=a506×4+2=a2=3.
故选：D
29．设数列
的通项公式为
，其前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．180
D．240
【解析】当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
.
，
.
故选：D
方法06：前n 项积型
30．已知数列
满足
．若对任意
，
（
且
）恒
成立，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：当
时，由
，得
，
两式相除得
，
也适合，所以
，因为对任意
，
（
且
）恒成立，所以
，
所以
，当
时，由
，得
，则
，
当
时，由
，得
，则
，综上，
故选A
31．设数列
的前n 项积为
，且
.
(1)求证数列
是等差数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【解析】(1)因为数列
的前n 项积为
，且
，
∴当n=1 时，
，则
，
.
当n≥2 时，
，∴
，
所以
是以
为首项，
为公差的等差数列；
(2)由（1）知数列
，则由
得
，
所以
，
所以
.
方法07：“和”型求通项
32.在数列
中，
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，且数列
的前项n 和为
，证明：
.
【解析】（1）因为
，
所以当
，
两式相减，得
，即
，
当
时，
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，
当
时，上式成立；当
时，上式不成立，
所以
（2）证明：由（1）知
当
时，
，
所以当
，
；
当
时，
.
综上，
.
方法08：特征方程法（强基层次）
型.
求解方程
，根据方程根的情况，可分为
（1）若特征方程有两个相等的根，则
（2）若特征方程有两个不等的根，则
33．已知数列
满足
，
，
.求数列
的通项公式；
解析
，变形为
，
，∴数列
是等比数列，首项为
6，公比为3.∴
，变形为
，
，∴
，∴
34.已知数列
满足
，求数列
的通项公式。
解：令
，得
，则
是函数
的两个不动点。
因为
。所以数列
是以
为首项，以13
9
为公比的等比数列，故
，则
。
35.已知数列{
}
na
满足
1
1
1
2
2,
(
2)
2
1
n
n
n
a
a
a
n
a
，求数列{
}
na
的通项
na ．
解析其特征方程为
2
2
1
x
x
x
，化简得
2
2
2
0
x
，解得
1
2
1,
1
x
x
，令
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
c
a
a
由
1
2,
a
得
2
4
5
a
，可得
1
3
c
，数列
1
1
n
n
a
a
是以
1
1
1
1
1
3
a
a
为首项，以
1
3
为公比的等比数列，
1
1
1
1
1
3
3
n
n
n
a
a
，
3
( 1)
3
( 1)
n
n
n
n
n
a
．
二、高考练场
1．已知数列
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
，则
，
，
，…，
，
以上各式相加可得，
，
.
故选：B
2．在数列
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．15
C．
D．10
【解析】因为
，所以
，即
，
得
.
所以
.
因为
，所以
.
故选：B.
3．若数列
满足
，且
，则首项
可能是（ ）
A．6
B．
C．2
D．
【解析】因为
，
所以
或
，
当
时，
是公差为1 的等差数列，此时
，
当
时，
是公比为3 的等差数列，此时
，
故首项
可能是或
，
故选：AD
4．已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
，得
，
即
，则
，
，
，…，
，
由累乘法可得
，所以
，
又
，符合上式，所以
.
故选：D．
5．在数列
中，若
（
为非零常数），则称
为“等方差数列”，
称为
“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．
是等方差数列
B．若正项等方差数列
的首项
，且
是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列
既是等方差数列，又是等差数列
【解析】设
，则
，
不满足为非零常数，所以
不是等方差数列，故A
错误；
由题意
，则
，即
，解得
或
（舍去），当
时，
满足题意，故B 正确；
设数列
为等比数列，不妨设
，则
，所以
，若
为
常数，则
，但此时
，不满足题意，故C 正确；
若数列
既是等方差数列，又是等差数列，不妨设
，（
为非零常数），
，所以
，即
，所以
，即
，所以
为
常数列，这与
，
矛盾，故D 错误.
故选：BC
5．已知正项数列
满足：
，则（ ）
A．
B．
是递增数列
C．
D．
【解析】由
得
，即
，解得
，因为
正项数列，所
以
，故A 错误；
因为
，又
正项数列，
所以
，即
，因此
是递增数列，故B 正确；
由上可知，
，所以
，即
，故C 正确；
因为
，即
，
所以
，
，
，…，
，
因此，
，即
，故D 正确.
故选：BCD.
7．记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【解析】（1）∵
，∴
,∴
,又∵
是公差为
的等差数列，∴
,
∴
,∴当
时，
，∴
,整理得：
,即
,∴
，
显然对于
也成立，∴
的通项公式
；
（2）
∴
8．记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
【解析】（1）因为
，即
①，当
时，
②，①
②得，
，
即
，即
，所以
，
且
，所以
是以为公差的等差数列．
（2）由（1）可得
，
，
，又
，
，
成等比数列，所以
，即
，解得
，所以
，所以
，所以，当
或
时
．
