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第6 题 对数函数图像与零点的综合应用（一题多变）
【2025 届云南三校联考卷（二） 第8 题】
，
为函数
的两个零点，其中
，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
的最小值为4 D．
的最小值为4
【思路分析】通过题意判断得到
比1 大还是小对
的图象没有影响，然后不妨假
设
，进而得到
，根据对数运算法则得到
，将B、C、D 选项利用消
元思想转化为对勾函数求最值或取值范围问题即可求解，注意最值取得的条件是否符合题
意.
【详解】函数
的定义域为
，
且
，
由
，得
，因此直线
与函数
的图象有两个公共点，
其横坐标为
，
，
比1 大还是小对
的图象没有影响，可令
，
而当
时，
递减，
当
时，
递增，于是
，
对于A，由
，得
，即
，A 正确；
对于B，
，而函数
在
上单调递增，因此
，
B 正确；
对于C，
，函数
在
上单调递增，因此
，C 错误；
对于D，
，当且仅当
时取等号，D 正确，故选C．
【题后反思】对数函数问题巧妙运用数形结合的方法，通过基本不等式求最值要注意取得
最值的条件是否成立，通过对勾函数求最值或取值范围需要注意自变量的范围.
【变化角度】分段函数+复合函数根的问题
【示例】已知函数
，函数
有4 个不同的零点
，
，
，
且
，则
的取值可能为（ ）
A．
B．7 C．
D．
【思路分析】令
得
，问题转化为
有4 个不同的根，即函数
与函数
有4 个不同的交点，分别作出
与
的图像，利用二次函
数与对数函数的图像性质，计算可得答案，
【详解】
，令
得
，
函数
有4 个不同的零点，即
有4 个不同的根，
根据题意，作出
的图像如图所示，
由二次函数的对称性可知
，
由对数函数的性质，
，即
，
则有
，得
，所以
，
由
，解得
，则
，
对勾函数
在
上单调递增，有
，得
，
所以
.
故选：AB
【举一反三】
1．定义在
上的
满足对
，关于
的方程
有7 个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变换角度】分段函数+三个零点的问题
【示例】已知函数
，若方程
有三个不同的实数根
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】分析函数
的性质，结合其图象求出a 的范围，再用a 表示
，利用
导数法求值域，即可计算作答.本题的关键是找到
之间的关系，从而减少变量得到
，再利用导数求出其值域即可.
【详解】函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，其图
象如图，
方程
有三个不同的实数根，即直线
与
的图象有三个公共点，则
，
由
，
得：
，即
，
而
，
，则
，
于是得
，
记
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
又函数
在定义域上单调递减，所以
.
故选：A
【举一反三】
2．设常数
，函数
；若方程
有三个不相等的实数根
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．a 的取值范围为
B．
的取值范围为
C．
D．
的取值范围为
【变换角度】分段函数+四个零点的问题
【示例】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
，
且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】作出函数
的图象，设
，则直线
与
函数
的图象
个交点横坐标分别为
，可得出
，再结合对称性与
对数运算即可得正确选项.
【详解】函数
的图象如图所示，
设
，则
，
则直线
与函数
的图象
个交点横坐标分别为
，
对于A：函数
的图象关于直线
对称，则
，故A 正确；
对于B：由图象可知
，且
，
∴
，即
，所以
，故B 正确；
对于C，当
时，
，
由图象可知
，则
，故C 错误；
对于D，由图象可知
，
所以
，故D 错误.
故选：AB.
【举一反三】
3．已知函数
，若函数
有四个不同的零点
，
，
，
，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，若存在实数
.满足
，且
，则
的取值范围是
5．
为函数
的两个零点，其中
，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最小值为
6．函数
.若该函数的两个零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法判定
7．已知函数
，若存在实数
（
）满足
，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，若方程
存在三个不同的实数解，且满足
，设
，则
的最大值为 ．
9．已知
，若函数
有5 个零点，则实数
的取
值范围是 .
