文档文本内容
【第31 讲：直线的倾斜角与斜率，直线的方程】
【新高考课程标准要求】
1.直线的倾斜角与斜率：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两
条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
2.直线的方程：掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系，会用代数的
方法解决直线的有关问题，如求两直线的交点，判断两条直线的位置关系等。
【知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率
（一）核心知识梳理
1. 倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴正方向按逆时针方向绕着交点旋转
到和直线重合时所转过的最小正角，叫做直线的倾斜角。当直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为
，倾
斜角
的取值范围是
。
2. 斜率：当直线的倾斜角
时，其斜率
；当直线的倾斜角
时，直线的斜率不存在。
过两点
，
（
）的直线的斜率公式为
。
3. 斜率与倾斜角的关系：倾斜角
在
时，斜率
，且
越大，
越大；倾斜角
在
时，
斜率
，且
越大，
越大。
4. 两直线斜率与位置关系：设两条不重合直线
，
的斜率分别为
，
，若
，则
（当两
直线斜率都不存在时，两直线也平行）；若
，则
（当一条直线斜率为
，另一条直线斜率
不存在时，两直线也垂直）。
（二）常用结论
1. 若直线的斜率为
，则倾斜角
满足：当
时，
；当
时，
。
2. 已知两点
，
，若
，则直线
垂直于x 轴，倾斜角为
，斜率不存在；若
，则直线
平行于x 轴，倾斜角为
，斜率为
。
3. 若两条直线
：
，
：
，则
且
；
与
重合
且
。
（三）微点提醒
1. 倾斜角的范围是
，不是
，解题时切勿忽略该范围导致错误，比如认为倾斜角为
，这是
不符合定义的。
2. 斜率不存在的直线是垂直于x 轴的直线，在求直线方程或判断直线位置关系时，不能只考虑斜率存在的
情况，要兼顾斜率不存在的特殊情形，否则易漏解。
3. 利用斜率公式计算时，要注意两点横坐标不能相等，若横坐标相等，直接判断斜率不存在，避免因代
入公式计算导致无意义的结果。
二、直线的方程
（一）核心知识梳理
1. 点斜式：已知直线过点
，斜率为
（斜率存在），则直线方程为
。该形式不
能表示垂直于x 轴的直线。
2. 斜截式：已知直线斜率为
，在y 轴上的截距为
（斜率存在），则直线方程为
。同样不能
表示垂直于x 轴的直线。
3. 两点式：已知直线过两点
，
（
，
），则直线方程为
。不能表示垂直于x 轴和垂直于y 轴的直线。
4. 截距式：已知直线在x 轴上的截距为
，在y 轴上的截距为
（
，
），则直线方程为
。不能表示过原点、垂直于x 轴和垂直于y 轴的直线。
5. 一般式：任何直线都可以表示为
（
，
不同时为
）的形式。当
时，直线斜
率为
；当
时，直线垂直于x 轴，斜率不存在。
（二）常用结论
1. 过定点的直线方程：若直线方程中含有参数，可通过整理方程，将参数分离，令参数的系数和常数项
分别为
，求解方程组得到直线恒过的定点。例如，直线
（
为参数），整理为
，令
，得定点
。
2. 直线在坐标轴上截距的求法：在直线方程
中，令
，得x 轴截距
（
）；令
，得y 轴截距
（
）。
3. 两直线交点坐标的求法：求两条直线
：
，
：
的交点，只需解
方程组
，方程组的解即为交点坐标。
（三）微点提醒
1. 利用不同形式的直线方程求解时，要注意各自的适用条件，避免因忽略限制条件而导致漏解或错解。
比如用截距式求直线方程时，不能遗漏过原点的直线情况。
2. 直线的截距是直线与坐标轴交点的横（纵）坐标，可正、可负、可为
，不要误认为截距一定是正数，
比如直线
在x 轴和y 轴上的截距都为
。
3. 将直线方程化为一般式时，要保证
，
不同时为
，且通常使
为非负数，若
为负数，可两边同
乘
进行整理，符合一般式的规范形式，方便后续计算和判断。
【课前自测】
一、单选题
1．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：
与直线
：
平行，则
（ ）
A．4
B．1
C．1 或-4
D．-1 或4
2．（2024·河北·模拟预测）点
到直线
的最大距离是（ ）
A．
B．2
C．
D．不存在
二、多选题
3．（25-26 高二上·全国·期中）已知直线：
，直线
：
，则（ ）
A．当
时，与
的交点是
B．直线与
都恒过
C．若
，则
D．
，使得
4．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线
，
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
的充要条件为
或
B．若
，则
C．若直线不经过第四象限，则
D．若
，则将直线
绕坐标原点按逆时针方向旋转
，再向右平移一个单位长度，所得直线方程
为
三、填空题
5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若直线
的截距之和为2，且
，则
的最小值为
.
6．（2025·陕西汉中·三模）若直线过点
，且其一个方向向量为
，则直线的方程为
.
7．（2025 高三·全国·专题练习）直线
倾斜角的取值范围是 ．
8．（25-26 高二上·全国·课后作业）函数
的最大值为 ，最小值为 ．
【考点一：直线的倾斜角与斜率】
【例题】1．（25-26 高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（ ）
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．若一条直线的斜率为
，则此直线的倾斜角为
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是
或
D．若直线与
轴相交，其向上的方向与
轴正方向所成的角为
，则其倾斜角为
2．（25-26 高二上·全国·课后作业）若过点
，
的直线的倾斜角
的取值范围是
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】3．（25-26 高二上·全国·课后作业）经过点
作直线，若直线与连接点
，
的线段没有公共点，则直线的倾斜角
的取值范围是 ．
4．（25-26 高二上·全国·课后作业）已知点
，
，若
，则直线
的倾斜角的
取值范围为 ．
5．（2025 高三·全国·专题练习）过点
的直线倾斜角
，那么
的取值范围是
．
【解题策略】
题型1：求直线的斜率（已知两点/倾斜角/直线方程）
解题步骤：
1. 判存在性
两点：若
，则斜率不存在，此时倾斜角
；若
，则可计算斜率。
倾斜角：当
时，斜率不存在；否则，利用公式
计算斜率。
直线方程（
）：若
，斜率不存在；若
，则
。
2. 代公式计算
知识讲解与常考题型
题型分类
两点：运用公式
，注意
坐标差值与
坐标差值顺序需一致。
倾斜角：当
时，
为负值，例如
时，
。
方程：可将直线方程化为斜截式
，注意符号问题，如
，
。
3. 验结果：确保斜率正负与倾斜角区间相匹配，斜率为正，倾斜角
；斜率为负，倾斜角
。
关联内容：
教材（人教版必修二）：P89 例1（通过两点求斜率）、P90 例2（由倾斜角求斜率）。
高考真题：2023 年全国甲卷文T7（已知倾斜角为另一直线倾斜角的2 倍，求该直线斜率，需注意
）。
题型2：求直线的倾斜角（已知斜率/两点/直线方程）
解题步骤：
1. 求斜率
：已知斜率直接使用；若已知两点或直线方程，先计算斜率。若斜率不存在，则倾斜角
。
2. 定倾斜角
当
时，
，例如
时，
。
当
时，
，例如
时，
。
3. 验边界：需排除倾斜角计算结果超出
的情况，如
、
等。当
时，
。
关联内容：
教材：P90 例3（根据负斜率求倾斜角）。
高考真题：2024 年浙江高考T3（对于分段直线
，需分
（此时
）和
（此时
）两种情况分析倾斜角）。
题型3：斜率与倾斜角的范围互化（含参数）
解题步骤：
1. 明确转化方向
已知
求
：将
的范围分为
和
两部分，利用正切函数在
和
上的单
调性进行求解。
已知
求
：若区间
包含
，则
；若不包含
，直接利用
正切函数单调性求
的范围。
2. 画图像辅助：借助
在
的函数图像，直观辅助分析，避免推导错误。
3. 合并区间：注意合并区间时端点是否包含，例如当
时，
。
关联内容：
教材：P91 练习T6（已知
求
的范围）。
高考真题：2022 年新高考I 卷T14（已知
，求
的范围为
）。
题型4：两直线平行/垂直的斜率判定（含参数）
解题步骤：
1. 分情况判斜率
均存在（设为
）：两直线平行，则
且截距不相等；两直线垂直，则
。
一存一不存：这种情况下两直线不可能平行；若一条直线斜率存在，另一条不存在，则两直线一定垂
直。
均不存在：两直线一定平行，不可能垂直。
2. 列方程求解（含参数）：先根据直线方程求出斜率（注意方程中系数为0 的特殊情况），再依据平行或
垂直条件列出方程求解。
3. 验结果：对于平行的情况，需排除两直线重合的可能性，例如若两直线方程系数成比例，则两直线重
合。
关联内容：
教材：P93 例5（判断直线
与
是否平行）。
高考真题：2024 年北京高考T8（已知含参数直线垂直，解得
或
）。
三、避坑思维链
1. 读题时圈画出“垂直
轴”“倾斜角
”等特殊条件。
2. 解题前先判断“斜率是否存在”，再代入相应公式计算。
3. 计算过程中关注符号（如
）和范围。
4. 对于平行问题，必须验证两直线是否重合；倾斜角的取值范围必须在
内。
【考点二：直线方程】
【例题】1．（2025 高二·全国·专题练习）已知
的三个顶点分别为
，
，
，
求：
(1)边
和
所在直线的方程；
(2)
边上的中线所在直线的方程；
(3)
边上的垂直平分线所在直线的方程；
(4)
边上的高所在直线的方程．
2．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线
，
，其中
为实数．
(1)当
时，求
的值；
(2)当
时，求过直线
的交点，且垂直于直线
的直线方程．
【针对训练】1．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线l 过点
．
(1)从下面两个条件中任选一个，求直线l 的方程．
条件①：直线l 的倾斜角比直线
的倾斜角大
；
条件②：直线l 的一个方向向量为
．
(2)若点
在直线l 上，且
，求
的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
2．（24-25 高二上·江苏镇江·阶段练习）设m 为实数，直线
在x 轴、y 轴
上截距之和等于1，且与x 轴的交点记作A．
(1)求点A 的坐标；
(2)直线
过点A 且倾斜角是直线倾斜角的2 倍，求直线
的方程
3．（23-24 高二下·上海·期中）已知点
，
．
(1)设
，若直线
与直线
垂直，求
的值；
(2)求过点
且与直线
夹角的余弦值为
的直线方程．
【解题策略】
题型1：求直线方程（已知点、斜率、截距等）
1. 高频错因
忽略方程适用条件：用点斜式求斜率不存在的直线（如垂直x 轴的直线）；用截距式求过原点的直线
（截距为0）。
符号计算失误：化一般式为斜截式时错算斜率；两点式中分子分母顺序颠倒。
2. 方法提炼
选方程形式前，先判断斜率是否存在、截距是否为0，确保形式与条件匹配。
已知一点+倾斜角（非90°），优先用点斜式；倾斜角为90°，直接写
。
已知一点+垂直关系，先求垂直直线斜率，再用点斜式。
最终方程优先化为一般式（
，
非负），方便后续计算。
3. 防错要点
草稿纸标注适用条件，如“斜率存在→用点斜式”“过原点→不用截距式”。
计算时反复核对符号，尤其是一般式化斜截式的斜率计算。
题型2：直线方程与截距、距离结合（含参数）
1. 高频错因
截距概念混淆：将截距等同于距离（忽略截距可负）；忽略截距为0 的情况（如“截距相等”漏解过
原点的直线）。
参数讨论不全面：含参数直线求定点时，不会分离参数，错认为参数无法消去。
2. 方法提炼
明确截距定义：x 轴截距是令
的x 值，y 轴截距是令
的y 值，截距可正、可负、可为0。
截距相等问题分两类：截距不为0 时用
；截距为0 时用
。
含参数直线求定点，用参数分离法：将含参数与不含参数的项分开，令系数均为0，解方程组得定点。
涉及截距的面积计算，需对截距取绝对值，避免符号错误。
3. 防错要点
遇“截距”相关题目，先写清截距定义，含“截距相等/互为相反数”必分“截距为0”和“不为0”
两类。
参数分离时，确保参数前系数整理完整，再令系数和常数项为0。
题型3：两直线位置关系与直线方程结合
1. 高频错因
平行判断忽略“不重合”验证：仅看斜率相等，未确认截距或方程系数是否成比例，误将重合当平行。
垂直判断漏算特殊情况：只考虑斜率均存在的情况，忽略“一存一不存”的垂直情形。
2. 方法提炼
判断平行：先分斜率“均存在”“一存一不存”“均不存在”三类，斜率相等时必验证截距是否相等
（或系数是否成比例），排除重合。
判断垂直：先讨论斜率是否存在，“一存一不存”时直接判定垂直；“均存在”时验证斜率乘积是否
为-1。
求过两直线交点且满足特定条件的直线方程：先解方程组求交点，再根据平行/垂直关系定斜率，最
后用点斜式写方程。
3. 防错要点
平行判断必补“不重合”验证，垂直判断必覆盖“斜率不存在”情况。
含参数的位置关系题，求出参数后必代入原直线方程验证。
【考点三：直线方程的综合应用】
【例题】1．（24-25 高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知动直线
过
定点
.
(1)求
的坐标：
(2)若直线与
、
轴的正半轴分别交于
、
两点，
为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①
的周长为
；②
的面积为
.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
(3)若直线与
、
轴的正半轴分别交于
、
两点，当
取得最小值时，求直线的方程.
2．（23-24 高二上·安徽六安·期中）过定点
的直线
与过定点
的直线
交于点
（
与
不重合），则
面积的最大值为（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【针对训练】1．（23-24 高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆
，
．
(1)求过点
且与
相切的直线方程；
(2)直线l 过点
，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A、B 两点．求
的最小值，并求此时直线l 的方
程．
2．（22-23 高二上·福建福州·期中）已知直线的方程为
，若直线
在
轴上的截距为
，且
．
(1)求直线和
的交点坐标；
(2)已知直线
经过与
的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为
，求直线
的方程．
3．（22-23 高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：
，
.
(1)证明直线过定点
，并求出点
的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线
过点
，且在
轴上的截距是在
轴上的截距的
，求直线
的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求
的取值范围.
【解题策略】
一、核心解题思路总纲
直线方程的综合题（常融合距离、参数、位置关系），需遵循“先拆解条件→再选工具（方程形式/公
式）→最后验证约束（参数范围/几何意义） ”三步原则。核心是：以教材基础公式（如点到直线距离、
斜率与位置关系）为“根”，以高考真题中“多条件融合”的变形为“枝”，避免因忽略“特殊情况（斜
率不存在、截距为0）”或“公式适用前提”导致漏解。
二、分题型解题策略（含教材/真题衔接）
题型1：直线方程与距离结合（点到直线、两平行线距离）
解题步骤（固化流程）：
1. 定“已知”与“待求”：明确已知条件（如定点、已知直线、距离值）和待求目标（如直线方程、参
数值），标注关键数据（如点坐标
、距离
）。
2. 设直线方程（选最优形式）：
若已知定点，优先设点斜式（
），需补“斜率不存在”的特殊情况（直线垂直x 轴
方程为
）；
若已知直线与某直线平行/垂直，先求斜率（平行→斜率相等，垂直→斜率乘积为-1），再设对应形
式（如平行于
，设为
，避免重复计算斜率）。
3. 用距离公式列方程：
点到直线距离：将待求直线化为一般式（
），代入公式
（必化
一般式，否则公式用错）；
两平行线距离：确保两直线x、y 系数对应相等（如
与
），代入公
式
（系数不相等时先整理，如
与
，先化为
与
）。
4. 解方程+验证：求解距离方程得参数（如斜率
、截距
），代入直线方程，验证是否符合所有已知条
件（如是否过定点、是否与已知直线平行）。
教材衔接（基础溯源）：
核心公式来自教材中“点到直线的距离”“两平行线的距离”定义（如人教版必修二“平面解析几
何”章节），教材例题多为“单条件距离计算”（如已知直线和点，求距离），综合题是在此基础上增加
“待求直线”的条件（如已知距离和定点，求直线方程），本质是“公式逆用+分类讨论”。
高考适配（变形应对）：
真题常考“多距离条件融合”，如“求过点
且到点
距离为2，同时到点
距离为
的
直线方程”——需先设方程，列两个距离方程，联立求解，最后验证直线是否存在（避免方程无解的情
况）。
防错要点：①距离公式中直线必化一般式；②设点斜式必补“斜率不存在”的情况（如求过
且
到
距离为2 的直线，斜率不存在时
，距离为2，符合条件，易漏解）。
题型2：含参数的直线方程综合题（平行/垂直+定点+距离）
解题步骤（固化流程）：
1. 分离参数：先找“定点”或“不变关系”：
若直线方程含参数（如
），用“参数分离法”整理为“参数×（含x,y 的项）+
（不含参数的项）= 0”（如
），令参数的系数和常数项均为0，解得定点（如
）——这是解决“含参数直线过定点”的核心方法。
2. 列条件方程：结合位置关系/距离：
若涉及平行/垂直，按位置关系条件列方程（平行→斜率相等且截距不等，垂直→斜率乘积为-1 或一
存一不存）；
若涉及距离，代入距离公式列方程（注意直线化一般式）；
若含多个条件，联立方程求解参数（需注意参数的取值范围，如斜率不存在时的参数值）。
3. 验证：排除“无效参数”：
代入参数值，检查直线是否满足所有条件（如平行时是否重合、距离是否符合要求），避免因“忽略
约束条件”导致增解（如参数使直线斜率不存在，但题目隐含斜率存在的条件，需排除）。
教材衔接（基础溯源）：
教材中“含参数的直线方程”多为“单条件求解”（如已知平行求参数），综合题是“多条件叠加”
（如过定点+平行+距离），但核心方法仍基于“直线方程形式”“位置关系判定”“距离公式”，需将教
材中的“单考点方法”整合为“多考点联立方法”。
高考适配（变形应对）：
真题常考“参数的范围问题”，如“已知直线
与圆
相交，求k 的取值范
围”——先找直线定点
，再计算定点到圆心的距离（2，等于半径），可知直线过圆上一点，故k
的取值范围为全体实数（除斜率不存在的情况，此处直线斜率为k，存在），避免错用“圆心到直线距离
小于半径”的常规方法（虽也可解，但找定点更简便）。
防错要点：①参数分离时确保“参数项与常数项完全分离”；②联立方程后必验证参数是否使直线方
程有意义（如分母不为0、斜率存在与否符合条件）。
三、通用解题思维链（避坑版）
1. 读题标条件：用“△”标注“定点”“距离值”“平行/垂直”“参数”等关键信息，尤其注意“隐含
条件”（如“直线与圆相交”→圆心到直线距离小于半径）；
2. 选工具匹配：根据条件选直线方程形式（如定点→点斜式，平行→平行直线系）、选公式（距离→点
到直线公式）；
3. 分情况讨论：优先考虑“斜率不存在”“截距为0”“参数使方程无意义”等特殊情况，再处理一般情
况；
4. 验证收尾：解完后代入所有已知条件，检查是否漏解（如两解只算一解）、错解（如符号错误）、增
解（如参数使直线重合）。
四、实战备考建议
1. 基础阶段：抓教材“单考点”迁移
先练教材中“直线方程+距离”“直线方程+位置关系”的基础题，确保能快速写出直线方程形式、准
确代入距离公式，如“求过点
且平行于
的直线方程”，熟练后再叠加条件。
2. 提升阶段：攻高考“多条件”变形
聚焦近5 年高考真题中的综合题，总结“定点+距离”“参数+平行/垂直”等常见组合，如“过定点的
直线与两坐标轴围成三角形，求面积最小值”，提炼“先设方程→求截距→列面积函数→求最值”的固定
流程。
3. 冲刺阶段：练“动态参数”分析
针对“参数变化时直线的位置变化”（如
变化时，直线
的运动轨迹），用“定
点法”分析，避免硬算，提升解题速度。
一、单选题
1．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线经过
两点，直线
的倾斜角为
，若与
平行，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．6
2．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知直线
与直线
垂直，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高二上·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（ ）
课后针对训练
A．过点
的直线方程为
B．直线
在
轴上的截距为2
C．直线
的倾斜角为
D．过
，
两点的直线方程为
4．（25-26 高二上·全国·课后作业）已知直线
，当
变化时，直线总是经过定点，
则定点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高二上·全国·课后作业）设A，
是
轴上的两点，点
的横坐标为2，且
，若直线
的方程为
，则直线
的方程是（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线l 过点
，
，则（ ）
A．点
在直线l 上
B．直线l 的两点式方程为
C．直线l 的一个方向向量的坐标为
D．直线l 的截距式方程为
7．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线
，则下列结论正确的是（
）
A．直线可能与
轴垂直
B．当
时，直线的倾斜角为
C．当
时，直线与直线
平行
D．当
时，直线与直线
垂直
三、填空题
8．（24-25 高二上·上海·阶段练习）直线
的倾斜角为 ．
9．（25-26 高二上·全国·课后作业）已知定点
，若直线过定点
且方向向量是
，直线
过定点
且方向向量是
，直线在
轴上的截距是
，直线
在
轴上的截距是
，则
．
10．（2025 高三·全国·专题练习）设
，若点
在线段
上，则
的取值范围是
．
11．（2025 高二·全国·专题练习）若三点
，
，
共线，则
．
四、解答题
12．（24-25 高二下·上海杨浦·开学考试）已知直线
.
(1)若直线不经过第四象限，求
的取值范围；
(2)已知
，若点
到直线的距离为
，求
最大时直线的一般式方程.
13．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知
的两条边所在直线的方程分别是
：
，且它的对角线的交点是
．
(1)求顶点
的坐标；
(2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程；
(3)求
的面积．
14．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知两直线
，
．
(1)求直线与
的交点
的坐标；
(2)求过直线
交点
，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
(3)若直线
与直线
能构成三角形，求实数
的取值范围．
15．（2025 高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程：
(1)过点
且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点
且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
