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压轴专题02 比大小难题的构造函数与放缩方法全归纳
压轴分析
高考数学中，比大小难题往往涉及复杂的代数式或超越函数，直接计算或比较极具挑战性。真正的
压轴难点在于如何灵活构造函数并运用放缩技巧，将抽象问题转化为具体函数性质的分析。命题人
常通过设计形如ab 与 ba 或混合对数、指数的不等式来设置障碍，其核心是检验学生能否识别结
构特征，选择恰当的中间量或函数模型。解题的关键在于建立“构造-放缩链”：首先根据待比较
式子的特征构造函数，利用导数分析其单调性、极值等性质；然后通过放缩法简化式子或建立不等
式桥梁，最终实现大小比较。掌握“观察结构→构造函数→放缩转化”的思想路径，方能从复杂比
较中精准破局。
知识总结
1. 两类经典超越不等式
，
，
，
2. 泰勒不等式
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
3. 不等式放缩
，
，
，
，
，
，
放缩程度综合
，
4. 帕德近似
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，
且满足：
，
，
，…，
．
注：
，
，
，
典例精讲
【典例1】
（2025·江西赣州·一模）已知
，记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用指数和对数运算，先估算出
的取值范围，再用对数运算来估算
和
，即可
得到判断.
【详解】由换底公式等价变形得：
，
因为
，两边取以7 为底的对数可得：
，
又因为
，两边取以7 为底的对数可得：
，
可知
，
由
，可得
，
由
，可得
，
从而可得
，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是借助已知数据和指数对数运算，可以估算出
，从而可以让
与有
理数
进行大小比较.
会一题通一类
1．（25-26 高三上·四川乐山·月考）若
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用对数运算比较
和
的大小，利用构造函数结合导数判断单调性比较
的大小，由此得
到大小关系.
【详解】
，
，
，
因为
，所以
，即
因为
，即
，
因为
，
构造函数
，
求导
，
当
时，
，只需分析分子
的正负，
设
，求导
，
因为
，所以
，则
，所以
在
上单调递增，
那么当
时，
，即
，
所以分子
，则
，所以
在
上单调递减，
且
，所以
，即
，
综上可得
.
故选：C.
【典例2】
（2025·四川·一模）已知正实数
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
变形为
，可判断
，继而变形为
，推出
，即可求解.
【详解】因为
，故
，即
，
因为
，所以
；
又
，结合
，可得
，
而
，
即得
，即
，则必有
，
则
，即选项A 中不等式成立，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将
变形为
，继而变形为
，即可求解.
会一题通一类
1．（2025·四川成都·三模）（多选）若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过对已知等式进行变形，构造
，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结
合特殊值法，逐个判断.
【详解】已知
，将等式进行移项可得
.
根据对数运算法则
，进一步变形为
.
因为
，则
，
所以
，
令
，对
求导可得
，所以
在
上单调递增.
因为
，
，
，
所以
，
根据
的单调性可知
，即
，
再根据对数函数的性质，所以
，C 错，D 对；
若
，此时
，且
，
而
，
所以
，则
，此时
，排除A，
若
，此时
，且
，
若
时，
，必有
，排除B；
故选：D.
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于AB，由已知条件得
，构造函数
，利用其单调性进
行判断，对于C，由幂函数
的单调性结合
进行判断，对于D，由已知可得
，再结合
的单调性分析判断.
【详解】对于AB，由
得，
，
所以
，
设
，因为
和
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，又
，
所以
，所以A 正确，B 错误；
对于C，因为幂函数
在
上单调递减，所以
，即
，C 正确；
对于D，因为
，所以
，因为
，
所以
，
由选项AB 可知
在
上单调递增，所以
，D 正确.
故选：ACD.
【典例3】
（2025·福建泉州·模拟预测）若实数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系不可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出
的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令
，得
，
在同一坐标系内作出函数
的图象，
则
分别是函数
的图象与直线
交点的纵坐标，
观察图象得，当
时，
；当
时，
；当
时，
，
因此ABC 都可能，D 不可能.
故选：D
会一题通一类
1．（2025·广东·模拟预测）设
，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，可得x，y，z 的表达式，取
，根据对数函数的单调性，可得x
最大，分别比较
与
和
与
的大小，即可判断A 的正误；取
，根据对数函数的单调性，
分析比较，可判断B 的正误；取极小正数
，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C 的正误；求出
成立的必要条件是
，构造函数
，利用导数求得
的单调性，
根据对数的运算性质，可得
和
不可能同时成立，即可判断D 的正误.
【详解】令
，则
，
，
．其中
．
取
，此时
，
，
，此时x 最大．
又
与
比较，等价于比较7 与
，等价于比较49 与27 大小，故
．
同理比较
与
，可得
，故
，故
．
综上，当
时，
．故A 是可能的．
取
．此时
，
，
，故
且
．
比较y 和z，即
与
，
，且
是增函数，
所以
，又底数
，所以
，故
．
综上，当
时，
．故B 是可能的．
取极小正数
，取
，此时
，
，
，易知x 最小．
现在比较
和
，即比较
与
，即
和
，比较
和
，
易知
，故
．
综上，取
，
．故C 是可能的．
下面证明D 选项不可能．若
，则
和
同时成立．
若
，则
．
当
时，
，当
时，
，
同理可得
，故存在
，使得
，
所以
成立的必要条件是
．
若
，则
，设
，
则
，且取
时，
，
等价于
，
又
，等价于
，
，易知其在
时成立，
已证当
时，
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
，即
恒成立，
故
和
不可能同时成立，即D 不可能．
故选：D．
3．（2025·四川成都·三模）已知实数
，
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知得
，即有
同号或
，结合不等式的性质判断各项的正误.
【详解】两边取对得
，则
且
，即
同号或
，
所以，当
时，
不成立，A 错；
由
，B 对；
由
，若
时，
，C 错；
由
，且
，
当
时，
，此时
，D 错.
故选：B
【典例4】
（2025·陕西汉中·模拟预测）（多选）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，
当
时，
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】首先分析得出函数
在
上单调递增，故只需构造函数比较出
的大小关系即可求解.
【详解】已知函数
是定义在
上的奇函数，所以
，
又因为
，所以
，
所以函数
的周期是4，
因为
时，
，
求导得
，
所以
在
上单调递增，所以函数在
上单调递增，
因为函数
是定义在
上的奇函数，所以
在
上单调递增，
由于
，则
；
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，
所以函数
在
上递增，
，
函数
在
上递增，
，
函数
在
上递增，
，
，则
；
令函数
，求导得
，
函数
在
上递减，
，即
，则
，
因此
，所以
.
故选：CD.
会一题通一类
1．（2025·海南·模拟预测）已知函数
，设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导函数和导函数值，求出函数解析式，通过导函数求出函数单调性，再构造函数比较三个数
值的大小，通过函数单调性，写出三个函数值的大小关系.
【详解】由题意得，
，代入
得
，解得
，可得
，
，
令
，
，
可知在
上，
，
在
上单调递增，
在
上，
，
在
上单调递减，在
处取得最大值，
，
所以在
上
，则
，所以
在
上单调递减，
设
，可知
，
则当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，所以
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，当
时，
，
在
上单调递减，
由
可知，当
时，
，即
，所以
在
上单调递增，得
，即
，
综上可知，
，由
在
上单调递减得
.
故选：D.
【典例5】
（24-25 高二下·浙江·期中）设
是函数
定义在
上的导函数，满足
，
则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，求导，得到
在
上单调递增，可直接判断B、C 选项
；举出反例，设
，可判断A、D 选项.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增，
B 选项，由
，即
，可得
，故B 错误；
C 选项，由
，即
，可得
，故C 正确；
A 选项，因为
，不妨设
（为常数），
即
（为常数），所以
，
令
，故
，当
时，
为常数函数，
此时
，即
，所以
，故A 错误；
D 选项，根据上述分析，
，（为常数），
故
，
，令
，
，
当
时，
，在
上单调递减，
所以
，则
，故D 错误.
故选：C.
会一题通一类
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
得
，进而得
即可判断A，由
猜想
，利用数学归纳法验证，即可判断BD，由
，利用
即可判断
C.
【详解】由题意有
，得
，所以
，故A 错
误；
因为
，
，由
有
，
所以
，
，
猜想
，当
时，显然成立，
假设
时，猜想成立，即
，当
时，
，即成立，所以
，
所以
，故D 正确，B 错误，
当
时，
，所以有
，又
，所以
，
，
，故C 错误.
故选：D.
热点预测
1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数确定函数
的单调性，再构造函数并借助媒介数比较
的大小即可.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，则
；
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，令函数
，
求导得
，函数
在
上递增，
，函数
在
上递增，
，函数
在
上递增，
，
，则
；
令函数
，求导得
，
函数
在
上递减，
，即
，则
，
因此
，所以
.
故选：A
2．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
的数字特征分别构造函数
、
，
利用导数可求得
单调性，由
和
可确定
的大小关系.
【详解】令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
，
，又
，
，即
；
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递减，
，
在
上单调递减，
，即
，
；
综上所述：
.
故选：C.
3．（2025·上海嘉定·一模）若实数
、
、
满足
，则
、
、
的大小关系不可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出
的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令
，得
，
在同一直角坐标系内作出函数
，
的图像，
则
分别是函数
，
的图像与直线
交点的纵坐标，
设
点的横坐标为
，
点的横坐标为
，
观察图像得当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以ABC 是可能的，D 不可能.
故选：D
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知指数函数
，若
满足
，且
均大于
，则
的大小关系为（ ）
A．
且
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用对数的运算法则由
得到
的关系式，再代入到
中，结合指
数函数的单调性，可得到
中的最小的数为
，结合选项可得答案.
【详解】由
，利用对数性质
，得：
，
因此，
，即
，
利用换底公式得：
综上，
，
，且
.
代入
得：
，
，
，
因为
，所以
，
，
又由
在
上单调递增，所以
,
因为
大小关系不能确定，所以
大小关系不确定，故BCD 错误.
故选：A
5．（24-25 高三上·河南周口·期末）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
判断A；令
得到
即可判断B、C；进而有当
且
时，
，两边求和判断D.
【详解】令
，则
且
，可得
，A 错；
令
，则
，可得
，即
，B 错；
由上分析
，
，
，则
，
所以
，C 对；
当
且
时，
，所以
，D 错.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据递推式得到
为关键.
6．（24-25 高三下·河北沧州·月考）已知任意正实数
满足
，则下列
结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用抽象函数赋值的方法，结合具体的函数
和
进行验证，结合递推关系进
行严格证明即可.
【详解】令
，对任意
，有：
由此可得递推关系：
，进而推出对于正整数
，
.
下面验证更一般情况.
假设
，代入条件
得
.代入不等式得：
因此
，且
（因
）.
例如，取
，则
，满足
，但
，
说明选项A 不一定成立，但B 成立.
若
，满足
，且对
有：
此时
，选项B 成立，但
，选项C 不成立.
下面严格证明选项B
对于满足条件的任意函数，令
，则：
递推可得
，因此选项B 一定正确.
综上，只有选项 B（
）在所有情况下成立.
故选：B.
7．（2025·四川·模拟预测）若实数
，且
，则
、
的关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知等式变形得出
，对于A 选项，得出
，构造函数
；对于
BC 选项，
，构造函数
；对于D 选项，
，构造函数
，
利用导数这三个函数的单调性，逐项分析即可.
【详解】因为实数
，且
，所以
，则
，
对于A 选项，则
，
令
，其中
，则
，故函数
在
上单调递减，
当
时，
；当
时，
，
故当
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，则
.A 选项不合乎要求；
对于B 选项，
，
令
，其中
，则
，
当
时，
，即函数
在
上为增函数，
当
时，
，即函数
在
上为减函数，
故函数
在
处取得最大值，即
，
综上所述，当
时，
，B 选项不合乎要求；
对于C 选项，由A 选项可知，当
时，
，
此时
，则
.C 选项不合乎要求；
对于D 选项，
，令
，其中
，则
，
由
得
，可得
，解得
，
由
得
，可得
，解得
.
故函数
的减区间为
，增区间为
，
所以函数
在
处取得最小值，即
，故
，
故
，D 选项合乎题意.
故选：D.
模拟训练
一、单选题
8．（2023·湖北武汉·三模）已知
，
，
，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，对
求导，得到
的单调性的最值，结合对数函数和三角
函数的性质，即可证明
，再证明
，令
，通过指数和对数函数的运算性质可证明
，即可得出答案.
【详解】设
，
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
，
又
，则
，
，所以
，
对于
，令
，则
，
此时
，
所以
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
9．（2025·四川自贡·二模）已知
，
，
，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，可判断
，
，
得解.
【详解】
，
，
，则
，
又
，
，
.
故选：C.
10．（2025·重庆·一模）已知函数
满足: ①
是偶函数; ②在
上为
增函数. 若
，
且
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据
是偶函数，可得函数图象关于
对称，则
在
上
为减函数，讨论
两种情况，分别利用单调性比较大小，即可得答案.
【详解】不妨设
，
由
是偶函数，则
，即
，
即函数
的图象关于
对称，且
，
因为
在
上为增函数，所以
在
上为减函数，
因为
，且
，所以
，
若
则
，则
，即
；
若
因为
，则
，所以
；
综上可得：
.
故选：A.
11．（24-25 高二下·山西太原·期中）已知
是定义在
上的函数
的导函数，且满足
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造
并利用导数研究其单调性比较函数值大小，进而判断各项的正误.
【详解】令
，则
，即
在R 上单调递减，
所以
，则
，
，
，
，
由
，则
，
所以
，
，
，
.
故选：D
12．（2025·广东中山·模拟预测）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性得到一些不等式关系，再对
、
、进行变形，然后利用这
些不等式关系比较
、
、的大小.
【详解】已知
，根据对数运算法则
，
可得
.
由完全平方公式
，则
.
根据三角函数的平方关系
以及二倍角公式
，
所以
，即
.
又已知
，可变形为
.
设
，
.
对
求导，可得
.
因为
的值域是
，所以
，这表明
在
上单调递增.
那么
，把
代入
得
，所以
在
上恒成立.
令
，则
，即
.
设
，
.
对
求导，可得
.
因为
，所以
，即
在
上恒成立，这表明
在
上单调递增.
所以
，把
代入
得
，则
在
上恒成立.
令
，则
，又因为
，所以
，即
.
设
，对
求导，可得
.
因为
时，
，所以
在
上恒成立，这表明
在
上单调递增.
所以
，把
代入
得
，
即
在
上恒成立.
令
，则
，得到
，即
.
综上，
， 即
.
故选：B
13．（2025·河南新乡·模拟预测）定义在
上的函数
恒满足：①当
时
；②
，若数列
满足
，且
，则下列不等关系成
立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令，代入求得
，且由当
时
，结合定义法可证明
是减函数，由
，
，可得
，再用归纳法得数列的周期，从而得所
求.
【详解】令
，则
，解得
或
，
若
，当
时，
矛盾，所以
，
令
，则
，
当
时，
，所以
，
即
，
，
，则
，而当
时，
，于是
，
则
，
即
，所以函数
在上R 单调递减；
又
，则
，所以
，
，
故
是以3 为最小正周期的周期数列，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
在
上单调递减，
，
故选：C.
14．（2025·重庆·三模）设
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，求导分析单调性，再结合
和对数的性质比较可得.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
又
，即
，可得
，
，所以
，
综上
.
故选：B.
15．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在
上的可导函数
，满足
，且
，若
，
，
，则
、
、的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合条件求导可得
在
上为减函数，由其单调性即可判断
、
、的大小
关系.
【详解】由已知可得：
，令
，
则
，
且
，
再令
，则
，
当
时，
，即函数
在
上为增函数，
当
时，
，即函数
在
上为减函数，
，
在
上恒成立，
在
上为减函数；
，
，即
.
故选：C.
16．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数导数，判断函数单调性，再根据函数单调性，比较函数值的大小，判断结果.
【详解】由题意得
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
可知
，
所以
为偶函数，可知
令
，则
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
，
，即
，
所以
，即
，
所以
，即
.
故选：A.
17．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
.则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因为
，分别构造
和
，
利用其单调性，比较
的大小关系，进而得到
的大小关系.
【详解】因为
，
所以
，
，
令
，
，令
，
则
，所以
在
单调递减，
所以
，所以
在
恒成立，
所以
在
单调递减，所以
，
所以
，即
，所以
.
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
在
单调递减，所以
，
所以
在
恒成立，所以
在
单调递减
所以
，所以
，即
，
所以
，即
.
综上，
.
故选：B.
18．（25-26 高三上·湖北·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数可判断函数
在
单调递增.
解法一：构造函数
，可证得
在
单调递减，则
，进而可得答案；
解法二：先证明对数糖水不等式：
，可推出
，
进而可得答案；
解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得
，
，进而可得答案.
【详解】
，
当
时，
，
故函数
在
单调递增.
解法一：构造函数
，
，
故函数
在
单调递减，
则
.
解法二：对数糖水不等式：
.
先证明糖水不等式：
，
理由：
，
故
.
解法三：
，
，
.
故选：C.
19．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
及其导数
的定义域均为
在
上单调递增，
为奇函数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由
为奇函数得到
，再由
的单调性可推得
的单调性，根据对称性可
得
，再比较
的大小即可得解.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
令
，则
，故
，
又
在
上单调递增，所以当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增；
又因为
，则
.①
在①式中令
，可得
，故
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，
由于
，故上式等号不成立，则
，
又
，所以
，即
，即
，
同理可得
，所以
，
所以
，即
.
故选：C.
二、多选题
20．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】分别绘制函数
，通过三个函数的图像彼此之间的位置关系
逐项分析.
【详解】设
，
则
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
，
，当
时，
单调递减，
；
单调递增，并且
，
；
的大致图像如下：
又
，并且
，
是减函数，
，
是增函数，
，
，
不是单调的函数，对于
，对应
和
，并且
，
又设
，
，当
时，
单调递增，
时，
单调递减，
，
即当
时，
，
，AB 正确；
对于选项CD，由于不能确定
对应的自变量是
还是
，所以不能确定其正确性.
故选：AB.
【点睛】画出函数图像，大致确定三条曲线彼此之间的位置是解题的关键
21．（23-24 高二上·山西大同·期末）已知
，
且满足
，则下列结论一定正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据对数运算性质转化已知得
，构造函数
，根据函数单调性可
得
，从而可判断
.
【详解】等式
，等号两边同除以
，
可得
，
所以
，
所以
，
所以
，
构造函数
，则
，
显然，函数
在定义域
内是增函数，
所以
，即
．
而
，而
，
故
，故
，故D 正确.
故选：AD．
【点睛】构造函数，利用函数单调性证明不等式.
22．（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小.
【详解】对A，由三角函数线可知当
时，
，
令
，可得
，所以
，故A 对；
对B，构造函数
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以当
且
时，
，
令
，可得
，即
，故B 错；
对C，因为当
且
时，
，故
，
所以当
且
时，
，
令
，得
，即
，故C 对.
对D， 构造函数
，
，
则
，
，
所以
在
单调递增，故
，即
，
令
，得
，故D 对.
故选：ACD.
23．（2025·山东聊城·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意的
，不等式
恒成立，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】令
，可判定A 正确；令
，可得
，结合
，
可判定B 正确；令
，得到
，可判定C 错误；设
，得到
，设
，利用导数，求得
在
上单调递增，证得
，进
而可判定D 正确.
【详解】对于A，令
，得
，所以A 正确；
令
，可得
，
因为
，所以
，所以
，所以B 正确；
对于C，令
，则
，所以
，所以C 错误；
对于D，设
，则
，即
，
所以
，
所以
，所以
，
设
，则
，所以
在
上单调递增，
则
，所以
，所以
，
所以
，所以D 正确.
故选：ABD.
四、00
24．（2025·辽宁·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，构造函数
，利用导数分析其单调性，
可得函数
在
上单调递增，结合
可得
，进而得到
，再通过比较
和
的大小得到
，进而得出选项.
【详解】
，
设
，
则
，
设
，则
，
令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，又
，
所以当
时，
，则
，
此时函数
在
上单调递增，又
，
所以
，则
，即
；
又
，
，则
，
所以
.
故选：D.
25．（24-25 高三上·安徽·月考）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
三个数进行恒等变形，使三个数中都出现
，结合三个数据的形式构造定义域在
上
的函数，通过求导分析函数单调性，确定
时的函数值与
的大小关系，即可比较三个数的大小.
【详解】由题意得，
.
令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，当
时，
，
∴
在
上是减函数，且
，
，
∴
，使得
，
∴当
时，
，当
时，
，
∴
在
上为增函数，在
为减函数.
∵
，
，
∴当
时，
，
∴
在
上为增函数.
∵
，
∴
，
∴
.
②令
，
则
，
∴
在
上为增函数.
∵
,
∴
，
∴
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数
大小的方法如下：
①将
两个数恒等变形，使两数有共同的数字
，
②将
看成变量
，构造函数，
③分析包含
的某个区域的函数单调性，
④根据函数单调性比较大小.
26．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据不等式
，
以及函数
，
的单调性比较大小.
【详解】如图，在单位圆O 中，
，不妨设
，
作
于C 点，则弧
的长度
，
由图易得，
，即
，
所以
，
设
，
，
所以
，
再令
，
，
，
当
时，
，
，
，
所以
，
则
，
在
单调递减，
，所以
，即
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，
所以当
，
，即
，
因为
，
所以
即
，
所以
，
故选：D.
