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圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、弦长问题专项训练
考点目录
轨迹方程问题
离心率问题
弦长问题
考点一 轨迹方程问题
例1．（25-26 高二上·陕西汉中·月考）如图所示，椭圆
的左、右顶点分别为
，左、右
焦点分别为
，以
为直径的圆与椭圆
在第二象限交于
且
，则椭圆
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可知
方法一：因为
，
则
，
即
，可得
，所以椭圆
的离心率
.
方法二：由
在以
为直径的圆上可设
，则
，
易知
，则
，
所以
，即
，可得
，所以椭圆
的离心率
.
故选：A.
例2．（25-26 高二上·安徽蚌埠·月考）已知双曲线
的两个焦点为
，以
的实轴为直
考点二 离心率问题
径的圆记为
，过
作
的切线，与
的两支交于
两点，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知双曲线的焦点在
轴上，过
作圆
的切线，设切点为
，
因为
，所以
在双曲线的右支上.如图，
则
，且
，
，由勾股定理知
.
设
，则
，
.
设
，
由
，即
，得
.
在
中，
.
由正弦定理得
，
所以
，
.
又
，
所以
，即
，
所以双曲线的离心率
.
故选：C.
例3．（25-26 高二上·甘肃陇南·期末）已知
，
分别为双曲线C：
（
，
）的左、右焦点，
过点
的直线与C 的左支交于A，B 两点，且
周长的最小值为8a，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【详解】
的周长为
.
因为
周长的最小值为8a，所以可得
的最小值为
.
因为直线
过点
，所以当
时，
取得最小值.
令
，得
，则
，解得
.
故
的离心率为
.
故选：A
例4．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是
、
，
为椭圆上的一点，且
，
，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
/
【详解】
，
因为
。所以
，
所以
，
所以
故答案为：
例5．（25-26 高三上·辽宁·期末）已知
为椭圆
的左焦点，过
且斜率为
的直线与
在第四象限相交于点
，设
为坐标原点，若
为等腰三角形，则
的离心率为 .
【答案】
【详解】由直线
的斜率为
可得
，所以
，
因为
为等腰三角形，点
在第四象限，设
，其中
，
若
，可得
，整理得
，
因为
，所以
，矛盾，舍去；
若
，可得点
在
的垂直平分线
上，
因为
，与
矛盾，舍去；
所以
为等腰三角形，点
在第四象限，可得
，
又因为
，
由余弦定理得
，可得
，
如图所示，设椭圆
的右焦点为
，连接
则
，
在
中，由余弦定理得
，则
，
由椭圆的定义可知
，即
，即
，解得
，
所以椭圆
的离心率为
.
故答案为：
.
例6．（25-26 高三上·四川巴中·月考）已知双曲线
的左右焦点分别为
，过
作双曲
线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，直线与双曲线
的左支交于
点 ，且
恰为线段
的中点，则双曲线
的离心率为 .
【答案】
【详解】
连接
，因为点
分别为
和
的中点，
所以
，
又
，
所以
设点
到一条渐近线
的距离
，所以
，又
，所以
，
中，满足
，
又
代入上式，
整理为：
，
双曲线的离心率
.
故答案为：
变式1．（24-25 高二上·广东汕头·期末）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，
为右顶点，
、
为上、下顶点，若在线段
上存在
（不含端点），使得
，则椭圆
的离心率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由已知，点
，
则线段
的方程为
，则
，
在线段
上取一点
，
则
，
所以
，
由
，得
，
因为
，所以
，
从而
，整理得
，即
，
即
，即
，结合
，解得
.
故选：B
变式2．（25-26 高二上·辽宁铁岭·期末）已知椭圆
的左焦点为F，以F 为圆心，
为半径
的圆与E 交于M，N 两点，若
，则E 的离心率为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】A
【详解】不妨设E 的半焦距为c，记右焦点为T，易知
，
，
由定义知
，
记
，显然其为锐角，故由
，解得
，在
中由余弦定理得
，
于是
，即
，
可得离心率
或
.
故选：A.
变式3．（25-26 高三上·河北·月考）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
为
上一
点，若
，
（
为坐标原点），则
的离心率为 （ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】不妨设
，记
，
，
，由
，得
，
在
中，由余弦定理，得
，两式相减，得
，
因为
为
的中点，所以
，
所以
，又
，所以
，
所以
，又
，所以
，解得
，
所以
.
故选：D
变式4．（25-26 高三上·河南南阳·月考）双曲线C 的两个焦点为
，
，以C 的实轴为直径的圆记为D，过
作
D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为
【答案】
或
【详解】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为
，
不妨设双曲线
的标准方程为
，则
，
设过
的直线与圆
相切于点
，则在
中，
，
且点
位于双曲线的右支，如图所示，
在
中，由正弦定理得
，
，
又
，
，
在
中，
，
即
，
化简得
，即
.
当直线与双曲线交于一支时，如图，
设过
作圆
的切线切点为B，
所以
，因为
，所以
为锐角，
，
，
，
过
作直线
的垂线，垂足为
，
由此可得：
，
，
设
，由
，得
，
，
，
，
由于
，得：
，
解得：
，
所以
.
故答案为：
或
变式5．（25-26 高二上·陕西延安·月考）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心率为．
若椭圆上存在点P，使得
，该离心率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为
，且
，代入得：
，
，即
，
则：
，
因为椭圆上的点到焦点的距离范围为
（
，且
），
则
的范围：
，将
代入，
两边同时除以
得：
该不等式可拆分为
和
，
当
时：因
，
，且
，故该不等式恒成立，
当
时，得
，解得
（负根舍去），
结合椭圆离心率
，可得
.
所以离心率的取值范围：
.
故答案为：
.
变式6．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线
，直线
，若直线
与双曲线
的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线
的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】设直线与双曲线
的两个交点坐标分别为
、
，
联立
可得
，
由题意可得
，整理可得
，可得
，
故双曲线
的离心率为
，
即双曲线
的离心率的取值范围是
.
故答案为：
.
例1．（25-26 高二上·海南儋州·期末）已知椭圆
：
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线与椭圆
交于A，B 两点，若线段
的中点为
，求直线的方程及线段
的长度.
【答案】(1)
；
(2)直线的方程
；
.
【详解】（1）由椭圆
：
的离心率为
，
得
，则
，
由椭圆
过点
，得
，解得
，
所以椭圆
的标准方程是
.
（2）设交点坐标
，
，
，
因为线段
的中点为
，所以
，
.
因为
，两式相减得
，
考点三 弦长问题
又因为
，可得
，即
，
所以直线AB 的方程为
，即
.
联立方程
，消去y 得
，
可得
，
，
，
所以
.
例2．（25-26 高二上·河北衡水·月考）已知点
在椭圆
上，
是坐标原点，
是
椭圆的右顶点，
的面积是
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知斜率为1 的直线交椭圆
于不同的两点
，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，
的面积是
，所以
，
点
在椭圆
上，解得
，
故椭圆
的方程为
.
（2）依题意得，设直线
，
联立
消去
得
，
由
解得
，
设
，
，则
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
的取值范围是
.
例3．（25-26 高二上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆
：
（
）过点
与
，
是椭圆
的左焦点，
是椭圆
上的一动点（点
不在
轴上），直线
交椭圆
于另一点
.
(1)求椭圆
的离心率;
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆
的焦距
.
由题意可得
，解得
.
因为
，所以
，
则椭圆C 的离心率为
.
（2）由椭圆的对称性不妨设点
，
，直线
的方程为
，
.
由
得
，则
，
，
故
.
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
则
，即
的取值范围为
例4．（25-26 高二上·四川成都·期末）已知
为坐标原点，双曲线
的实轴长为2，且经
过点
.
(1)求
的方程；
(2)若直线与
交于
，
两点，且
，求
的取值范围；
(3)已知点
是
上的动点，是否存在定圆
，使得当过点
能作圆
的两条切线
，
时
（其中
，
分别是两切线与
的另一交点），总满足
?若存在，求出圆
的半径，若不存在，请说
明理由.
【答案】(1)
的方程为
.
(2)
.
(3)存在，圆的方程为
，半径为
.
【详解】（1）
双曲线
的实轴长为2，
，即
，
又双曲线经过点
，
，解得
，
故
的方程为
.
（2）当直线的斜率不存在时，设
，
将其代入双曲线方程，得
，
又
，解得
，
此时
，
当直线的斜率存在时，设其方程为
，设
，
联立
，
故
，
则
化简，得
，此时
，
，
当
时，此时
，
当
时，此时
，
，
，故
，
因此
，
综上可得
.
（3）存在，理由如下：
设直线
与圆
相切，
则圆心到直线
的距离为
，即
,
设
，
联立
，
根据韦达定理，得
，
又总满足
，根据切线的性质和双曲线的对称性可知
，即
，
又
，
，即
，
要使上式对任意的
都成立，则
，解得
，
故圆的方程为
，半径为
.
当
或
斜率不存在时，此时
，显然满足题意.
综上，圆的方程为
，半径为
.
变式1．（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)已知点
，
为双曲线
的左、右顶点，直线
与双曲线
交于
，
两点，当
时，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，有
，可得
，
又由点
在双曲线
上，有
，
代入
，有
，可得
，
，
故双曲线的标准方程为
.
（2）设
，
两点的坐标分别为
，
当
时，
联立方程
，消去
后整理为
，
则
，可得
，
.
所以
.
变式2．（25-26 高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线
的焦点在
轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦
点分别为
，过
的直线交双曲线
于
两点且
的面积为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过点
的直线交双曲线
于
两点，且点
是线段
的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得
的弦长
．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设双曲线
，
因为
，
所以
，直线的方程为
，
联立方程
解得
，
故
，
又因为
，
所以
，
所以
，则
，
而
．
所以双曲线C 的标准方程为
；
（2）如图所示：
法一：因为过点
的直线与双曲线
相交于
两点，直线斜率为
，
1）当
不存在时，直线的方程
，显然
不是中点（舍），
2）当
存在时，设直线的方程为
，即
，
联立方程
得
①，
设
，则
，
因为
为
中点，所以
，
，解得
，
故直线的方程为
，即
，
将
代入①，得
，
则
，
，
故直线的方程为
，弦长
，
法二：因为过点
的直线与双曲线
相交于
两点，
为线段
的中点可知，直线的方程不是
，
设
，直线的斜率为
，
由
，得
，
所以
，
因为
为
中点，则
即
，
直线的方程为
，即
，
联立方程
，得
，
则
，
，
故直线的方程为
，弦长
.
变式3．（25-26 高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知
是抛物线
的焦点，
是
上的
一点，且
.
(1)求
的方程.
(2)已知点
均在
上，且点
与
均不重合.
（i）若直线
经过点
，且
，求直线
的方程.
（ii）若直线
与直线
的倾斜角互补，判断直线
的斜率是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理
由.
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）是定值，定值为
.
【详解】（1）抛物线
的焦点
，点
在抛物线
上，
则
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）（i）由（1）知，抛物线
的方程
，焦点
，
直线
不垂直于
轴，设其方程为
，
由
消去
并整理得
，设
，
则
，
，解得
，
所以直线
的方程为
，即
.
（ii）由（1）得
，设
，
，
直线
的斜率
，
由直线
与直线
的倾斜角互补，得
，则
，
因此
，直线
的斜率
，
所以直线
的斜率是定值，该定值为
.
变式4．（25-26 高三上·上海·期中）已知拋物线
的焦点为
，点
是抛物线上任意一点，过点
作拋物
线
的切线，该切线与
轴交于点
.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若点
的坐标为
，求
的面积；
(3)证明：
.
【答案】(1)焦点坐标为
，准线方程为
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为拋物线
，
所以
，
故焦点坐标为
，准线方程为
.
（2）如图，
设过
，抛物线的切线方程为
，
则
，即
，
联立
，可得
，
所以
，解得
，
所以切线方程为
，
令
，可得
，即
,
所以
.
（3）设
，过该点切线方程为
，
则
，可得
，
联立方程
，可得
，
由
，即
，解得
，
因为
，所以
，
由抛物线的定义知，
，
所以
.
