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第 04 讲 对数与对数函数
目录
第一部分：题型篇....................................................2
题型一：重点考查对数运算.........................................2
题型二：重点考查对数函数的定义...................................3
题型三：重点考查对数换底公式.....................................3
题型四：重点考查对数函数的定义域.................................4
题型五：重点考查对数函数的图象过定点.............................5
题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数）...................5
题型七：重点考查求对数函数的单调区间.............................6
题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用.........................7
题型九：重点考查对数函数的综合性问题.............................8
题型十：重点考查对数函数模型的应用..............................10
题型十一：重点考查反函数的应用..................................12
第二部分：方法篇...................................................13
方法一：可化为一元二次函数型....................................13
方法二：分类讨论................................................14
方法三：数形结合................................................16
第三部分：易错篇...................................................17
易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域................17
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题型一：重点考查对数运算
典型例题
例题1．（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）求值：
(1) ；
(2) ．
例题2．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）计算
(1)
(2)
精练核心考点
1．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）（1）计算： ；
（2）若 ，求 的值．
2．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）求下列各式的值：
(1) ；
(2) .题型二：重点考查对数函数的定义
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）若函数 是对数函数，则 .
例题2．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知对数函数
，
(1)求 的值；
(2)解不等式 ．
精练核心考点
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数 ，则
______．
2．（2023·高一课时练习）已知 为对数函数， ，则 ______．
题型三：重点考查对数换底公式
典型例题
例题1．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若 ，且 ，则 __________．
例题2．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知 （ 为常数，且 ， ），则
________．（用 表示）精练核心考点
1．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）已知 ,则 ＝（ ）
A．a+b B．2a-b C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ，用a，b表示 ____________
题型四：重点考查对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习） 的定义域为_______________
例题3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考开学考试）已知函数 的
定义域为_______．
精练核心考点
1．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知函数 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·上海虹口·高三统考期中）函数 的定义域为________.
3．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）函数 的定义域是______．题型五：重点考查对数函数的图象过定点
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数
的图象恒过定点 ，若点 在角 的终边上，则满足条件的 值可以为
_________.
例题2．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）函数 的图像恒过定点 ，
点 的坐标是______．
例题3．（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知函数 且 的图象恒过定
点 ，若点 在一次函数 的图象上，其中 ，则 的最小值为____________．
精练核心考点
1．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数 的图象过定点 ，且点 在
指数函数 图象上，则 __________.
2．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数 且 的图像恒过定点 ，又点
的坐标满足方程 ，则 的最大值为__________.
3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）函数 且 的图象恒过的定点是
_____________.
题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数）
典型例题
例题1．（2023春·云南保山·高一校联考阶段练习）函数 的值域为 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·高一课时练习）已知函数 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，且 的最大值为 ，则函数 的最小值为______
例题4．（2023春·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）函数 的值域是实
数集 ，则实数 的取值范围是__________.
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值为________．
2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数
的值域为_______________.
3．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）若函数 的值域为 ，则 的取值范围是
______ ．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求该函数的值域；
题型七：重点考查求对数函数的单调区间
典型例题
例题1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）函数 的单调递减区间为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为_________
例题3．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数 ，若 在区
间 内单调递减，则 的取值范围是______.
例题4．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）若函数 在 上单调
递减，则实数 的取值范围是__________.精练核心考点
1．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知函数 在 上为减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）函数 的单调增区间是
（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知函数 的定义域是 ，
则函数 的单调增区间为__________.
4．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知函数 ，
若 ，求 的单调区间.
题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用
典型例题
例题1．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数 在 上单调递增，则 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．例题3．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式 的解集为
__________．
精练核心考点
1．（2023·江西南昌·统考二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津·校联考一模）已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知 且 ，函数 ，满足
时，恒有 成立，那么实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数 ，若 在区间
内单调递减，则 的取值范围是______.
5．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）若函数 在 上单调递增，则 的取
值范围是______．
题型九：重点考查对数函数的综合性问题
典型例题
例题1．（2023秋·江西吉安·高一江西省新干中学校考期末）已知函数 其
中 且 ．
(1)求函数 的定义域；
(2)判断函数 的奇偶性，并证明；
(3)若 ，求 的取值范围．例题2．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数 .
(1)求函数 的值域；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
例题3．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知函数
(1)求证： 的图象关于原点对称；
(2)设 ，若 的图象恒在函数 图象的上方，求实数 的取值范围.
精练核心考点
1．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 在 上单调递减，求a的取值范围．
2．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知 ，函数 .(1)若函数 的图象经过点 ，求不等式 的解集；
(2)设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范
围.
3．（2023秋·山东枣庄·高一统考期末）已知函数 ．
(1)若函数 是奇函数，求实数 的值；
(2)当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方，求实数 的取值范围．
题型十：重点考查对数函数模型的应用
典型例题
例题1．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常
发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有
了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量 （单位： ）与地震里氏震级 之间的关系为
， 年 月 日，我州会理市发生里氏 级地震，它所释放出来的能量是 年年初云
南省丽江市宁蒗县发生的里氏 级地震所释放能量的约多少倍（ ）
A． 倍 B．0.56倍 C． 倍 D．0.83倍
例题2．（2023·全国·高三专题练习）中国的5G技术领先世界， 技术极大地提高了数据传输速率，
最大数据传输速率 取决于信道带宽 ，经科学研究表明： 与 满足 ，其中 是信
道内信号的平均功率， 是信道内部的高斯噪声功率， 为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的
1可以忽略不计.若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至4000，则 大约增加了（ ）
(附： )
A．10% B．20% C．30% D．40%
例题3．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）我国的 通信技术领先世界， 技术的数学
原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 的公式 ，其中 是信道带宽（赫兹）， 是信道内所传信号的平均
功率（瓦）， 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中 叫做信噪比．根据此公式，在不改变 的前
提下，将信噪比从99提升至 ，使得 大约增加了60%，则 的值大约为（ ）（参考数据：
）
A．1559 B．3943 C．1579 D．2512
例题4．（2023·高一单元测试）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称
为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级” （单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已
知它与“某声音的声压 与基准声压 的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，
即 （k是比例系数）.当声压级 提高60dB时，声压 会变为原来的1000倍.
(1)求声压级 关于声压 的函数解析式；
(2)已知两个不同的声源产生的声压 ， 叠加后得到的总声压 ，而一般当声压级
时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况
下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3）
精练核心考点
1．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经
对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为：
． 年 月 日，我国汶川发生了里氏 级大地震，它所释放出来的能量约是 年
月 日我国泸定发生的里氏 级地震释放能量的（ ）倍．（参考数据： ， ，
）
A． B． C． D．
2．（2023·高一课时练习）声音的等级 （单位： ）与声音强度 （单位： ）满足
. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 ；一般说话时，声音的等级约为 ，
那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍
3．（2023·全国·高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是
五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相
似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为 的等比数列.已知两个音高 ， 的频率分别为 ， ，且满足函数
关系： ，已知两个纯五度音高的频率比 ，则它们相差的半音个数 ________.
(其中 ， ，结果四舍五入保留整数部分).
4．（2023·上海奉贤·高三校考阶段练习）某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活
动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10
天内均没有售完，_____天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.
题型十一：重点考查反函数的应用
典型例题
例题1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知点 与点 分别在函数
与 图象上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
例题2．（多选）（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知 ，若
分别是方程 和 的根，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线 与 的两条公切线的夹角余弦值为 ，则
_________．
精练核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点为 ，函数 的
零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知直线 与直线 相互垂直，若函数
， ， 的零点分别为 ， ， ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）设方程 的解为 ，方程 的解为 ，
则 ___________．
第二部分：方法篇
方法一：可化为一元二次函数型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的值域为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）已知函数 ， ，
(1)求 的取值范围；
(2)求 的值域.
例题3．（2023秋·河北保定·高一统考期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)若函数 的最小值为-6，求实数 的值.精练核心考点
1．（2023春·福建莆田·高一校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的零点；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求该函数的值域；
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值为________．
方法二：分类讨论
典型例题
例题1．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若函数 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.例题2．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知 （
且 ）.
(1)证明：函数 是偶函数；
(2)当 时，若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围.
精练核心考点
1．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）已知函数 （ 且 ）.
(1)若函数 的图象经过点 ，求 的值；
(2)比较 与 大小，并写出比较过程；
(3)若 ，求 的值.
2．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 在 上单调递减，求a的取值范围．3．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）已知函数 是偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)设 ，若函数 与 的图像有且只有一个公共点，求实数 的取值范围．
方法三：数形结合
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）将 的图象向右平移2个单位长度后得到函数
的图象，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知函数 ，
（ 且 ）， 为奇函数．
(1)求 的值；
(2)当 时，求不等式 的解集；
(3)若关于 的方程 有两个不同的解，求实数 的取值范围．精练核心考点
1．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）已知函数 定义在R上，且 ，满足
，且当 时， ，则函数 的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（ⅰ）求 的解析式；
（ⅱ）求方程 的所有根.
第三部分：易错篇
易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域
1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）函数 的单调增区间是
（ ）．A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为_________
4．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知函数 的定义域是 ，
则函数 的单调增区间为__________.
