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第 04 讲 幂函数与二次函数 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）探究幂函数 当 时的性质，若
该函数在定义域内为奇函数，且在 上单调递增，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．-1
【答案】B
【分析】根据幂函数的性质即可得解.
【详解】由题意可得 且 为奇数，
所以 .
故选：B.
2．（2024上·广东茂名·高一统考期末）下列函数中，在 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案．
【详解】 ，因为 ，所以 在 上为增函数，故A错误；
在 上为减函数，所以 在 上为增函数，故B错误；
，所以 在 上为减函数，故C正确；
，所以 在 上为增函数，故D错误；
故选：C．
3．（2024上·四川广安·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点 ，则该幂函数的
大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】待定系数法求出解析式，从而选出答案.
【详解】设幂函数解析式为 ，将 代入得 ，
即 ，故 ，解得 ，
所以 ，C选项为其图象.
故选：C
4．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知函数 在区间 上单调
递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的单调性求实数 的取值范围.
【详解】二次函数 的图象开口向上，对称轴方程为 ，
由函数 在区间 上单调递减，则有 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B.
5．（2023上·山西太原·高一太原市外国语学校校联考阶段练习）函数
的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域.
【详解】令 得， ，故定义域为 ，
.
故选：A
6．（2023上·广东深圳·高一校考期中）二次函数 在 上的最大值为
（ ）A．-1 B．0 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用二次函数的单调性求最大值.
【详解】因为函数 是开口向上的抛物线，且对称轴为： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
所以函数 在 上的最大值为： .
故选：C
7．（2022上·全国·高一校联考阶段练习）已知幂函数 上单
调递增，则 （ ）
A．0 B．2 C． 或 D． 或2
【答案】A
【分析】根据幂函数定义以及其单调性，结合解析式，即可求得参数值.
【详解】因为幂函数 上单调递增，
所以 且 ，解得 .
故选：A
8．（2024上·天津和平·高一统考期末）设函数 在区间 上单调递增，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出
的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得.
【详解】函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在R上单调递减，因此函数 的递增区间是 ，递减区间是
，
依题意， ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
二、多选题9．（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）如图所示，现有一个直角三角形材料，
，想要截得矩形CDEF，点E在边AB上，记矩形CDEF的面积为S， 的面积为T.已
知 ，设 ， ，则（ ）
A． B．
C．当S取最大值时， D．当S取最大值时，
【答案】BC
【分析】由 ，利用对应边成比例，表示出 的关系式判断选项A；由 的
关系式，把 表示为关于 的函数，验证选项B；由二次函数的性质，求S取最大值时
的值，计算 验证选项C；通过三角形形状验证 判断选项D．
【详解】 ， 为矩形，则 ， ，
，
可得 ，有 ， ，得 ，A选项错误；
由 ，得 ， ，B选项正确；
由二次函数的性质可知， 时， 单调递增； 时， 单调递减，
则当 时，S取最大值，此时 ，C选项正确；
当S取最大值时， ，此时 分别为 的中点，
，所以 与 不垂直，D选项错误．
故选：BC
10．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）已知幂函数 的图象经过点 ，则
（ ）
A． B． 的图象经过点
C． 在 上单调递增 D．不等式 的解集为
【答案】ABC【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断.
【详解】由幂函数 的图象经过点 ，
则 ，得 ，所以幂函数 ，所以A正确；
又 ，即 的图象经过点 ，B正确；
且 在 上单调递增，C正确；
不等式 ，即 ，解得 ，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
11．（2022上·全国·高一校联考期中）若 ，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】利用幂函数的单调性解不等式.
【详解】由 在 上单调递增，故 ，解得 .
故答案为：
12．（2023上·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知函数 ，
的值域是 ，则实数 .
【答案】 或
【分析】分 ， 与 三种情况，结合函数单调性得到方程，求出答案.
【详解】若 ，此时 ，
其在 上单调递增，
故 ，解得 ，满足要求，
若 ，此时 ，
其在 上单调递减，
故 ，解得 ，满足要求，
若 ，此时 的最小值为0，当 时，等号成立，此时不满足值域是 .
故答案为： 或
四、解答题
13．（2024上·福建宁德·高一统考期末）已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求关于 的不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)详见解析.
【分析】（1）根据函数的对称性求参数 的值；
（2）分解因式，对 的值进行分类讨论即可求解.
【详解】（1）由 得函数对称轴为： ，
由 .
（2）由 .
当 时，可得： ;
当 时，可得： ；
当 时，可得：
综上，当 时，原不等式的解集为： ；
当 时，原不等式的解集为：
当 时，原不等式的解集为：
14．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）已知一次函数 满足
， .
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数 ， 恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用配方法求得 ，从而利用恒成立问题的解法即可得解.
【详解】（1）依题意，设 ，
由条件得 ，解得 ，故 .
（2）由（1）知 ，
则 ，所以 ，
因为 恒成立，则 ，
所以 .
15．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）已知幂函数 是定义
在R上的偶函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，求函数 的最值，并求对应的自变量
的值．
【答案】(1)
(2)当 时，函数 的最小值为 ；当 时，函数 的最大值为7
【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出 的值，得函数解析式；
（2）求出函数 的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.
【详解】（1）根据题意可得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又函数 是定义在R上的偶函数，
所以 ，即函数 的解析式为 ．
（2）由（1）可知
因 ，所以 ，
所以当 ，即 ，函数 的最小值为 ；
当 时， ，函数 的最大值为7．
B能力提升1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数 ．
(1)用定义法证明：函数 在 是单调递增函数；
(2)若 ，求函数 的最小值 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）用单调性的定义直接证明即可；
（2）通过换元法将原问题等级转换为二次函数动轴定区间的最小值问题，对对称轴的位置
分类讨论即可求解.
【详解】（1）不妨设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以函数 在 是单调递增函数.
（2）若 ，则 ，
所以
，
，
若 ，则 单调递减，
所以此时 ，
若 ，则 ，
若 ，则 单调递增，
所以此时 ，
综上所述， .
【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给
定区间内，任取两个数 ，且 ，然后通过计算 的符号，如果
，则 在给定区间内单调递增；如果 ，则 在给定区间内单调递减.
2．（2024下·山东滨州·高一山东省北镇中学校考开学考试）已知幂函数 的图象
过点
(1)解不等式： ；
(2)设 ，若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得
所以 ，
由 ，
所以 ，
整理得 ，即
解得 或
故不等式的解集为
（2）由（1）可知， ，则 ，
由 得， ，
即 ，
令 ，根据题意，存在实数 ， ，
则 ，由于 ，
所以当 时， 取最小值 ，故 ，
所以 的取值范围为 .3．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知幂函数 ( )为偶函
数，且在 上单调递减．
(1)求 和 的值；
(2)求满足 的实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数以及奇偶性等知识求得 .
（2）根据函数的单调性以及对 分类讨论来求得 的取值范围.
【详解】（1）由函数 为幂函数，
则 ，解得 ；
由 ( )在 上单调递减，
得 ，解得 ，而 ，故 或 ，
当 时， ，定义域为 ，且 为偶函数，符合题意.
当 时， ，定义域为 ，函数为奇函数，不符合题意；
故 .
（2）由（1）得 ，则 ，即 .
故 或 或 ，
解得 或 或 ，.
故实数 的取值范围为 .
C综合素养
4．（2022上·四川·高一四川外国语大学附属外国语学校校考期中）设函数的定义域为 ，
如果存在 ，使得 在 上的值域也为 ，则称 为“A佳”函数.已知
幂函数 在 上是单调增函数.
(1)求函数 的解析式:
(2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
(3)若函数 ，且 是“A佳”函数，试求出实数 的取值范围.【答案】(1) ；
(2)是“A佳”函数，区间为 ；
(3) .
【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解 的值；
（2）求得 ， ，根据函数 的值域为 判断 为“A
佳”函数，利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组，解之即可；
（3） ，则 在 上单调递减，由“A佳”函数的概念可得
，利用换元法可求得 ，再利用换元法及二次函数的
性质即可求解 的取值范围．
【详解】（1）因为幂函数 在 上是单调增函数，
所以 ，解得 ，
所以函数 的解析式为 ．
（2）由（1）知， ，函数的定义域为 ，
又 ，所以函数 的值域为 ，
若存在 ，使得 在 上的值域为 ，
故函数 为“A佳”函数.
因为 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
有 ，解得 或 ， 或 ，而 ，
故“A佳”函数 的区间为 ；
（3） ， ，则 在 上单调递减，因为 是“A佳”函数，所以 ，
令 ， ，则 ， ，
所以 ，有 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，代入 ，
得 ，
因为 ，所以 ，得 ，
令 ， ，
所以 ，又该函数在 上单调递减，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问
题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据 是“A佳”函数，及函数的单调性转化
为 ，换元后求出 的关系，利用函数值域求解.
5．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）对于函数 ，若在定义域内存在实数
，满足 ，则称 为“倒戈函数”.
(1)已知函数 ，试判断 是否为“倒戈函数”，并说明理
由；
(2)若 为定义在 上的“倒戈函数”，求函数 在 的
最小值.
【答案】(1) 为“倒戈函数”；理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解方程 ，方程有解即得；
（2）由方程 在 上有解，令 换元后转化为关于t的二次方程在 上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得
，然后通过分类讨论求函数的最小值.
【详解】（1） 为“倒戈函数”.
等价于方程 有解，
即 有解，显然 为方程的解，
所以 为“倒戈函数”；
（2）若 为定义在 上的“倒戈函数”，
则 在 上有解，即 在 上有解.
令 ，当且仅当 时，即 时，取等号，
则 ，
从而关于 的方程 在 上有解，
令 ，
①当 时， 在 上有解，
由 ，即 ，解得 ；
②当 时， 在 上有解等价于
，此不等式组无解.
则所求实数 的取值范围是 .
令 ，因为 ，所以 ，
则 ，
令 ，对称轴为 ，
当 时， 在 单调递增，
所以 时， 取得最小值， ，
即 时当 时， 时， 取得最小值， ，
即 时，即 时， .
综上，当 时， ；
当 时， .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“倒戈函
数”的定义，将问题转化为方程有解的问题来进行求解.
