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第 04 讲 幂函数与二次函数 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
角度2：求幂函数的解析式
角度3：由幂函数求参数
高频考点二：幂函数的值域
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
角度2：幂函数图象过定点问题
高频考点四：幂函数单调性
高频考点五：幂函数的奇偶性
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
角度2：求二次函数解析式
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、幂函数
（1）幂函数定义一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；
②当 时， 在 单调递减；
2、二次函数
形如 的函数叫做二次函数.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））现有下列函数：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
幂函数满足 形式，故 ， 满足条件，共2个
故选：B
2．（2022·全国·高一专题练习）函数 在区间 上的最大值、最小值分别是（ ）A． B． C． D．最小值是 ，无最大值
【答案】C
，抛物线的开口向上，对称轴为 ，
在区间 上，当 时， 有最小值 ； 时， 有最大值 ，
函数 在区间 上的最大值、最小值分别是： ， ．
故选：C．
3．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
则实数a的取值范围为________；若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的减区间是(－∞，4]，则实数a的取值为
________.
【答案】 (－∞，－3] －3
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为
若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则 即
若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的减区间是(－∞，4]，则 即
故答案为： ； ．
4．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 ______．
【答案】1
依题意，设 ， 为常数，则 ，解得 ，即 ，
所以 .
故答案为：1
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】D设幂函数 ，幂函数 的图象经过点 ，所以 ，
解得 ，所以 ，则 ．
故选：D.
例题2．（2022·陕西渭南·高一期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设 ，由 ，可得 ，则 ，因此， .
故选：B.
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数 在 上单调递增，则 的
解析式是_____.
【答案】
解： 是幂函数，
，解得 或 ，
若 ，则 ，在 上不单调递减，不满足条件；
若 ，则 ，在 上单调递增，满足条件；
即 .
故答案为：
例题2．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知幂函数 为偶函数，
(1)求函数 的解析式；
【答案】(1) (2) 或
(1)解：因为 为幂函数，
所以 ，解得 或
因为 为偶函数，
所以 ，故 的解析式 ；
角度3：由幂函数求参数
典型例题例题1．（2022·江西赣州·高一期末）已知幂函数 在区间 上单调递减，则实数
的值为______.
【答案】
由题意，幂函数 ，可得 ，解得 或 ，
当 时，函数 在区间 上单调递增，不符合题意；
当 时，函数 在区间 上单调递减，符合题意，
所以实数 的值为- .
故答案为：- .
例题2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知幂函数 ，且对于 ，
满足 ，则 ______．
【答案】 或 ## 或2
解： 幂函数 ，且对于 ， 满足 ，
，且 ，或 ，
则 或 ，
题型归类练
1．（2022·广西玉林·高二期末（文））幂函数 的图象关于 轴对称，且在
上是增函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D
因为 ， ，
所以当 时， ，由幂函数性质得，在 上是减函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，在 上是常函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 上是增函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 上是增函数；
故选：D.
2．（多选）（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）如果幂函数 的图象不过原点，
则实数 的取值为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】BC由已知可得 ，解得 或 .
故选：BC.
3．（2022·福建师大二附中高一阶段练习）已知幂函数y＝f（x）的图象过（4，2）点，则 ＝
________．
【答案】 ##
∵已知幂函数y＝xα的图象过点（4，2），
则4α＝2，∴α＝ ，故函数的解析式为y＝f（x）＝ ，
∴ .
故答案为：
3．（2022·广西柳州·高一期中）已知幂函数 的图象过点 ，则 ___________.
【答案】 ##0.25
设幂函数 ，
因为 的图象过点 ，
所以 ，
解得
所以 ，得
.
故答案为：
4．（2022·云南·昆明一中高一期末）幂函数 图象经过点（9，3），则f（4）=___________.
【答案】
设 ，因为函数过点 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 .
故答案为：2
5．（2022·福建南平·高二期末）若函数 是幂函数，则实数 ______.【答案】1
因为 是幂函数，所以 ，解得 .
故答案为：1
6．（2022·全国·模拟预测）若幂函数 的图像关于y轴对称，则实数 ______．
【答案】
由幂函数可得 ，解得 或 ，
又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以 ．
故答案为：
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，值域是 的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D；
对于A：函数 ，定义域为R，所以值域为R，满足条件；
对于C：函数 ，定义域为 ，在第一象限内单调递增，又 ，所以值域为 ，不满
足条件；
故选：A
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数 的图像过点 ，则 的值域
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
幂函数 的图像过点 ，
，解得 ，
，
的值域是 .
故选：D.
例题3．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数 在区间 上是减函数．(1)求函数 的解析式；
(2)讨论函数 的奇偶性和单调性；
(3)求函数 的值域．
【答案】(1) 或 或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(1)解：依题意 ，即 ，解得 ，因为 ，所以 或 或
，所以 或 或
(2)解：若 定义域为 ，则 为奇函数，且在 和 上单调递减；
若 定义域为 ，则 为偶函数，且在 上单调递增，在 上单
调递减；
若 定义域为 ，则 为奇函数，且在 和 上单调递减；
(3)若 ，则 为奇函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的值
域为 ；
若 ，则 为偶函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的值域
为 ；
若 ，则 为奇函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的值域
为 ；
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）幂函数 在第一象限的图像如图所示，则
的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
根据幂函数的性质，
在第一象限内， 的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得： ，
故选：D
例题2．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
的定义域为 ，且 ， 为偶函数，图象关于 轴对称，可排除 ；
， 由幂函数性质知： 在 上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.
故选：B.
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（多选）（2022·重庆南开中学高一期末）下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
A： 必过 ；
B： ，由 知函数必过 ；
C： ，由 知函数必过 ；
D： ，由 知函数必过 ；
∴A、B、C过相同的定点.
故选：ABC.例题2．（多选）（2022·全国·高一期末）设 ，在下列函数中，图像经过定点 的函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
当 时， ，图象经过定点 ，故A可选；
当 时， ，图象经过定点 ，故B可选；
当 时， ，图象经过定点 ，故C可选；
当 时， ，图象不过定点 ，故D不选.
故选：ABC
题型归类练
1．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据函数图象可得：①对应的幂函数 在 上单调递增，且增长速度越来越慢，故 ，故
D选项符合要求.
故选：D
2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的
图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C设幂函数的解析式为 ，
∵幂函数 的图象过点 ，
∴ ，
解得
∴ ，其定义域为 ，且是增函数，
当 时，其图象在直线 的上方．对照选项可知C满足题意．
故选:C．
3．（2022·全国·高一）图中C 、C 、C 为三个幂函数 在第一象限内的图象，则解析式中指数 的值
1 2 3
依次可以是（ ）
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
【答案】D
由幂函数 在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C 对应的 ，C 对应的 ，C 对应的 ，
1 2 3
结合选项知，指数 的值依次可以是 ．
故选：D.
4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点
的坐标为____________.
【答案】
时， ，所以函数图象恒过定点 ．
故答案为： ．
5．（2022·北京·高一期末）幂函数 的图象恒过点_________，若幂函数 的图象过点 ，
则此函数的解析式是____________．
【答案】
由幂函数的性质知：在第一象限恒过 ，
设幂函数 ，则 ，即 ，故 .故答案为： ， .
高频考点四：幂函数单调性
典型例题
例题1．（2022·广西百色·高一期末）已知幂函数 在 上单调递减，则 的
值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】A
由题意，幂函数 ，可得 ，解得 或 ，
当 时，可得 ，可得 在 上单调递减，符合题意；
当 时，可得 ，可得 在 上无单调性，不符合题意，
综上可得，实数 的值为 .
故选：A.
例题2．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一期末）已知幂函数 在 为增函数，则
实数 的值为___________.
【答案】4
解： 为递增的幂函数，所以 ，即 ，
解得： ，
故答案为：4
题型归类练
1．（2022·福建·三明一中高二阶段练习）已知幂函数 （ ）的图象关于 轴对
称，且在 上是减函数，则 的值为______.
【答案】
因为 是幂函数， ，解得 或1，
当 时， 是偶函数，关于 轴对称，在 单调递增，不符合题意，
当 时， 是偶函数，关于 轴对称，在 单调递减，符合题意，
.
故答案为： .
2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若幂函数在 在 上单调递增，则 ______.
【答案】1幂函数在 在 上单调递增
可得 解得
故答案为：
3．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上
单调递减，则 ______.
【答案】 或
为奇函数，
可以是 ，
在 上单调递减，
，即 或 .
故答案为： 或 .
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数 )是奇函数且在 上是减函数，请写出
的一个表达式________．
【答案】
因为幂函数 是奇函数且在 上是减函数，
所以 为负数且为奇数，
所以f(x)的一个表达式可以是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）
例题2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）函数 是幂函数且为偶函数，则 的值为
_________．
【答案】
由函数 是幂函数，则 ，得 或
当 时，函数 不是偶函数，所以舍去.
当 时，函数 是偶函数，满足条件.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 为幂函数，且为奇函数，则实数a的值
__________．【答案】1
因为函数 为幂函数，
所以 或 .
当 时， 为偶函数，不符合题意，所以舍去；
当 时， 为奇函数，符合题意.
故答案为：1
2．（2022·上海长宁·高一期末）已知幂函数 在区间 上是严格增函数，且图象关于原点成中心
对称，写出一个满足条件的 __________.
【答案】1（答案不唯一）
解：可取 ，则函数为 ，
函数 在区间 上是严格增函数，且为奇函数，即图象关于原点成中心对称，
所以可取 .
故答案为：1.（答案不唯一）
3．（多选）（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若函数 的定义域为 且为奇函数，则 可能的
值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
对于A，当 时， 定义域为 ，不符合题意，故选项A不正确；
对于B，当 时， 的定义域为 且为奇函数，故选项B正确；
对于C，当 时， 的定义域为 且为偶函数，故选项C不正确；
对于D，当 时， 的定义域为 且为奇函数，故选项D正确；
故选：BD.
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数 ， ，则函数的
值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D,对称轴 ,当 , 又因为
,
所以函数的值域为 .
故选:D
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（理））函数 在区间[－2，3]上
的最大值、最小值分别是（ ）
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
【答案】B
因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.
故选：B.
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2022·重庆·高二阶段练习）已知二次函数 ，满足 ，
.
(1)求函数 的解析式；
(2)求 在区间 上的值域.
【答案】(1) (2)
(1)解：由 可得 ，
，
由 得 ，
所以 ，解得 ，所以 .
(2)解：由（1）可得： ，
则 的图象的对称轴方程为 ， ，
又因为 ， ，
所以， 在区间 上的值域为 .例题2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数 有最小值 ，且函数的零点为 和2，
求该二次函数的表达式．
【答案】
因为二次函数的零点为 和2，
所以设二次函数为 ，
因为二次函数 有最小值 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以二次函数为
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题3．（2022·北京市房山区房山中学高二期中）若函数 在 上是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：函数 的对称轴为 ，开口向上，
依题意可得 ，解得 ，即 ；
故选：D
例题4．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）若函数 在区间 上单调
递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为函数 在区间 上单调递增，则 ，解得 .
故选：B.
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）若函数 在 上的最小值为 ．则 ____．
【答案】1
函数 图象的对称轴为 ，图象开口向上，
（1）当 时，函数 在 上单调递增，则 ，
由 ，得 ，不符合 ；
（2）当 时．则 ，
由 ，得 或 ， ，∴ 符合；
（3）当 时，函数 在 上单调递减，则 ，
由 ，得 ，
， 不符合，
综上可得 ．
故答案为：1
例题2．（2022·全国·高一专题练习）若函数 的定义域 ，值域为 ，则 的取
值范围是_____.
【答案】
根据题意，函数
函数的对称轴为 ，且有 ，
又由函数的定义域 ，值域为 ，则有
即 的取值范
故答案为：题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）
C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）
【答案】D
f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，
∴x＝2是极小值点，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6，
∴最大值是f(5)，最小值是f（2）．
故选：D
2．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数 ．则函数的最大值和最小值之积为
______
【答案】80
因为 ，所以当 时， ，当 时，
，所以最大值和最小值之积为 .
故答案为：80
3．（2022·全国·高一专题练习）函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范
围是______.
【答案】
根据题意，函数 为二次函数，其对称轴为 ，若 在区间 上是单调函数，则有 或 ，
解可得： 或 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
4．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）若函数 在区间 上为减函数，则实数
的取值范围为________．
【答案】
时， 满足题意；
时， ，解得 ，
综上 ，
故答案为： ．
5．（2022·广东汕头·高一期末）函数 是偶函数，且它的值域为 ，则
__________．
【答案】
解： 为偶函数，
所以 ，即 或 ，
当 时， 值域不符合 ，所以 不成立；
当 时， ，若值域为 ，则 ，所以
.
故答案为： .
6．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知函数 ，其中 ，若函数 的定义域
和值域均为 ，则实数 的值为______．
【答案】2
解： ，对称轴为 ，开口向上，所以函数在 上单调递减，
在 上单调递减，且 ，
即 ，解得
故答案为：
7．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）已知函数 ， 的最大值为3，最
小值为2，则实数 的取值范围是________.
【答案】
函数 的图象是开口朝上，且以直线 为对称的抛物线，
当 时，函数取最小值2，
令 ，则 ，或 ，
若函数 在 上的最大值为3，最小值为2，
则 ，
故答案为： .
8．（2022·天津市求真高级中学高二期末）设 ，已知函数过点 ，且函数的对称轴为
.
(1)求函数的表达式；
(2)若 ，函数的最大值为 ，最小值为 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)解：依题意 ，解得 ，所以 ；
(2)解：由（1）可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ， ，
所以 ， ，
即 、 ，所以 .
9．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围．
【答案】
二次函数 的对称轴为： ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
10．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 上的最大值和最小值；
(2)若 在 为单调函数，求 的值；
(3)在区间 上的最大值为4，求实数 的值．
【答案】(1)最大值是 ，最小值
(2) 或
(3) 或
(1) 时， ，
在 上的最大值为 ，最小值为 ；
(2) 在 为单调函数，
区间 在 的对称轴 的一边，即 或 ，
或 ；
(3)因为 是开口向上的，所以 和 中必有一个是最大值，
若 ，若 ，
或 ；
综上，（1）最大值为16，最小值为0；（2） 或 ；（3） 或 .
