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模块一 基础核心知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）达标测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知条件
：
；条件
：
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
2．已知
、
为两条不重合直线，
、
为两个不重合平面，下列条件中，
的充分条件是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
3．若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知集合
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．0
C．2
D．2 或
5．
，
，
，
，下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．
C．7
D．
7．设正实数
，
，
满足
，则当
取得最大值时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
8．已知
，
（为虚数单位，
）．若
，则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30 名同学参加比赛，有20 人参加田赛，13
人参加径赛，有19 人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8 人，同时参加田赛与球类比赛的有9 人，
没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ）
A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3 人
B．只参加球类一项比赛的人数有2 人
C．只参加径赛一项比赛的人数为0 人
D．只参加田赛一项比赛的人数为3 人
10．设
，
均为复数，下列命题中正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
11．已知正数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最大值为1
B．
的最小值为4
C．
的最大值为
D．
的最小值为1
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若复数
满足
，则
.
13．已知“
，不等式
恒成立”为假命题，则实数
的取值范围为 .
14．设集合
，其中
，
，则集合
中满足条件“
”的元素个数为 （结果用含有
的式子表示）.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知关于
的实系数一元二次方程
有两个虚数根
和
．
(1)若
，求
，的值；
(2)若
，
，求
和
．
16．（15 分）
设命题
，不等式
恒成立;命题
.
(1)若
为真命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
、
有且只有一个是真命题，求实数
的取值范围．
17．（15 分）
已知集合
，
．
(1)若
，求
及
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
18．（17 分）
19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有
“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把
它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）“补”（添项）“打磨”
､
､
（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）.
例如：1.求函数
的最小值.可作如下处理：
，当且仅当
时，等号成立.
2.已知
为正实数，且
，求
的最大值.可作如下处理：
，
当且仅当
且
，即
时，等号成立.
根据以上信息解决以下问题：
已知
.
(1)若
，证明：
.
(2)若
恒成立，求参数
的取值范围.
(3)若
，求
的最小值.
19．（17 分）
已知数列
，
，记集合
的元素个数为
.
(1)若
为1，2，4，8，12，写出集合
，并求
的值；
(2)若
为1，3，a，b，且
，求
和集合
；
(3)若数列
项数为，满足
，求证：“
”的充要条件是“
为等
比数列”.
