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第 02 讲 取整函数问题
【典型例题】
例1．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[ ]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设 分别是方
程 及 的根，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为 分别是方程 ， 的根，
则 分别是函数 及 的零点，
而函数 是单调递增函数，又 ， ，则 ，
函数 在 上单调递增， ， ，则 ，
因此 ，所以 .
故选：C
例2．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为
历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记
作 ，是指不超过实数 的最大整数，例如 ，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和
计算机领域.若函数 ，则当 时， 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，解得 ，
则 的定义域为 ，
当 时，令 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的值域为 ，所以 的值域为 ，
故选：C.
例3．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的
称号，用他名字定义的函数 称为高斯函数，其中 表示不超过x的最大整数，如 ，，已知数列 满足 ， ， ，若 ， 为数列 的
前n项和，则 （ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【答案】B
【解析】由 得 ，
又 ，所以数列 是以4为首项和公比的等比数列，
故 ，
由累加法得
，
所以 ，
∵ ，
又 ，∴ ，
令 ， ，
，
∴ ，
代入 得 .
故选：B．
例4．（2024·四川成都·高三校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学
王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数．例如： ，已知函数
，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 ，所以 ,
又 ，所以 ,
由高斯函数的定义可得：函数 的值域为 ,
故选：C.
例5．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学
王子”美誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过x的最大整数，例如 ．已知
， ，则函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】根据题意，设 ，
则 ，
当 时， ，所以 ，即 ，所以 ，此时 的取值为1；
当 时， ，所以 ，即 ，所以 ，此时 的取值为
；
综上， 的值域为 ，
故答案为： .
例6．（2024·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知 ，函数
在 有极值，设 ，其中 为不大于 的最大整数，记数列 的
前 项和为 ，则 .
【答案】615
【解析】函数 ，求导得： ，
因 ，函数 在 有极值，则存在 ，有 ，解得
，
于是得 ，即 ，而 ，
因此，数列 的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个
8，19个9，而 ，
所以 .
故答案为：615
例7．（2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）定义函数 ，其中 表示不超过 的最
大整数，例如： ， ， .当 时， 的值域为 .记集合 中元素的
个数为 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】先由题意求出 ，再求 ，接着求出 ，即可得到 的通项公式，表示出 ，用裂项
相消法求出 即可. 表示不超过 的最大整数，
当 时， ，
，
在各区间内的元素个数为 ， ， ， ， ， ，
，
，
.
故答案为： .
例8．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为“高
斯函数”，例如： ， .已知数列 满足 ， ， ，若， 为数列 的前 项和，则 .
【答案】
【解析】由 ，得 .
又 ，所以数列 构成以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
又 ，累加得
，
即 ，
所以 .
又因为 满足上式，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
故 .
所以 .
故答案为： .
例9．（2024·全国·高三专题练习）对于正整数n，设 是关于x的方程 的实数根.记
，其中 表示不超过x的最大整数，则 ；设数列 的前n项和为 则
.
【答案】 0 1010
【解析】（1）当 时， ，
设 单调递减，
， ，所以 ，（2）令 ，则方程化为：
令 ，则 在 单调递增
；
由零点存在定理可得： ， ，
当 ， ，
当 ， ，
所以当 ，
故答案为：①0；②1010
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知 表示不超过实数 的最大整数，如 ， ，
为取整函数， 是函数 的零点，则 ．
【答案】2
【解析】因为 与 在 上都单调递增，所以 在 上也单调递增，
又因为 ，
所以 在 上存在唯一零点，且零点落在区间 上，
由于 是 的零点，则 是 的唯一零点，且 ，
所以 .
故答案为：2.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）定义 表示不超过 的最大整数， .例如： ，
.① ；②存在 使得 ；③ 是 成立的充分不必要条件；④方程 的所有实根之和为 ，则上述命题为真命题的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】 ,故①正确；
由 可知 ，可知 ，所以 ，故②错误，故AC错误；
, , ，故③错误，故B错误；
对于 ，显然 不是方程的解，可化为 ，
考察函数 和 的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和
为 ，故④正确.故D正确.
故选：D
2．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王
子”美誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过 的最大整数，例如 ， .已知
， ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知 ， 在 上单调递减， 上单调递增.
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
所以 ，则函数 的值域为 .
故选：C.
3．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数 称为高斯函数，其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ，，则方程 的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，使 ，则 ，
可得 ， ，
若k为奇数，则 ，所以 ，
，则 ，
解得 ， 或 ，
当 时， ， ， ， ，
当 时， ， ， ， ，
若k为偶数，则 ，所以 ，
，则 ，
解得 ， 或 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ， ，
因此，所有解之和为： ，
故选：C.
4．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，符号 表示不超过 的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为 ，故 ；
分 和 的情况讨论，显然有 ．
若 ，此时 ；
若 ，则 ；
若 ，因为 ，故 ，即 ．
且 随着 的增大而增大．
若 ，此时 ；
若 ，则 ；
若 ，因为 ； ，故 ，即 ，
且 随着 的减小而增大．
又因为 一定是不同的 对应不同的 值．
所以为使函数 有且仅有3个零点，只能使 ，2，3；或 ， ， ．
若 ，有 ；
若 ，有 ；
若 ，有 ；
若 ，有 ；
若 ，有 ；
若 ，有 ；
若 ，有 ；
若 ，有
综上所述， 或 ，
故选：B．5．（2024·全国·高三专题练习）对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如： ．
如果定义函数 ，那么下列命题中正确的一个是（ ）
A． B．方程 有且仅有一个解
C．函数 是周期函数 D．函数 是减函数
【答案】C
【解析】由题意可知：f（x）=x-[x]∈[0，1），∴函数f（x）的最大值为1，A不对；
又知函数每隔一个单位重复一次，所以函数是以1为周期的函数．
所以C正确，B不正确、在每个周期数单调递增，在定义域上不单调，D不正确．
故选C．
二、多选题
6．（2024·全国·高三校联考竞赛）已知定义域为 的函数 ，其中 代表
不超过 的最大整数.设数列 满足： 是 在 上最大值，数列 满足： 且
，则下列说法正确的是（ ）
A． 最小值为
B． 在 有 个极值点
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，令 ， ，
则 ，当且仅当 时取等号，
此时 ，故 ，故A错误；
对于B选项，当 时，令 ，其中 ，
则 ，则 ，，
令 ，则 ，
因为 ，其中 ， ，
，
其中 ， ，
由零点存在定理可知， ，使得 ，
，使得 ，
所以，函数 在 上有 个极值点，
同理可知，函数 在 上有 个极值点，
当 时， ，
当 时， ，所以， 是函数 的一个极值点，
综上所述， 在 上有 个极值点，故B正确；
对于C选项，当 时， ，
所以 在 最大值仅可能在 取得；
同理 在 上的最大值仅可能在 取得.
对 ，有
成立，
故 最大值在 上取得，即 ，故C正确；
对于D选项， ， ，
，
即 ， ，故 不是 上的最大值点， 是 上的最大值，
故 ，故D正确.
故选：BCD.
7．（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）已知函数 （ ，其中 表示
不大于 的最大整数），则（ ）
A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． 在 上单调递增 D． 的值域为
【答案】BD
【解析】由题意， 表示不大于 的最大整数，则 ，
所以 ，
则函数 是以3为周期的函数，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
又 是以3为周期的函数，则 的值域为 和D均正确； ，所以
，故 不是奇函数，A错误；
当 时， ，故 在 上无单调性，C错误.
故选：BD.
8．（2024·全国·高三专题练习）设 表示不超过x的最大整数，如： ， ， 又称为
取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A． 是奇函数
B． ， ，若 ，则
C． ，
D．不等式 的解集为【答案】BCD
【解析】A．取 和0.5，函数值分别为 和0，故A不正确；
B．设 ，则 ， ， ， ，
则 ，因此 ，故B正确；
C．设 （ ， ），
当 时， ， ，
此时 ，
当 时， ， ，
此时 ，
综合可得，C正确；
D．不等式 ，可得： ，或 ，
∴ ，或 ，因此不等式的解集为 ，故D正确．
故选：BCD．
9．（2024·全国·高三专题练习）设函数 ，若 表示不超过 的最大整数，则
的函数值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】AB
【解析】因为 ，则 ，
所以函数 的值域是 ，
则 的范围是 ，
于是 的函数值可能是 或 ，
故选： .
10．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知函数 定义域为R，满足 ，当 时， .若函数 的图象与函数 的图象的交点为
， ， ，(其中 表示不超过 的最大整数)，则（ ）
A． 是偶函数B． C． D．
【答案】BC
【解析】函数 ，显然 ，而 ，即 ，因此 不
是偶函数，A错误；
函数 定义域为 ，满足 ，当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
因此当 时，函数 在 上递减，
在 上递增，当 时， 取得最大值 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
因此当 时，函数 ，
在同一坐标平面内作出函数 的部分图象，如图，当 时，函数 的图象有唯一公共点 ，
因为 ，因此 ， ，而满足 的整数有 个，即
，B正确；
显然 ，
所以 ，C正确；
，数列 是首项为 ，公比为 的等
比数列，
所以 ，D错误.
故选：BC
11．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数 定义域为 ，满足 ，当 时，
.若函数 的图象与函数 的图象的交点为
，（其中 表示不超过 的最大整数），则（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
【答案】BC
【解析】函数 ，显然 ，而 ，即 ，因此 不
是偶函数，A错误；
函数 定义域为 ，满足 ，当 时， ，当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
因此当 时，函数 在 上递减，
在 上递增，当 时， 取得最大值 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
因此当 时，函数 ，
在同一坐标平面内作出函数 的部分图象，如图，
当 时，函数 的图象有唯一公共点 ，
因为 ，因此 ， ，而满足 的整数有 个，即
，B正确；
显然 ，
所以 ，C正确；
，数列 是首项为 ，公比为 的等
比数列，所以 ，D错误.
12．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，定义： 表示不超过 的最大整数，例如
.若函数 ，其中 ，则（ ）
A．当 时， 存在零点
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于选项A，因为 ， ， .
所以当 时， ，所以 不存在零点.
故选项A错误.
对于选项B，因为 ，
所以 ，即 ，所以 .
当 时，令 ，则 ，
令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，
所以 在 上递增，所以 .
故选项B正确.
对于选项C，因为 有 ，所以 在 不能是减少的，
假设 ，设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 为减函数，在 上为增函数，而 ， ， ，
又当 时， ，故 在 上有两个不同的零点，
设较小的零点为 ，则 .
若 ，则 ，
取 ，则 ，
而 ， ，故 ，这与题设矛盾.
若 ，则 ，故 ，
取 ，则 ，
而 ， ，故 ，这与题设矛盾.
又 ，所以 正确.
故选项C正确.
对于选项D，因为 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ，所以 ，
即 .
故选项D正确.
故选：BCD
13．（2024·浙江宁波·高三统考期末）对于任意实数 ， 表示为不超过 的极大整数，如 ，
，（ ）
A．若 时，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则【答案】ABD
【解析】由题意，对于任意实数 ， 表示为不超过 的极大整数，
设 ，其中 分别是 的整数部分， 分别是 的小数部分，
A项， ，故 ，则 ，故A正确；
B项， ， ，
，
∴ ，B正确；
C项， ， ， ，
∴ ，故C错误；
D项， ，
∴ ，故D正确；
故选：ABD.
14．（2024·重庆·高三校联考阶段练习） ， 表示不超过 的最大整数，我们把 ，
称为取整函数，以下选项关于“取整函数 ”正确的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ， ，则
【答案】ABC
【解析】对于A，当 时， ，故A正确；
对于B，设 则
所以 或 ，
当 时， ，
此时 ，即 ；当 时，
此时 即 ；
综上， ，故B正确；
对于C ，当 时， ，
所以 ，故C正确；
对于D，若 ，设 ,则 ，
所以 从而 ，故D错误；
故选：ABC.
15．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表
示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又称为取整函数，在
现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整
函数”的描述，正确的是（ ）
A． x∈R，[2x]＝2[x]
∀
B． x∈R，[x]+
∀
C． x，y∈R，若[x]＝[y]，则有x﹣y＞﹣1
D．∀方程x2＝3[x]+1的解集为
【答案】BC
【解析】对于A：取x＝ ，[2x]＝[1]＝1，2[x]＝2[ ]＝0，故A错误；
对于B：设[x]＝x﹣a，a∈[0，1），
所以[x]+[x+ ]＝[x]+[[x]+a+ ]＝2[x]+[a+ ]，
[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+[2a]，
当a∈[0， ）时，a+ ∈[ ，1），2a∈[0，1），
则[a+ ]＝0，[2a]＝0，
则[x]+[x+ ]＝2[x]，[2x]＝2[x]，
故当a∈[0， ）时，[x]+[x+ ]＝2[x]成立；当a∈[ ，1）时，a+ ∈[1， ），2a∈[1，2），
则[a+ ]＝1，[2a]＝1，
则[x]+[x+ ]＝2[x]+1，[2x]+2[x]+1，
故当a∈[ ，1）时，[x]+[x+ ]＝2[x]成立，综上B正确；
对于C：设[x]＝[y]＝m，
则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，
则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，因此x﹣y＞﹣1，故C正确；
对于D：由x2＝3[x]+1知，x2一定为整数且3[x]+1≥0，
所以[x]≥ ，
所以[x]≥0，
所以x≥0，
由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2，
由[x]2≤3[x]+1，解得 ≤[x]≤ ≈3.3，只能取0≤[x]≤3，
由3[x]+1＜（[x]+1)2，解得[x]＞1或[x]＜0（舍），故2≤[x]≤3，
所以[x]＝2或[x]＝3，
当[x]＝2时，x＝ ，当[x]＝3时，x＝ ，
所以方程x2＝3[x]+1的解集为 ，故D错误．
故选：BC．
16．（2024·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，有
“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，例如 .则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．
C．若函数 ，则 的值域为
D．函数 的值域为
【答案】ACD
【解析】对于A， ， ，有 ，则函数 在 上单调递增，A正确；对于B，当 时， ，有 ，B错误；
对于C，
，
当 时， ， ，有 ，
当 时， ， ，有 ，
所以函数 的值域为 ，C正确；
对于D，函数 ， ， ，
因此 ，有 ，所以 ，D正确.
故选：ACD
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， .已知函数
， ，则下列叙述中错误的是（ ）
A． 在 上是增函数 B． 是奇函数
C． 的值域是 D． 的值域是
【答案】BC
【解析】根据题意知， ， 在定义域 上单调递增，
且 ， 在 上单调递增，∴ 在 上是增函数，故A正确；
∵ ， ，
∴ ， ，∴函数 既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵ ，∴ ， ， ，∴ ，
即 ，∴ ，故C错误，D正确.
故选：BC三、填空题
18．（2024·全国·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
用他名字定义的函数称为高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ，
．已知实数 满足 ， ，则 ．
【答案】0
【解析】 ，又 ，
构造函数 为单调递增函数， ， ，
所以 ．又 ．
因为 ，所以 ， ，
设 ， ， ， ，所以函数
在 上单调递减，
所以 ，所以 ．
故答案为：0
19．（2024·全国·高三专题练习）n是小于100的正整数，并且满足等式： ，其中[x]表示
不超过x的最大整数，这样的正整数n共有 个．
【答案】16
【解析】由高斯函数的性质， ，当且仅当 是整数时取等号，
，当且仅当 是整数时取等号，
，当且仅当 是整数时取等号，
所以 ，当且仅当 是整数时，上式等号成立，
因此 是整数，又因为整数n小于100，所以满足条件的n有 个．
故答案为：16
20．（2024·安徽淮北·统考一模）记不超过 的最大整数为 .若函数 既有最大值也有
最小值，则实数 的值可以是 （写出满足条件的一个 的值即可）.【答案】 （答案不唯一，取 内得任一值即可）.
【解析】取 ， ， .
则 .
题意等价于 在区间 上既有最大值，又有最小值.
当 时， 在 上为增函数，只有最小值 ，无最大值；
当 时， 在 上递减，在 上递增，此时 ，有最小值 ，无最大值；
当 时， 在 上递减，在 上递增，此时 ，最大值为 ，最小值为 ；
当 时， 在 上为减函数，有最大值 ，无最小值.
综上， 的取值范围是 .
故答案为： （答案不唯一，取 内得任一值即可）
21．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高
斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如：
.已知函数 ，则函数 的值域是 .
【答案】
【解析】因为 ，定义域为 ，
因为 在定义域上单调递增，则 在定义域上单调递减，
所以 在定义域 上单调递减，
当 时， ；
当 时， ，即 ；
当 时， ；
所以，当 时 ，则 ，于是 ；
当 时 ，则 ，于是 ；当 时， .
综上所述， 的值域为 .
故答案为： .
