文档文本内容
第 02 讲 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
圆中切线问题 给值求值型问题
2023年新I卷，第6题,5分
已知点到直线距离求参数切线长 余弦定理解三角形
2023年新Ⅱ卷，第15题,5分 直线与圆的位置关系 无
2022年新I卷，第14题,5分 判断圆与圆的位置关系 圆的公切线方程
求点关于直线的对称点
2022年新Ⅱ卷，第15题,5分 由直线与圆的位置关系求参数
直线关于直线对称问题
2021年新I卷，第11题,5分 直线与圆的位置关系求距离的最值 切线长
点与圆的位置关系求参数
2021年新Ⅱ卷，第11题,5分 无
判断直线与圆的位置关系
判断方程是否表示椭圆
2020年新I卷，第9题,5分 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示双曲线
判断方程是否表示椭圆
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示双曲线
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握圆的标准方程和一般方程，并会基本量的相关计算
2.能正确处理点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系求解
3.能利用圆中关系进行相关参数求解
4.会解决圆中的最值问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查直线与圆和圆与圆的几何综合，需强化练习知识讲解
1. 圆的标准方程
，其中圆心坐标为 ，半径为
2. 圆的一般方程
（ ）
配方可得： ，
，半径为
圆心坐标为
3. 表示圆的充要条件
4. 点与圆的位置关系
已知点 ，圆的方程为：
若 ，点 在圆内
若 ，点 在圆上
若 ，点 在圆外
5. 直线与圆的位置关系
直线 ，圆
代数关系 ，其中 为联立方程根的个数，几何关系 ，其中 为圆心到直线的距离
6. 圆与圆的位置关系
设圆 的半径为 ，设圆 的半径为 ，两圆的圆心距为
若 ，两圆外离，若 ，两圆外切，若 ，两圆内切
若 ，两圆相交，若 ，两圆内含，若 ，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
7. 弦长公式
设 ， ，
则
或：
8. 圆上一点到圆外一点的距离的最值
9. 圆上一点到圆上一点的距离的最值
10.圆上一点到直线距离的最值
11.过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
考点一、圆的标准方程
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ， ，则其外接圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为 的圆与直线 相切，则该圆的标准方程是
（ ）A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）求过两点 ，且圆心在直线 上的圆的标准方程是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为 ，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这
个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）经过直线 与圆 的两个交点，且面积
最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·全国·高三专题练习）若 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，则 外
接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）过 ， ， 三点的圆的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若圆 经过点 ， ，且圆心在直线 ： 上，则圆
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过 、 两点，且与直线 相切的圆的方程可以是
（ ）A． B．
C． D．
5．（2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模）圆心在直线 上，且过点 的圆的标准方程为
．
考点 二 、圆的一般方程
1．（2023·全国·高三专题练习）若圆 ： 过坐标原点，则
实数 的值为（ ）
A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1
2．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知曲线 的方程 ，则“ ”是“曲线
是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·高三专题练习）若点 在圆C： 的外部，则实数k的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点 是圆 上的动点，则 的
最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5考点 三 、直线与圆的位置关系
1．（2021·北京·统考高考真题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化
时，若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
2．（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距
离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知直线 与圆 ，点 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
5．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知点 在圆 上，点 、 ，则
（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
6．（2022·全国·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
7．（2020·浙江·统考高考真题）设直线 与圆 和圆 均相切，则
；b= ．1．（2023·湖南永州·统考一模）在平面直角坐标系中，过直线 上一点 作圆
的两条切线，切点分别为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动
点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
4．（2023·河北保定·统考二模）（多选）已知直线 ，圆 的圆心坐
标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过点
B．
C．直线 被圆 截得的最短弦长为
D．当 时，圆 上存在无数对点关于直线 对称
5．（2020·天津·统考高考真题）已知直线 和圆 相交于 两点．若
，则 的值为 ．
6．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
7．（2022·天津·统考高考真题）若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，
则 ．
考点 四 、圆与圆的位置关系
1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 与圆 ，则圆 与
圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 和 交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ： 公切线的
条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·全国·高三专题练习）若圆 与圆 有且仅有3条公切
线，则m=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
5．（2023·福建龙岩·统考二模）已知M是圆 上一个动点，且直线 ： 与
直线 ： （ ， ）相交于点P，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广西北海·统考一模）已知圆 ： 与 ： 恰好有4条
公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，则 与 的位
置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
2．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
．
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 ： 的圆心到直线 的距离为
，则圆 与圆 ： 的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
4．（2023·全国·模拟预测）已知圆 与圆 交于 ， 两点，点 在
圆 上，则点 到直线 距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．7
5．（2023春·吉林白山·高三统考期中）已知圆 与圆 外切，直线与圆C相交于A，B两点，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
6．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆 与圆
相交所得的公共弦长为 ，则圆 的半径 （ ）
A． B． C． 或1 D．
考点 五 、圆中的最值问题综合
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线 上的两点 ，且 ，点
为圆 上任一点，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建宁德·校考一模）已知圆 与直线 ，P，Q分别是圆C
和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北邯郸·统考三模）在平面直角坐标系内，已知 ， ，动点 满足
，则 （ ）的最小值是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
4．（2023·山东·模拟预测）已知动点 的轨迹方程为 ，定点 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点 ， ， ，若点 是 的外接圆上一点，
则点 到直线 ： 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．14
6．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）（多选）已知正三角形ABC的边长为2，点D为边BC的中点.
若 内一动点M满足 .则下列说法中正确的有（ ）A．线段BM长度的最大为 B． 的最大值为
C． 面积的最小值为 D． 的最小值为
7．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）（多选）已知圆 和圆
的交点为 ，直线 ： 与圆 交于 两点，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线 的方程为
B．圆 上存在两点 和 ，使得
C．圆 上的点到直线 的最大距离为
D．若 ，则 或
1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）若直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，动点 在圆
上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点 是直线 ： 和 ：
的交点，点 是圆 ： 上的动点，则 的最大值
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知 ， ，点 为圆 上任意一
点，则 面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
5．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）已知 ， 是圆 ：
上的两个不同的点，若 ，则 的取值范围为 ．
6．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）如图所示，该曲线W是由4个圆： ，， ， 的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆 与曲线W有8个交点，则
C． 与 的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线 的距离的最小值为4
7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）（多选）已知圆 的圆心在直线 上，且与
相切于点 ，过点 作圆 的两条互相垂直的弦 ，记线段 的中
点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 的方程为 B．四边形 面积的最大值为
C．弦 的长度的取值范围为 D．直线 恒过定点
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·北京海淀·校考三模）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023·北京通州·统考三模）过直线 上的一点 作圆 的两条切线 ， ，切点
分别为 ，当直线 ， 关于 对称时，线段 的长为（ ）
A．4 B． C． D．2
3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆 ，直线 ，则圆C与直线l
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心4．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线 与圆 ： 相交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北·校联考一模）直线 与圆 相切，则 的最大值为
（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
二、填空题
6．（2023·广东深圳·校考二模）过点 且被圆 所截得的弦长为 的直线的方程
为 .
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆 和圆 ，则过点 且与
都相切的直线方程为 .（写出一条即可）
8．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）抛物线 的准线与圆 相交于A、B两点，则
．
9．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）圆心在直线 上，且与直线 相切于点
的圆的标准方程为 ．
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）圆心在直线 上，且与直线
相切的一个圆的方程为 .
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线 与圆 ，过
直线 上的任意一点 向圆 引切线，设切点为 ，若线段 长度的最小值为 ，则实数 的值是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系 中，若抛物线 的准线与圆
相切于点 ，直线 与抛物线 切于点 ，点 在圆 上，则 的取值范围为
（ ）
A． B．C． D．
3．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知圆 ，点 ，若圆M
上存在两点B，C，使得 是等边三角形，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·模拟预测）已知圆 和点 ，由圆外一点 向圆 引切线，切点分别为
，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·山东烟台·统考三模）已知点 为直线 与 轴交点， 为圆 上的一
动点，点 ，则（ ）
A． 取得最小值时， B． 与圆 相切时，
C．当 时， D． 的最大值为
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知直线 ： ， ： ，圆C： ，
下列说法正确的是（ ）
A．若 经过圆心C，则
B．直线 与圆C相离
C．若 ，且它们之间的距离为 ，则
D．若 ， 与圆C相交于M，N，则
7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知 ，过点 作圆 的切线，
切点分别为 ，则下列命题中真命题是（ ）
A．
B．直线 的方程为
C．圆 与 共有4条公切线
D．若过点 的直线与 交于 两点，则当 面积最大时， .
8．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知点M，N在圆O： 上运动，点 ，且，Q为线段M，N的中点，则（ ）
A．过点P有且只有一条直线与圆O相切
B．
C．点Q在直线 上运动
D． 的最大值为
9．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设 ，过定点 的直线
与过定点 的直线 相交于点 ，线段 是圆 的一条动弦，且
，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A． 一定垂直
B． 的最大值为4
C．点 的轨迹方程为
D． 的最小值为
三、填空题
10．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知抛物线 ： ，圆 ： ，点M的坐标
为 ， 分别为 、 上的动点，且满足 ，则点 的横坐标的取值范围是 .
【真题感知】
一、单选题
1．（山东·统考高考真题）已知圆心为 的圆与 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2022·北京·统考高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
4．（全国·统考高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过
点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）A． B． C． D．
5．（全国·统考高考真题）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值
为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．（全国·统考高考真题）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
7．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与
圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2021·全国·统考高考真题）已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
9．（海南·高考真题）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
10．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
11．（2022·全国·统考高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
12．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则．
13．（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出满足
“ 面积为 ”的m的一个值 ．
