29.三角恒等变换备考中务必熟练的十大类型
一．同角三角函数的基本关系
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系:
.
2
2
sin
cos
1
（2）商数关系:
.
sin
tan
cos
（3）
2
(sin
cos
)
1
2sin
cos
（4）
2
2
2
2
2
1
tan
cos
,
sin
1
tan
1
tan
2.同角三角函数的三大应用
2.1 正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化
2.2 已知正切求齐次式的值
2.3
2
(sin
cos
)
1
2sin
cos
应用1.正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化
例1．若
，且
为第三象限角，则
（ ）
3
sin
5
tan
A．
B．
C．
D．
4
3
3
4
4
3
3
4
解析：∵
，且
为第三象限角，∴
，∴
3
sin
5
2
4
cos
1
sin
5
．故选:D．
3
sin
3
5
tan =
4
cos
4
5
应用2.
2
(sin
cos
)
1
2sin
cos
例2．已知
，
，则
（ ）
12
sin
cos
25
π ,π
2
sin
cos
A．
B．
C．
D．
12
25
7
5
7
5
7
5
解析：
，
，
，
，
π ,π
2
sin
0
cos
0
sin
cos
0
.故选：D.
2
7
sin
cos
sin
cos
1 2sin
cos
5
应用3.已知正切求齐次式的值
例3．已知方程
，则
（ ）
2
sin
2sin cos
2sin
4cos
0
2
cos
sin cos
A．
B．
C．
D．
4
5
3
5
3
5
-
4
5
解析：因为方程
，
2
sin
2sin cos
2sin
4cos
0
所以
，
sin
sin
2cos
2 sin
2cos
0
即
，则
或
（舍去），
sin
2cos
sin
2
0
sin
2cos
0
sin
2
0
所以
，所以
，
tan
2
= -
2
2
2
2
cos
sin cos
cos
sin cos
cos
sin
，故选：B
2
2
1
2
1
tan
3
1
tan
1
2
5
小结：已知
，我们可计算如下齐次式：（约定分母不为0）
k
tan
（1）
cos
sin
cos
sin
q
p
n
m
（2）
)
cos
(sin
cos
sin
)
cos
(sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
s
q
p
r
n
m
s
q
p
r
n
m
（3）
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
)
cos
(sin
cos
sin
cos
sin
r
n
m
r
n
m
二．万能公式：（齐次式切弦互化）
作为齐次切弦互换的一个应用典例，推导出的万能公式及应用也是非常常见常考的问题.
，
，
2
2
2
2sin
cos
2tan
sin 2
sin
cos
1
tan
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
cos2
sin
cos
1
tan
2
2tan
tan 2
1
tan
例4．已知
，且
，则
（ ）
π
0, 4
5
cos2
3
tan
A．
B．
C．
D．
或
3
5
2
-
3
5
4
5
5
5
5
5
解析：由
，所以
，则
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
5
cos2
cos
sin
1
tan
3
2
2
3
3tan
5
5 tan
，由
，则
.故选：A
2
2
3
5
(3
5)
tan
4
3
5
π
0, 4
3
5
tan
2
例5．已知第二象限角
满足
，则
（ ）
π
2
tan
tan
4
3
cos2
A．
B．
C．
D．
4
5
4
5
3
5
3
5
-
解析：∵
，∴
，解得
或
π
tan
1
2
tan
tan
tan
4
1
tan
3
2
3tan
5tan
2
0
tan
2
= -
（舍去），所以
.故选：D
1
tan
3
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
3
cos2
cos
sin
cos
sin
1
tan
5
例6．已知
为锐角，且
，
，则
（ ）
tan
m
2
2
cos2
4
m
m
2
sin
4
A．
B．
C．
D．
2
3
2
1
3
2
4
5
9
5
分析：显然，解出参数
的值是关键，这自然想到了万能公式.
m
解析：∵
，解得
，
2
2
2
2
cos
sin
cos2
cos
sin
2
2
1
tan
1
tan
2
2
1
1
m
m
2
2
4
m
m
2
2
m
∴
，∵
，∴
，∴
，
1
cos2
3
0
2
0
2
2
2 2
sin 2
1 cos 2
3
∴
，故选：B．
2
1 cos 2
2
sin
4
2
1
sin 2
2
1
2
2
3
2
三．诱导公式
诱导公式记不住，就利用两角和差公式现场推导即可，例如
sin
sin
2
sin
cos
2
cos
)
2
cos(
例7．已知
.
3π
sin
sin
2π
2
1
π
2cos
3π
cos 2
（1）求
的值；
tan
（2）求
的值.
2
1
sin 2
sin
解析：（1）由
可得
，
3π
sin
sin
2π
2
1
π
2cos
3π
cos 2
cos
sin
1
2cos
sin
即
；
1
tan
1
1,
tan
2
tan
2
（2）
.
2
2
2
2
2
2
1
sin
cos
tan
1
sin 2
sin
2sin
cos
sin
2tan
tan
1
1
5
4
1
1
3
2
2
4
四.两角和与差与二倍角公式
1.两角和差公式
（1）
;
(
) :cos(
)
cos
cos
sin
sin
C
（2）
;
(
) :cos(
)
cos
cos
sin
sin
C
（3）
;
(
) :sin(
)
sin
cos
cos
sin
S
（4）
;
(
) :sin(
)
sin
cos
cos
sin
S
（5）
.
(
)
tan
tan
: tan(
)
1
tan
tan
T
（6）
.
(
)
tan
tan
: tan(
)
1
tan
tan
T
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）
;
2 :sin 2
2sin
cos
a
S
（2）
;
2
2
2
2
2 :cos2
cos
sin
2cos
1
1 2sin
a
C
（3）
.
2
2
2tan
: tan 2
1
tan
n
T
3.常见角的拆分与组合:
2
(
)
(
),
2
(
)
(
)
3
(
)
(
)
,
4
4
,
(
)
(
)
2
3
6
例8．
（ ）
cos20 cos385
cos70 sin155
A．
B．
C．
D．
1
2
2
2
3
2
1
解析：
cos20 cos385
cos70 sin155
cos20 cos 360
25
cos 90
20
sin 180
25
cos20 cos25
sin 20 sin 25
．故选：B．
2
cos 20
25
cos45
2
下面讨论常见的三类应用
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊
角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三
角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在
于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角
的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
例9．（给值求值）已知
，则
3π 3π
3π
π
3
π
5
,
,
π,
,cos
,sin
4
2
2
4
5
4
13
的值为（ ）
sin(
)
A．
B．
C．
D．
16
65
16
65
56
65
56
65
解析：
π
π
π
π
π
π
π
sin(
)
cos(
)
cos[(
)
(
)]
cos(
)cos(
)
sin(
)sin(
)
2
4
4
4
4
4
4
，
因为
，所以
，则
在第二或第三象限，
3π 3π
,
4
2
π
π 5π
,
4
2
4
π
4
因为
，当
在第三象限时，由于
，
π
3
cos(
)
4
5
π
4
5π
2
cos 4
2
又
在
上递增，且
，所以当
在第三象限时，
，
cos
y
x
3π
π, 2
x
3
2
5
2
π
4
π
5π
4
4
与
矛盾，所以
在第二象限，因为
，所以
．
π
π 5π
,
2
4
4
π
4
π
3
cos(
)
4
5
π
4
sin(
)
4
5
因为
，所以
，则
．因为
，所以
3π
π, 2
π
3π 5π
,
4
4
4
π
cos(
)
0
4
π
5
sin(
)
4
13
．所以
，
π
12
cos(
)
4
13
π
π
π
π
3
12
4
5
16
cos(
)cos(
)
sin(
)sin(
)
(
)
4
4
4
4
5
13
5
13
65
即
．故选：A．
16
sin(
)
65
例10．（给值求角）若
，
，且
，
，则
5
sin 2
5
10
sin
10
π ,π
4
3
π,
π
2
（ ）
A．
B．
C．
D．
7π
4
9
4
4π
3
5π
3
解析：
，
符号相同，又
，
，
sin 2
2sin
cos
0
sin
,cos
π ,π
4
π π
,
4 2
，由
可得
，又
，
，
π
2
,π
2
5
sin2
5
2 5
cos2
5
3π
π, 2
π 5π
,
2
4
，所以
，
，
10
sin
0
10
π ,π
2
3 10
cos
10
cos
cos 2
cos2
cos
sin 2 sin
，由
，
，得
，
2 5
3 10
5
10
2
5
10
5
10
2
π π
,
4 2
3π
π, 2
5π ,2π
4
，故选：A．
7π
4
例11．（给值求角）已知
，且
，
，则
的值
,
0,π
1
tan
3
1
tan
7
2
___________
解析：
，
1
1
tan
tan
1
3
7
tan
tan[(
)
]
1
1
1
tan
tan
2
1
3
7
，
1
1
tan
tan
3
2
tan(2
)
tan[(
)
]
1
1
1
1
tan
tan
1
3
2
，
，
，
.
1
π
tan
1,
0
2
4
1
π
tan
1,
0
7
4
π
π
2
4
2
π
2
4
故答案为：
.
π
4
例12．已知
，
，
，则
___________
π
,
0, 2
1
cos(
)
2
3
sin(
)
5
cos2
解析：因为
，所以
，若
，则
，
π
,
0, 2
0,π
1
cos
2
π ,π
2
所以
，因为
，所以
，若
2
1 cos
3
si
2
n
π
,
0, 2
π π
,
2 2
，则
，所有
，故
3
sin
5
π
0, 2
2
4
cos
1 sin
5
cos2
cos
cos
cos
sin
sin
.故答案为：
.
1
4
3
3
4
3 3
2
5
2
5
10
4 3 3
10
注：在给值求角过程中，一定要注意“缩角”，即已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦
函数，若角的范围是
，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是
，则选余弦函
)
2
,0
(
)
,0
(
数较好；若角的范围为
，则选正弦函数较好．
)
2
,
2
(
五．辅助角公式
辅助角公式:形如
的式子可做如下变换:
)
,
(,
cos
sin
不同时为零
b
a
b
a
--------(1)
)
cos
sin
(
cos
sin
2
2
2
2
2
2
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
令
2
2
2
2
sin
,
cos
b
a
b
b
a
a
(1)式=
,其中
.
)
sin(
)
cos
sin
sin
(cos
2
2
2
2
b
a
b
a
a
b
tan
例13．已知函数
.
2
( )
2 3 cos
2sin cos
3
f x
x
x
x
（1）当
时，求
的取值范围；
π
0, 2
x
( )
f x
（2）若锐角
，
满足
，
，求
.
8
(
)
2
6
5
f
12
cos(
)
13
sin
【详解】（1）
,
2
( )
2 3 cos
2sin cos
3
f x
x
x
x
π
sin2
3cos2
2sin(2
)
3
x
x
x
因为
，则
，所以
，所以
.
[0,
]
2
x
π
π 4π
2
,
3
3
3
x
π
3
sin 2
,1
3
2
x
( )
[
3,2]
f x
（2）由第（1）问知
，所以
，
π
π
π
8
2sin 2
2
6
2
6
3
5
f
4
sin
5
=
因为
，所以
，因为
，
为锐角，所以
，因为
π
(0,
)
2
3
cos
5
0,π
，所以
，所以
12
cos(
)
13
5
sin(
)
13
sin
sin[(
)
]
sin(
)cos
cos(
)sin
.
5
3
12
4
63
13
5
13
5
65
例14．已知函数
在
处取得最大值，则
（ ）
2sin
4cos
f x
x
x
x
cos
A．
B．
C．
D．
2 5
5
5
5
5
5
2 5
5
【详解】因为
，其中
2sin
4cos
2 5 sin
f x
x
x
x
，当
时，
取得最大值，
4
2
2
1
sin
,cos
2 5
5
2 5
5
x
f x
即
，所以
，所以
π
2 π,
2
k
k
Z
π
2 π,
2
k
k
Z
故选：A
π
2
2 5
cos
cos
2 π
sin
2
5
5
k
六．和差化积与积化和差公式
和差化积与积化和差
，
sin
sin
2sin
cos
2
2
sin
sin
2cos
sin
2
2
cos
cos
2cos
cos
2
2
cos
cos
2sin
sin
2
2
1
sin cos
[sin(
)
sin(
)]
2
1
cos sin
[sin(
)
sin(
)]
2
1
cos cos
[cos(
)
cos(
)],
2
1
sin sin
[cos(
)
cos(
)]
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
例14．已知
，
，则
_________
1
cos
cos
2
1
sin
sin
3
tan
2
【详解】因为
，所以
.①因为
，
1
cos
cos
2
1
2sin
sin
2
2
2
1
sin
sin
3
所以
.②
1
2cos
sin
2
2
3
因为
，
，所以由
得
，即
.
sin
0
2
cos
0
2
①
②
3
tan
2
2
3
tan
2
2
故答案为：
.
3
2
例15.（2022 新高考2 卷）
已知函数
的定义域为
，且
，则
)
(x
f
R
1
)1(
),
(
)
(
)
(
)
(
f
y
f
x
f
y
x
f
y
x
f
22
1
)
(
k
k
f
A.
B.
C.
D.
3
2
0
1
解析：由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数
，则
满足题意.
x
x
f
3
cos
2
)
(
)
(x
f
于是，
周期为6，且
，
)
(x
f
2
)
6
(
,1
)
5
(
,1
)
4
(
,2
)
3
(
,1
)
2
(
,1
)1(
f
f
f
f
f
f
进一步
，故选A.
3
)
4
(
)3
(
)
2
(
)1(
)
(
22
1
f
f
f
f
k
f
k
七．二次函数型
（1）把形如
或
的三角函数最值问题看
c
x
b
x
a
y
sin
sin 2
c
x
b
x
a
y
cos
cos2
成与
或
有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为
x
sin
x
cos
或
，最后根据已知变量的范围求最值.
n
m
x
a
y
2)
(sin
n
m
x
a
y
2)
(cos
（2）
或
.
( )
cos2
cos
f x
a
x
b
x
( )
cos2
sin
f x
a
x
b
x
对于
,由二倍角公式
,得
( )
cos2
cos
f x
a
x
b
x
2
cos2
2cos
1
x
x
,令
,则问题转化为关于的二次函数问题.
2
( )
2 cos
f x
a
x
cos
b
x
a
cos
[ 1,1]
t
x
t
类似地,对于
,用二倍角公式
,使其转化为二次
( )
cos2
sin
f x
a
x
b
x
2
cos2
1 2sin
x
x
函数问题.
例16．函数
的定义域为
，值域为
，则α 的取值范
2
sin
2 2 cos
y
x
x
3π ,
4
3 ,2 2
2
围是（ ）
A．
B．
3π
0, 4
[0,π]
C．
D．
π ,0
4
π ,π
2
解析：由
，令
，得：
2
2
2
sin
2 2 cos
1 cos
2 2 cos
(cos
2)
3
y
x
x
x
x
x
cos
t
x
，二次函数开口向下，对称轴为
，因为
，所以函数
2
(
2)
3
y
t
2
1
t
cos
1
t
x
为递增函数，因为当
时，
，当
时，
，所以
2
3π
cos(
)
2
4
t
3
2
y
1
t
2 2
y
，即
时，
，使函数的值域为
，所以由余
2
1
2
t
3π
[
, ]
4
x
2
cos
,1
2
x
3 ,2 2
2
弦函数图象与性质可知，
，所以
的取值范围是：
．故选：A
3π
0
4
3π
0 4
，
八.和差与乘积结合型函数
如求三角函数
的最值，可将
看作，则原
b
x
x
a
x
x
y
cos
sin
cos
sin
x
x
cos
sin
t
函数可变形为
，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.
b
t
a
t
y
2
)1
( 2
例17．已知函数
，则
的最大值为（ ）．
sin
cos
2sin cos
2
f x
x
x
x
x
f x
A．
B．
C．
D．
3
2
3
2
2
2
2
2
解析：
，
sin
cos
2sin cos
2
f x
x
x
x
x
2
sin
cos
sin
cos
1
2
x
x
x
x
令
，
2
2
sin
cos
2
sin
cos
2 sin
2,
2
2
2
4
t
x
x
x
x
x
即
，由
，则
2
2
1
3
1
2
4
f x
g t
t
t
t
2,
2
t
.故选：A.
max
2
2
2
1
3
2
g t
g
九．三倍角公式：
3
sin3
3sin
4sin
3
cos3
3cos
4cos
例18．函数
的值域为____________．
sin3
3sin
f x
x
x
解析：
sin3
3sin
sin
2
3sin
sin
cos2
cos sin 2
3sin
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
3
2
sin
1 2sin
2sin cos
3sin
2sin
sin
2sin
1 sin
3sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，设
，
，则
，
3
4sin
6sin
x
x
sin
t
x
1,1
t
3
4
6
y
g t
t
t
，令
，解得
，所以函数
在
上单调递减，
2
12
6
g t
t
0
g t
2
2
t
g t
2
1,
2
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，
，
2
2
,
2
2
2 ,1
2
1
2
g
2
2 2
2
g
，
，所以值域为
.
2
2 2
2
g
1
2
g
2 2,2 2
十．其他
例19.
.
cos20 cos40 cos80
【详解】
sin 20 cos20 cos40 cos80
sin 40 cos40 cos80
cos20 cos40 cos80
sin 20
2sin 20
.
sin 180
20
sin80 cos80
sin160
sin 20
1
4sin 20
8sin 20
8sin 20
8sin 20
8
例20.（1）
；
1
cos20
1
sin10 (
tan5 )
2sin 20
tan5
（2）
.
cos40
cos25
1 sin 40
【详解】（1）
2
)
1 cos20
1
2cos 10
5
5
sin10 (
tan5 )
sin10
2sin 20
tan5
4
cos
sin
(
cos1
s
o
sin10
0
in
c
5
s5
2
2
10
cos 5
sin 5
10
10
10
10
10
sin5 c
n
cos
cos
cos
sin
sin
1
2sin
2s
s
os5
10
in
2
10
i
10
10
2sin 2
n
cos
cos
cos
2cos
2sin
2si
0
10
2sin(30
10 )
10
10
10
10
n
2si
.
10
2sin30 cos10
2
2
i
cos30 si
cos
3
s
n1
2
0
10
n
（2）
2
cos40
cos40
cos40
cos25
1 sin 40
cos25
1 cos50
cos25
2sin 25
.
cos40
2 cos40
2 cos40
2
sin50
cos40
2 cos25 sin 25
习题演练
1．若
，则
（ ）
tan
2
sin
1 sin 2
sin
cos
A．
B．
C．
D．
6
5
2
5
2
5
6
5
【详解】将式子进行齐次化处理得：
2
2
sin
sin
cos
2sin
cos
sin
1 sin 2
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
．故选：C．
2
2
2
2
sin
sin
cos
tan
tan
4
2
2
sin
cos
1
tan
1 4
5
2．若
，则
（ ）
cos
0,
,tan2
2
2
sin
tan
A．
B．
C．
D．
15
15
5
5
5
3
15
3
【详解】
，
，
cos
tan 2
2
sin
2
sin 2
2sin
cos
cos
tan 2
cos2
1 2sin
2
sin
0, 2
，
，解得
，
，
cos
0
2
2sin
1
1 2sin
2
sin
1
sin
4
2
15
cos
1 sin
4
.故选：A.
sin
15
tan
cos
15
3．已知
，则
（ ）．
1
1
sin
,cos
sin
3
6
cos 2
2
A．
B．
C．
D．
7
9
1
9
1
9
7
9
【详解】因为
，而
，因此
1
sin(
)
sin
cos
cos
sin
3
1
cos
sin
6
1
sin
cos
2
，
则
，
2
sin(
)
sin
cos
cos
sin
3
所以
.故选：B
2
2
2
1
cos(2
2 )
cos2(
)
1
2sin (
)
1
2 ( )
3
9
4．已知
，且
，则
（ ）
π
(
)
0,
3cos2
8cos
5
sin
A．
B．
C．
D．
5
3
2
3
1
3
5
9
【详解】
，得
，
3cos2
8cos
5
2
6cos
8cos
8
0
即
，解得
或
（舍去），又
2
3cos
4cos
4
0
2
cos
3
cos
2
.故选：A.
2
5
(0, ),
sin
1
cos
3
5．若函数
在
上为增函数，则实数
的取值范围为
2
2
3sin2
3sin
cos
f x
x
x
x
,a a
a
（ ）
A．
B．
C．
D．
π
0, 3
π
0, 6
π π
,
6 3
π π
,
6 2
【详解】
2
2
2
3sin2
3sin
cos
3sin2
2sin
1
f x
x
x
x
x
x
3sin2
cos2
2
x
x
，令
，得
，∴函数
π
2sin 2
2
6
x
π
π
π
2 π
2
2 π,
2
6
2
k
x
k
k
Z
π
π
π
π
6
3
k
x
k
在
，
单调递增，由题知
在
上单调递增，∵
f x
π
π
π,
π
6
3
k
k
k Z
( )
f x
a
a
，
，
0
,a a
∴
，解得
.故选：B.
π
6
π
3
a
a
a
a
π
0, 6
a
6．已知
.求
的单调递增区间.
1
3
sin
cos
sin 2
3
2
3
4
f x
x
x
x
f x
【详解】化简得
1
3
1 1
3
3
( )
cos
sin
cos
sin 2
cos2
2
2
2 2
2
4
f x
x
x
x
x
x
，
1
3
1
cos2
1
3
3
sin 2
sin 2
cos2
4
2
2
4
4
4
x
x
x
x
1
3
sin 2
cos2
sin 2
2
2
3
x
x
x
令
，
，解得
，
2
2
2
2
3
2
k
x
k
Z
k
5
12
12
k
x
Z
k
所以单调递增区间为
，
.
5
,
12
12
k
k
Z
k
7．当
时，函数
取得最小值，则
．
x
( )
2sin
cos
f x
x
x
sin
3
【详解】由函数
，其中
，且
为锐
( )
2
cos
5 sin(
)
f x
sinx
x
x
2
1
cos
,sin
5
5
角，当
时，函数取得最小值，所以
，即
，
x
5 sin(
)
5
sin(
)
1
所以
，令
，即
，
cos(
)
0
3
2
3
2
故
3
1
3
sin(
)
sin(
)
cos(
)
cos
sin
3
2
3
3
2
2
.
1
2
3
1
2 5
15
2
2
10
5
5
8．当
时，函数
取得最大值，则
.
0
x
x
sin
2cos
f x
x
x
0
3
tan
4
x
【详解】利用辅助角公式
，其中
当
时，
sin
2cos
5 sin
f x
x
x
x
tan
2
0
x
x
函数
取得最大值，则
，所以
，所以
f x
0
2
2
x
k
k
Z
0
2
2
x
k
k
Z
0
3
sin
3
3
3
4
tan
tan
tan
3
4
4
4
c
2
2
2
2
s
4
2
o
k
x
又
，所以
3
cos
1
4
3
3
sin
tan
4
4
1
1
3
tan
2
tan
4
1
tan
2
1
1
3
故答案为：
.
0
3
tan
3
4
x
3
9．已知函数
．
2
2sin
cos
2 3 cos
3
f x
x
x
x
（1）求函数
的单调增区间；
f x
（2）函数在区间
上的最大值和最小值．
π
0, 2
【详解】（1）
，
2
2sin
cos
2 3 cos
3
f x
x
x
x
π
sin 2
3 cos2
2sin 2
3
x
x
x
则由
，得
，
π
π
π
2 π
2
2 π,
Z
2
3
2
k
x
k
k
5π
π
π
π,
Z
12
12
k
x
k
k
所以函数
的单调递增区间为
f x
5π
π
π,
π ,
Z
12
12
k
k
k
（2）因为
，所以
，所以
，
π
0
2
x
π
π
4π
2
3
3
3
x
3
π
sin 2
1
2
3
x
所以
，所以当
，即
时，
取的最小值
，
π
3
2sin 2
2
3
x
π
4π
2
3
3
x
π
2
x
f x
3
当
，即
时，
取的最大值
；
π
π
2
3
2
x
π
12
x
f x
2
习题演练
1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷）已知
，则
（ ）
cos(
)
,tan
tan
2
m
cos(
)
A．
B．
C．
D．
3m
3
m
3
m
3m
【详解】因为
，所以
，
cos
m
cos
cos
sin
sin
m
而
，所以
，
tan
tan
2
sin
sin
2cos
cos
故
即
，
cos
cos
2cos
cos
m
cos
cos
m
从而
，故
，
sin
sin
2m
cos
3m
故选：A.
2．（2024 年新课标全国Ⅱ卷）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
tan
tan
4
，则
.
tan
tan
2
1
sin(
)
【详解】法一：由题意得
，
tan
tan
4
tan
2 2
1
tan
tan
1
2
1
因为
，
，
π
3π
2 π,2 π
,
2 π
π,2 π
2
2
k
k
m
m
,
Z
k m
则
，
，
2
2
π
π, 2
2
π
2π
m
k
m
k
,
Z
k m
又因为
，
tan
2 2
0
则
，
，则
，
3π
2
2
π
, 2
2
π
2π
2
m
k
m
k
,
Z
k m
sin
0
则
，联立
，解得
.
sin
2 2
cos
2
2
sin
cos
1
2 2
sin
3
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
cos
0,cos
0
，
，
2
2
2
cos
1
cos
sin
cos
1
tan
2
2
2
cos
1
cos
sin
cos
1
tan
则
sin(
)
sin
cos
cos
sin
cos
cos
(tan
tan
)
2
2
2
2
2
4
4
4
2 2
4cos
cos
3
1
tan
1
tan
(tan
tan
)
(tan
tan
1)
4
2
故答案为：
.
2 2
3
3．已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
x
π
π
cos
,sin
3
3
P
，则
（ ）
π
cos
6
A．0
B．
C．
D．
1
2
2
2
3
2
【详解】因为
，即
，即角
的终边经过点
，所以
π
π
cos
,sin
3
3
P
1
3
,
2
2
P
1
3
,
2
2
P
，
，所以
.
3
sin
2
1
cos
2
π
π
π
1
3
3
1
3
cos
cos
cos
sin
sin
6
6
6
2
2
2
2
2
故选：D
4．已知
，则
（ ）
π
π
cos
3cos
4
4
sin2
A．
B．
C．
D．
3
5
4
5
3
5
-
4
5
【详解】展开得
，两边同平方有
2
2
(cos
sin )
3
(cos
sin )
2
2
，即
，解得
，
2
2
1
9
(cos
sin )
(cos
sin )
2
2
1
9
(1 sin 2 )
(1 sin 2 )
2
2
4
sin2
5
故选：B.
5．已知非零向量
，
，若
，则
（ ）
π
(cos2 ,sin(
))
4
a
π
(sin(
),1)
4
b
/ /
a
b
sin 2
A．
B．
C．
D．
1
10
10
4
5
3
5
【详解】因为
，
为非零向量，所以
，即
a
b
cos2
0
π
sin(
)
0
4
1
2
π
π
4
2
π
π
4
k
k
1
2
Z,
Z
k
k
因为
，所以
，则
，即
，
/ /
a
b
2
π
sin (
)
cos2
4
π
1 cos 2
2
cos2
2
1 sin 2
2cos2
即
，由于
，所以两边同除
，
2
2
2
2
sin
cos
2sin cos
2cos
2sin
cos
0
2
cos
可得：
，解得：
或
(舍去),
2
3tan
2tan
1
0
tanα =
1
3
tan
1
所以
.故选：D
2
2
2tan
3
3
sin2
1
1
tan
5
1
9
6．若
，则
（ ）
π π
cos
,
,tan
2 2
3
sin
π
sin 2
3
A．
B．
C．
D．
4 6
7
18
4 6
7
18
4 2
7 3
18
4 2
7 3
18
【详解】由条件等式可知，
，整理为
，则
sin
cos
cos
3
sin
2
2
3sin
sin
cos
1
，
1
sin
3
又
，
，
π π
,
2 2
2
2 2
cos
1
sin
3
所以
，
，
1
2 2
4 2
sin 2
2sin
cos
2
3
3
9
2
cos2
1
2
7
9
sin
所以
.
π
π
π
sin 2
sin 2 cos
cos2 sin
3
3
3
4 2
1
7
3
4 2
7 3
9
2
9
2
18
故选：D
7．若
，则
．
π
tan
3
4
tan
【详解】由
可得：
，即
，解得：
.
π
tan
3
4
π
tan
tan 4
3
π
1
tan
tan 4
tan
1
3
1
tan
1
tan = 2
故答案为：
