文档文本内容
微专题拓展09 利用导数解决距离最值模型
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：曲线到定点的最短距离........................................................................................................3
题型二：曲线到定直线的最短距离....................................................................................................4
题型三：曲线与抛物线的最短距离....................................................................................................7
题型四：曲线与圆的最短距离............................................................................................................9
题型五：反函数曲线间最短距离......................................................................................................13
题型六：一般两曲线间最短距离......................................................................................................16
题型七：横向最短距离......................................................................................................................19
题型八：纵向最短距离......................................................................................................................21
题型九：切线平移法..........................................................................................................................23
03 课后拓展精练............................................................................................................................26
在导数涉及的“距离”问题求解中，化归转化与数形结合思想是重要工具，可将问题转化为点到直线
距离或两点间距离问题，再借助导数法求距离最值。
方法一是转化化归。当处理动点间距离问题时，可将其转化为点到直线的距离问题。这里的“点”通
常通过导数求得切点。例如，已知曲线和直线，要求曲线上一点到直线的最小距离，可先对曲线求导，找
到与直线平行的切线，进而确定切点，再计算切点到直线的距离，此距离即为所求最小距离。
方法二是构造函数。根据距离问题的条件，构造合适的函数，然后求该函数的导数，通过分析导数的
正负性，确定函数的单调性，进而找到函数的极值点，该极值点对应的函数值就是距离的最值。这两种方
法巧妙结合导数知识，为解决导数中的“距离”问题提供了有效途径。
题型一：曲线到定点的最短距离
例1．（2026·高三·江西·阶段检测）在平面直角坐标系
中，
，
为曲线
上一动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，当曲线
在
处的切线垂直于
时，
取得最小值，
设
，求导得
，则
，
整理得
，而函数
在
上单调递增，
又
，因此
，点
，所以
.
故选：D
例2．若点
与曲线
上点
的距离的最小值为
，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的导数为
，
设
，可得过
的切线的斜率为
，
当
垂直于切线时，
取得最小值
，
可得
，且
，
可得
，解得
或
（舍去），
即有
，解得
，
∴
，
故选：D．
例3．（2026·高三·广东汕头·开学考试）若点
与曲线
上点
距离最小值为
，则实数为
_______.
【答案】
【解析】设点
的坐标为
，对函数
求导得
，
由题意可知，直线
与曲线
在点
处的切线垂直，则
，
得
，
由两点间的距离公式得
，
由于
的最小值为
，即
，
，解得
，
因此，
.
故答案为：
题型二：曲线到定直线的最短距离
例4．若实数a、b、c、d 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】A
【解析】因为
，所以点
在函数
的图象上，点
在直线
即
上，
当函数
的图象过
点的切线与直线
平行时，切点
到直线
的距离最小，也即为
的最小值，
，由
得
，
，
到直线
的距离为
，所以
，
所以
的最小值为2.
例5．点
为曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当过点
的切线与直线
平行时，点
到直线
的距离最小，
求导可得
，设
，
则
，解得
，代入可得
，
点
到直线
的距离为
，
所以点
到直线
距离的最小值为
.
例6．（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，
，
（其中是自然对数的底数），则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，进而
，
又
在
上，
故
的最小值可以看成是
图像上的点离直线
的最近距离的平方，
，
所以
图像上离直线
的最近的点为斜率为2 的切线的切点
令
， 即得
，令
，
单调递增且
，
所以
，即切点横坐标为
，切点为
，
所以
的最小值为
.
变式1．已知
是曲线
上的动点，点
在直线
上运动，则当
取最小值时，点
的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
取最小值时，即
取得最小值，此时点
处的切线
斜率与直线
斜率相等.因为直线
的斜率为
，
所以令曲线
的导函数
，
，解得
.
变式2．（2026·湖北荆州·一模）已知平面上的点
，
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为点
在直线
上，点
在曲线
上，
又因为
，
，
令
，解得
，可得
，
的最小值即为点
到直线
的距离
.
故选：D.
变式3．（2026·高三·四川巴中·阶段检测）实数
满足
，
,
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】化简已知
得，
，即
，
令
，原式化简为
，
令
，则
，所以
在R 上单调递增，
又
，所以
有唯一零点
，所以
，此方程有唯一根为0，
即
，即
，
分别设
与
，
则
表示曲线
上的点
到直线
的距离的平方，
下面求
上与
平行的切线，
因为
，所以
，
当
时，
，解得：
，所以切点为
，
所以
到直线
距离为：
，
此距离即为曲线
上的点到直线
的距离的最小值，
所以
的最小值为2.
故选：C.
题型三：曲线与抛物线的最短距离
例7．（2026·安徽·三模）已知
且
，若定义
，则
的
最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】
设
，
，
，
垂直于直线
，
为垂足，
为抛物线
的焦点，
易得曲线
过点
的切线为
，与之垂直的直线方程为
，恰好通过点
，
所以
.
故选：D.
例8．（2026·湖北·模拟预测）设
，其中
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
，则点
在函数
图象上，
在函数
的图象上，
容易知道
图象是抛物线
图象的上半部分，
记抛物线焦点为
，过
作抛物线的准线
的垂线，垂足为
，如图所示：
则
，
当且仅当
在线段
上时，取最小值.
设这时
点坐标为
，又
，
所以有
，解得
，即该点为
，
所以
，因此
.
故选：A.
例9．已知实数
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图：
根据题意，
的几何意义为点
与点
之间的距离，
分析可得点
在抛物线
上，点
在直线
上，
抛物线
的焦点
，准线为
，过
作
轴的垂线，交
轴于点
，交
与点
.
所以
的几何意义为
.
由
.
过
作直线
的垂线，垂足为
，交抛物线与点
.
则
（当
与
点重合，
与
点重合时取
等号）
故选：B
题型四：曲线与圆的最短距离
例10．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知
且
，则
的最
小值是（ ）
A．
B．
C．
D．8
【答案】B
【解析】代数式
可以看成点
到点
距离的平方，点
在平面直角坐标系
中，表示单位圆
上的点，
点
表示曲线
上的点，如下图所示：
，由
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，
此时直线
与直线
垂直于点
，交圆于点
，
由数形结合思想可以确定：
当点
运动到
点时，当点
运用到点
时，
有最小值，即
，
故选：B
例11．已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线段
长度
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】
由圆的对称性可得只需考虑圆心
到函数
图象上一点的距离的最小值．
设
图象上一点
，令
图象上一点
的切线为
由
的导数为
，即切线的斜率为
，
当
时，圆心
到函数
图象上一点的距离最小，
此时
，即有
，
由
，可得
，
递增，又
，
所以
，
，
所以点
到点
的距离最小，且为
，
则线段
的长度的最小值为
，
故选：A．
例12．若x、a、b 为任意实数，若
，则
最小值为( )
A．
B．9
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
在以
为圆心，1 为半径的圆上，
表示点
与点
的距离的平方，
即表示圆
上动点到函数y＝lnx 图像上动点距离的平方．
设
为y＝lnx 上一点，且在
处的y＝lnx 的切线与
和
连线垂直，可得
，
即有
，
由
在
时递增，且
，可得m＝1，即切点为
，
圆心与切点的距离为
，
由此可得
的最小值为
．
故选：C．
变式4．（2026·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，则
的最小值为______．
【答案】
【解析】由题意得
，即圆心
在
上，半径为
，
故
的最小值等于
的最小值减去半径
，
设
，由于
与
关于
对称，
的最小值等于
到直线
的距离的最小值的2 倍，
由
，可得
，令
，解得
，
故
在点
处的切线与
平行，此时
到
的距离最小，
最小值为
，
故
的最小值为
，
则
的最小值等于
.
故答案为：
变式5．（2026·高三·黑龙江大庆·阶段检测）若
，
分别是函数
与圆
上的点，则
的最小值为________．
【答案】
/
【解析】设圆
的圆心为
，半径为
，
当
垂直于抛物线在点
处的切线时，
取得最小值，为
，如图所示，
设点
，则直线
的斜率为
，且
，
由
知，
，
所以在点
处的切线的斜率为
，
因为直线
与切线垂直，所以
，所以
，
所以
，即
，
因为
恒成立，所以
，即
，
此时
，
所以
，即
的最小值为
．
故答案为：
．
题型五：反函数曲线间最短距离
例13．（2026·高三·江苏·月考）设
，
，则
的最小值
为__________．
【答案】
【解析】由两点距离公式的几何意义可知
表示点
到
的距离，
表示点
到
的距离，
而
是
上的点，
是
上的点，
是
上的点，且
与
关于
直线
对称，
所以
的最小值可转化为
图像上的动点与
图像上的动
点最小距离，
显然，
与平行
的切线的切点
，和
与平行
的切线
的切点
，它们之间的距离
就是所求最小距离，
对于
，设切点为
，有
，则
，故
，则
，故
，
对于
，设切点为
，有
，则
，故
，则
，故
，
所以
，所以题设式子的最小值为
.
故答案为：
.
例14．设点
在曲线
上，点
在曲线
上，若
的最小值为
，则
__________.
【答案】-1
【解析】因为
与
互为反函数，其图象关于直线
对称，
又点
在曲线
上，点
在曲线
上，
的最小值为
，
所以曲线
上的点
到直线
的最小距离为
，
设与直线
平行且与曲线
相切的切线的切点
，
，解得
，所以
，
得到切点
，点
到直线
即
的距离
，
解得
或3.
当
时，
过点
和
，
过点
和
，
又
，
，所以
与
相交，不符合题意；
当
时，令
，则
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
恒成立，
所以
与
不相交，符合题意.
综上，
.
故答案为：-1.
例15．已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线对称，若
，
分别为它们图象上
的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
为函数
图象上任意一点，则
，
关于直线
的对称点为
，
又
，即点
在函数
的图象上，
所以函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，
所以这
，
两点之间距离的最小值等于点
到直线
距离最小值的
倍，
由
，则
，
函数
在点
处的切线斜率为
，令
，解得
，
，
所以点
到直线
距离的最小值为
，
所以这
，
两点之间距离的最小值为
.
故选：D
变式6．（2026·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点
分别是曲线
和曲线
上的任意
一点，则线段
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
与
互为反函数，所以其图象关于直线
对称，
先求出曲线
上的点到直线
的最小距离，该距离的2 倍即为所求.
设与直线
平行且与曲线
相切的直线切点为
，
因为
，所以
，解得
，
所以
，即切点为
，
点P 到直线
的距离
，
所以线段
的最小值为
.
故选：B
变式7．设点
在曲线
上，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】
和
互为反函数，问题可以转化为直线
到
距离的两倍.
令
得
故切点为
由
，所以
.
故选：C.
变式8．设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
与
互为反函数，其图像关于直线
对称
先求出曲线
上的点到直线
的最小距离．
设与直线
平行且与曲线
相切的切点
，
．
，
，解得
．
．
得到切点
，点P 到直线
的距离
．
最小值为
．
故选：B．
题型六：一般两曲线间最短距离
例16．已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线对称，若P，Q 分别为它们
上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
【答案】
【解析】令
，则
，
，
．
因为
与
关于直线
对称，
所以函数
与函数
关于直线
对称，
所以P，Q 两点之间距离的最小值等于P 到直线
距离最小值的2 倍，
函数
在
点处的切线斜率为
，
令
得，
，
，
所以点P 到直线
距离的最小值为
，
所以这两点之间距离的最小值为
．
故答案为：
.
例17．（2026·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q 分别在函数
，
上运动，
则
的最小值为______．
【答案】
【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又
，
在定义域上分别单
调递增、单调递减，所以函数
递增的速度由慢到快，
递增的速度由快到慢，设动点
，
，当且仅当满足：
时，
取得最小值，由图象的示意图不难发
现，该方程组有唯一一组
，
，所以
，
，所以
的最小值为
．
故答案为：
.
例18．（2026·湖北襄阳·模拟预测）设点P 在曲线
上，点Q 在曲线
上，则|PQ|的
最小值为_____.
【答案】
【解析】令
、
分别向上平移一个单位可得
、
，而
与
关于
对称，
∴当两条曲线在P、Q 处的切线均与
平行时，P、Q 关于
对称，|PQ|有最小，对应曲线平移
到
、
后，P、Q 关于
对称即可，
∴令
，则
，
∴
有
，则
，即
，
∴
到
的距离
，
∴
.
故答案为：
.
变式9．（2026·高三·四川南充·阶段检测）已知
是曲线
：
上任意一点，点
是曲线
：
上任意一点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】（1）曲线
：
，求导得
，易知
在点
处切线方程为
.
下面证明
恒成立：
构造函数
，求导得
，则
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
故函数
，即
恒成立，有
为下凸曲线
（2）曲线
：
，求导得
，当
时，
，且
过点
故
在点
处的切线方程为
.
下面证明
在
上恒成立：
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
则
，即
在
上恒成立，有
为上凸曲线
（3）由
在
处切线
与
在B
处的切线
，知：它们相互平行
又直线AB 的斜率k = -1，即可知：直线AB 与两条切线同时垂直
∴综上，知：
最小时，A 即为P 点，B 即为Q 点，故
∴
故选：D
题型七：横向最短距离
例19．直线
分别与曲线
， 直线
交于
两点， 则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题，设
到直线
的距离为
，直线
的倾斜角为
，则
，
又
，
，故
最小即
最小，即为当过点
处的切线与直线
平行时最小，
由曲线
，得
，所以切点为
，
可求得点
到直线
的距离最小值为
故
，
故选：C
例20．已知函数
，
的图象与直线
分别交于
，
两点，则下列说法错误的是
（ ）
A．
B．
，曲线
在点
处的切线总与曲线
在点
处的切线相交
C．
的最小值为1
D．
，使得曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线
【答案】B
【解析】设A，B 两点的横坐标分别为
，
，则
.
由于
，故
.故选项A 正确.
当
时，
，
.因为
，
，所以
，
，所以曲线
在点A 处的切线总与曲线
在点B 处的切线斜率相等，两切线
不相交.故选项B 错误.
，由
，得
，
，
当且仅当
时取等号，由于
，所以
，
当且仅当
时取等号，所以
.故选项C 正确.
曲线
在点A 处的切线方程为
，
若此切线同时也是曲线
的切线，可设切点为
，则
消去
，
得
，设
，则
，
，
.
因为
的图象是连续的，所以
至少有两个零点，故
有解，
进而得到
的值存在且大于零，故选项D 正确.
故选：B.
例21．已知直线
与曲线
和直线
分别交于P，Q 两点，则
的最小值为
____________．
【答案】4
【解析】设点P 到直线
的距离为d，则
，
所以当点P 到直线
的距离最小时
最小，
又当曲线在点P 处的切线与直线
平行时d 最小，所以此时
最小，
设
，
因为函数
的定义域为
，
，
令
，解得
或
（舍去），
所以切点为
，
点P 到直线
的距离
，
所以
的最小值为4，
故答案为：4.
题型八：纵向最短距离
例22．直线
分别与曲线
和曲线
交于
，
两点，则
的最小值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可设
，
，即可表示出
，构造函数
并求得
，令
求得极值点并判断函数的单调性，即可求得
的最小值.直线
分别与曲线
和曲线
交于
，
两点，
设
，
，
且
，
，
，
．
，
，
，
令
解得
，
（舍），
当
时
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增．
所以
，
综上可知
的最小值为
．
故选：D.
例23．动直线
与函数，
，
的图象分别交于点A，B，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
则
，
当
时，
，当
，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以当
时，
取得最小值
，
所以
的最小值为
，
故选：A.
例24．动直线
（
）与函数
，
的图象分别交于点A，B，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
则
，
当
时，
，当
，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以当
时
取得最小值
，
所以
的最小值为
，
故选：A
题型九：切线平移法
例25．已知函数
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【解析】
，则
，取
，故
，
，切点为
，故切线方
程为
，
取
，解得
，
故
的最小值
.
故选：B.
例26．（2026·高三·重庆大足·阶段检测）已知函数
，
，点
与
分别在函数
与
的图象上，若
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．1 或3
【答案】A
【解析】因为
，令
，解得
，
而
，
则函数
的图象在点
处的切线方程为
，
则
，即点
到直线
的距离为
，
所以
，解得
或
，
当
时，
与函数
的图象相交，
所以
.
故选：A.
例27．（2026·高三·重庆·开学考试）已知函数
，若直线
与
的图象分别交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】A
【解析】因为
，所以
.
设
，
对于
，在点
处的切线斜率为
，
则切线方程为
，即
.
对于
，在点
处的切线斜率为
，
则切线方程为
，即
.
当两切线平行且斜率相等时，
最小，即两切线与直线
垂直时，
最小.
所以令
，则
；令
，则
.
此时
.
所以
.
故选：A.
变式10．（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）已知直线
与曲线
，
分别交于点
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】B
【解析】设与直线
垂直，且与
相切的直线为，
设与直线
垂直，且与
相切的直线为
，
所以，
，
设直线与
的切点为
，
因为
，所以
，解得
，
，即
，
设直线
与
的切点为
，
因为
，所以
，解得
，
，即
，
此时
，
所以，当直线
与直线
重合时，
最小，最小值为
.
故选：B
1．已知A，B 分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
求导得
，直线
斜率为
，
当直线与曲线的切线平行时，
最小，此时
，解得
，
故切点为
，
则
的最小值为切点
到直线
的距离，
即
．
2．函数
的图象上的点到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，令
，即
，
令
，
，
恒成立，
故函数
在
上单调递增，且
，故函数仅有一个零点，
令
，
，即切点横坐标为
，
代入
，切点坐标为
，切线方程为：
，
切线与直线之间的距离
.
故选：C
3．（2026·江苏南京·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】设点
是函数
图象上的点，点
是直线
上的点，
则
，所以
，
因为
，设函数
在点
处的切线与直线平行，
则
，解得
，则点
，
所以
的最小值为点
到直线的距离
，
所以
的最小值为2，
故选：
4．（2026·高三·辽宁鞍山·期末）已知
，若实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．8
【答案】C
【解析】由题意，点
在曲线
上，点
在直线
上，
的几何意义就是曲线
上的点
与直线
上的点
两点间的距离的平方.
当点
为曲线
平行于直线
的切线的切点，
且直线
垂直于直线
时，
两点间的距离才可能最小.
又
，令
，解得
或
（舍去），
所以切点为
.切点
到直线
的距离
就是所要求的曲线
上的点与直线
上的点之间的最小距离，
故
的最小值为
.
故选：C.
5．已知点
在曲线
上，点
在直线
上，则P，Q 两点距离最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知，曲线
为
，
则
，设
，
当曲线
在
点处的切线与
平行时，两平行直线间的距离为P，Q 两点距离最小值，
令
，
，即
，
所以曲线
在
点处的切线方程为
，即
，
此时
的距离最小值为直线
与直线
的距离：
.
故选：B.
6．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知点
为曲线
上的动点，则点
到直线
的距离的最
小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．9
【答案】B
【解析】设曲线
在点
处的切线与直线
平行，
由
，得
，则
或
，
则动点
到直线
的距离的最小值为
.
所以点
到直线
的距离的最小值为
，
故选：B.
7．（2026·山东聊城·二模）实数
满足：
，
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．8
【答案】D
【解析】由
，得
，又
，
的最小值转化为
上的点与
上的点的距离的平方的最小值，
由
，得
，
与
平行的直线的斜率为1，
，解得
或
（舍），可得切点为
，
切点到直线
的距离的平方，即为
的最小值，
的最小值为
．
故选：D
8．已知
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】D
【解析】由题意可知
在
的图象上，
在
的图象上，
由
，得
，
所以
可转化为函数
图象的点到直线
上的点的距
离，
对于
，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
；当
时，由于
增加的速度小于x 增加的速度，故
；
由此可作出
和
的图象，如图：
结合图象可知
有最小值，无最大值，AB 错误；
又因为与直线
平行的直线的斜率为
，
令
，解得
，
则
的与
平行的切线的切点坐标为
，
所以
到直线
的距离为
，
所以
的最小值为
，此时
，所以D 正确，C 错误，
故选：D
9．动直线分别交直线
和曲线
于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设过曲线
上的点
的切线方程与直线
平行，
则
，所以
，解得
或
（舍），
即
，则切点为
，
切线方程为
，化简可得
，
则
的最小值即为切线与直线
的距离，
所以
.
故选：C
10．已知实数
，
，，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由已知
，
则
，即
为直线
上的点，
为函数
上的点，
则
，
设
与
相切，由
，
则
，可得
，所以切点为
，则
，
则切点
到直线
的距离为
，
所以
最小值为2.
故选：B.
11．已知
，则y 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得：
可以理解为点
之间距离的平方，
即
，
可知
在函数
的图像上，
在直线
上，
可得
，
设函数
在点
处的切线与直线平行，则直线的斜率为1，
可得
，整理得
，
∵
在定义域内单调递增，且
，
∴方程
有且仅有一个解
，则
，
故
的最小值为点
到直线
的距离
，
故
的最小值为
.
故选：C.
12．（2026·宁夏银川·一模）已知实数
满足
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，又
，
表示点
与曲线
上的点之间的距离；
点
的轨迹为
，
表示直线
上的点与曲线
上
的点之间的距离；
令
，则
，
令
，即
，解得：
或
（舍），
又
，
的最小值即为点
到直线
的距离
，
的最小值为
.
故选：B.
13．（2026·云南·模拟预测）已知点
满足：
，
是函数
图象上
任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，
设
，求导得
，函数
在
上都递增，
则函数
在
上单调递增，而
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
由
，得
，即
，则
，点
在直线
上运动，
设平行于直线
的直线与
相切于点
，
由
求导得
，则
，解得
，
因此切点为
，
的最小值为点
到直线
的距离
.
故选：A
14．（2026·广西桂林·二模）已知函数
的最小值为
，则正实数
（ ）
A．3
B．
C．
D．3 或
【答案】A
【解析】
表示点
与点
的距离的平方，
点
在曲线
上，点
在曲线
上，
如图，可得
，
设与
平行的直线与曲线
相切于点
，
．
，
，
①
点
与点
的距离的平方的最小值等于点
，
到直线
的距离．
，
②
结合①②得
，
符合题意，或
，
此时曲线与直线
相交，不合题意，
故选：A.
15．（2026·安徽·一模）已知点
满足：
是函数
图象上任意一点.则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】设
，
设
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
，
所以
，即点
在直线
上运动.
设与
平行的直线与
相切于点
，令
，
得
，故切点为
，由图知其到直线
的距离
，即为
的最小值.
故答案为：
16．（2026·北京朝阳·二模）设
为曲线
上动点，
为曲线
上动点，则称
的最小值为曲线
,
之间的距离，记作
．若
，
，则
_____；若
，
，则
_______．
【答案】
【解析】由题意可知
为两圆，所以
=
=
．
由题意可知
表示的两个函数互为反函数，所以两个图象关于
对称，如下图：
切线斜率
时，
，
，切点为
，所以
，
=2
=
．填(1).
(2).
．
17．（2026·江西·一模）已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意
一点（为自然对数的底），则线段
的长度的最小值为______．
【答案】
【解析】圆心
，先求
的最小值，设
，所以以点
为切点的切线方程为
，当
垂直切线时，
，此时点
，函数图象
上任意点到点
的距离大于点
到切线的距离即
，所以
的最小值是
，故答案为
.
18．已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线l 对称，若P，Q 分别为它们
图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
【答案】
【解析】令
，则
，
，
．
因为
与
关于直线
对称，
所以函数
与函数
关于直线
对称，
所以P，Q 两点之间距离的最小值等于P 到直线
距离最小值的2 倍，
函数
在
点处的切线斜率为
，
令
得，
，
，
所以点P 到直线
距离的最小值为
，
所以这两点之间距离的最小值为
．
故答案为：
.
